x x = ( x) = 0, = = f x x x = συν x e e = ;

Θεώρηµα του Pierre Fermat Αν µία συνάρτηση f : ορίζεται σε ένα ανοικτό διάστηµα παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο είναι παραγωγίσιµη στο τότε f ( ) = Σχόλια Μία συνάρτηση µπορεί να έχει ακρότατο σε σηµείο του πεδίου ορισµού της χωρίς να είναι παραγωγίσιµη σε αυτό Πχ Η συνάρτηση f f ( ) = δεν είναι παραγωγίσιµη στη θέση = όµως παρουσιάζει ελάχιστο στη θέση αυτή ηλαδή f ( ) = = f () R Ο µηδενισµός της παραγώγου µίας συναρτήσεως σε σηµείο δεν εξασφαλίζει την ύπαρξη ακροτάτου της στο σηµείο αυτό Πχ Η συνάρτηση f f ( ) = έχει παράγωγο συνάρτηση µηδενίζεται στη θέση = Πράγµατι f ( ) = = Όµως στη θέση αυτή η f δεν παρουσιάζει ακρότατο εν παρουσιάζει µέγιστο διότι: > είναι f ( ) > εν παρουσιάζει ελάχιστο διότι: < είναι f ( ) < ( ) = που f Η υπόθεση ότι το είναι σηµείο ανοικτού διαστήµατος είναι αναγκαία Πχ Έστω συνάρτηση :[ ] παρουσιάζει µέγιστο διότι [ ] f R µε f ( ) = + Στη θέση = η f είναι f ( ) = + + = = f () Όµως η παράγωγος συνάρτηση της f που έχει τύπο f ( ) = στη θέση = δε µηδενίζεται καθόσον f () = Ασκήσεις ηµ συν Βρείτε τα πιθανά ακρότατα της f f ( ) = στο διάστηµα ( π ) e π ηµ συν = συν f ( ) = = f ( ) = συν = e e π = π π Άρα τα αποτελούν θέσεις πιθανών ακροτάτων της συναρτήσεως π ως πηλίκο Σηµείωση: Η f είναι παραγωγίσιµη στο ( ) παραγωγίσιµων συναρτήσεων Ισχύει το θ Fermat για τη συνάρτηση f f ( ) ηµ = µε D( f) [ π] = ; Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών

Η f είναι ορισµένη στο ( π ) π π Η f παρουσιάζει ακρότατο για = = π π Η f είναι παραγωγίσιµη στο R άρα και στις θέσεις π Είναι f ολικό µέγιστο και π f ολικό ελάχιστο π Πράγµατι f ( ) = συν f ( ) = συν = = ή π = π π ή διαφορετικά f ( ) = συν f = συν = π π f = συν = Έστω συνάρτηση f f ( ) = = Η f παρουσιάζει ολικό < ακρότατο το f () στη θέση = αλλά δεν ισχύει το θ Fermat Γιατί; D f = R = + ανοικτό διάστηµα ( ) ( ) Η f παρουσιάζει ακρότατο στη θέση = το f ( ) = < f ( ) R Η f δεν είναι παραγωγίσιµη στη θέση = Πράγµατι f ( ) f () f δ () = lim = lim = + + f δ () = = f α () f ( ) f () f α () = lim = lim = Άρα δεν υπάρχει το f () Θεώρηµα του Michel Rolle Αν µία συνάρτηση f είναι: ορισµένη και συνεχής στο [ ] παραγωγίσιµη στο ( α β ) f ( α) = f ( β ) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( α β) ώστε f ( ξ ) = Πόρισµα α β Αν µία συνάρτηση f είναι: ορισµένη και συνεχής στο [ ] παραγωγίσιµη στο ( α β ) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( α β) α β τα α β είναι ρίζες της f ( ) ώστε f ( ξ ) = Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών

Παρατηρήσεις Για την εφαρµογή του θ Rolle είναι δυνατό να µην έχει η συνάρτηση f παράγωγο στα σηµεία α β Πράγµατι έστω συνάρτηση συνεχής στο [ ] f f ( ) παραγωγίσιµη στο ( ) f ( ) = = f () = τότε Συνεπώς από το θ Rolle έπεται ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ) έτσι ώστε f ( ξ ) = Πράγµατι f () = δηλαδή ξ = Και ενώ ισχύουν αυτά δεν υπάρχουν τα f ( ) f () Η ύπαρξη παραγώγου της συναρτήσεως στο ( α β ) είναι αναγκαία για την εφαρµογή του θεωρήµατος Η συνάρτηση συνεχής στο [ ] f () = f ( ) = f f ( ) = = είναι: + > f ( ) = δεν υπάρχει το f () Άρα η f όχι παραγωγίσιµη στο ( ) < / ξ ώστε f (ξ) = διότι δεν υπάρχει η παράγωγος της Άρα ( ) συναρτήσεως f ( ) Η υπόθεση f ( a) = f ( β ) για το θ Rolle είναι αναγκαία Πράγµατι αν f f ( ) = µε [ ] [ ] α β = είναι: συνεχής στο [ ] ως πολυωνυµική παραγωγίσιµη στο ( ) ως πολυωνυµική αλλά f () = = f () οπότε ξ ( ) Πράγµατι f ( ) έτσι ώστε f ( ξ ) = = = = = f ( ξ) ξ ξ ( ) 4 Η υπόθεση της συνέχειας της συναρτήσεως στο [ α β ] είναι αναγκαία για το θ Rolle Πράγµατι έστω συνάρτηση? f () = f () = f f ( ) f παραγωγίσιµη στο ( ) D f =R = + ( ) * f ( ) = Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών

f ασυνεχής στην θέση = Άρα ξ ( ) έτσι ώστε f ( ξ) Έστω συνάρτηση f f ( ) εν είναι όµως παραγωγίσιµη στη θέση Συνεπώς δεν εφαρµόζεται γι αυτήν το θ Rolle = Πράγµατι f ( ξ ) = = αδύνατη ξ Παραδείγµατα f ( ) = f () = Είναι συνεχής στο [ ] = άρα ούτε στο ( ) Έστω συνάρτηση f f ( ) = Είναι συνεχής στο [ α β ] παραγωγίσιµη στο a β αλλά f ( α) f ( β ) Συνεπώς δεν εφαρµόζεται γι αυτήν το θ Rolle ( ) Έστω συνάρτηση Είναι παραγωγίσιµη στο ( ) = f f ( ) = < και f () = f () = εν είναι συνεχής στο [ ] διότι δεν είναι συνεχής στη θέση = Συνεπώς δεν εφαρµόζεται για αυτήν το θ Rolle 4 Έστω συνάρτηση f ( ) = Ισχύει το θ Rolle στο διάστηµα[ ] ; Αν > ναι υπολογίστε την τιµή του ξ < f ( ) = f ( ) = * f παραγωγισιµη στο R < f ( ) = f ( ) = Εξετάζω την παραγωγισιµότητα της f στη θέση = f ( ) f () f ( ) = = = = f () = f ( ) f () f ( ) lim = lim = lim = lim = lim lim lim lim + + + + Άρα η f είναι παραγωγίσιµη συνεπώς και συνεχής στο R Έτσι η f είναι συνεχής στο [ ] παραγωγίσιµη στο ( ) και f ( ) = f () = Σύµφωνα µε το θ Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ) έτσι ώστε f ( ξ ) = Είναι f f ( ) = άρα ξ = < Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 4

5 Να δειχθεί µε το θ Rolle ότι η εξίσωση στο διάστηµα ( ) Έστω συνάρτηση Θεωρώ συνάρτηση 5 f f ( ) = 6 4+ 6 h h( ) 5 6 4 = + ηλαδή h ( ) = f ( ) + = έχει τουλάχιστο µία ρίζα Η h ως πολυωνυµική είναι παραγωγίσιµη στο Rάρα και στο ( ) Η h ως πολυωνυµική είναι συνεχής στο Rάρα και στο [ ] Είναι h() = h() = Συνεπώς από το θ Rolle έπεται ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ) έτσι ώστε h ( ξ ) = ηλαδή υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ) έτσι ώστε f ( ξ ) = Συνεπώς η f = έχει τουλάχιστο µία λύση στο ( ) εξίσωση ( ) = + µε D( f ) 6 Έστω συνάρτηση f f ( ) ( )( )( 5)( 7) =R Να βρεθεί πόσες πραγµατικές ρίζες έχει η εξίσωση f ( ) = Οι ρίζες της εξισώσεως f ( ) = είναι 5 7 Η f ( ) είναι πολυώνυµο τρίτο βαθµού Άρα έχει τουλάχιστο µία πραγµατική ρίζα Η συνάρτηση f ως πολυωνυµική είναι παραγωγίσιµη άρα και συνεχής στο R ώστε ( ) Η f στο ικανοποιεί τις συνθήκες του θ Rolle άρα ξ f ξ = Η f στο 5 ικανοποιεί τις συνθήκες του θ Rolle άρα ξ 5 ώστε f (ξ ) = Η f στο [ 5 7 ] ικανοποιεί τις συνθήκες του θ Rolle άρα ξ ( 5 7) ώστε f (ξ ) = έτσι Συνεπώς η εξίσωση f ( ) = έχει τρεις πραγµατικές και διακεκριµένες ρίζες 5 7 Έστω συνάρτηση f f ( ) = + 4 + 5+ Να δειχθεί ότι η εξίσωση f ( ) = έχει µία πραγµατική και τέσσερεις µιγαδικές ρίζες Το πολυώνυµο είναι περιττού βαθµού άρα έχει τουλάχιστο µία πραγµατική ρίζα έστω την ρ Έστω ρ ρ µία άλλη πραγµατική ρίζα του πολυωνύµου Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 5

Η f ως πολυωνυµική είναι παραγωγίσιµη άρα και συνεχής στο R Αν ρ< ρ η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θ Rolle στο [ ] υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ρ ρ) ώστε f (ξ) = ρ ρ οπότε 4 Άτοπο διότι f ( ) = 5 + + 5> R Καταλήξαµε σε άτοπο διότι δεχθήκαµε την ύπαρξη και δεύτερης πραγµατικής ρίζας της εξισώσεως f ( ) = άρα αυτή έχει µία µόνο πραγµατική ρίζα οπότε οι άλλες τέσσερεις είναι µιγαδικές Θεώρηµα Κάθε πολυωνυµική εξίσωση περιττού βαθµού έχει τουλάχιστο µία πραγµατική ρίζα 8 Έστω συνάρτηση f στο διάστηµα [ ] ; f f ( ) 5 = µε D( f ) =R Ισχύει το θ Rolle για τη συνάρτηση Η f ως πολυωνυµική είναι παραγωγίσιµη άρα και συνεχής στο R Οπότε η f είναι: συνεχής στο [ ] παραγωγίσιµη στο ( ) f ( ) = = f () Συνεπώς δεν ισχύει το θ Rolle για την f στο διάστηµα [ ] 9 Έστω συνάρτηση ( ) ( ) ρίζα στο διάστηµα ( ) f συνεχής στο [ ] f f = συν ηµ Να δειχθεί ότι έχει τουλάχιστο µία f () = > f () f () < f () = ηµ < Άρα από θ Bolzano υπάρχει τουλάχιστο µία ρίζα της f στο διάστηµα ( ) µ ν Έστω συνάρτηση f f ( ) = + ( ) όπου µν N Χωρίς να υπολογισθεί η f ( ) δείξτε ότι η εξίσωση f ( ) = έχει τουλάχιστο µία ρίζα στο διάστηµα ( ) Η f ως πολυωνυµική είναι παραγωγίσιµη άρα και συνεχής στο R Εφαρµόζω το θ Rolle Η f είναι συνεχής στο [ ] Η f είναι παραγωγίσιµη στο ( ) f () = = f () Συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον ένα ( ) ξ ώστε f ( ξ ) = Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 6

Άρα η f ( ) = έχει τουλάχιστο µία ρίζα στο διάστηµα ( ) Έστω συνάρτηση c c c f f ( ) ν ν ν + = + + + όπου + c c cν + + + = είξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ( ) ν + Η f ως πολυωνυµική είναι παραγωγίσιµη άρα και συνεχής στο R Εφαρµόζω το θ Rolle Η f είναι συνεχής στο [ ] Η f είναι παραγωγίσιµη στο ( ) f () = = f () Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ( ) είξτε ότι η εξίσωση στο διάστηµα ( ) Αν ξ έτσι ώστε f ( ξ ) = ν ν ν c c c ν R µε ξ ώστε f ( ξ ) = a + a + + a + a = έχει τουλάχιστο µία ρίζα a a aν όταν + + + + aν = ν + ν f f ( ) a ν ν = + a + + a + a τότε η συνάρτηση η οποία έχει την f σαν παράγωγο είναι η ν ν a a a ν + ν ν+ ν ν h h( ) = + + + + aν Η h ως πολυωνυµική είναι παραγωγίσιµη άρα και συνεχής στο R Εφαρµόζω το θ Rolle Η h είναι συνεχής στο [ ] Η h είναι παραγωγίσιµη στο ( ) h() = = h() Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ) ώστε h ( ξ ) = ηλαδή υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ) ώστε f ( ξ ) = Άρα η f έχει στο ( ) τουλάχιστο µία ρίζα Μέθοδος εργασίας Γενικά αν θέλοµε να δείξοµε ότι η εξίσωση f ( ) = έχει µία τουλάχιστο ρίζα στο ( α β) θα προσδιορίζοµε συνάρτηση ( ) ν h h για την οποία h ( ) = f ( ) και για την h θα διαπιστώνοµε ότι στο [ α β] ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θ Rolle οπότε υπάρχει στο ( α β) µία τουλάχιστο ρίζα για την h ( ) δηλαδή για την f ( ) είξτε ότι α R η εξίσωση ρίζα 5 α + + + = έχει µία µόνο πραγµατική Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 7

Έστω συνάρτηση 5 f f ( ) α = + + + συνεχής και παραγωγίσιµη στο R Είναι 4 ( ) = 5 + + f f Έστω ότι η f έχει δυο πραγµατικές ρίζες ρ ρ µε ρ< ρ Η f στο [ ] ρ ρ ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θ Rolle Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ρ ρ ) Άτοπο διότι είναι f ( ) > R ώστε f ( ξ ) = Μέθοδος εργασίας Αν ζητείται να αποδειχθεί ότι µία εξίσωση έχει k το πολύ ρίζες θα το αποδεικνύοµε εργαζόµενοι ως εξής: Θα υποθέτοµε ότι έχει k+ το πλήθος ρίζες και θα καταλήγοµε σε άτοπο Θα γίνεται χρήση του θ Rolle στα διαστήµατα ανάµεσα σε δυο διαδοχικές ρίζες 4 είξτε ότι η εξίσωση διάστηµα ( ) Έστω συνάρτηση a f f ( ) a + = δεν έχει για κανένα a R δυο ρίζες στο D f =R = + µε ( ) Παραγωγίσιµη άρα και συνεχής στο R Έστω ότι a : < ρ< ρ < f R και ( ρ ) f ( ρ ) Η f στο διάστηµα [ ] υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ρ ρ ) Άτοπο διότι Σχόλιο: ( ρ ρ ) ( ) ± = = ρ ρ ικανοποιεί τις απαιτήσεις του θ Rolle άρα ώστε f ( ξ ) = ( ) = = ( )( + ) και f ( ) f 5 Έστω ρ R απλή ρίζα πολυωνύµου f ( ) Έστω ρ R απλή ρίζα της παραγώγου f ( ) = =± Τότε το ( ρ) είναι παράγοντας του f ( ) Εξ υποθέσεως είναι f ( ) = ( ρ) P( ) και f ( ) = ( ρ) Q( ) f ( ) = ( ρ) P( ) = ( ρ) P( ) + ( ρ) P ( ) = P( ) + ( ρ) P ( ) Επίσης [ ] Συνεπώς P( ) ( ρ) Q( ) ( ρ) P ( ) ( ρ) [ Q( ) P ( ) ] Από την f ( ) = ( ρ) P( ) έπεται ότι: = = [ ] [ ] f ( ) = ( ρ) ( ρ) Q( ) P ( ) = ( ρ) Q( ) P ( ) Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 8

6 Αν ρ είναι ρίζα πολυωνύµου f ( ) µε πολλαπλότητα k N τότε και η παράγωγος του f ( ) η f ( ) έχει ρίζα ρ µε πολλαπλότητα k k Εξ υποθέσεως είναι f ( ) = ( ρ) P( ) Συνεπώς k k k k f ( ) = ( ρ) P( ) + ( ρ) P ( ) = k ( ρ) P( ) + ( ρ) P ( ) = [ ] ρ ρ ρ k k ( ) k P( ) + ( ) P ( ) = ( ) Q( ) 7 Έστω συνάρτηση ν f f ( ) a = + + β όπου D f =R α β R ν N και ( ) είξτε ότι δεν έχει περισσότερες από δυο πραγµατικές ρίζες Η f ως πολυωνυµική είναι παραγωγίσιµη άρα και συνεχής στο R Έστω ότι η εξίσωση f ( ) = έχει τρεις ρίζες ρ ρ ρ R µε ρ< ρ< ρ ρ ρ ισχύει το θ Rolle για την f άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα Στο [ ] ( ) ώστε ( ) ξ ρ ρ ξ Στο [ ] ( ρ ρ ) ώστε ( ) f ξ = () ρ ρ ισχύει το θ Rolle για την f άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα f ξ = () f ν ν ν α α α f = = = ν ν f = έχει ακριβώς µία ρίζα ν Αλλά ( ) = + και ( ) ηλαδή η εξίσωση ( ) Από τις () () καταλήγοµε σε άτοπο διότι υποθέσαµε ότι η εξίσωση f ( ) = έχει τρεις ρίζες 8 Έστω συνάρτηση ( ) ( ) ώστε ( ) f f ( ) = e είξτε µε χρήση θ Rolle ότι υπάρχει f = Να βρεθεί το Η f είναι παραγωγίσιµη στο R ως γινόµενο παραγωγίσιµων συναρτήσεων Άρα είναι και συνεχής στο R Η f είναι συνεχής στο [ ] Η f είναι παραγωγίσιµη στο ( ) Είναι f ( ) = = f () f = Από το θ Rolle έπεται ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ( ) ώστε ( ) = + και Αλλά ( ) ( ) f e f ( ) ( ) ( ) + = + = = Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 9

9 Έστω συνάρτηση f f ( ) = είξτε ότι η εξίσωση f ( ) = έχει ακριβώς µία ρίζα ρ =R Η f ως πολυωνυµική είναι παραγωγίσιµη άρα και συνεχής Είναι D( f ) στο R Από το θ Bolzano: Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο f = > f f < f = < Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ρ ώστε f ( ρ ) = Έστω ότι υπάρχει ρ µε ρ< ρ ώστε f ( ρ ) = Τότε από το θ Rolle: Η f είναι συνεχής στο [ ρ ρ ] Η f είναι παραγωγίσιµη στο ( ρ ρ ) f ( ρ ) = = f ( ρ) Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ρ ρ) ( ) = 6 f Είναι ( ρ ρ) ώστε f ( ξ ) = Άτοπο διότι f ( ) = 6 = = = =± =± Έστω συνάρτηση f f ( ) = ηµ συν είξτε ότι έχει το πολύ δυο πραγµατικές ρίζες Έστω ότι η εξίσωση έχει τρεις πραγµατικές και διακεκριµένες ρίζες ρ ρ ρ µε ρ< ρ< ρ Η f ως πολυωνυµική είναι παραγωγίσιµη άρα και συνεχής στο R ρ ρ ισχύει το θ Rolle για την f άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα Στο [ ] ( ) ώστε ( ) ξ ρ ρ f ξ = () Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών

ξ ρ ρ ισχύει το θ Rolle για την f άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα Στο [ ] ( ρ ρ ) ώστε ( ) f ξ = () = = και Όµως f ( ) συν ( συν ) = f ( ) = συν = Α ΥΝΑΤΟ ηλαδή η εξίσωση f ( ) = έχει µοναδική λύση Συνεπώς από τα () () οδηγούµαστε σε άτοπο + a+ β [ ) Έστω συνάρτηση f f ( ) = γ + + [ ] α β γ R ώστε να ισχύει το θ Rolle για τη συνάρτηση f στο [ ] Προκειµένου να ισχύει το θ Rolle για τη συνάρτηση f στο [ ] Να προσδιορισθούν οι πρέπει: Η f να είναι συνεχής στο [ ] Άρα συνεχής και στη θέση = δηλαδή lim f ( ) = f () Επειδή f () = lim f ( ) = lim f ( ) = β είναι β = + Η f να είναι παραγωγίσιµη στο ( ) Άρα παραγωγίσιµη και στη θέση = δηλαδή: f ( ) f () γ + + lim = lim = lim( γ + ) = = f () + + + δ α = f ( ) f () + a + lim = lim = lim ( + a) = a= f α () () 4 6 4 9 f = γ + + = γ + f () = f ( ) 4γ + 9 = γ = f ( ) = 4 6+ = ν ν Αν η εξίσωση aν + aν + + a = έχει µία θετική ρίζα τότε η εξίσωση ν ν ν a + ( ν ) a + + a = έχει µία τουλάχιστο θετική ρίζα µικρότερη του ν Θεωρώ την συνάρτηση ν f f ( ) a ν ν = + a + + a Είναι f () = f ( ) = Η f ως πολυωνυµική είναι παραγωγίσιµη άρα και συνεχής στο R Η fείναι συνεχής στο [ ] Η f είναι παραγωγίσιµη στο ( ) f = f () ( ) ν ν Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών

Άρα από το θ Rolle έπεται ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ) ώστε f ( ξ ) = ηλαδή το ξ είναι ρίζα της εξισώσεως f ( ) = και είναι ξ < διότι ξ ( ) Να υπολογισθούν οι συνάρτηση a β γ R ώστε να ισχύει το θ Rolle στο [ ] β γ [ ] + 4 + 4 ( ) για τη + + f f ( ) = a και ως πολυωνυµική είναι συνεχής στο Η f είναι ορισµένη στο [ ] ( ) ( ) + + Εξετάζω τη συνέχεια της f στη θέση = ( β γ) lim f ( ) = lim + + = β+ γ = f ( ) Εξετάζω τη συνέχεια της f στη θέση = ( ) lim f ( ) = lim a + 4 + 4 = a+ 8 = f () Εξετάζω τη συνέχεια της f στη θέση = lim f ( ) = lim( + β + γ) = γ f () = γ lim f ( ) = lim( a + 4+ 4) = 4 Άρα γ = 4 + + ( ) f ( ) = + β + γ f ( ) = + β f f = a + + f = + ( ) ( ) 4 4 ( ) α 4 Εξετάζω την παραγωγισιµότητα της f στη θέση = + β + γ γ a () = lim = lim( + β) = β β = a 4 4 4 f + + δ () = lim = lim( a+ 4) = 4 + + f ( ) 4 4 = β + γ = + = α + 8 = α = 7 f () = α+ 8 4 Έστω συνάρτηση f f ( ) = ( a+ )( a)( a ) Να δειχθεί ότι η εξίσωση f ( ) = έχει δυο ακριβώς πραγµατικές ρίζες Είναι f ( ) = = a ή = a ή = a+ Η f ως πολυωνυµική είναι παραγωγίσιµη άρα και συνεχής στο R Οπότε: 4 Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών

Η fείναι συνεχής στα διαστήµατα [ a a] [ a a+ ] Η fείναι παραγωγίσιµη στα διαστήµατα ( a a) ( ) f ( a ) = f ( a) = f ( a+ ) = a a+ Από το θ Rolle προκύπτει ότι στο διάστηµα: ( a a) υπάρχει τουλάχιστον ένα έτσι ώστε f ( ) = () ( a a + ) υπάρχει τουλάχιστον ένα Αλλά f ( ) ( 6a a ) πραγµατικές ρίζες έτσι ώστε f ( ) = () = + τριώνυµο άρα έχει το πολύ δυο Από () () έπεται ότι η εξίσωση f ( ) = έχει ακριβώς δυο πραγµατικές ρίζες ( a a) ( a a ) + οπότε είναι διακεκριµένες 5 Έστω συνάρτηση f f ( ) = ( a)( β )( γ ) όπου α < β < γ R Να δειχθεί ότι η εξίσωση f ( ) = έχει δυο ακριβώς πραγµατικές και διακεκριµένες ρίζες Η f ως πολυωνυµική είναι παραγωγίσιµη άρα και συνεχής στο R Οπότε: Η f είναι συνεχής στα διαστήµατα [ α β ] [ β γ] Η f είναι παραγωγίσιµη στα διαστήµατα ( α β ) ( ) Είναι f ( a) = f ( β ) = f ( γ ) = β γ Στο [ α β ] από το θ Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ( α β) : f ( ) = Στο [ β γ] από το θ Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ( β γ) ηλαδή η ( α β γ ) : f ( ) = f f ( ) = + + + ( αβ + βγ + αγ ) που είναι τριώνυµο έχει τουλάχιστο δυο ρίζες ( α β) ( β γ) διακεκριµένες προφανώς Όµως η f ( ) = ως δευτεροβάθµια εξίσωση έχει το πολύ δυο πραγµατικές ρίζες Άρα αυτές θα είναι οι 6 Εξετάστε αν ισχύει το θ Rolle στο διάστηµα [ 4 ] για τη συνάρτηση f f ( ) ( ) = + Είναι f = ( h g) φ όπου h h( ) = D( h ) =R g g( ) = D( g ) =R φ φ ( ) = ( + ) D( φ ) =R Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών

{ } D( h g) = : = R R R ( ) ( ) ( φ) { : ( ) } D f = D h g = R + R = R Η f ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού της δηλαδή το R άρα και στο [ 4 ] Επίσης f ( 4) f () 4 = = Όµως η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο ( 4 ) διότι δεν είναι παραγωγίσιµη στη θέση καθόσον f f ( ) = + Συνεπώς δεν ισχύει το θ Rolle για τη συνάρτηση f στο [ 4 ] 7 Αποδείξτε ότι αν µία πολυωνυµική συνάρτηση f µηδενίζεται για k διαφορετικές τιµές του R τότε η f µηδενίζεται για ( k ) τουλάχιστο τιµές του R Έστω ρ ρ ρ ρκ ρk R ρίζες της f διαφορετικές ανά δυο µεταξύ τους µε ρ< ρ < ρ< < ρκ < ρk Η f ως πολυωνυµική έχει D( f ) =R Είναι παραγωγίσιµη και συνεχής στο R Θεωρώ τα διαστήµατα [ ρ ρ ] [ ρ ρ ] [ ρ ρ ] συνάρτηση fπροκύπτει ότι: Στο [ ρ ρ ] υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ρ ρ ) ώστε ( ) k k Από το θ Rolle για τη f ξ = Στο [ ρ ρ ] υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ρ ρ ) ώστε ( ) f ξ = Στο [ ρ ρ ] υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( ρκ ρ ) k k κ ώστε f ( ) k Άρα η f έχει τουλάχιστον k πραγµατικές ρίζες διακεκριµένες = π 5π 8 Έστω συνάρτηση f f ( ) = log( ηµ ) µε D( f) = 6 6 είξτε ότι η 5 εξίσωση f ( ) = έχει µία λύση στο π π η οποία και να βρεθεί 6 6 D f = R : ηµ > = R : < < π = ( ) { } { } { R : kπ < < (k+ ) π} = [ kπ (k+ ) π] k Z ξκ Η fείναι παραγωγίσιµη άρα και συνεχής στο D( f ) Συνεπώς: Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 4

5 Η fείναι συνεχής στο π π 6 6 5 Η fείναι παραγωγίσιµη στο π π 6 6 π 5π f = f = log 6 6 Συνεπώς από το θ Rolle προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα π 5 π ξ 6 6 ώστε f ( ξ ) = π Είναι f ( ) = σφ f ( ξ ) = σφξ = συνξ = ξ = kπ + k Z π 5π π 5π π π 5π 5 Αλλά ξ < ξ < < kπ + < < k+ < 6 6 6 6 6 6 6 6 k < 6k+ < 5 < 6k< < k< k = Z k π Άρα ξ = kπ + = ηλαδή το ξέχει µια µόνο τιµή την π διότι και το k έχει µία µόνο τιµή την k = Ασκήσεις Υπάρχουν δυο κατηγορίες ασκήσεων στο θ Rolle (i) Να δειχθεί αν για µία συγκεκριµένη συνάρτηση τηρούνται σε κάποιο διάστηµα οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος ή αν ισχύει το θεώρηµα (ii) Να δειχθεί ότι κάποιο πολυώνυµο ή πολυωνυµική εξίσωση ή συνάρτηση ή το παράγωγο πολυώνυµο ή η παράγωγος εξίσωση ή η παράγωγος συνάρτηση έχει ακριβώς µία ή το πολύ µία ή το πολύ k ή τουλάχιστον kή τουλάχιστον µία ρίζα Με χρήση θ Rolle να δειχθεί ότι η εξίσωση πραγµατικές και άνισες ρίζες + 6+ = δε µπορεί να έχει τρεις Να δειχθεί ότι η εξίσωση πραγµατικές ρίζες 6 + α + β = όπου α β R έχει το πολύ δυο Στέφανος Ι Καρναβάς Μαθηµατικός (ΜΕd) Επίκουρος Καθηγητής ΑΕΝ Οινουσσών 5