(μονάδα παραγωγής ενέργειας) Έχουμε μια απομακρυσμένη μονάδα παραγωγής ενέργειας. Η ζήτηση σε ενέργεια καλύπτεται από διάφορες πηγές. Η ισχύς εξόδου της ανεμογεννήτριας εξαρτάται από την ταχύτητα ανέμου με την σχέση P k V 3 όπου V η ταχύτητα του ανέμου η οποία είναι τυχαία AN μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας της παρακάτω μορφής: Για το υδροηλεκτρικό εργοστάσιο παραγωγής ενέργειας, η ισχύς εξόδου είναι P όπου h B είναι το ύψος της βροχόπτωσης που είναι Y k h B κατανεμημένο σύμφωνα με τον πίνακα: Βροχόπτωση (mm) 00 0 40 60 80 00 Πιθανότητα (%) 5 5 8 30 0 )Να παραχθούν δείγματα της ταχύτητας του ανέμου με βάση τους αριθμούς : 0.7, 0.65, 0.83. )Να παραχθούν τυχαία δείγματα του ύψους της βροχόπτωσης με βάση τους αριθμούς 0.8, 0.46, 0.73. 3)Κατά την διεξαγωγή της προσομοίωσης βρέθηκε ότι το h B που αντιστοιχεί στον τυχαίο αριθμό 0.6 δίνει ισχύ P Y 94KW Να βρεθεί η μεταβλητή k.
(μονάδα παραγωγής ενέργειας) ) Από την γραφική παράσταση της συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της ταχύτητας ανέμου έχουμε ότι το εμβαδόν είναι ίσο με μονάδα. Έτσι έχω ότι: E (9 ) a a Άρα η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι η: 0, V V, V 5 f ( V ) 6 V 5, 5 V 9 4 6 0, V 9 και από εδώ μπορούμε μ να υπολογίσουμε την συνάρτηση ρηηκατανομής πιθανότητας ως εξής : 4 F 0, ( V ), 3 V 8V 3, V ( V ) f ( t) dt V V 5 49,5 V 9 V 9
(μονάδα παραγωγής ενέργειας) Θέτω R 0, V ( V ), V 5 F( V ) 3 V V 8V 49,5 V 9, 3 V 9 9 3R, 0 R 0.5 3 3R,0.5 R Οπότε έχουμε συνδέσει την τυχαία δείγμα με το τυχαίο αριθμό. Έτσι μπορούμε ναπαράγουμε τα τυχαία δείγματα: Τυχαίος αριθμός Τυχαίο Δείγμα 0.7 3.94m/sec 0.65 5.65 m/sec 0.83 6.67 m/sec
(μονάδα παραγωγής ενέργειας) ) Από την κατανομή της πιθανότητας του ύψους της βροχόπτωσης, μπορούμε να παράγουμε την συνάρτηση κατανομής πιθανότητας ως εξής: 0.00, hb 00 0.05,00 hb 0 0.0,0 hb 40 F( hb ) 0.38,40 hb 60 0.68,60 hb 80 0.90,80 hb 00.00,00 h B με γραφική αναπαράσταση :
(μονάδα παραγωγής ενέργειας) Έτσι προκύπτει ότι η αντιστοίχηση μεταξύ τυχαίου αριθμού και τυχαίου δείγματος δίνεται από την παρακάτω συνάρτηση: h B 00,0.000 R 0.0505 0,0.05 R 0.0 40,0.0 R 0.38 60,0.380 R 0.68 80,0.68 R 0.90 00,0.90 R.00 Συνεπώς μπορούμε να πάρουμε τα τυχαία δείγματα ως εξής: Τυχαίος αριθμός Τυχαίο Δείγμα 0.8 0 046 0.46 60 0.73 80 3) Για R=0.6 το τυχαίο δείγμα που προκύπτει είναι h B = 60 (mm). Έτσι: 94 k 60 k 5. 3 KW mm
(προσομοίωση συστήματος) Έχουμε ένα σύστημα το οποίο παίρνει δύο εισόδους (x,x ) και παράγει μια έξοδο (y) η οποία εξαρτάται από τα τις μεταβλητές εισόδου με την παρακάτω σχέση: y x 5x x, 3x αν, αν Η είσοδοι έχουν τις ακόλουθες συναρτήσεις ρή πυκνότητας πιθανότητας: x x x x x 3 4 5 P(x ) 0.5 0.3 0.30 0.3 0.0 Να παραχθούν τυχαία δείγματα της x με τους τυχαίους αριθμούς 0.3, 0.57, 0.9 και αντίστοιχα της x με τους τυχαίους αριθμούς 0.63, 0.45, 0.84. Να προσομοιωθεί η έξοδος y, σύμφωνα με τα παραπάνω δείγματα. Πόσες επαναλήψεις είναι αρκετές (0, 500, 000) ώστε να προσομοιώσουμε το σύστημα;
(προσομοίωση συστήματος) Για την x από την γραφική της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας, 4 3 έχουμε ότι το εμβαδόν είναι μονάδα. Άρα: E Έτσι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι: x,0 x f ( x ) 7, 4 7 x Συνεπώς μπορούμε να υπολογίσουμε την συνάρτηση κατανομής πιθανότητας: x x, 0 x F( x 7 ) f ( t) dt x, x 4 7 Θέτω. 7R, 0 R R F( x 7 ) x 7R, R 7 Οπότε για τους τυχαίους αριθμούς που μας δόθηκαν, έχουμε τα παρακάτω τυχαία δείγματα: R x 0.3,585 0.57,495 0.9 3,70 7
(προσομοίωση συστήματος) Για την x έχουμε την παρακάτω γραφική αναπαράσταση της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας: Και μπορούμε να παράγουμε την συνάρτηση κατανομής πιθανότητας: F ( x ) 0.00, x 0.5, x 0.47, x 3 0.77, 3 x 4 0.90, 4 x 5.00, 5 x
(προσομοίωση συστήματος) Οπότε από την γραφική παράσταση έχω:, 0.00 R 0. 5, 0.5 R 0.47 x 3, 0.47 R 0.77 4, 0.77 R 0.90 5, 0.90 R.00 Οπότε για τους τυχαίους αριθμούς που μας δόθηκαν, έχουμε τα παρακάτω τυχαία δείγματα: Για το σύστημα έχουμε: R x 0.63 3 0.45 0.84 4 x x y,585 3 6.95,495 0.495 3,70 4 30.6 Στην επιχειρησιακή έρευνα, σημαντικός παράγοντας είναι το κόστος. Η κάθε επανάληψη κοστίζει. Άρα δεν υπάρχει μονοσήμαντη απάντηση. Εξαρτάται από πολλούς παράγοντες, ο κυριότερος των οποίων είναι το κόστος κάθε επανάληψης.
(σύστημα αναμονής συνεχείς μεταβλητές) Έχουμε ένα σύστημα αναμονής με ένα εξυπηρετητή. Η σχετική συχνότητα του χρόνου μεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη μεταξύ και 7 λεπτών. Αντίστοιχα η σχετική συχνότητα της διάρκειας εξυπηρέτησης είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη μεταξύ 5 και 5 λεπτών.. Χρησιμοποιώντας τους τυχαίους αριθμούς 0., 0.3, 0.8, 0.4 και 0. να παραχθούν τυχαία δείγματα του χρόνου μεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων.. Ομοίως για τους τυχαίους αριθμούς 0.4, 0.7, 0.6, 0.9, 0.5 να παραχθούν τυχαία δείγματα του χρόνου εξυπηρέτησης. η ης 3. Με βάση τα παραπάνω ερωτήματα να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας A/A πελάτη άφιξης έναρξης εξυπηρέτησης λήξης εξυπηρέτησης αναμονής στην ουρά 3 4 5
(σύστημα αναμονής συνεχείς μεταβλητές) ) Έστω Χ η τυχαία μεταβλητή που αντιπροσωπεύει τον χρόνο άφιξης του επόμενου πελάτη. Η γραφική αναπαράσταση της σχετικής συχνότητας είναι η: Το εμβαδόν είναι μονάδα. Άρα: E (7 ) Έτσι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι:. 5 f ( X ), X 7 5 και η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας είναι: F( x) x 5 dt x 5
(σύστημα αναμονής συνεχείς μεταβλητές) Θέτω R x F( x) x 5R 5 Οπότε για τους δοσμένους τυχαίους αριθμούς έχω τα παρακάτω τυχαία δί δείγματα του χρόνου μεταξύ δύο διαδοχικώνδ αφίξεων: Τυχαίος Αριθμός μεταξύ διαδοχικών αφίξεων 0 0. 5.5 0.3 3.5 0.8 6 0.4 4 0. 3
(σύστημα αναμονής συνεχείς μεταβλητές) ) Αντίστοιχα έστω Y η τυχαία μεταβλητή που αντιπροσωπεύει τον χρόνο εξυπηρέτησης. Η συνάρτηση πιθανότητας είναι : Και το εμβαδόν είναι μονάδα. Άρα: Έτσι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι: E (5 5) b b 0 f ( Y ),5 Y 5 0 και η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας είναι: Θέτω y 5 R F ( y ) y 0 R 5 0 y y 5 F( y) dt 0 0
(σύστημα αναμονής συνεχείς μεταβλητές) Οπότε για τους δοσμένους τυχαίους αριθμούς έχω τα παρακάτω τυχαία δείγματα του χρόνου εξυπηρέτησης: Τυχαίος Αριθμός εξυπηρέτησης 0.4 9 0.7 0.6 0.9 4 0.5 0 3) Με βάση τα παραπάνω συμπληρώνουμε τον πίνακα:. A/A πελάτη άφιξης λήξης έναρξης αναμονής εξυπηρέτησης εξυπηρέτησης η ης στην ουρά.5.5.5+9=.5.5-.5=0.5+3.5=6.5.5+=3.5.5-6=5.5 3 6+6= 3.5 3.5+=34.5 3.5-=.5 4 +4=6 34.5 34.5+4=48.5 34.5-6=8.5 5 6+3=9 48.5 48.5+0=58.5 48.5-9=9.5 Οπότε μπορούμε να υπολογίσουμε τον μέσο χρόνο αναμονής στην ουρά 0 5.5.5 8.5 9.5 M. X. A. O. 3 5
(σύστημα αναμονής διακριτές μεταβλητές) Έχουμε ένα σύστημα αναμονής με ένα εξυπηρετητή: Μεταξύ αφίξεων (min) 3 Σχετική Συχνότητα 0.5 0.50 0.5 Διάρκεια Εξυπηρέτησης (min) 3 Σχετική Συχνότητα 050 0.50 05 0.5 05 0.5.Χρησιμοποιώντας τους τυχαίους αριθμούς 0.4, 0.4, 0.94, 0.47 να παραχθούν τυχαία δείγματα του χρόνου μεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων..ομοίως για τους τυχαίους αριθμούς 0.60, 0.8, 0.0, 0.4 να παραχθούν τυχαία δείγματα του χρόνου εξυπηρέτησης. 3.Με βάση τα παραπάνω ερωτήματα νασυμπληρωθεί οπαρακάτω πίνακας A/A πελάτη άφιξης έναρξης εξυπηρέτησης λήξης εξυπηρέτησης αναμονής στην ουρά 3 4
(σύστημα αναμονής διακριτές μεταβλητές) ) Έστω Χ η τυχαία μεταβλητή που αντιπροσωπεύει τον χρόνο άφιξης του επόμενου πελάτη. Από την σχετική συχνότητα έχω ότι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι : 0.5, x f (x) 0.5, x 0.5, x 3 Δηλαδή, αυτή που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Ενώ η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας είναι :
(σύστημα αναμονής διακριτές μεταβλητές) Άρα σε πίνακα το παραπάνω σχήμα γίνεται : άφιξης Πιθανότητα Χ min 0 έως 0.5 Χ min 0.6 έως 0.75 Χ 3 min 0.76 έως Για τους τυχαίους αριθμούς που μας έχουν δοθεί, παράγουμε τα παρακάτω τυχαία δείγματα του χρόνου μεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων: Τυχαίος Αριθμός ςμεταξύ διαδοχικών αφίξεων Α/Α πελάτη 0.4 min ος πελάτης 0.4 min ος πελάτης 094 0.94 3 min 3ος πελάτης 0.47 min 4ος πελάτης
(σύστημα αναμονής διακριτές μεταβλητές) ) Έστω Y η τυχαία μεταβλητή που αντιπροσωπεύει τον χρόνο άφιξης του επόμενου πελάτη. Από την σχετική συχνότητα έχω ότι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι : 0.5, y f (y) 0.5, y 05 0.5, y 3 Δηλαδή, αυτή που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα: Ενώ η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας είναι :
(σύστημα αναμονής διακριτές μεταβλητές) Άρα σε πίνακα το παραπάνω σχήμα γίνεται : εξυπηρέτησης Πιθανότητα Y min 0 έως 0.50 Y min 0.5 έως 0.75 Y 3 min 0.76 έως Για τους τυχαίους αριθμούς που μας έχουν δοθεί, παράγουμε τα παρακάτω τυχαία δείγματα του χρόνου εξυπηρέτησης: Τυχαίος Αριθμός εξυπηρέτησης Α/Α πελάτη 0.60 min ος πελάτης 0.8 3 min ος πελάτης 0.0 min 3ος πελάτης 0.4 min 4ος πελάτης
(σύστημα αναμονής διακριτές μεταβλητές) 3) Με βάση τα παραπάνω συμπληρώνουμε τον πίνακα: A/A λήξης έναρξης αναμονής πελάτη άφιξης εξυπηρέτησης εξυπηρέτησης στην ουρά +=3 -=0 += 3 3+3=6 3-= 3 3+=5 6 6+=7 6-5= 4 5+=7 7 7+=8 7-7=0 A
Slide 6 A Αν ο χρόνος άφιξης είναι μεγαλύτερος από τον Χρόνο Λήξης εξυπηρέτησης του τελευταίου πελάτη,τότε βάζουμε αυτόν σαν χρόνο έναρξης εξυπηρέτησης Abot; 0//004