ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 7.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι προϋποθέσεις που θέσαμε ώστε να εξασφαλίσουμε BLUE εκτιμητές με τη μέθοδο των συνήθων ελαχίστων τετραγώνων στο κλασσικό γραμμικό υπόδειγμα δεν είναι ιδιαίτερα περιοριστικές όταν το υπόδειγμα αυτό εφαρμόζεται σε πειραματικά δεδομένα στα πλαίσια των θετικών επιστημών, όπου οι μεταβολές στις τιμές των ανεξάρτητων μεταβλητών βρίσκονται υπό τον έλεγχο του ερευνητή. Η κατάσταση όμως είναι διαφορετική όταν το παραπάνω υπόδειγμα χρησιμοποιηθεί στα πλαίσια της οικονομετρίας για την ανάλυση και μέτρηση σχέσεων μεταξύ οικονομικών μεταβλητών. Στην περίπτωση αυτή οι προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες οι OLS εκτιμητές του κλασσικού γραμμικού υποδείγματος είναι BLUE είναι πολύ δεσμευτικές, με αποτέλεσμα σε πολλές περιπτώσεις να μην είναι δυνατό να ικανοποιηθούν. Η παραβίαση των προϋποθέσεων αυτών συνεπάγεται και απώλεια, σε μικρό ή μεγαλύτερο βαθμό, των επιθυμητών ιδιοτήτων των OLS εκτιμητών. Ένα από τα σπουδαιότερα αντικείμενα της θεωρητικής οικονομετρίας αποτελεί η ανάπτυξη εναλλακτικών μεθόδων εκτίμησης στις περιπτώσεις όπου οι υποθέσεις του κλασσικού γραμμικού υποδείγματος παραβιάζονται. Η παραβίαση των υποθέσεων δυνατόν να αφορά τόσο τις στοχαστικές διαταραχές όσο και τις επεξηγηματικές μεταβλητές. Στην ενότητα αυτή θα μελετήσουμε εναλλακτικούς εκτιμητές για τις περιπτώσεις όπου, όσον αφορά τις στοχαστικές διαταραχές, οι προϋποθέσεις ομοσκεδαστικότητας και απουσίας αυτοσυσχέτισης δεν πληρούνται. Πιο συγκεκριμένα: i) Θα αναπτύξουμε τους λεγόμενους εκτιμητές γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων (generalized least squares, ή GLS estimators), ii) Θα μελετηθούν οι συνέπειες της εφαρμογής OLS εκτιμητών όταν έχουμε μη σφαιρικές διαταραχές, όπως στην περίπτωση της 1

ετεροσκεδαστικότητας και των αυτοσυσχετιζόμενων διαταραχών, iii) Θα περιγραφούν διαδικασίες ελέγχου της ορθότητας των προϋποθέσεων ομοσκεδαστικότητας και έλλειψης αυτοσυσχετίσεως στις διαταραχές. 7.2 ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ Η υπόθεση Ε(uu ) = σ 2 I που ίσχυε όταν δεν υπήρχε ετεροσκεδαστικότητα ή αυτοσυσχέτιση στα κατάλοιπα τώρα πλέον αντικαθίσταται από την: Ε(uu ) = σ 2 Ω όπου Ω ένας γνωστός πίνακας διαστάσεων Ν Ν. Παραδείγματα για τη μορφή του πίνακα Ω: 1)Για την περίπτωση ετεροσκεδαστικότητας ο Ω έχει τη μορφή: 2)Για την περίπτωση που η μορφή της αυτοσυσχέτισης στις στοχαστικές διαταραχές Ui εκφράζεται με ένα αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα 1 ου βαθμού (AR(1) )δηλ. U i = ρu i 1 +εi με εi iid ο πίνακας Ω θα έχει τη μορφή: 2

Ο αντικειμενικός σκοπός των εκτιμητών GLS είναι να ενσωματώσουν την επιπλέον πληροφορία που μας παρέχεται αν γνωρίζουμε τη μορφή του Ω. Δεχόμενοι ότι οι υπόλοιπες προϋποθέσεις που είχαν τεθεί για τους OLS εκτιμητές εξακολουθούν να ισχύουν, αυτό μπορεί να πραγματοποιηθεί με την εφαρμογή κατάλληλου μετασχηματισμού στα αρχικά δεδομένα σε τρόπο ώστε να επιτύχουμε για τις μετασχηματισμένες στοχαστικές διαταραχές u να ισχύει: E(u u ) = σ 2 I Καθώς ο Ω μπορεί να θεωρηθεί ως θετικά ορισμένος (δηλ. για κάθε μη μηδενικό διάνυσμα Χ να ισχύει x Ωx>0) σύμφωνα με γνωστό θεώρημα της γραμμικής άλγεβρας υπάρχει μη ιδιάζων πίνακας P τέτοιος ώστε: Χρησιμοποιώντας τώρα τον πίνακα P για να μετασχηματίσουμε τα αρχικά μας δεδομένα θα έχουμε: Για τις μετασχηματισμένες στοχαστικές διαταραχές θα έχουμε: 3

Επομένως για τις μετασχηματισμένες μεταβλητές y, Χ πληρούνται όλες οι προϋποθέσεις ώστε οι OLS εκτιμητές που αναφέρονται σε αυτές, δηλ. οι εκτιμητές που δίνονται από τη σχέση: ˆ ( X X ) X y, * * * 1 * * να είναι BLUE. Επομένως οι GLS εκτιμητές είναι οι OLS εκτιμητές των μετασχηματισμένων δεδομένων. Αναφερόμενοι τώρα στα αρχικά μας δεδομένα οι GLS εκτιμητές θα δίνονται από τη σχέση: Ο πίνακας διακύμανσης συνδιακύμανσης των εκτιμητών ˆGLS θα είναι: Επιπλέον ο εκτιμητής του σ 2 για την περίπτωση των GLS εκτιμητών θα είναι: = {P(y Xβ GLS )} {P(y Xβ GLS } (N k) = (y Xβ GLS ) P P(y Xβ GLS ) (N k) 2 y X ˆ 1 ˆ y X N K ˆ ( ) / GLS Ο εκτιμητής αυτός είναι αμερόληπτος και διαφέρει από τον αντίστοιχο ML εκτιμητή (που στον παρανομαστή έχει Ν αντί (Ν-Κ)).Ο τελευταίος για μικρά δείγματα είναι προφανώς μεροληπτικός. Το ερώτημα που τίθεται είναι τι συνέπειες θα έχουμε αν για μη σφαιρικές διαταραχές εξακολουθήσουμε να χρησιμοποιούμε OLS εκτιμητές. Έστω λοιπόν ότι στο υπόδειγμα: y = Xβ + u με u~(0, σ 2 Ω) χρησιμοποιούμε τον OLS εκτιμητή για το β τότε όπως ξέρουμε: GLS 4

β = β + (Χ Χ) 1 Χ u και Ε(β ) = β + (Χ Χ) 1 Χ Ε(u) = β, άρα ο β εξακολουθεί να είναι αμερόληπτος. Όμως VAR(β ) = Ε{(β β)(β β) } = Ε{(Χ Χ) 1 Χ uu Χ(Χ Χ) 1 } = σ 2 (Χ Χ) 1 Χ ΩΧ(Χ Χ) 1 σ 2 (Χ Χ) 1 Επιπλέον αποδεικνύεται ότι: Ε(u u ) = σ 2 {trω tr{(χ Χ) 1 Χ ΩΧ}} σ 2 (Ν κ) Άρα: Ο OLS εκτιμητής του VAR COV(β ) μεροληπτικός. δηλ. ο σ 2 (X X) 1 είναι Ο OLS εκτιμητής του σ 2 είναι μεροληπτικό στο βαθμό που tr(ω (Χ Χ) 1 Χ ΩΧ) διαφέρει από το σ 2 (Ν κ) Έστω και αν χρησιμοποιήσουμε τον εκτιμητή σ 2 (Χ Χ) 1 Χ ΩΧ(Χ Χ) 1, ο εκτιμητής του β δε θα είναι αποτελεσματικός καθώς όπως είδαμε ο αντίστοιχος GLS εκτιμητής είναι ο σ 2 (Χ Ω 1 Χ) 1 (για την διακύμανση του β ). Tα t-test και F-test δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Η τιμή του συντελεστή προσδιορισμού R 2 δεν είναι αμερόληπτη (αφού η διακύμανση των καταλοίπων δεν είναι αμερόληπτη), και δεν μπορούμε να ελέγξουμε αν είναι στατιστικά σημαντική. Το προβλήματα αυτά λύνονται χρησιμοποιώντας τους GLS εκτιμητές που όπως είδαμε είναι οι OLS εκτιμητές των δεδομένων που έχουμε κατάλληλα μετασχηματίσει ώστε να πληρούνται οι προϋποθέσεις που εξασφαλίζουν BLUE εκτιμητές. Οι GLS εκτιμητές βρίσκουν εφαρμογή στις περιπτώσεις ετεροσκεδαστικότητας και αυτοσυσχέτισης των καταλοίπων. Βέβαια μέχρι τώρα υποθέσαμε ότι ο πίνακας Ω είναι γνωστός, κάτι που φυσικά δεν ισχύει στην πράξη. Ο Ω αποτελείται από Ν Ν στοιχεία και αν υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση υποθέτουμε ότι τα Ν διαγώνια στοιχεία είναι γνωστά. Αν δεν είναι γνωστά, τότε πρέπει με κάποιο τρόπο να εκτιμηθούν. Έτσι στην πράξη οι 5

άγνωστες παράμετροι αντικαθίστανται από συνεπείς εκτιμήσεις τους, και οι εκτιμητές που προκύπτουν και αυτό τον τρόπο ονομάζονται εκτιμητές εφικτών γενικευμένων, ελαχίστων τετραγώνων (Feasible Generalized least Squares). Επειδή η περίπτωση της αυτοσυσχέτισης εξετάζεται εκτενώς και στα πλαίσια του μαθήματος των χρονολογικών σειρών, στη συνέχεια θα επικεντρωθούμε κατά κύριο λόγο στο πρόβλημα της ετεροσκεδαστικότητας, ενώ για την περίπτωση της αυτοσυσχέτισης η μελέτη θα περιοριστεί στην περίπτωση των AR(1) διαταραχών που είναι και η συνηθέστερη. 7.3 ΕΤΕΡΟΣΚΕΔΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Θεωρώντας για απλούστευση το υπόδειγμα Y i = β 1 + β 2 X i + U i θα προσπαθήσουμε να δώσουμε πρώτα απ όλα μια εξήγηση στο γεγονός ότι ο OLS εκτιμητής του β 2 ενώ είναι αμερόληπτος δεν είναι βέλτιστος. Αν δεχθούμε κατά τα γνωστά ότι τιμή Χ i αντιστοιχεί μία κατανομή τιμών Y i και οι διακυμάνσεις των κατανομών αυτών δεν είναι ίδιες τότε θα θέλαμε να μπορούμε να δώσουμε μεγαλύτερη βαρύτητα σε εκείνες τις κατανομές με τη μικρότερη διακύμανση καθώς αυτό θα μας επέτρεπε να εκτιμήσουμε καλύτερα την PRF. Αυτό ακριβώς κάνουμε με τα GLS! Πράγματι ο VAR COV(u ) για την περίπτωση της ετεροσκεδαστικότητας γράφεται: 2 σ 1 0 0 VAR COV(u ) = 1 [ ] = 1 Ω 0 0 2 σ Ν 1 1 σ2 0 0 0 1 Άρα Ω 1 σ 1 = και άρα P = [ 0 0 1 0 1 [ σ Ν2 ] Επομένως για να μετασχηματίσουμε τα αρχικά μας δεδομένα αρκεί να διαιρέσουμε το αρχικό υπόδειγμα με σ i δηλ: 6 σ Ν ]

με X 0i = 1 i Ορίζουμε Y i = β 1 + β 2 X i + U i Y i X 0i X i = β σ 1 + β i σ 2 + U i i σ i σ i y i = Py i = y i σ i X i = PX i = X i σ i y i = β 1 Χ 0i + β 2 Χ i + U i U i = PU i = U i σ i Προσοχή: τώρα έχουμε β 1, β 2 αντί β 1, β 2 Τότε VAR(u i ) = E(u 2 i ) = E( u i ) 2 = 1 Ε(u 2 σ i σ i ) = σ 2 i i σ2 = 1 i Άρα όπως περιμέναμε τα υπόλοιπα επομένως οι β 1, β 2 BLUE. τώρα είναι ομοσκεδαστικά και Για να έχουμε τους GLS εκτιμητές β 1, β 2 πρέπει να ελαχιστοποιήσουμε το u i 2 = (Y i β Χ 1 01 β Χ 2 i ) 2 δηλ. το ( u i ) = {( Y i ) β σ i σ 1 ( Χ 01 ) i σ i β ( X i 2 )} 2 σ i (σημ.: Το u i είναι τα κατάλοιπα του υποδείγματος για τα αρχικά δεδομένα δηλ. του Y i = β 1 + β Χ 2 i + u i ) Θέτοντας 1 σ i 2 για τα GLS ελαχιστοποιούμε το: w i u 2 i = w i (Y i β 1 β 2 X i ) 2, ενώ όπως ξέρουμε για τα OLS ελαχιστοποιούμε το: u 2 i = (Y i β 1 β X 2 i ) 2 Άρα έχουμε επιτύχει αυτό που θέλαμε: με τα GLS ελαχιστοποιούμε ένα σταθμισμένο άθροισμα τετραγώνων των υπολοίπων, όπου οι σταθμίσεις w i = 1 σ i 2 είναι αντιστρόφως ανάλογες των διακυμάνσεων των πληθυσμών 7

που αντιστοιχούν στο εκάστοτε Χ i (!!). Άρα τα GLS εκτιμούν πιο αξιόπιστα από το OLS την PRF. Λόγω του ότι τα W i λειτουργούν ως σταθμίσεις (Weights), τα GLS για την περίπτωση της ετεροσκεδαστικότητας ονομάζονται και «σταθμισμένα ελάχιστα τετράγωνα» (Weighted Least Squares). Ως εδώ η αντιμετώπιση το προβλήματος της ετεροσκεδαστικότητας φαίνεται να είναι απόλυτα επιτυχής με τα GLS, όμως θεωρήσαμε ως δεδομένα ότι: (α)υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα (β) γνωρίζουμε τα διαγώνια στοιχεία του Ω. Στην πράξη apriori δεν γνωρίζουμε ούτε το (α) ούτε το (β). Το πρώτο λοιπόν ερώτημα που πρέπει να απαντηθεί είναι πως 2 ανιχνεύουμε την ετεροσκεδαστικότητα στα δεδομένα μας; Αφού τα σ i μπορούν να είναι γνωστά μόνο όταν μας είναι γνωστοί οι πληθυσμοί των Y i X i αναγκαστικά ανατρέχουμε στα κατάλοιπα U i που ελπίζουμε ότι είναι καλές εκτιμήσεις των διαταραχών U i. Έτσι αναπόφευκτα εκτιμάμε αρχικά το υπόδειγμα με OLS ώστε να έχουμε τα U i. Μια πρώτη εικόνα μπορούμε να έχουμε από τη γραφική παράσταση των U i2 με κάθε μια από τις ανεξάρτητες μεταβλητές, αλλά και με την Y i. Η μορφή της γραφικής παράστασης μπορεί να υποδηλώνει και το χαρακτήρα της ετεροσκεδαστικότητας, αν υπάρχει. Βέβαια υπάρχουν και πιο αυστηρές μέθοδοι και μάλιστα αρκετές, αν και κάποιες παλαιότερες εξ αυτών (π.χ. έλεγχος Park, έλεγχος Glejser) έχουν δεχθεί κριτική για την ορθότητα τους. Ενδεικτικά θα περιγράψουμε τον έλεγχο Goldfield Quandt και τον έλεγχο White. Έλεγχος Goldfield Quandt Έστω το υπόδειγμα: Y i = β 1 + β 2 X i + U i : Υποθέτουμε ότι ισχύει: σ i 2 = σ 2 X i 2, ή έστω ότι το σ i 2 είναι μονότονη 8

συνάρτηση κάποιας από τις επεξηγηματικές μεταβλητές. Για τον έλεγχο ετεροσκεδαστικότητας ακολουθούμε τα επόμενα βήματα: 1 ο. Κατατάσσουμε τις παρατηρήσεις μας κατά σειρά μεγέθους ως προς την X i (και έστω κατά αύξουσα τάξη). 2 o. Παραλείπουμε τις C μεσαίες παρατηρήσεις και χωρίζουμε τις (N C) υπόλοιπες (Ν-C) σε δυο ομάδες των 2 παρατηρήσεων. 3 o. Εκτιμάμε για κάθε ομάδα χωριστά ένα υπόδειγμα OLS παλινδρόμησης. Έστω RSS1, RSS2 τα αθροίσματα των τετραγώνων των υπολοίπων για τις ομάδες με τις μικρότερες και τις μεγαλύτερες τιμές Χ i αντίστοιχα. 4 o. Υπολογίζουμε το λόγο: λ = RSS 2 df RSS 1 df (στατιστικό Goldfeld-Quant) όπου οι β.ε., είναι (N C) K με Κ τον αριθμό των παραμέτρων του 2 υποδείγματος. Αν U i κατανέμονται κανονικά ο λ ακολουθεί κατανομή F με df, df βαθμούς ελευθερίας (df = (N C) K) 2 Η Ho: δεν υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα, απορρίπτεται αν η τιμή του λ βρεθεί > της κρίσιμης τιμής της F κατανομής για προεπιλεγμένο επίπεδο σημαντικότητας και τους δεδομένους β.ε. Η αφαίρεση των C μεσαίων παρατηρήσεων γίνεται ώστε η διαφορά RSS μεταξύ των δύο ομάδων να είναι πιο έντονη. Για μικρά δείγματα (Ν< 30) το C μπορεί να είναι μεταξύ 4 και 8. Εφαρμογή Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται τα δεδομένα για τις καταναλωτικές δαπάνες και το εισόδημα για 30 οικογένειες. Υποθέτοντας ένα γραμμικό υπόδειγμα C i = β 1 + β 2 I i + U i να εξετασθεί η ύπαρξη ετεροσκεδαστικότητας. Λύση Αφού ανακατατάξουμε τα δεδομένα κατά αύξουσα τάξη ως προς Ι και 9

αφαιρέσουμε τις 4 μεσαίες παρατηρήσεις εκτιμάμε τις OLS παλινδρομήσεις για κάθε ομάδα: C 1i = 3,41 + 0,699I 1i RSS 1 = 377,17 (S. E) (8,7 ) (0,074 ) df = 11 C 2i = 28,02 + 0,794I 2i RSS 2 = 1536,8 (S. E. ) (30,6 ) (0,131 ) df = 11 Από πίνακα της κατανομής F βρίσκουμε: F 0,05 (11, 11 ) = 2,82 Επειδή η ευρεθείσα τιμή είναι > της κρίσιμης απορρίπτουμε την Ho και επομένως δεχόμαστε την ύπαρξη ετεροσκεδαστικότητας. Δεδομένα σε αύξουσα σειρά ως προς Χ Y X Y X 55 80 55 80 65 100 70 85 70 85 75 90 80 110 65 100 79 120 74 105 84 115 80 110 98 130 84 115 95 140 79 120 90 125 90 125 75 90 98 130 74 105 95 140 110 160 108 145 113 150 113 150 125 165 110 160 108 145 125 165 115 180 115 180 140 225 130 185 120 200 135 190 145 240 120 200 130 185 140 205 Middle 4 Observations 10

152 220 144 210 144 210 152 220 175 245 140 225 180 260 137 230 135 190 145 240 140 205 175 245 178 265 189 250 191 270 180 260 137 230 178 265 189 250 191 270 Έλεγχος White Ένας άλλος πολύ διαδεδομένος έλεγχος για ύπαρξη ετεροσκεδαστικότητας είναι ο έλεγχος White. Στα πλεονεκτήματα του ελέγχου αυτού συμπεριλαμβάνεται το γεγονός ότι δεν προϋποθέτει τον καθορισμό των μεταβλητών που προκαλούν την ετεροσκεδαστικότητα και επιπλέον δεν προϋποθέτει οι διαταρακτικοί όροι να ακολουθούν την κανονική κατανομή. Τονίζεται πάντως ότι ο έλεγχος White είναι ασυμπτωτικός. Τα βήματα που ακολουθούμε είναι τα εξής: (1)Υπολογίζουμε τα κατάλοιπα U t που προκύπτουν από το αρχικό υπόδειγμα χρησιμοποιώντας OLS. (2)Εκτιμάμε τη λεγόμενη βοηθητική παλινδρόμηση (auxiliary regression) στην οποία η εξαρτημένη μεταβλητή είναι τα τετράγωνα των καταλοίπων που υπολογίσαμε στο (1) και επεξηγηματικές μεταβλητές όλες οι ανεξάρτητες μεταβλητές του (1), τα τετράγωνα τους, καθώς και όλα τα μεταξύ τους γινόμενα και υπολογίζουμε τον συντελεστή προσδιορισμού R 2. (3)Το στατιστικό NR 2 p 2 X (q) με q τον αριθμό των ανεξάρτητων μεταβλητών στη βοηθητική παλινδρόμηση. Αν η τιμή του στατιστικού αυτού βρεθεί < της κρίσιμης τιμής για προεπιλεγμένο επίπεδο 11

σημαντικότητας και δεδομένους β.ε. τότε η μηδενική υπόθεση (ότι όλοι οι συντελεστές στη βοηθητική παλινδρόμηση πλην του σταθερού είναι 0 δηλ. ότι δεν υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα) δεν απορρίπτεται. Αν από την άλλη πλευρά η Ho απορριφθεί αυτό σημαίνει αποδοχή ετεροσκεδαστικότητας όμως δεν έχουμε ενδείξεις για τα χαρακτηριστικά της. Σχετικά με τον έλεγχο White πρέπει να σημειώσουμε και πάλι ότι ισχύει για μεγάλα δείγματα, ενώ ένα μειονέκτημα του ειδικά όταν δεν έχουμε πολύ μεγάλο δείγμα, είναι οι πολλοί βαθμοί ελευθερίας που «σπαταλούνται» στη βοηθητική παλινδρόμηση, κάτι που μειώνει και την ισχύ του ελέγχου. Εκτιμητές ανθεκτικοί στην ετεροσκεδαστικότητα (Heteroscedasticity robust estimators) Όπως είδαμε οι OLS εκτιμητές παρουσία ετεροσκεδαστικότητας είναι μη αποτελεσματικοί και η διακύμανση τους δίνεται από τη σχέση: VAR COV(Β ) = σ 2 (Χ Χ) 1 Χ ΩΧ(Χ Χ) 1 Ακόμα και στην περίπτωση που αποφασίσει κανείς να προχωρήσει με τους OLS εκτιμητές θα πρέπει να εκτιμήσει τον πίνακα Ω. Ο White (1980) πρότεινε έναν εκτιμητή στον οποίο τα διαγώνια στοιχεία του Ω αντικαθίστανται με τα τετράγωνα των καταλοίπων από την OLS παλινδρόμηση. Ο εκτιμητής που προκύπτει (γνωστός σαν white heteroscedasticity-consistent variance covariance matrix estimator) είναι συνεπής και έτσι τα F, t-test μπορούν να χρησιμοποιηθούν ασυμπτωτικά. Για μικρά δείγματα οι Davidson and Mackinnon προτείνουν τη χρήση των (ΝU i2 ) N K αντί των U i2. Σημειώνεται ότι στις τελευταίες εκδόσεις τους όλα τα οικονομετρικά πακέτα περιλαμβάνουν τον εκτιμητή του White. 12

Εφικτά Γενικευμένα Ελάχιστα Τετράγωνα Όταν ο πίνακας Ω δεν είναι γνωστός, για την περίπτωση της ετεροσκεδαστικότητας πρέπει να γίνουν υποθέσεις σχετικά με το χαρακτήρα της ετεροσκεδαστικότητας. Οι πιο συνηθισμένες από αυτές είναι οι ακόλουθες: 2 Χ 1 0 i. E(u 2 i ) = σ 2 X 2 i τότε προφανώς Ω = [ ] 0 2 Χ Ν X 1 0 Άρα P = [ 0 1 1 X N ] Χ 1 0 ii. E(u 2 i ) = σ 2 X i τότε Ω = [ ] P = 0 Χ Ν 1 X 1 0 0 1 [ X N ] iii. E(u 2 i ) = σ 2 (E(Y i )) 2 επειδή το Ε(Y i ) δεν είναι γνωστό iv. χρησιμοποιούμε το Y i αντί αυτού. Λογαριθμίζουμε τα δεδομένα. Η συμπίεση στις κλίμακες που προκαλεί ο λογαριθμικός μετασχηματισμός αμβλύνει τις διαφορές μεταξύ των τιμών των U i2. Επιπλέον όπως γνωρίζουμε, οι συντελεστές παλινδρόμησης μας δίνουν τις ελαστικότητες οι οποίες και θεωρούνται σταθερές στο log-log υπόδειγμα. 7.4 ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΜΕ AR(1) ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ Έλεγχος αυτοσυσχέτισης με το στατιστικό Durbin-Watson Yt = β1+ β2xt + Ut στοχαστικές διαταραχές (πληθυσμιακή παλινδόμηση) κατάλοιπα Yt = β 1 + β X 2 t + e t (δειγματική παλινδρόμηση) 13

Το στατιστικό D-W χρησιμοποιεί τα et και ορίζεται ως εξής: d= N t=2 (e t e t 1 ) 2 N e2 t=1 t (=RSS) Προϋποθέσεις εφαρμογής 1. Στο οικονομετρικό υπόδειγμα πρέπει να υπάρχει σταθερός όρος. 2. Οι επεξηγηματικές μεταβλητές πρέπει να είναι μη-στοχαστικές. 3. Οι διαταραχές πρέπει να ακολουθούν ένα αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα πρώτου βαθμού δηλ. Ut= ρut-1 + εt με εt iid και ρ < 1. 4. Δεν πρέπει μεταξύ των επεξηγηματικών μεταβλητών του υποδείγματος να περιλαμβάνονται χρονικές υστερήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής όπως για παράδειγμα στο υπόδειγμα: Yt= β1+ β2xt+ β3yt-1+ Ut 5. Οι στοχαστικές διαταραχές Ut πρέπει να ακολουθούν την κανονική κατανομή. Πλεονέκτημα : Ευκολία στον υπολογισμό της τιμής του d Μειονεκτήματα : Πολλές προϋποθέσεις για να είναι δυνατή η χρήση του d. Οχι ακριβής κατανομή πιθανότητας για το d, καθώς τα et εξαρτώνται από τις εκάστοτε επεξηγηματικές μεταβλητές. Οι D-W έδωσαν πίνακα τιμών για τα dl, du με dl, du = f(n,k) όπου Κ= αριθμός επεξηγηματικών μεταβλητών στο υπόδειγμα Ν= αριθμός παρατηρήσεων. Όρια τιμών για το d N N t=2 + t=2 e 2 e t e t 1 N l2 t=1 t d= e t 2 2( e t 2 e t e) e t 2 d 2(1 ρ ) 14

και επειδή 1 ρ 1 0 d 4 για ρ = 0 d 2 για ρ = +1 (τέλεια θετική αυτοσυσχέτιση) d = 0 για ρ = 1 (τέλεια αρνητική αυτοσυσχέτιση) d = 4 (+) αυτοσυσχέτ ιση Όχι απόφα ση Όχι αυτοσυσχέτ ιση Όχι απόφα ση (-) αυτοσυσχέτ ιση 0 dl du 2 4-dU 4-dL 4 Για την εφαρμογή του ελέγχου D-W ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: 1. Εκτιμάμε το οικονομετρικό υπόδειγμα και παίρνουμε τα κατάλοιπα 2. Από τα κατάλοιπα υπολογίζουμε το d. 3. Με βάση τον αριθμό των παρατηρήσεων και τον αριθμό των επεξηγηματικών μεταβλητών στο υπόδειγμα βρίσκουμε τις κρίσιμες τιμές dl, du από το σχετικό πίνακα. 4. Αποφασίζουμε για την ύπαρξη ή μη αυτοσυσχέτισης με βάση το παραπάνω σχήμα. Διόρθωση Αυτοσυσχέτισης Καθώς παρουσία αυτοσυσχέτισης οι OLS εκτιμητές των παραμέτρων του υποδείγματος είναι μη-αποτελεσματικοί χρειάζονται διορθωτικές κινήσεις ώστε οι εκτιμητές μας να έχουν τις επιθυμητές ιδιότητες. Μεθοδολογικά είναι χρήσιμο να διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: 15

α) Όταν η δομή της αυτοσυσχέτισης στις διαταραχές είναι γνωστή. Συνήθως υποθέτουμε ένα AR(1) σχήμα για τις διαταραχές: Ut= ρut-1 + εt με ρ < 1 και εt iid. Στην περίπτωση αυτή θα έχουμε: Y t = β 1 + β 2 X t + U t ρy t 1 = ρβ 1 + ρβ 2 X t 1 + ρu t 1 (Y t ρy t 1 ) = β 1 (1 ρ) + β 2 (X t ρx t 1 ) + (U t ρu t 1 ) ε t ( ) X t = β 1 + β 2 X t + ε t (*) Εξίσωση γενικευμένων διαφορών (Generalized difference equation or Quasi difference equation) Καθώς το εt στην εξίσωση γενικευμένων διαφορών πληροί όλες τις προϋποθέσεις ώστε οι OLS εκτιμητές να είναι BLUE μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο OLS ώστε να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους στο υπόδειγμα με τις μετασχηματισμένες μεταβλητές. Σημειώνεται ότι γράφοντας το υπόδειγμα σε χρόνο t-1 και εν συνεχεία αφαιρώντας ένα ποσοστό (=ρ) των τιμών των μεταβλητών τη χρονική στιγμή t-1 από τις αντίστοιχες τιμές των μεταβλητών αυτών τη χρονική στιγμή t, χάνεται η πρώτη παρατήρηση. Αυτό δυνατόν να έχει σοβαρές συνέπειες ιδιαίτερα σε μικρά δείγματα. Για να αποφύγουμε κάτι τέτοιο για τις πρώτες παρατηρήσεις των Yt, Xt χρησιμοποιούμε το μετασχηματισμό Prais-Winsten: Y 1 = Y 1 (1 ρ 2 ) X 1 = X 1 (1 ρ 2 ) 16

Συμπλήρωση για την εκτίμηση του συντελεστή αυτοσυσχέτισης για μικρά δείγματα Στην περίπτωση μικρών δειγμάτων η σχέση d 2(1 ρ ) δεν ισχύει. Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε την κατά Theil Nagar τροποποίηση για την εκτίμηση του ρ που δίνεται από την σχέση: ρ = N2 (1 d 2 ) + K2 N 2 K 2 όπου Ν= μέγεθος δείγματος, Κ= αριθμός συντελεστών συμπεριλαμβανομένου και του σταθερού όρου. Για δεδομένο Κ για Ν έχουμε: ρ = (1 d 2 )+K2 N 2 1 K2 N 2 lim N ρ = 1 d 2 β) Όταν η δομή της αυτοσυσχέτησης στις διαταραχές δεν είναι γνωστή. Ακολουθούμε μία διαδικασία δύο σταδίων A. Γίνεται εκτίμηση του ρ (υπάρχουν διάφορες μέθοδοι γι αυτό το σκοπό) B. Χρησιμοποιούμε την εκτίμηση του ρ για να μετασχηματίσουμε τις μεταβλητές μας και να γίνει η εκτίμηση των συντελεστών μέσω της γενικευμένης εξίσωσης διαφορών. Επειδή έχουμε την εκτίμηση των συντελεστών της τιμής του ρ και όχι την αληθή τιμή η μέθοδος είναι γνωστή ως FGLS ή EGLS. Σημαντική παρατήρηση: 17

Όταν χρησιμοποιούμε έναν εκτιμητή ανεξαρτήτου της αληθούς τιμής οι OLS εκτιμήσεις των συντελεστών έχουν τις επιθυμητές ιδιότητες μόνο ασυμπτωτικά δηλαδή σε μεγάλα δείγματα το ίδιο ισχύει και για ελέγχους υποθέσεων. Εκτίμηση του ρ 1. Από D-W 2. Εκτίμηση από τα κατάλοιπα u t = ρ u t 1 + + E t 3. Επαναληπτικές μέθοδοι: Cochrane-Orcutt Hilbert-Lu Καθαρή και επαγόμενη αυτοσυσχέτιση Η αυτοσυσχέτιση στις διαταραχές ενός υποδείγματος παλινδρόμησης μπορεί να διακριθεί σε «καθαρή» κα «επαγόμενη». Αυτό εξαρτάται από το κατά πόσον το υπόδειγμα είναι σωστά ορισμένο. Για ένα σωστά ορισμένο υπόδειγμα η αυτοσυσχέτιση στις διαταραχές μπορεί να οφείλεται στο ότι η αυτοσυσχέτιση που εμφανίζεται σε κάποιες μεταβλητές που υπεισέρχονται στο υπόδειγμα δεν αντισταθμίζεται μέσω του υποδείγματος και έτσι μεταφέρεται στο διαταρακτικό όρο. Επιπλέον, είναι δυνατό η αυτοσυσχέτιση να οφείλεται στο γεγονός ότι ενώ το υπόδειγμα είναι σωστά ορισμένο, η εξαρτημένη μεταβλητή έχει μετρηθεί με σφάλμα. Αυτή η αυτοσυσχέτιση ονομάζεται καθαρή αυτοσυσχέτιση, και δεν είναι δυνατό να εξαλειφθεί όσο η εκτίμηση του 18

υποδείγματος γίνεται με OLS. Περισσότερο συνηθισμένη είναι η περίπτωση της εμφάνισης αυτοσυσχέτισης στις διαταραχές λόγω εσφαλμένης εξειδίκευσης του υποδείγματος. Το σφάλμα εξειδίκευσης μπορεί να οφείλεται: (i) Σε παράλειψη μιας ή περισσότερων ερμηνευτικών μεταβλητών. Σε αυτή την περίπτωση αν η μεταβλητή που έχει παραληφθεί εμφανίζει αυτοσυσχέτιση, η αυτοσυσχέτιση αυτή μεταφέρεται στις διαταραχές. (ii) Σε λάθος συναρτησιακή μορφή. Για παράδειγμα αν η σωστή εξειδίκευση του υποδείγματος απαιτεί πολυωνυμική παλινδρόμηση και αντ αυτής χρησιμοποιηθεί γραμμική παλινδρόμηση τότε στις διαταραχές θα αποτυπωθεί η αδυναμία του υποδείγματος να ερμηνεύσει τις μη γραμμικές διακυμάνσεις της εξαρτημένης μεταβλητής με τη μορφή (θετικής στη συγκεκριμένη περίπτωση) αυτοσυσχέτισης. Η αυτοσυσχέτιση που εμφανίζεται σε αυτές τις περιπτώσεις ονομάζεται επαγόμενη αυτοσυσχέτιση και είναι δυνατό να εξαλειφθεί στο πλαίσιο των OLS εκτιμήσεων των συντελεστών του υποδείγματος, εφόσον αναιρεθούν οι αιτίες που την προκαλούν. 7.5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1) Επειδή στα εφικτά γενικευμένα ελάχιστα τετράγωνα τα στοιχεία του πίνακα Ω είναι εκτιμήσεις των πραγματικών τιμών, τα FGLS έχουν ισχύ ασυμπτωτικά. Για αυτό το λόγο και όλοι οι στατιστικοί έλεγχοι π.χ. t- test, F-test ισχύουν ασυμπτωτικά δηλ. για μεγάλα δείγματα. Για μικρά δείγματα εάν η ακρίβεια στην εκτίμηση του Ω δεν είναι καλή τότε η υπεροχή των FGLS εκτιμητών έναντι των εκτιμητών OLS αμφισβητείται. Αν για παράδειγμα σε ένα 19

υπόδειγμα υπάρχει στα κατάλοιπα αυτοσυσχέτιση που περιγράφεται από ένα AR(2) υπόδειγμα και εσφαλμένα χρησιμοποιηθεί AR(1) υπόδειγμα, οι εκτιμήσεις FGLS είναι χειρότερες των OLS εκτιμήσεων, όπως έδειξε σχετική μελέτη από τον Engle (1973). Από την άλλη πλευρά πάλι για την περίπτωση αυτοσυσχετιζόμενων καταλοίπων οι Rao and Griliches (1969) έδειξαν με πειράματα Monte Carlo για μικρά δείγματα ότι οι FGLS εκτιμητές υπερέχουν των OLS εκτιμητών για υπόδειγμα AR(1) στα κατάλοιπα και ρ 0.3 όπου ρ ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης. 2) Για την ετεροσκεδαστικότητα, σε κάθε περίπτωση ο μετασχηματισμός των δεδομένων με τον πίνακα P δημιουργεί μια επιπλέον μεταβλητή, αφού και η σταθερά του αρχικού υποδείγματος πολλαπλασιάζεται με P. Έτσι για τα μετασχηματισμένα δεδομένα θα πρέπει να εκτιμήσουμε ένα υπόδειγμα χωρίς σταθερό όρο. Εξαίρεση αποτελεί η περίπτωση (i) της προηγούμενης ενότητας, καθώς αν διαιρέσουμε με Χi ο συντελεστής παλινδρόμησης β 2 στο υπόδειγμα Y i = β 1 + β 2 X i + U i μετατρέπεται σε σταθερό όρο. Άρα στην περίπτωση αυτή έχουμε και στα μετασχηματισμένα δεδομένα μια ανεξάρτητη μεταβλητή την 1 και υπόδειγμα με X i σταθερό όρο. 3) Αν γίνει χρήση του λογαριθμικού μετασχηματισμού χρειάζεται προσοχή στα αρχικά δεδομένα καθώς δεν πρέπει να εμπεριέχονται σ αυτά αρνητικές τιμές. Ένας τρόπος να αποφύγουμε αυτό το πρόβλημα είναι αντί για ln Y i, ln X i να 20

χρησιμοποιήσουμε ln(y i + K), ln(x i + K) όπου K>0 τέτοιος ώστε Y i + K > 0 i, X i + K > 0 i. 4) Για τα εφικτά γενικευμένα ελάχιστα τετράγωνα η περίπτωση (iii) έχει νόημα όταν στο υπόδειγμα έχουμε περισσότερες της μίας επεξηγηματικές μεταβλητές. Διαφορετικά η (iii) εμπίπτει στην (i). 5) Με τους ad-hoc μετασχηματισμούς υπάρχει ο κίνδυνος δημιουργίας εσφαλμένων συσχετίσεων. Αν π.χ. οι Y i, X i δεν συσχετίζονται και τις μετασχηματίσουμε ως Y i X i τελευταίες ενδέχεται να συσχετίζονται. και, 1 X i οι 6) Επειδή μία εσφαλμένη εξειδίκευση ενός υποδείγματος μπορεί να προκαλέσει στατιστικά σημαντικές τιμές του D-W test, το στατιστικό αυτό δύναται να χρησιμεύσει και ως έλεγχος ορθής εξειδικεύσεως ενός υποδείγματος. Επιπρόσθετα, επειδή η τιμή του D-W υπόκειται σε σημαντικές μεταβολές όταν η αυτοσυσχέτιση είναι επαγόμενη και εκτιμώνται διαφορετικές εξειδικεύσεις, το D-W μπορεί να χρησιμεύσει και για τον χαρακτηρισμό της αυτοσυσχέτισης ως «καθαρής», ή «επαγόμενης». 7.6 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Για το υπόδειγμα: Υt = βxt +Ut πληρούνται όλες οι υποθέσεις του θεωρήματος Gauss-Markov, εκτός από το ότι η διακύμανση του στοχαστικού όρου δεν είναι σταθερή, αλλά περιγράφεται από τη σχέση: VAR(Ut)= σ 2 Xt. Να δείξετε ότι ο βέλτιστος γραμμικός αμερόληπτος 21

εκτιμητής (BLUE) του β ισούται με Y X. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε χωρίς απόδειξη την παρακάτω σχέση που μας δίνει τον OLS εκτιμητή του β: ˆ N i 1 N i 1 X Y i X 2 i i όπου Ν το μέγεθος του δείγματος. 2) Να απαντήσετε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι σωστές ή λάθος. Δικαιολογείστε με συντομία τις απαντήσεις σας. α) Όταν υπάρχει αυτοσυσχέτιση οι OLS εκτιμητές είναι μεροληπτικοί και ασυνεπείς. β) Η παράλειψη μίας σημαντικής ερμηνευτικής μεταβλητής από το υπόδειγμα μπορεί να προκαλέσει στατιστικά σημαντική τιμή στο στατιστικό DW. γ) Η διαδικασία των FGLS δίνει εκτιμητές που έχουν τις επιθυμητές ιδιότητες μόνο ασυμπτωτικά, δηλ. για μεγάλα δείγματα. 3) Από τα δεδομένα 30 παρατηρήσεων για τις μεταβλητές Υ, Χ1, Χ2 εκτιμήθηκε με OLS το παρακάτω υπόδειγμα: Υt = - 1,8 + 0,27X1t + 0,44X2t + et Rad 2 = 0,96 DW = 0,52 (t) (2,5) (3,5) (1,97) (α) Να ελεγχθεί η ύπαρξη αυτοσυσχέτισης στα κατάλοιπα. 22

(β) Είναι δυνατό να εξετάσουμε τη στατιστική σημαντικότητα των συντελεστών του υποδείγματος; (γ) Να βρεθεί μια εκτίμηση του συντελεστή αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης στις στοχαστικές διαταραχές. (δ) Με ποιό τρόπο θα χρησιμοποιούσατε την παραπάνω εκτίμηση του συντελεστή αυτοσυσχέτισης ώστε οι εκτιμήσεις των συντελεστών του υποδείγματος να είναι BLUE; 23