Επιχειρησιακή Έρευνα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #6: Στοχαστικός Γραμμικός Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό όπως εικόνες που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Να γίνει κατανοητή η παρουσίαση των διαφορετικών μοντέλων επίλυσης προβλημάτων (ντετερμινιστικού-στοχαστικού) με παραδείγματα. 4

Περιεχόμενα ενότητας Στοχαστικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Προβλήματα Γραμμικού Στοχαστικού Προγραμματισμού Η Μέθοδος των δύο φάσεων Εφαρμογές Ασκήσεις 5

Αναφορές Γ. Πραστάκος. Μαθηματικός Προγραμματισμός για τη λήψη επιχειρηματικών αποφάσεων Εκδόσεις Σταμούλης 99. Δ. Ξηρόκωστας Μη Γραμμικός και Δυναμικός Προγραμματισμός Συμμετρία 99. Μ. Παπαγεωργίου Δυναμικός Προγραμματισμός Σημειώσεις Πολυτεχνειο Κρήτης 6

Ντετερμινιστικά - Στοχαστικά Στα Ντετερμινιστικά Μοντέλα επίλυσης προβλημάτων Βελτιστοποίησης οι τιμές των παραμέτρων του προβλήματος μπορούν να εκτιμηθούν με ακρίβεια. Στα Στοχαστικα Μοντέλα οι τιμές για ορισμένες από τις παραμέτρους του προβλήματος δεν μπορούν να εκτιμηθούν καθώς υπάρχει αβεβαιότητα. Παράδειγμα: Σε ένα πρόβλημα παραγωγής Υπάρχει αβεβαιότητα ως προς τη ζήτηση ενός προϊόντος. Μπορεί να προσδιορισθούν μόνο οι τιμές και η κατανομή των πθανοτήτων. Οι αποφασίζοντες αντιιμετωπιζουν συχνά περιπτώσεις όπου το μέλλον για καποιες από τις παραμέτρους περιλαμβάνει εναλλακτικές τιμές που αντιστοιχούν σε διαφορετικά σενάρια. 7

Παράδειγμα Στοχαστικού Προβλήματος - Ένας αγρότης-κτηνοτρόφος πρέπει να καθορίσει πόσα στρέμματα σιταριού και κριθαριού θα φυτέψει για την τρέχουσα χρονιά για τροφή για τα ζώα. Ένα στρέμμα σιταριού παράγει κατά μέσο όρο 8 τόνους καρπού και καλλιέργεια κοστίζει 0 το στρέμμα. Ένα στρέμμα κριθαριού αποφέρει 5 τόνους καρπού και η καλλιέργειά του κοστίζει 90 το στρέμμα. Για την τρέχουσα χρονιά χρειάζεται 70 τόνους σιταριού και 50 τόνους κριθαριού. Το επιπλέον σιτάρι και κριθάρι που ενδεχόμενα παράγει θα το πουλήσει. Η τρέχουσα τιμή πώλησης του σιταριού είναι 0 ο τόνος και του κριθαριού είναι 8 ο τόνος. Αν χρειασθεί να αγοράσει σιτάρι ή κριθάρι τότε οι τιμές αγοράς είναι 5 και 3 αντίστοιχα. Η καλλιεργήσιμη έκταση που διαθέτει είναι στρέμματα. Να υπολογισθούν τα στρέμματα σιταριού και κριθαριού που θα καλλιεργήσει ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος του. 8

Μοντελοποίηση Γραμμικού Προβλήματος στρέμματα σιτάρι και κριθάρι Z Z Ποσότητες (τόνοι) σιταριού και κριθαριού που θα πουλήσει ποσότητες (τόνοι) σιταριού και κριθαριού που θα αγοράσει 0 50 5 70 8.. ) 8 0 3 5 90 min(0 t s 9

Επίλυση Προβλήματος ΑΓΝΩΣΤΟΙ Παραγωγή Στρέματα Σιτ χ 8.75 70 Στρέματα Κρι χ 3.5 66.5 Προμήθεια Σιταριού ψ 0 Προμήθεια Κριθαριού ψ 0 Πώληση Σιταριού ζ 0 Πώηση Κριθαριού ζ 6.5 ΔΕΔΟΜΕΝΑ Σιτάρι Κριθάρι Κόστος Καλλ/Στρέμμα 0 90 Απόδοση / στρεμμα 8 5 Υποχρέωση (τόνοι) 70 50 ΑΓΟΡΑ/ΤΟΝΟ 5 3 ΚΕΡΔΟΣ/ΤΟΝΟ 0 8 Στρέμματα ΣΥΝΘΗΚΗ 70 >= 70 ΣΥΝΘΗΚΗ 50 >= 50 ΣΥΝΘΗΚΗ 3 <= ΑΝΤ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ.788 ΜΙΝ 0

Αβεβαιότητα Η Επίλυση του πρβλήματος έγινε με μια παραδοχή. Για την απόδοση ανά Στρέμμα δεχθήκαμε τη μέση τιμή. Η Απόδοση των στρεμμάτων εξαρτάται από τις καιρικές συνθήκες και από αλλους παράγοντες. Οι τιμές της απόδοσης εμφανίζουν αβεβαιότητα. Θα εργασθούμε πάνω σε δυο ακόμη Σενάρια: Α) Η Απόδοση ανά Στρεμμα αυξημένη κατά 0% Β) Η Απόδοση ανά Στρέμμα μειωμένη κατά 0% Συνολικά έχουμε τρία σενάρια και θεωρούμε ότι είναι ισοπίθανα. Βρίσκουμε για κάθε Σενάριο τις επόμενες λύσεις

Σενάριο Γ.Π. 0 50 6 70 9.6.. ) 8 0 3 5 90 min(0 t s Το γραμμικό Πρόβλημα έχει την παρακάτω μορφή 8. =9.6 5. =6

Επίλυση Σενάριο (0%) ΑΓΝΩΣΤΟΙ Παραγωγή Στρέματα Σιτ χ 7.967 70 Στρέματα Κρι χ 4.7083 88.5 Προμήθεια Σιταριού ψ 0 Προμήθεια Κριθαριού ψ 0 Πώληση Σιταριού ζ 0 Πώηση Κριθαριού ζ 38.5 ΔΕΔΟΜΕΝΑ Σιτάρι Κριθάρι Κόστος Καλλ/Στρέμμα 0 90 Απόδοση / στρεμμα 9.6 6 Υποχρέωση (τόνοι) 70 50 ΑΓΟΡΑ/ΤΟΝΟ 5 3 ΚΕΡΔΟΣ/ΤΟΝΟ 0 8 Στρέμματα ΣΥΝΘΗΚΗ 70 >= 70 ΣΥΝΘΗΚΗ 50 >= 50 ΣΥΝΘΗΚΗ 3 <= ΑΝΤ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ.8 ΜΙΝ 3

Σενάριο 3 (-0%) ΑΓΝΩΣΤΟΙ Παραγωγή Στρέματα Σιτ χ 0.9375 69.999999 Στρέματα Κρι χ.065 44.5000063 Προμήθεια Σιταριού ψ 0 Προμήθεια Κριθαριού ψ 5.74999938 Πώληση Σιταριού ζ 0 Πώηση Κριθαριού ζ 0 ΔΕΔΟΜΕΝΑ Σιτάρι Κριθάρι Κόστος Καλλ/Στρέμμα 0 90 Απόδοση / στρεμμα 6.4 4 Υποχρέωση (τόνοι) 70 50 ΑΓΟΡΑ/ΤΟΝΟ 5 3 ΚΕΡΔΟΣ/ΤΟΝΟ 0 8 Στρέμματα ΣΥΝΘΗΚΗ 69.999999 >= 70 ΣΥΝΘΗΚΗ 50 >= 50 ΣΥΝΘΗΚΗ 3 <= ΑΝΤ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ.49 ΜΙΝ 4

Η Μέση Λύση (Τα τρία Σενάρια) Σενάριο Σενάριο Σενάριο 3 Μέση Τιμή Στρέματα Σιτ χ 8.75 7.9666667 0.93749984 8.993 Στρέματα Κρι χ 3.5 4.70833333.065006 3.007 Προμήθεια Σιταριού ψ 0 0 0.0 Προμήθεια Κριθαριού ψ 0 0 5.749999375.97 Πώληση Σιταριού ζ 0 0 0.0 Πώηση Κριθαριού ζ 6.5 38.5 0 8.67 ΑΝΤ. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ.788.8.49.80 Καθε Λύση αντιστοιχεί σε ένα Σενάριο. Ποιό από τα τρία Σενάρια να επιλέξει ο Αγρότης 5

Μεταβλητές - Στάδια Κατασκευάζουμε ένα Συνολικό Γραμμικό Πρόγραμμα λαμβάνοντας υπόψη και τα τρία σενάρια με πιθανότητα /3 το καθένα. Οι μεταβλητές αφορούν και τα τρία Σενάρια και ονομάζονται μεταβλητές του πρώτου Σταδίου. Για κάθε σενάριο εισάγουμε νεες μεταβλητές για τις Σενάριο : Σενάριο : Σενάριο 3: 3 3 3 3 Οι συνθήκες και η αντικειμενική συνάρτηση του νέου γραμμικού προπβλήματος εμπλουτίζονται. 6

Αλλες δυο λύσεις 0 50 4 70 6.4 50 6 70 9.6 50 5 70 8.. )) 8 0 3 5 ( ) 8 0 3 5 ( ) 8 0 3 5 ( 90 min(0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 t s 7

Η Τελική Λύση ΑΓΝΩΣΤΟΙ Παραγωγή Στρέματα Σιτ χ 9.5 76 ΑΝΤ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Στρέματα Κρι χ.5 6.5 Προμήθεια Σιταριού ψ 0 Προμήθεια Κριθαριού ψ 0 Πώληση Σιταριού ζ 5.99999993 Πώηση Κριθαριού ζ.5 Προμήθεια Σιταριού ψ -.776E-5 Προμήθεια Κριθαριού ψ 0 Πώληση Σιταριού ζ.999998 Πώηση Κριθαριού ζ 5 Προμήθεια Σιταριού ψ3 9.00000 Προμήθεια Κριθαριού ψ3 0 Πώληση Σιταριού ζ3 0 Πώηση Κριθαριού ζ3 0 ΔΕΔΟΜΕΝΑ Α ΣΕΝΑΡΙΟ Β ΣΕΝΑΡΙΟ Σιτάρι Κριθάρι Κόστος Καλλ/Στρέμμα 0 90 Απόδοση / στρεμμα 8 5 9.6 6 Υποχρέωση (τόνοι) 70 50 ΑΓΟΡΑ/ΤΟΝΟ 5 3 ΚΕΡΔΟΣ/ΤΟΝΟ 0 8 Στρέμματα ΣΥΝΘΗΚΗ <= ΣΥΝΘΗΚΗ 70.000000 >= 70 ΣΥΝΘΗΚΗ 50 >= 50 ΣΥΝΘΗΚΗ 70.000000 >= 70 ΣΥΝΘΗΚΗ 50 >= 50 ΣΥΝΘΗΚΗ 70.000000 >= 70 ΣΥΝΘΗΚΗ 50 >= 50 8

Τα τρία Σενάρια και η Λύση του Στοχαστικού Γ.Π. Σενάριο Σενάριο Σενάριο 3 Μέση Τιμή Σταχαστικό Γ.Π. Στρέματα Σιτ 8.75 7.9666667 0.93749984 8.993 9.5 Στρέματα Κρι 3.5 4.70833333.065006 3.007.5 Προμήθεια Σιταριού 0 0 0.0 Προμήθεια Κριθαριού 0 0 5.749999375.97 Πώληση Σιταριού 0 0 0.0 Πώηση Κριθαριού 6.5 38.5 0 8.67 ΑΝΤ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ.788.8.49.80.80

Η Μέθοδος των δυο σταδίων με πόρους Η Μέθοδος των Δύο Σταδίων: Το γραμμικό πρόβλημα που αφορα την βελτιστοποίηση της παραγωγής (ντετερμινιστικό) είναι το πρώτο στάδιο. Οι μεταβλητές ονομάζονται μεταβλητές αποφασης πρώτου σταδίου. Οι μεταβλητές που αφορούν τις αγορές και πωλήσεις σιταριού και κριθαριού και είναι άμεσα εξαρτώμενες από τη ζήτηση καλούνται μεταβλητές απόφασης του Δευτέρου Σταδίου. min(0 s.. t 0 90 ) min(0 90 5 3 0 8 ) s.. t 8 70 5 50 0 Συνάρτηση Πόρων 0

Παράδειγμα Μια πόλη Χ καταναλώνει κατά μέσο όρο 0 χιλ. κμ νερό την εβδομάδα. Ο Οργανισμός Διαχείρισης Υδάτινων Πόρων της παρέχει νερό ανάλογα με το διαθέσιμο νερό (ποσότητα Β) χωρίς κόστος από τα ποτάμια και τις πηγές που διαχειρίζεται. Αν παράσχει στην πόλη λιγότερο απο 0χ.κ.μ και η ζήτηση είναι μεγαλύτερη από το διαθέσιμο νερό τότε το προμηθεύεται από άλλους Οργανισμούς με ένα κόστος 5 χ ανα χ.κμ. Αν δεν διαθέσει στην πόλη το νερό που απαιτείται τότε υπάρχει ποινή 50 για κάθε χ.κμ. που δεν παρέχει για τις πρώτες 5 χκμ και 30 ανά κ.μ για τις επόμενες 5χκμ. Αν ο Οργανισμός διαθέτει πάνω από 0 χκμ τότε το διαθέτει σε άλλες πόλεις με ένα κέρδος 00 ανά χκμ. Οι Ποσότητες επιπλέον των 0 χ.κ.μ που μπορεί να διαθέσει είναι χκμ. Ο Οργανισμός θα πρέπει να υπολογίσει την ποσότητα από το διαθέσιμο νερό έτσι ώστε να ελαχιστοποιήσει το κόστος.

Παράδειγμα- Γράφος Κ (α α α3) α: ελάχιστη ποσόπτητα α: μέγιστη ποσότητα α3: κόστος (χκμ)

Παράδειγμα Πρώτο Στάδιο Έστω χ η ποσότητα νερού που θα διαθέσει στην πόλη. Μεταβλητή με αβεβαιότητα: Η Διαθέσιμη Ποσότητα νερού Β Αν Β είναι γνωστό τότε η λύση είναι προφανής Χ η μεταβλητή του πρώτου Σταδίου. Αν Β < 0 τότε χ = Β. Αν Β > 0 τότε χ=0 pi Bi 0. 0 0. 3 0. 6 0. 9 0. Δίνεται ο παρακάτω πίνακας σχετικά με τις πιθανότητες και τις τιμές της διαθέσιμης ποσότητας νερού. Το Β δεν είναι γνωστό και συνεπώς πρέπει αν αποφασισθεί η ποσότητα χ Αν χ < Β τότε θα διαθέσει νερό σε άλλες πόλεις με οφελος χε ανα χκμ Αν το χ > Β τότε θα πρέπει να προμηθευτεί νερό με 5 χε αν χκμ. 3

Παράδειγμα Λάθος Προσέγγιση Να λύσουμε το πρόβλημα λαμβάνοντας τη μέση διαθεσιμότητα νερού από τον οργανισμός Εφόσον η μέση Παραγωγή είναι 6 χκμ τότε σύμφωνα με την ντετερμινιστική προσέγγιση θα διατεθούν 6 χκμ νερού. Συνεπώς για τα υπόλοιπα 4 χκμ θα υπάρχει ένα κόστος 4 Χ = 8 Η λύση αυτή δεν είναι η βέλτιστη καθώς αν η διαθεσιμότητα είναι μεγαλύτερη του 6 υπάρχει αύξηση του κόστους. Επίσης αν χρησιμοποιήσουμε τη ανα μενόμενη ποσότητα διάθεσης (με what if Analsis) θα έχουμε 5.6 που πάλι δεν είναι βέλτιστη τιμή pi Bi 0. 0 0 0. 3 0.6 0. 6. 0. 9.8 0..4 Αναμενόμενη Διαθ. 6 pi Bi χι 0. 0 0 0 0. 3 3 0.6 0. 6 6. 0. 9 9.8 0. 0 Αναμενόμενη Διαθ. 5.6 4

Παράδειγμα- Δεύτερο Στάδιο X: η ποσότητα που θα διαθέσει (συνεπώς η ποσότητα του κόμβου 6) και 3 4 5 οι ποσότητες νερού στους κόμβους 345 αντίστοιχα. Το Γραμμικό Πρόβλημα του δεύτερου Σταδίου είναι: 5 0 0 0 0.. ) 0 4 5 min( - 4 3 5 5 4 3 5 4 3 = = b S T 5

Παράδειγμα Το Στοχαστικό γραμμικό Πρόβλημα Χ : Ματαβλητή πρώτου Σταδίου Μεταβήτές ij όπου i : Σενάριο j: Μεταβλητή Το Στοχαστικό Γραμμικό Πρόβλημα pi Bi 0. 0 0. 3 0. 6 0. 9 0...5 5 0 0 0 0 0 0 0 0.. ) 0 4 5 (- ) 0 4 5 (- ) 0 4 5 (- ) 0 4 5 (- ) 0 4 5 (- min( 4 3 5 55 54 53 5 5 45 44 43 4 4 35 34 33 3 3 5 4 3 5 4 3 55 54 53 5 5 45 44 43 4 4 35 34 33 3 3 5 4 3 5 4 3 = = = = = = = = = = = i b b b b b S T i i i 6

Παράδειγμα Επίλυση στο EXCEL () ΑΓΝΩΣΤΟΙ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΤΗΤΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Διάθεση Νερού χ 5 0 0. ΚΟΜΒΟΣ Ψ 0 3 0. ΚΟΜΒΟΣ Ψ 5 6 0. ΚΟΜΒΟΣ 3 Ψ3 5 9 0. ΚΟΜΒΟΣ 4 Ψ4 0 0. ΚΟΜΒΟΣ 5 Ψ5 0 ΚΟΜΒΟΣ Ψ -E-06 ΚΟΜΒΟΣ Ψ ΚΟΜΒΟΣ 3 Ψ3 5 ΚΟΜΒΟΣ 4 Ψ4 0 ΚΟΜΒΟΣ 5 Ψ5 0 ΚΟΜΒΟΣ Ψ3 ΚΟΜΒΟΣ Ψ3 0 ΚΟΜΒΟΣ 3 Ψ33 5 ΚΟΜΒΟΣ 4 Ψ34 0 ΚΟΜΒΟΣ 5 Ψ35 0 ΚΟΜΒΟΣ Ψ4 4 ΚΟΜΒΟΣ Ψ4 0 ΚΟΜΒΟΣ 3 Ψ43 5 ΚΟΜΒΟΣ 4 Ψ44 0 ΚΟΜΒΟΣ 5 Ψ45 0 ΚΟΜΒΟΣ Ψ5 7 ΚΟΜΒΟΣ Ψ5 0 ΚΟΜΒΟΣ 3 Ψ53 5 ΚΟΜΒΟΣ 4 Ψ54 0 ΚΟΜΒΟΣ 5 Ψ55 0 7

Παράδειγμα Επίλυση στο EXCEL () ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΜΙΝ ΜΑΧ ΚΟΣΤΟΣ ΚΟΜΒΟΣ 0 - ΚΟΜΒΟΣ 0 5 ΚΟΜΒΟΣ 3 0 5 ΚΟΜΒΟΣ 4 0 5 4 ΚΟΜΒΟΣ 5 0 0 ΠΛΑΦΟΝ ΖΗΤΗΣΗΣ 0 ΑΝΤ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΣΥΝΘΗΚΗ 0 = 0 ΣΥΝΘΗΚΗ 0 = 0 ΣΥΝΘΗΚΗ 3 = 3 ΣΥΝΘΗΚΗ 0 = 0 ΣΥΝΘΗΚΗ 3 6 = 6 ΣΥΝΘΗΚΗ 3 0 = 0 ΣΥΝΘΗΚΗ 4 9 = 9 ΣΥΝΘΗΚΗ 4 0 = 0 ΣΥΝΘΗΚΗ 5 = ΣΥΝΘΗΚΗ 5 0 = 0 ΟΡΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 8

Παράδειγμα Στοχαστικού Προβλήματος - Μια Εμπορική Εταιρεία θέλει να παραγγείλει ποσότητα από προϊόντα Α για τον επόμενο μήνα προκειμένου να καλύψει τη ζήτηση για την οποία υπάρχει αβεβαιότητα. Το κόστος παραγγελίας για κάθε προϊόν είναι. Αν η ζήτηση είναι μεγαλύτερη της παραγγελίας τότε κάθε πρόσθετη παραγγελία ενός προϊόντος κοστίζει επιπλέον ευρώ. Αν η ζήτηση είναι μικρότερη της παραγγελίας τότε η εταιρεία χρεώνεται με ενα κόστος 0.5 (αποθήκευση και κεφάλαιο) για κάθε προϊόν που παραμένει στην αποθήκη. Στόχος είναι να ελαχιστοποιήσουμε το κόστος παραγγελίας αν γνωρίζουμε ότι η ζήτηση είναι Βοήθεια Ζήτηση D: Αβεβαιότητα Kόστος Παραγγελίας: Κ Αριθμός Αρχικής παραγγελίας: Αν D > -> Κ= * (D ) Αν D< -> K=* (-D)*0.5 Στόχος: Min(K) Θέτουμε τις ενδεχόμενες επιπρόσθετες παραγγελίες και τα ενδεχόμενα αποθέματα αν δεν έχουμε μικρότερη ζήτηση. πιθανότητα 0.5 0. 0.3 0.5 Ζήτηση 0 4 8

Τέλος Ενότητας