0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Ένας αρατηρητής βρίσκεται σε μια όχθη ενός οταμού και βλέει στην αέναντι όχθη ένα δέντρο υό γωνία ύψους 60 ο Αν αομακρυνθεί κατά 40m, βλέει το ίδιο δέντρο υό γωνία ύψους 0 ο Να βρεθούν: (α) το ύψος του δέντρου (β) το λάτος του οταμού 0 0 60 0 Β Δ Γ Α Στο διλανό σχήμα να βρεθούν τα μήκη x, y, γ, β Α γ y β 0 0 60 0 Β 5 x Γ Να εκφράσετε σε rad τις γωνίες: 60 i 75 ii 50 iv) 90 v) 485 v 580 vi 4500 vii 600 ix) 755 x) 700
4 Να μετατρέψετε σε μοίρες τις γωνίες: 5 rad i 4 rad 5 v) rad 4 v rad ix) 60rad x) 80rad ii vi 7 6 rad iv) rad 00rad vii 0rad 5 Να υολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών: α) 500 ο β) 90 ο γ) 765 ο δ) 675 ο ε) 80 ο 6 Όμοια για τις γωνίες: α) rad β) 45 rad γ) 5 rad δ) 4 rad 7 Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών: 70 i rad ii 890 iv) rad 8 Να υολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών: 5 6 rad i 5 ii 4 rad iv) 50 9 Αν < x <, δείξτε ότι: ημ xεφx 4εφxσυν x 4εφx 0 + + + < 0 Αν < x <, δείξτε ότι: συν x εφx σφx > 0 Αν ημ x = και < x <, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x 5 rad Αν συν x = και γωνίας x rad < x <, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της 4
Αν εφ x = και < x <, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x rad 5 4 Αν σφ x = και 0 < x <, να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της 5 γωνίας x rad 5 Αν σφ x = και < x <, να υολογίσετε την τιμή της αράστασης συνx +συν x 6 Να εξετάσετε, αν υάρχουν τιμές του x για τις οοίες: i να ισχύει συγχρόνως ημ x = 0 και συν x = 0 ii να ισχύει συγχρόνως ημ x = και συν x = iii να ισχύει συγχρόνως ημ x = και συν x = 7 Να δείξετε ότι, τα σημεία Μ (x, y) του ειέδου x = συνθ και y = ημθ, είναι σημεία κύκλου κέντρου Ο (0, 0) και ακτίνας ρ = 8 Αν ισχύει x = συνθ και y = ημθ, να δείξετε ότι: 9x + 4y = 6 9 Αν είναι x = rημθσυνφ, y = rημθημφ και z = rσυνθ, να δείξετε ότι x + y + z = r 0 Να αοδείξετε ότι: ημα +συνα i 4 4 συν α ημ α συν α = Να αοδείξετε ότι: ημθ + συνθ + = + συνθ ημθ ημθ i συν x συν x + = + συνx Να αοδείξετε ότι: εφα + σφβ εφα = εφβ + σφα εφβ i εφ α ημα= εφαημα 5
Να αοδείξετε ότι: συν x συνx εφx + σφ x = + i ( συν x) + = εφx συν x ii συνx = συν x iv) =συνx συν x εφ x+ σφ x 4 Να αοδειχθεί η ισότητα συνα ημα ημα συνα εφα + σφα = + ( ) ( 5 Να αοδειχθεί η ισότητα 4ημθ + 5συνθ + 5ημθ 4συνθ ) = 4 ημα ημα 6 Να αοδειχθεί η ισότητα + = συνα + συνα ημα 7 Να αοδειχθεί η ισότητα 8 Να αοδειχθεί η ισότητα 9 Να αοδειχθεί η ισότητα σφθ συνθ = σφθ ημθ εφx + σφx + = εφx σφ x εφx εφω = εφω εφ x σφω σφx 0 Δείξτε ότι: = + συν x συν x εφx Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας 405 i 850 ii 00 Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας 87 rad i rad 6 4 Να υολογιστούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί: ημ50 ο, συν0 ο, εφ0 ο, σφ0 ο 5 05 98 i ημ, συν, εφ, σφ 6
4 Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να αοδείξετε ότι: ημα= ημ( Β+Γ ) i συνα + συν ( Β+Γ ) = 0 Α Β+Γ Α Β+Γ ii ημ = συν iv) συν = ημ συν ( α ) συν 5 Να αλοοιήσετε την αράσταση ( 80 + α ) ημ ( α ) ( ημ90 + α ) 6 Να αοδείξετε ότι: 9 εφ ( x) συν ( + x) συν + x = - ημ ( + x) συν ( x) σφ x 7 Να δείξετε ότι έχει σταθερή τιμή η αράσταση: ημ ( x) + συν ( x) συν ( x) + ημ x 8 Να αοδείξετε ότι: 9 5 ημ + ω ημ ( + ω) ημ + ω συν + ω = συν ω 7 7 εφ + ω σφ ω συν ω συν + ω 9 Να υολογίσετε την τιμή της αράστασης: ( ) ( ) ημ495 συν0 + συν 495 συν 0 εφ 0 + εφ495 40 Να υολογιστεί η αράσταση: 7 Α= συν ημ + + ημ x x x 4 4 4 συν ( + x) ημ x+ ( 7 ) 4 Να αλοοιηθεί η αράσταση: σφ x Α= 7 ημ ( 9 x) συν x εφ + x 7
4 Να αλοοιηθούν οι αρακάτω αραστάσεις: ( x ) συν συν α ημ α εφ( α) ( ) Α= Β= εφ ( x 90 ) συν ( x 70 ) σφ + α ημ( α) ημ 70 60 x + ημ β σφ + α ημ + α εφ + β 4 Αν Α= και Β=, να αλοοιηθεί η συν ( β ) εφ( α) συν ( α) σφ β αράσταση Γ = Α Β 44 Να αοδειχθεί ότι: 5 7 εφ x συν + x ημ x = ημ x συν x εφ + x 4 5 Να αλοοιηθούν οι αραστάσεις: εφ( 80 α) συν ( 540 α) εφ( 450 α) Α= ημ 90 + α σφ 80 α εφ α 70 ( ) ( ) ( ) 5 συν x + ημ( x) συν + x Β= 4 ημ(7 x) συν ( x 4 ) 4 6 (α) Να εξετασθεί αν υάρχει ραγματικός αριθμός ώστε : συν x+ συν x+ < 0 (β) Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε να υάρχει γωνία ω με ημω = λ λ + 4 7 Να δειχθεί ότι δεν υάρχει ραγματικός αριθμός ώστε: α) ημ x + < 0 β) συν x 5συν x+ 6< 0 8
48 Να εξετάσετε αν υάρχει ραγματικός αριθμός x ώστε: α) β) 5+ 4 9 Αν α + β =, να αοδείξετε ότι υάρχει γωνία ω τέτοια ώστε συνω = α και ημω = β i Για οιε ς τιμές του κ υάρχει γωνία ω, ώστε να ισχύει: α) κ + κ ημω = και συνω = κ κ β) κ κ ημω = και συνω = + κ + κ γ) κ κ εφω = και σφω = κ + κ 5 0 Αν ημ x + συν x = α, να υολογίστε ως συνάρτηση του α τις αραστάσεις: συν x i + συνx ii εφ x + σφ x iv) ημ x + συν x 5 Να αοδείξετε ότι: 4 4 6 6 ημ x + συν x= ημ xσυν x i ημ x + συν x= ημ xσυν x + + έχει τιμή ανεξάρτητ η του x, δηλαδή 6 6 4 4 ii Η αράσταση ( ημ x συν x) ( ημ x συν x) είναι σταθερή 5 Αν < x <, να δείξετε ότι: + = εφ x + 5 Αν 0 x, να δείξετε ότι: + συν x + συν x + συν x = = + συν x συν x συν x 54 Αν 0 < x <, να δείξετε ότι: σφx + = + σφx ημ x 55 Να αοδείξετε ότι: + ημα + συνα = + ημα + συνα ( ) ( )( i συν x + + + = συν x 4 4 ii ( ) ( ) ημθ + συνθ ημθ συνθ = 8ημθ συνθ ) 9
56 Να αοδείξετε ότι: εφ α = 4 ημα συνα εφα + = ημθ συνθ i ( εφθ ) ( σφθ ) ii ( )( ) 4 4 ημ θ + συν θ εφθ + σφθ = εφ θ + σφ θ + συν x συν x 57 Αν 0 < x <, Α= και B =, να αοδείξετε ότι: συν x + συν x + συνx συν x Α= = i Β= = συν x + συνx ii A B = σφx iv) Α+Β= 8 Να αοδείξετε ότι: 5 εφ εφ εφ εφ87 εφ88 εφ89 = ημ συν + ημ συν + + ημ89 συν 89 = 0 i ( ) ( ) ( ) 59 Αν εφ x + εφ + x = 5, να υολογίσετε την τιμή της αράστασης: 6 εφ x + εφ + x 6 εφ 60 ( + x) Να αοδείξετε ότι: εφx σφ ( x) 0 < < 6 Αν < x <, να αοδείξετε ότι: σφ x + συν ( + x) Να βρεθούν οι τιμές των μ, λ, ώστε η αράσταση 6 5 Α= λημ( + x) + μσυν ( + x) + + λημ + x να έχει σταθερή τιμή 0