2ο Μάθημα Μετασχηματισμοί 2Δ/3Δ και Συστήματα Συντεταγμένων

2ο Μάθημα Μετασχηματισμοί 2Δ/3Δ και Συστήματα Συντεταγμένων Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος 2016-17

Σύνοψη του σημερινού μαθήματος 1 Εισαγωγή 2 Επανάληψη 3 Συσχετισμένοι 4 Γραμμικοί 2Δ 5 Ομογενείς 6 Σύνθεση 7 Μετασχηματισμοί

Εισαγωγή Εισαγωγή Στα γραφικά είναι πολλές φορές απαραίτητο να αλλάξει η μορφή των αντικειμένων ή να αλλάξει το σύστημα των συντεταγμένων Για παράδειγμα, η ψηφιακή μορφή ενός αυτοκινήτου μπορεί να χρησιμοποιηθεί πολλές φορές στο μοντέλο μιας σκηνής Μπορεί να είναι τοποθετημένο σε διάφορες θέσεις, προσανατολισμούς, αλλά και να έχει διάφορα μεγέθη Στη συνθετική κίνηση, ένα αντικείμενο μπορεί να αλλάζει από καρέ σε καρέ Αυτός ο μετασχηματισμός μπορεί να εμπλέκει τη θέση, τον προσανατολισμό, το μέγεθος, ακόμη και το σχήμα του

Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Εισαγωγή Εισαγωγή Όλες οι παραπάνω αλλαγές χρησιμοποιούν για την υλοποίησή τους μετασχηματισμούς συντεταγμένων Είναι το πιο σημαντικό και κλασικό θέμα στα γραφικά Είναι τα εργαλεία της αλλαγής

Εισαγωγή Εισαγωγή Τα σημεία στον 3Δ Ευκλίδειο χώρο θα παριστάνονται σαν διανύσματα στήλες 3 1 Δηλαδή: p x P = p y p z Ενώ οι γραμμικοί μετασχηματισμοί σαν πίνακες 3 3 που πολλαπλασιάζονται από αριστερά με ένα σημείο, παράγοντας ένα άλλο σημείο p x p y p z = m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 m 8 m 9 p x p y p z

Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Εισαγωγή Εισαγωγή Τα συστήματα συντεταγμένων που θα χρησιμοποιούμε θα είναι δεξιόστροφα

Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Σημεία και Διανύσματα Έστω E 3 ο 3Δ Ευκλίδειος χώρος Τα σημεία του E 3 έχουν θέση, δεν έχουν κατεύθυνση ή μήκος Θα συμβολίζουμε τα σημεία ως πχ: P R 3 : 3Δ διανυσματικός Ευκλίδειος χώρος Τα διανύσματα του R 3 έχουν κατεύθυνση/μήκος, δεν έχουν θέση Θα συμβολίζουμε τα διανύσματα ως: a Στα γραφικά, τα αντικείμενα είναι σύνολα σημείων του E 3

Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Σημεία και Διανύσματα - Ορισμοί Ορισμός Για κάθε δύο σημεία P 1, P 2 E 3, υπάρχει ένα ακριβώς διάνυσμα u R, το οποίο δείχνει από το P 1 προς το P 2, το οποίο συμβολίζεται u = P 2 P 1 Συμπέρασμα Το αποτέλεσμα της αφαίρεσης δύο σημείων του E 3 είναι ένα διάνυσμα του R 3

Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Σημεία και Διανύσματα - Ορισμοί Ορισμός Για κάθε σημείο P E 3 και για κάθε διάνυσμα u R 3, ισχύει Συμπέρασμα P + u = Q E 3 Πρόσθεση σημείου και διανύσματος έχει ως αποτέλεσμα νέο σημείο του E 3 Για κάθε διάνυσμα u R 3, υπάρχει άπειρο πλήθος ζευγών σημείων ( P 1, P 2 ), για τα οποία ισχύει u = P 2 P 1, επειδή για τυχαίο x R ισχύει u = ( P 2 + x) ( P 1 + x)

Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Σημεία και Διανύσματα - Ορισμοί Ορισμός Για όλα τα P, Q, R E 3, ισχύει ο κανόνας ( P Q) + ( Q R) = P R Συμπέρασμα Γεωμετρική Ερμηνεία

Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Αρχές Διανυσματικών Χώρων Το σύνολο R 3 που περιγράφηκε, είναι ένας διανυσματικός χώρος Ορισμός Έστω ένα σύνολο Τα στοιχεία του θα συμβολίζονται ως a, b, x κλπ Στο σύνολο αυτό ορίζονται δύο πράξεις: Διανυσματική Πρόσθεση: δύο στοιχεία του στοιχείο του Βαθμωτός Πολλαπλασιασμός: πραγματικός αριθμός και στοιχείο του στοιχείο του Το σύνολο καλείται διανυσματικός χώρος πάνω στους πραγματικούς αριθμούς, αν και μόνο αν για τις πράξεις που ορίστηκαν, ισχύουν συγκεκριμένες ιδιότητες

Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Ιδιότητες Διανυσματικής Πρόσθεσης Αντιμεταθετικότητα: a + b = b + a, a, b Προσεταιρισμός: a + ( b + c) = ( a + b) + c, a, b, c Μηδενικό Στοιχείο: 0 : 0 + a = a + 0 = a, a Αντίθετο Στοιχείο: a, a : a + ( a) = 0

Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Ιδιότητες Βαθμωτού Πολλαπλασιασμού Επιμερισμός ως προς πρόσθεση: λ( a + b) = λ a + λ b, a, b, λ R Επιμερισμός πρόσθεσης ως προς πολλαπλασιασμό: (λ + µ) a = λ a + µ a, a, λ, µ R Προσεταιρισμός: (λµ) a = λ(µ a), a, λ, µ R Μονάδα: 1 a = a, a, 1 R

Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Παραδείγματα Πράξεων Διανυσματικών Χώρων Τα στοιχεία ενός διανυσματικού χώρου καλούνται διανύσματα Για τον 3Δ Ευκλίδειο χώρο: Πρόσθεση: a + b = (a 1, a 2, a 3 ) + (b 1, b 2, b 3 ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ) Πολλαπλασιασμός: λ a = λ(a 1, a 2, a 3 ) = (λa 1, λa 2, λa 3 ) Για πολυώνυμα βαθμού k: Πρόσθεση: (a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + + a k t k ) + (b 0 + b 1 t + b 2 t 2 + + b k t k ) = (a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )t + (a 2 + b 2 )t 2 + + (a k + b k )t k Πολλαπλασιασμός: λ(a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + + a k t k ) = (λa 0 ) + (λa 1 )t + (λa 2 )t 2 + + (λa k )t k )

Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Γραμμικοί Συνδυασμοί Ορισμός Έστω x 1, x 2,, x m Κάθε έκφραση της μορφής y = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + + λ m x m λέγεται γραμμικός συνδυασμός των x 1, x 2,, x m και οδηγεί επίσης σε στοιχεία του ίδιου χώρου, αφού η πρόσθεση και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός οδηγούν σε στοιχεία του ίδιου χώρου

Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Γραμμική Ανεξαρτησία Ορισμός Τα διανύσματα x 1, x 2,, x m θα λέγονται γραμμικά ανεξάρτητα αν η εξίσωση λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + + λ m x m = 0 έχει λύση μόνο την μηδενική: λ 1 = λ 2 = = λ m = 0 Σε αντίθετη περίπτωση, τα x 1, x 2,, x m θα λέγονται γραμμικά εξαρτημένα

Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Γραμμική Ανεξαρτησία Παράδειγμα Στον Ευκλίδειο χώρο, τα διανύσματα i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) είναι γραμμικά ανεξάρτητα Απόδειξη: λ 1 i + λ 2 j + λ 3 k = 0 λ 1 (1, 0, 0) + λ 2 (0, 1, 0) + λ 3 (0, 0, 1) = (0, 0, 0) (λ 1, λ 2, λ 3 ) = (0, 0, 0) λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0

Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Γραμμική Ανεξαρτησία Συνέπεια Αν ένα διάνυσμα μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός κάποιων γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων x 1, x 2,, x m, τότε η έκφραση αυτή είναι μοναδική Απόδειξη: Έστω ότι το y μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός με δύο διαφορετικές εκφράσεις, συναρτήσει των x 1, x 2,, x m Τότε: y = λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + + λ m x m = µ 1 x 1 + µ 2 x 2 + + µ m x m 0 = (λ 1 µ 1 ) x 1 + (λ 2 µ 2 ) x 2 + + (λ m µ m ) x m Επειδή τα x 1, x 2,, x m είναι γραμμικά ανεξάρτητα, τότε λ i µ i = 0 λ i = µ i, i = 1, 2,, m

Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Ορισμός Βάση διανυσματικού χώρου είναι ένα σύνολο από διανύσματα, τα οποία είναι γραμμικά ανεξάρτητα και τέτοια ώστε κάθε διάνυσμα του χώρου να μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός αυτών Η έκφραση που έχει κάθε στοιχείο του διανυσματικού χώρου ως γραμμικός συνδυασμός είναι μοναδική Οι μοναδικοί συντελεστές λέγονται συντεταγμένες του διανύσματος ως προς τη βάση αυτή Κάθε διανυσματικός χώρος δεν έχει μοναδική βάση Όλες οι βάσεις ενός διανυσματικού χώρου έχουν ίδια διάσταση (πλήθος στοιχείων)

Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Παραδείγματα βάσεων διανυσματικού χώρου Παράδειγμα 3Δ Ευκλίδειος χώρος: Μια βάση αποτελείται από τα διανύσματα i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) Κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφεί σαν γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων της βάσης, ως v = x i + y j + z k Παράδειγμα Για τον διανυσματικό χώρο των πολυωνύμων, βαθμού k, μια βάση αποτελείται από πολυώνυμα 1, x 2,, x k Οι συντεταγμένες ενός πολυωνύμου βαθμού k είναι οι συντελεστές των αντίστοιχων όρων a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a k x k Η διάσταση του διανυσματικού αυτού χώρου είναι k + 1

Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Παραδείγματα βάσεων διανυσματικού χώρου Μια βάση ενός διανυσματικού χώρου δεν είναι μοναδική Οποιοδήποτε σύνολο n γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων του χώρου είναι βάση του Παράδειγμα 3Δ Ευκλίδειος χώρος: Μια βάση αποτελείται από τα γραμμικά διανύσματα: i = (1, 0, 0), j = (1, 1, 0), k = (1, 1, 1) Παράδειγμα Πολυώνυμα βαθμού k: Τα k + 1 πολυώνυμα Bernstein αποτελούν βάση για ( ) το διανυσματικό χώρο των πολυωνύμων k βαθμού k: B k i (t) = t i i (1 t) k i, i = 0, 1,, k

Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Συστήματα Συντεταγμένων Ορισμός Αν Ō E 3 σταθερή αρχή, ( i, j, k) βάση του R 3, το (Ō; i, j, k) ονομάζεται συσχετισμένο σύστημα συντεταγμένων του E 3 Το Ō είναι τυχαίο, ενώ τα ( i, j, k) είναι μια οποιαδήποτε βάση, άρα υπάρχουν πολλά συστήματα συντεταγμένων Ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων: ( i, j, k) έχουν μήκος 1 και είναι ανά δύο κάθετα Για ένα σημείο P E 3, για το οποίο ισχύει P Ō = x i + y j + z k, τα (x, y, z) ονομάζονται συντεταγμένες του P ως προς το σύστημα συντεταγμένων (Ō; i, j, k) Οι τιμές των συντεταγμένων του P εξαρτώνται από το σύστημα συντεταγμένων

Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Ιδιότητες Διανυσμάτων Για ένα διάνυσμα v = (x, y, z) R 3, ορίζεται το μήκος του ως v = x 2 + y 2 + z 2 Για δύο σημεία P 1, P 2, η απόσταση μεταξύ τους ορίζεται ως το μήκος του διανύσματος v = P 2 P 1, δηλαδή το μέγεθος v = P 2 P 1 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 Ειδικά, εάν Ō = (0, 0, 0), τότε η απόσταση του P = (x, y, z) από το Ō είναι ίση με P Ō = x 2 + y 2 + z 2

Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Εσωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Ορισμός Για δύο διανύσματα v και w, το εσωτερικό γινόμενό τους είναι ένας πραγματικός αριθμός που ορίζεται ως εξής: v w = n v i w i (1) i=1 όπου v = (v 1, v 2,, v n ) και w = (w 1, w 2,, w n ) Στα γραφικά, ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση 2Δ/3Δ Ευκλείδιων χώρων Για 3Δ χώρο: v w = v x w x + v y w y + v z w z, με v = (v x, v y, v z ), w = (w x, w y, w z )

Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Ιδιότητες Εσωτερικού Γινομένου Συμμετρία: v w = w v v v = 0 v = 0 Διγραμμική: v( u + a w) = v u + a( v w) Για τη δημιουργία διανυσμάτων μήκους 1 (κανονικοποίηση): v = v v Για τον υπολογισμό της γωνίας ( θ μεταξύ ) των u, v: v u = v u cos θ θ = cos 1 v u v u ειδικά για μοναδιαία διανύσματα: v = u = 1, άρα θ = cos 1 ( v u)

Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Προβολή Διανυσμάτων Για v μοναδιαίο και τυχαίο w, έστω u το διάνυσμα που προκύπτει ως η κάθετη προβολή του w στο v Θα ισχύει v = w cos θ = w v w v w = v w Συμπέρασμα Το εσωτερικό γινόμενο των u, w ισούται με το μήκος της προβολής u του w στο v, αν το v είναι μοναδιαίο

Επανάληψη βασικών μαθηματικών εννοιών Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων Ορισμός Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων v = (v x, v y, v z ) και w = (w x, w y, w z ) είναι ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν τα v, w και ορίζεται ως εξής: v w = (v y w z v z w y ) i + (v z w x v x w z ) j + (v x w y v y w x ) k Ένας εύκολος κανόνας για τον υπολογισμό του εξωτερικού γινομένου είναι ο εξής: i j k v w = det v x v y v z w x w y w z

Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Στα μαθηματικά, μετασχηματισμός ονομάζεται μια απεικόνιση στην οποία τα πεδία ορισμού και τιμών είναι το ίδιο σύνολο, πχ από το E 3 στο E 3 Ο συσχετισμένος συνδυασμός είναι άλλη μια πράξη που εφαρμόζεται στα σημεία του E 3 Ονομάζεται και βαρυκεντρικός συνδυασμός Για ένα σύνολο από σημεία P 1, P 2,, P n E 3, ορίζεται ο συσχετισμένος συνδυασμός τους ως n P = a j P j j=0 με a 0, a 1,, a n R και n j=0 a j = 1

Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Παρατήρηση Το δεξί μέρος της προηγούμενης εξίσωσης έχει νόημα, αφού n a j P j = P 0 + j=0 n a j ( P j P 0 ) δηλαδή είναι η πρόσθεση του διανύσματος n j=1 a j( P j P 0 ) στο P 0, με αποτέλεσμα ένα σημείο P E 3 j=1

Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Οι συντελεστές a 0, a 1,, a n είναι οι συσχετισμένες συντεταγμένες του P αναφορικά με τα P 0, P 1,, P n Ο συντελεστής a j (βάρος) δίνει το ποσοστό που συνεισφέρει το αντίστοιχο σημείο στο σχηματισμό του συσχετισμένου συνδυασμού Κυρτός Συνδυασμός: συσχετισμένος συνδυασμός με a j 0 Βρίσκεται πάντα στο εσωτερικό της κυρτής περιβάλλουσας των σημείων

Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Στην περιοχή των γραφικών, οι περισσότερες πράξεις που εφαρμόζονται σε αντικείμενα (στροφή, μετατόπιση) είναι συσχετισμένοι μετασχηματισμοί

Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Ορισμός Μια απεικόνιση Φ : E E 3 ονομάζεται συσχετισμένος μετασχηματισμός, εάν αφήνει αναλλοίωτους τους συσχετισμένους συνδυασμούς, δηλαδή εάν P = n a j P j j=0 ένας συσχετισμένος μετασχηματισμός, τότε n Φ( P) = a j Φ( P j ) j=0

Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Συμπέρασμα Η εφαρμογή ενός συσχετισμένου μετασχηματισμού Φ πάνω σε ένα σημείο P το οποίο είναι ο συσχετισμένος συνδυασμός των P 0, P 1,, P n, με βάρη a 0, a 1,, a n, μας δίνει το ίδιο σημείο όπως ο συσχετισμένος συνδυασμός των Φ( P 0 ), Φ( P 1 ),, Φ( P n ), με τα ίδια βάρη a 0, a 1,, a n Παράδειγμα Η εφαρμογή συσχετισμένου μετασχηματισμού πάνω σε ευθύγραμμο τμήμα S, απεικονίζει το μέσο του S στο μέσο της συσχετισμένης εικόνας Φ(S)

Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Εάν το σημείο P E 3 παρασταθεί με 3 1 πίνακα P = P x P y P z, τότε ένας συσχετισμένος μετασχηματισμός Φ παρίσταται ως εξής: Φ( P) = A P + t, όπου a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 (3 3 πίνακας) και t = a 31 a 32 a 33 t x t y t z R 3

Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Βασικοί Μετασχηματισμοί Γραφικών Οι βασικοί μετασχηματισμοί στα γραφικά (μετατοπίσεις, στροφές, αλλαγές κλίμακας, στρεβλώσεις) είναι παραδείγματα συσχετισμένων μετασχηματισμών Μετατόπιση (translation): T( P) = I P + d Στροφή (rotation): R( P) = R z,ϕ P (γύρω από τον z-άξονα και κατά γωνία ϕ) Αλλαγή Κλίμακας (scaling): S( P) = D P Στρέβλωση (shearing): SH( P) = SH x,y P (στην x και y κατεύθυνση, με αμετάβλητη την z κατεύθυνση

Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Βασικοί Μετασχηματισμοί Γραφικών Οι πίνακες που αναφέρονται στους βασικούς μετασχηματισμούς γραφικών είναι οι ακόλουθοι: I = 1 0 0 0 1 0 (μοναδιαίος πίνακας) 0 0 1 d = d x (διάνυσμα μετατόπισης) d y d z cos ϕ sin ϕ 0 R z,ϕ = sin ϕ cos ϕ 0 0 0 1

Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Βασικοί Μετασχηματισμοί Γραφικών s x 0 0 D = 0 s y 0 0 0 s z (s x, s y, s z : παράγοντες αλλαγής κλίμακας στη x, y, z κατεύθυνση, αντίστοιχα) 1 a b SH x,y = c 1 d 0 0 1

Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Οι συσχετισμένοι μετασχηματισμοί μπορούν να συνδυασθούν Έτσι ένας πολύπλοκος μετασχηματισμός να μπορεί να θεωρηθεί ως σύνθεση ακολουθίας συσχετισμένων μετασχηματισμών Έχει αποδειχθεί ότι ο οποιοσδήποτε συσχετισμένος μετασχηματισμός μπορεί να θεωρηθεί ως σύνθεση μετατοπίσεων, αλλαγών κλίμακας, στροφών και στρεβλώσεων

Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Βαθμός Πίνακα A Ορισμός Ο βαθμός (rank) ενός πίνακα είναι ο μεγαλύτερος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων στήλης του πίνακα Ο βαθμός του πίνακα A έχει την ακόλουθη γεωμετρική ερμηνεία: rank(a) = 3: απεικονίζει 3Δ σε 3Δ αντικείμενα (γραμμικοί μετασχηματισμοί) rank(a) 3 παράλληλη προβολή στο 2Δ ή 1Δ χώρο (προβολές)

Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Συσχετισμένοι Μετασχηματισμοί Η εφαρμογή μιας πράξης, η οποία περιγράφεται με έναν Το σύστημα συντεταγμένων θεωρείται σταθερό P x πίνακα στο σημείο P = P y E 3 πραγματοποιείται με P z τον πολλαπλασιασμό P = M P P όπου P x m 1 m 2 m 3 = P y και = m 4 m 5 m 6 P z m 7 m 8 m 9 Στα γραφικά, ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί σε 2 ή 3 διαστάσεις

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί σε 2Δ Μεταφορά Ορισμός Μια μεταφορά (μετατόπιση) του σημείου P(x, y) E 2, κατά το d = (d x, d y ) R 2, ώστε το P να βρεθεί στο P (x, y ) E 2 : Θεωρώντας 2 1 πίνακες x = x + d x, y = y + d y P = P + d, όπου [ ] P x =, P = y [ ] x y [ ], dx d = d y

Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί σε 2Δ Μεταφορά Μεταφορά κατά το διάνυσμα (a, b)

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί σε 2Δ Αλλαγή Κλίμακας Ορισμός Η αλλαγή κλίμακας είναι η μεγεύθυνση ή σμίκρυνση των συντεταγμένων του P(x, y), μέσω των s x και s y, οι οποίοι επιδρούν κατά μήκος των αξόνων x και y, αντίστοιχα: x = s x x, y = s y y Θεωρώντας 2 1 πίνακες για τα σημεία και 2 2 για την αλλαγή κλίμακας P = S(s x, s y ) P, όπου [ ] P x =, P = y [ ] x y [ ] sx 0, S(s x, s y ) = 0 s y

Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί σε 2Δ Αλλαγή Κλίμακας Αλλαγή κλίμακας κατά s x = 2 και s y = 1/2 στους άξονες x και y, αντίστοιχα

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί σε 2Δ Αλλαγή Κλίμακας Αν s x < 1 ή s y < 1, τότε γίνεται σμίκρυνση κατά τον αντίστοιχο άξονα Αν s x > 1 ή s y > 1, τότε γίνεται μεγεύθυνση κατά τον αντίστοιχο άξονα Αν s x s y, τότε αλλάζουν οι αναλογίες Αν s x = s y, τότε δεν αλλάζουν οι αναλογίες

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί σε 2Δ Στροφή Σημείου Ορισμός Η στροφή σημείου P(x, y) κατά γωνία θ, γύρω από την αρχή των αξόνων κατά τη μαθηματική φορά (αντίθετη των δεικτών του ρολογιού), δηλαδή κατά θετική γωνία, φέρνει το P στη θέση P (x, y )

Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί σε 2Δ Στροφή Σημείου Στροφή σημείου κατά (θετική) γωνία θ

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί σε 2Δ Στροφή Σημείου Από το σχήμα: x = l cos(ϕ + θ) = l(cos ϕ cos θ sin ϕ sin θ) = x cos θ y sin θ y = l [ sin(ϕ ] + [ θ) = l(cos ϕ sin ] [ θ ] sin ϕ cos θ) = x sin θ + y cos θ x cos θ sin θ x Άρα y = ή sin θ cos θ y [ ] cos θ sin θ P = R(θ) P, R(θ) = sin θ cos θ

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί σε 2Δ Στροφή Σημείου Για αρνητικές γωνίες, ο πίνακας στροφής γίνεται [ ] [ ] cos( θ) sin( θ) cos θ sin θ R( θ) = = sin( θ) cos( θ) sin θ cos θ

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί σε 2Δ Στρέβλωση Ορισμός Μια στρέβλωση του P(x, y) κατά μήκος του x άξονα με παράγοντα στρέβλωσης a, φέρνει το P στο P (x, y), με x = x + ay, y = y Θεωρώντας 2 1 πίνακες για τα σημεία και 2 2 για τη στρέβλωση P = SH x P, όπου [ ] P x =, P = y [ x y ], SH x (a) = [ ] 1 a 0 1 Αντίστοιχα, για στρέβλωση κατά [ μήκος] του y άξονα, κατά 1 0 παράγοντα b, θα πρέπει SH y (b) = b 1

Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί σε 2Δ Στρέβλωση Στρέβλωση του τετραγώνου A κατά μήκος του x και του y άξονα κατά a = 2 και b = 2

Ομογενείς Συντεταγμένες Ομογενείς Συντεταγμένες H μεταφορά δεν μπορεί να παρασταθεί με πολλ/μό πινάκων, πχ για μεταφορά από τo O: [ ] [ ] [ ] a1 a 2 0 0 = a 3 a 4 0 0 Για την αναπαράσταση και της μεταφοράς με πολλ/μό, πρέπει να αλλαχθεί το σταθερό σημείο Για το λόγο αυτό χρησιμοποιούνται οι ομογενείς συντεταγμένες Σε κάθε σημείο εισάγεται μια τρίτη συντεταγμένη και έτσι το (x, y) (x, y, w), w 0 Για την ακρίβεια, η τριάδα (x, y, w) παριστάνει τις ομογενείς συντεταγμένες του (x/w, y/w) E 2 Κάθε σημείο έχει άπειρες παραστάσεις!

Ομογενείς Συντεταγμένες Ομογενείς Συντεταγμένες Για w = 1, προκύπτει η βασική παράσταση και το P(x, y) έχει ομογενείς συντεταγμένες τις (x, y, 1) Έτσι, με ομογενείς συντεταγμένες, το (0, 0, 1) μπορεί να μετασχηματιστεί όπως οποιοδήποτε άλλο σημείο Οι τριάδες (x, y, w) και (tx, ty, tw) παριστάνουν το ίδιο σημείο Η τριάδα (0, 0, 0) δεν είναι επιτρεπτή

Ομογενείς Συντεταγμένες Ομογενείς Συντεταγμένες Θεωρώντας όλες τις τριάδες (tx, ty, tw), t 0, (παριστάνουν το ίδιο σημείο) σχηματίζουν μια ευθεία στον 3Δ χώρο Ομογενοποιώντας, προκύπτει τριάδα της μορφής (x, y, 1) Τα ομογενοποιημένα αυτά σημεία σχηματίζουν το επίπεδο w = 1 του (x, y, w) συστήματος συντεταγμένων Σημεία στο άπειρο (w = 0) δεν μπορουν να παρασταθούν!

Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Ομογενείς Συντεταγμένες Ομογενείς Συντεταγμένες Βασική παράσταση ομογενών συντεταγμένων

Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Ομογενείς Συντεταγμένες και Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Με ομογενείς συντεταγμένες, ένα σημείο του E 2 περιγράφεται με 3 1 πίνακα Είναι προφανές ότι οι γραμμικοί μετασχηματισμοί πρέπει να περιγράφονται με 3 3 πίνακες

Ομογενείς Συντεταγμένες και Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Μεταφορά σε Ομογενείς Συντεταγμένες Οι εξισώσεις μεταφοράς γράφονται x 1 0 d x x y = 0 1 d y y 1 0 0 1 1 1 0 d x ή P = T( d) P, με T( d) = 0 1 d y 0 0 1 1 0 d x Επειδή T 1 ( d) = 0 1 d y, προκύπτει ότι ο 0 0 1 αντίστροφος μετασχηματισμός είναι η μεταφορά κατά διάνυσμα d = ( d x, d y ) Δηλαδή T 1 ( d) = T( d)

Ομογενείς Συντεταγμένες και Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Μεταφορά σε Ομογενείς Συντεταγμένες Η διαδοχική εκτέλεση δύο μεταφορών κατά τα διανύσματα d 1 = (d x1, d y1 ) και d 1 = (d x2, d y2 ) υπολογίζεται ως εξής: 01 P = T(d x1, d y1 ) P 02 P = T(d x2, d y2 ) P = T(d x2, d y2 )T(d x1, d y1 ) P Όμως 1 0 d x1 + d x2 T(d x2, d y2 )T(d x1, d y1 ) = 0 1 d y1 + d y2 0 0 1 Άρα η συνολική μετατόπιση θα είναι T( d 1 + d 2 )

Ομογενείς Συντεταγμένες και Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Αλλαγή Κλίμακας σε Ομογενείς Συντεταγμένες Η εξίσωση αλλαγής κλίμακας σε ομογενείς συντεταγμένες γράφεται x s x 0 0 x y = 0 s y 0 y 1 0 0 1 1 Για τον αντίστροφο S 1 (s x, s y ) του S(s x, s y ) ισχύει ότι 1/s x 0 0 S 1 (s x, s y ) = 0 1/s y 0 = S(1/s x, 1/s y ) 0 0 1

Ομογενείς Συντεταγμένες και Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Αλλαγή Κλίμακας σε Ομογενείς Συντεταγμένες Η διαδοχική εκτέλεση δύο πράξεων αλλαγής κλίμακας με παράγοντες (s x1, s y1 ) και (s x2, s y2 ), περιγράφεται από τον πίνακα που προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό των (s x1, s y1 ) και (s x2, s y2 ) s x1 s x2 0 0 S(s x2, s y2 )S(s x1, s y1 ) = 0 s y1 s y2 0 = S(s x1 s x2, s y1 s y2 ) 0 0 1

Ομογενείς Συντεταγμένες και Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Αλλαγή Κλίμακας σε Ομογενείς Συντεταγμένες Εάν η αλλαγή κλίμακας γίνεται ως προς το Ō = (0, 0, 1) και ο παράγοντας αλλαγής είναι < 1, τότε το αντικείμενο μικραίνει και μεταφέρεται πλησιέστερα στην αρχή των αξόνων Εάν η αλλαγή κλίμακας γίνεται ως προς το Ō = (0, 0, 1) και ο παράγοντας αλλαγής είναι > 1, τότε το αντικείμενο μεγαλώνει και μεταφέρεται μακρύτερα από την αρχή των αξόνων Αντικείμενα κεντραρισμένα στο Ō δεν αλλάζουν θέση, παρά μόνο μέγεθος!

Ομογενείς Συντεταγμένες και Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Στροφή σε Ομογενείς Συντεταγμένες Η εξίσωση στροφής σε ομογενείς συντεταγμένες γράφεται x cos θ sin θ 0 x y = sin θ cos θ 0 y 1 0 0 1 1 Για τον αντίστροφο R 1 (θ) του R(θ) ισχύει ότι cos θ sin θ 0 cos( θ) sin( θ) 0 R 1 (θ) = sin θ cos θ 0 = sin( θ) cos( θ) 0 0 0 1 0 0 1 Προφανώς R 1 (θ) = R( θ) = R T (θ)

Ομογενείς Συντεταγμένες και Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Στροφή σε Ομογενείς Συντεταγμένες Η διαδοχική εκτέλεση δύο στροφών θ 1 και θ 2 περιγράφεται από τον πίνακα cos(θ 1 + θ 2 ) sin(θ 1 + θ 2 ) 0 R(θ 2 )R(θ 1 ) = sin(θ 1 + θ 2 ) cos(θ 1 + θ 2 ) 0 = R(θ 1 +θ 2 ) 0 0 1

Ομογενείς Συντεταγμένες και Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Στρέβλωση σε Ομογενείς Συντεταγμένες Για την περίπτωση της στρέβλωσης, οι πίνακες SH x και SH y γράφονται 1 a 0 1 0 0 SH x (a) = 0 1 0, SH y (b) = b 1 0 0 0 1 0 0 1

Σύνθεση Μετασχηματισμών Σύνθεση Μετασχηματισμών Κάνοντας χρήση της προσεταιριστικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού πινάκων, μια ακολουθία μετασχησματισμών που εφαρμόζονται σε μια εικόνα μπορεί να αναπαρασταθεί με μόνο έναν πίνακα Για παράδειγμα, η αλλαγή κλίμακας ενός αντικειμένου ως προς σημείο C = (c x, c y, 1) (και όχι με το Ō), επιτυγχάνεται σε 3 βήματα: 01 Μεταφορά του αντικειμένου κατά διάνυσμα c = Ō C, ώστε να έρθει το C στο Ō 02 Αλλαγή κλίμακας με παράγοντες (s x, s y ) 03 Μεταφορά του αντικειμένου κατά διάνυσμα c = Ō C, ώστε το σημείο C να επιστρέψει στην αρχική του θέση

Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Σύνθεση Μετασχηματισμών Σύνθεση Μετασχηματισμών Ο συνολικός μετασχηματισμός εκφράζεται ως S all = T(c x, c y )S(s x, s y )T( c x, c y ) = = s x 0 c x (1 s x ) 0 s y c y (1 s y ) 0 0 1

Σύνθεση Μετασχηματισμών Σύνθεση Μετασχηματισμών Η σύνθεση των μετασχηματισμών είναι πολύ αποδοτική, γιατί αντί διαδοχικών εκτελέσεων μιας σειράς μετασχηματισμών, εφαρμόζεται μόνο ένας συνολικός Επίσης T(x 1, y 1 )T(x 2, y 2 ) = T(x 2, y 2 )T(x 1, y 1 ) = T(x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) S(s x1, s y1 )S(s x2, s y2 ) = S(s x2, s y2 )S(s x1, s y1 ) = S(s x1 s x2, s y1 s y2 ) R(θ 1 )R(θ 2 ) = R(θ 2 )R(θ 1 ) = R(θ 1 + θ 2 ) S(s x, s y )R(θ) = R(θ)S(s x, s y ), μόνο εάν s x = s y Στις περιπτώσεις αυτές ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα, η οποία γενικά ΔΕΝ ισχύει Προσοχή στη σειρά: ο 1ος μετασχηματισμός που εφαρμόζεται, γράφεται τελευταίος, ο 2ος προτελευταίος, ο τελευταίος γράφεται 1ος

Σύνθεση Μετασχηματισμών Γεωμετρικές Ιδιότητες Οι μετασχηματισμοί T(x, y), S(s x, s y ), R(θ), SH x και SH y είναι συσχετισμένοι Δηλαδή, αν F ένας από τους παραπάνω μετασχηματισμούς, και P, Q δύο σημεία, τότε F(λ P + (1 λ) Q) = λf( P) + (1 λ)f( Q), 0 λ 1 Το σύνολο λ P + (1 λ) Q είναι το ευθύγραμμο τμήμα ανάμεσα στα P, Q

Σύνθεση Μετασχηματισμών Γεωμετρικές Ιδιότητες - Συμπεράσματα Συμπέρασμα Η σχέση δηλώνει ότι η απεικόνιση ευθύγραμμου τμήματος από τον F είναι και πάλι ευθύγραμμο τμήμα και η σχέση λ/(1 λ) παραμένει αναλλοίωτη Συμπέρασμα Παράλληλες ευθείες παραμένουν παράλληλες κάτω από συσχετισμένους μετασχηματισμούς Συμπέρασμα Αρκεί να απεικονίζονται μόνο τα άκρα ( P, Q) των ευθυγράμμων τμημάτων Τα υπόλοιπα σημεία προκύπτουν με παρεμβολή στα (F( P), F( Q))

Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Η σύνθεση μεταφοράς με στροφή περιγράφεται από τον πίνακα cos θ sin θ cos θd x sin θd y R(θ)T( D) = sin θ cos θ sin θd x + cos θd y 0 0 1 Για τον άνω αριστερό πίνακα 2 2 οι γραμμές του θα είναι: Προφανώς ισχύουν: r 1 = (cos θ, sin θ), r 2 = (sin θ, cos θ) r 1 = r 2 = 1, r 1 r 2 = 0 Δηλαδή, τα r 1, r 2 είναι μοναδιαία και κάθετα

Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Επιπλέον ( ) cos θ sin θ det = cos 2 θ + sin 2 θ = 1 sin θ cos θ Άρα ο 2 2 πίνακας είναι ορθογώνιος Ένας πίνακας της μορφής a 11 a 12 t x a 21 a 22 t y 0 0 1 [ ] a11 a με 12 ορθογώνιο: αναλλοίωτα μήκη και γωνίες a 21 a 22 Ένας τέτοιος μετασχηματισμός λέγεται Μετασχηματισμός Ομοιότητας

Μετασχηματισμοί Ομοιότητας 2Δ Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Στις περισσότερες εφαρμογές είναι προτιμότερο να εισάγονται τα γραφικά δεδομένα στις παγκόσμιες συντεταγμένες Ορισμός Παγκόσμιες Συντεταγμένες: Το σύστημα συντεταγμένων στο οποίο έχει δημιουργηθεί το μοντέλο ενός συνθετικού κόσμου Χρησιμοποιείται για γεωμετρικούς υπολογισμούς Οι συντεταγμένες θα δίνονται με τη βοήθεια δυάδων ή τριάδων αριθμών κινητής υποδιαστολής Διευκολύνονται δομή/μεταφερσιμότητα προγραμμάτων Παράμετροι όπως ανάλυση οθόνης, μέγεθος επιφάνειας σχεδίασης δύσκολα μπορούν να ληφθούν υπόψη

Μετασχηματισμοί Ομοιότητας 2Δ Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Οι εικόνες που δημιουργούνται είναι ορισμένες στο παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων Πρέπει να απεικονισθούν στο σύστημα συντεταγμένων της συσκευής Υπάρχουν δύο τρόποι να γίνει η απεικόνιση αυτή Δίνεται από τον προγραμματιστή ο πίνακας μετασχηματισμού για την απεικόνιση (δύσκολο) Ο προγραμματιστής ορίζει: ορθογώνια περιοχή στο παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων (παράθυρο) ορθογώνια περιοχή στο σύστημα συντεταγμένων της συσκευής (πεδίο παράστασης)

Μετασχηματισμοί Ομοιότητας 2Δ Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Στη δεύτερη περίπτωση, το πακέτο γραφικών αναλαμβάνει τον υπολογισμό του πίνακα μετασχηματισμού παράστασης που απαιτείται για την απεικόνιση στο πεδίο παράστασης (window to viewport transformation) Η έκταση του παγκόσμιου συστήματος συντεταγμένων είναι θεωρητικά απεριόριστη Περιορίζεται μόνο από την περιοχή των αριθμών κινητής υποδιαστολής του υπολογιστή Η μέγιστη περιοχή απεικόνισης σε μια μονάδα εξόδου (οθόνη, εκτυπωτής) είναι περιορισμένη

Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Απεικόνιση Παραθύρου Απεικόνιση παραθύρου στο πεδίο παράστασης

Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Πίνακας Μετασχηματισμού Θα υπολογιστεί ο πίνακας μετασχηματισμού M wv για την περίπτωση παραθύρου και πεδίου παράστασης παράλληλα στους άξονες Έστω (x min, y min ), (x max, y max ) η κάτω αριστερή και η πάνω δεξιά κορυφές του παραθύρου Έστω (u min, u max ), (v min, v max ) η κάτω αριστερή και η πάνω δεξιά κορυφές του πεδίου παράστασης Για τον υπολογισμό του πίνακα μετασχηματισμού απαιτούνται τρία βήματα

Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Υπολογισμός Πίνακα Μετασχηματισμού 01 Μετατόπιση ώστε η κορυφή (x min, y min ) να ταυτιστεί με την αρχή των αξόνων Πίνακας μετασχηματισμού T( x min, y min ) 02 Αλλαγή κλίμακας ώστε το παράθυρο να αποκτήσει το μέγεθος του πεδίου παράστασης Πίνακας μετασχηματισμού S(s x, s y ), με s x = u max u min x max x min και s y = v max v min y max y min 03 Μετατόπιση του παραθύρου ώστε να έρθει στη θέση του πεδίου παράστασης Πίνακας μετασχηματισμού T(u min, v min )

Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Υπολογισμός Πίνακα Μετασχηματισμού Βήματα για τον υπολογισμό του μετασχηματισμού παραθύρου στο πεδίο παράστασης

Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Υπολογισμός Πίνακα Μετασχηματισμού Ο συνολικός μετασχηματισμός υπολογίζεται ως M wv = T(u min, v min ) S(s x, s y ) T( x min, y min ) όπου T( x min, y min ) = 1 0 x min 0 1 y min 0 0 1 T(u min, v min ) = 1 0 u min 0 1 v min 0 0 1 s x 0 0 S(s x, s y ) = 0 s y 0 0 0 1

Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Υπολογισμός Πίνακα Μετασχηματισμού Κάνοντας τις πράξεις, ο πίνακας μετασχηματισμού M wv προκύπτει ίσος με u max u min u x max x min 0 u min x max u min min x max x min M wv = v 0 max v min v y max y min v min y max v min min y max y min 0 0 1 Άρα το τυχαίο σημείο P(x, y) του παραθύρου μετασχηματίζεται στο P (x, y ) του πεδίου παράστασης ως εξής x x (x x min ) umax u min y x max x min + u min = M vw y = (y y min ) v max v min y max y min + v min 1 1 1

Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Λόγος Διαστάσεων Παρατήρηση Όταν s x s y είναι φυσικό να παρουσιάζονται αλλοιώσεις στα σχήματα Πχ ο κύκλος γίνεται έλλειψη Για την αντιμετώπιση των αλλοιώσεων αυτών, ορίζεται ο λόγος διαστάσεων (aspect ratio) a w ο λόγος διαστάσεων του παραθύρου με a w = x max x min y max y min a v ο λόγος διαστάσεων του πεδίου παράστασης a v = umax u min v max v min

Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Λόγος Διαστάσεων Αν a w = a v η σχέση πλευρών παραθύρου είναι ίδια με εκείνη του πεδίου παράστασης δεν παρατηρούνται αλλοιώσεις πλην ομοιόμορφων μεγευθύνσεων/σμικρύνσεων Αν a w a v εμφανίζονται παραμορφώσεις πρέπει να γίνει διόρθωση

Μετασχηματισμοί Ομοιότητας Διόρθωση Παραμορφώσεων Για τη διόρθωση ορίζονται τα μεγέθη w dx = x max x min, w dy = y max y min v dx = u max u min, v dy = v max v min Εφαρμόζεται το παρακάτω βήματα αν v dx /v dy > w dx /w dy, τότε w dx = w dy (v dx /v dy ) διαφορετικά, αν v dy /v dx > w dy /w dx, τότε w dy = w dx (v dy /v dx ) Παρατήρηση Αλλάζει, έτσι το u max ή το v max (αντίστοιχα το s x ή το s y ) Ορίζεται ένα πεδίο παράστασης εντός του αρχικού που έχει τον ίδιο λόγο με το παράθυρο Μέρος του αρχικού πεδίου παράστασης μένει ανεκμετάλλευτο

Γενίκευση στον 3Δ χώρο Πίνακες Μετασχηματισμού στον 3Δ χώρο Ανάλογα με την περίπτωση των 2Δ, ένα σημείο του 3Δ χώρου που εώς τώρα συμβολιζόταν με τον 3 1 πίνακα (x, y, z) T με ομογενείς συντεταγμένες, τώρα συμβολίζεται με τον 4 1 πίνακα (x, y, z, w) T Δύο τετράδες παριστάνουν το ίδιο σημείο όταν πχ (x, y, z, w) T και (xt, yt, zt, wt) T, t 0 Το σημείο έχει βασική παράσταση (x/w, y/w, z/w, 1) T Η παράσταση αυτή χρησιμοποιείται συνήθως στα γραφικά

Γενίκευση στον 3Δ χώρο Πίνακες Μετασχηματισμού στον 3Δ χώρο Η μετατροπή σε ομογενείς συντεταγμένες λέγεται ομογενοποίηση Οι ομογενείς συντεταγμένες (x, y, z, w) T του E 3 μπορούν να θεωρηθούν ως καρτεσιανές σημείου του E 4 Η τετράδα (0, 0, 0, 0) T δεν είναι επιτρεπτή Όλες οι τετράδες (xt, yt, zt, wt) T, t 0 που παριστάνουν το ίδιο σημείο του E 3 αντιστοιχούν σε μια ευθεία του E 4 Η ομογενοποίηση οδηγεί σε 3Δ υποχώρο του 4Δ χώρου (προβολή στο επίπεδο w = 1 του E 4 Σημεία με w = 0 (στο άπειρο) δεν μπορούν να παρασταθούν στο w = 1

Γενίκευση στον 3Δ χώρο Πίνακες Μετασχηματισμού στον 3Δ χώρο Χρησιμοποιείται δεξιόστροφο σύστημα συντεταγμένων Θετική στροφή: αντίθετη της φοράς των δεικτών του ρολογιού Οι γραμμικοί μετασχηματισμοί παριστάνονται με 4 4 πίνακες

Μετασχηματισμοί στον 3Δ χώρο Μεταφορά στον 3Δ χώρο Η μεταφορά του P E 3 με ομογενείς συντεταγμένες (x, y, z, 1) T, κατά το d = (d x, d y, d z ) γίνεται με τον πίνακα 1 0 0 d x T( d) = 0 1 0 d y 0 0 1 d z 0 0 0 1 Έτσι το P μεταφέρεται στο P (x, y, z ) με x x x + d x y z = T( d) y z = y + d y z + d z 1 1 1

Μετασχηματισμοί στον 3Δ χώρο Αλλαγή Κλίμακας στον 3Δ χώρο Η αλλαγή κλίμακας του P E 3 με ομογενείς συντεταγμένες (x, y, z, 1) T, με παράγοντες s x, s y, s z κατά μήκος των αξόνων x, y, z, αντίστοιχα, γίνεται με τον πίνακα s x 0 0 0 S(s x, s y, s z ) = 0 s y 0 0 0 0 s z 0 0 0 0 1 Έτσι το P μεταφέρεται στο P (x, y, z ) με x x s x x y z = S(s x, s y, s z ) y z = s y y s z z 1 1 1

Μετασχηματισμοί στον 3Δ χώρο Στροφή στον 3Δ χώρο Οι πίνακες R x (θ), R y (θ), R z (θ) που χρησιμοποιούνται για στροφές γύρω από τους άξονες x, y, z, αντιστοιχα, ορίζονται ως 1 0 0 0 R x (θ) = 0 cosθ sinθ 0 0 sinθ cosθ 0 0 0 0 1 cosθ 0 sinθ 0 R y (θ) = 0 1 0 0 sinθ 0 cosθ 0 0 0 0 1 cosθ sinθ 0 0 R z (θ) = sinθ cosθ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Μετασχηματισμοί στον 3Δ χώρο Στροφή στον 3Δ χώρο Είναι φανερό ότι στροφή κατά γωνία θ γύρω πχ από τον z-άξονα αντιστοιχεί σε στροφή στις δύο διαστάσεις: cosθ sinθ 0 0 x cosθx sinθy sinθ cosθ 0 0 y 0 0 1 0 z = sinθx + cosθy z 0 0 0 1 1 1 αντίστοιχα με cosθ sinθ 0 x cosθx sinθy sinθ cosθ 0 y = sinθx + cosθy 0 0 1 1 1 Ανάλογη θεώρηση μπορεί να γίνει και για τους R x (θ), R y (θ)

Μετασχηματισμοί στον 3Δ χώρο Στροφή στον 3Δ χώρο Οι γραμμές των 3 3 υποπινάκων των R x (θ), R y (θ), R z (θ) είναι ανά δύο κάθετα και μοναδιαία διανύσματα με ορίζουσα των υποπινάκων ίση με 1 Οι υποπίνακες είναι ορθογώνιοι Ο υποπίνακας 3 3 του γινόμενου μετασχηματισμών είναι επίσης ορθογώνιος Τα μεγέθη μηκών και γωνιών παραμένουν αναλλοίωτα

Μετασχηματισμοί στον 3Δ χώρο Αντίστροφοι μετασχηματισμοί Μεταφορά: T 1 ( d) = T( d) Αλλαγή Κλίμακας: S 1 (s x, s y, s z ) = s(1/s x, 1/s y, 1/s z ) Στροφή: (θ) = R x ( θ), R 1 (θ) = R y ( θ), R 1 (θ) = R z ( θ) R 1 x Παρατήρηση y Ο αντίστροφος ορθογωνίου είναι ίσος με τον ανάστροφο: R 1 x (θ) = R x (θ), R 1 y (θ) = R y (θ), R 1 z (θ) = R z (θ) z

Εισαγωγή Επανάληψη Συσχετισμένοι Γραμμικοί 2Δ Ομογενείς Σύνθεση Μετασχηματισμοί 3Δ Μετασχηματισμοί στον 3Δ χώρο Στρέβλωση στον 3Δ χώρο Υπάρχουν 3 περιπτώσεις στρέβλωσης στον 3Δ χώρο 01 Στρέβλωση στο (XY)-επίπεδο 02 Στρέβλωση στο (YZ)-επίπεδο 03 Στρέβλωση στο (XZ)-επίπεδο

Μετασχηματισμοί στον 3Δ χώρο Στρέβλωση στο (XY)-επίπεδο Η z συντεταγμένη παραμένει αμετάβλητη Αν a, b οι παράγοντες στρέβλωσης κατά μήκος των αξόνων x, y, αντίστοιχα, η στρέβλωση με ομογενείς συντεταγμένες περιγράφεται ως εξής 1 0 a 0 SH x,y (a, b) = 0 1 b 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Δηλαδή, ο μετασχηματισμός SH x,y (a, b) στο σημείο (x, y, z, 1) T το μεταφέρει στο (x, y, z, 1) T ως εξής x x x + az y y + az y z = SH x,y(a, b) = 1 z 1 z 1

Μετασχηματισμοί στον 3Δ χώρο Στρέβλωση στο (YZ)-επίπεδο Η x συντεταγμένη παραμένει αμετάβλητη Αν a, b οι παράγοντες στρέβλωσης κατά μήκος των αξόνων y, z, αντίστοιχα, η στρέβλωση με ομογενείς συντεταγμένες περιγράφεται ως εξής 1 0 0 0 SH y,z (a, b) = a 1 0 0 b 0 1 0 0 0 0 1 Δηλαδή, ο μετασχηματισμός SH y,z (a, b) στο σημείο (x, y, z, 1) T το μεταφέρει στο (x, y, z, 1) T ως εξής x x x y y + ax y z = SH y,z(a, b) = 1 z 1 z + bx 1

Μετασχηματισμοί στον 3Δ χώρο Στρέβλωση στο (XZ)-επίπεδο Η y συντεταγμένη παραμένει αμετάβλητη Αν a, b οι παράγοντες στρέβλωσης κατά μήκος των αξόνων x, z, αντίστοιχα, η στρέβλωση με ομογενείς συντεταγμένες περιγράφεται ως εξής 1 a 0 0 SH x,z (a, b) = 0 1 0 0 0 b 1 0 0 0 0 1 Δηλαδή, ο μετασχηματισμός SH x,z (a, b) στο σημείο (x, y, z, 1) T το μεταφέρει στο (x, y, z, 1) T ως εξής x x x + ay y y y z = SH x,z(a, b) = 1 z 1 z + by 1