ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Η ΕΞΙΣΩΣΗ αχ +βχ+γ=0, α ¹ 0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ v Εξίσωση δευτέρου βαθμού καλείται η εξίσωση της μορφής : αχ + βχ + γ = 0, α ¹ 0 () v Για την επίλυση της εξίσωσης (), σημαντικό ρόλο παίζει η διακρίνουσα : Δ = β - 4αγ v Οι λύσεις της εξίσωσης () λέγονται και ρίζες αυτής. Υπολογίζονται με τη βοήθεια της διακρίνουσας σύμφωνα με τον πίνακα : Δ > 0 -β ± η () έχει δυο άνισες ρίζες τις : χ, = α Δ = 0 - β η () έχει μια διπλή ρίζα, την χ 0 = α Δ < 0 η () δεν έχει πραγματικές ρίζες Δ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να προσδιοριστούν οι συντελεστές α, β, γ ώστε οι παρακάτω εξισώσεις να τίθενται στη μορφή αχ +βχ+γ=0. ι) χ -5χ+4=0 ιι) -χ +8=0 ιιι) χ -χ=λχ- ιν) χ =(χ+). Να βρεθεί η διακρίνουσα σε κάθε περίπτωση: ι) χ -5χ+=0 ιι) χ -χ+3=χ ιιι) χ -λχ =χ-λ 3. Να βρεθεί το πλήθος των ριζών σε καθεμία από τις παρακάτω εξισώσεις: ι ) χ +χ+4 = 0 ιι ) χ -4χ+3 =0 ιιι ) χ + 6 3 χ+ =0 ιν ) χ - 4 7 χ+ 5 + = 0 ν ) αχ -(4 α+)χ + =0 νι ) χ -χ+α + =0 4. Να λυθούν οι εξισώσεις: ι) χ +8 =0 ιι ) χ -8χ-9 =0 ιιι ) 3χ -7χ-5 =0 ιν ) -4χ -7χ+ =0 ν ) χ =χ +6 νι ) 3χ(χ-)=χ - Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

νιι ) χ -χ+80=0 νιιι) χ -3χ+6=0 ιχ) (χ-) +(χ+) =9 χ ) (χ-) -3(χ-)=0 χι ) χ -9λχ+4λ =0 5. Ομοίως οι εξισώσεις : ι ) 9χ -36 = 0 ιι ) 4χ +6χ=9χ -5χ ιιι ) (χ+ 4 )(χ- 4 ) = ιν ) 5χ - 5 χ+ =0 ν ) 9χ -3(+ )χ+ =0 νι ) χ +( 3 -)χ- 3 = 0 νιι ) χ +( 3-3)χ-6 3 = 0 ιχ ) χ -( 3 + )χ+ 6 = 0 6. Ομοίως οι εξισώσεις : ι ) χ - 5 - = 0 ιι ) χ + + 3-6 = 0 7. Να προσδιοριστεί ο λ ώστε η εξίσωση χ +χ-+3λ=0 να έχει: ι) δυο πραγματικές και άνισες ρίζες ιι) μια διπλή ρίζα ιιι) καμία πραγματική ρίζα 8. Για ποιες τιμές του κ η εξίσωση : -χ +9χ+χ -κ+9 = 0 έχει ρίζα το -. Για καθεμιά από τις τιμές του κ που θα βρείτε, λύστε την εξίσωση. 9. Για ποιες τιμές των κ, λ η εξίσωση : 5χ +(κ-)χ+λ+4 = 0, έχει διπλή ρίζα το 0 ; 0. Να αποδείξετε ότι οι εξισώσεις : χ +5χ+α = 0 και χ +αχ+α +4 α -5=0 έχουν το ίδιο πλήθος λύσεων ;. Να αποδείξετε ότι αν η εξίσωση : ( α+β)χ +4αχ-4β = 0, έχει διπλή ρίζα, τότε η εξίσωση : (α +β )χ -3χ+(α+β) = 0, έχει δυο άνισες ρίζες.. Να λυθεί για τις διάφορες τιμές του α η εξίσωση : (α-)χ + (+ α)χ + 3+4α = 0 3. Να λυθούν οι εξισώσεις : ι ) χ +(α-β)χ-4αβ =0 ιι ) 4χ -(α+4β)χ+αβ+β = 0 ιιι ) χ +3αχ- α =0 ιν ) χ -χ+-α 4 = 0 Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 3

4. Να αποδείξετε ότι για όλες τις τιμές του μ οι παρακάτω εξισώσεις είναι αδύνατες : ι ) (μ +)χ -μχ+ = 0 ιι ) 9χ + = 3μ(χ-μ) 5. Για ποιες τιμές του α οι παρακάτω εξισώσεις είναι αδύνατες ; ι ) χ(χ+α)+4 = 0 ιι ) χ +9 = 4αχ 6. Αν η εξίσωση : χ +χ+λ+ = 0, έχει διπλή ρίζα, να βρείτε : ι ) τον αριθμό λ ιι ) τη διπλή ρίζα 7. Για ποιες τιμές του α καθεμία από τις παρακάτω εξισώσεις έχει δυο ίσες ρίζες ; ι ) 4χ +4χ+α = 0 ιι ) χ +(α-4)χ+α +6α+3 = 0 8. Για ποιες τιμές του α η εξίσωση : χ(χ+) = α χ, έχει διπλή ρίζα ; Ποια είναι αυτή ; 9. Να αποδείξετε ότι αν η εξίσωση : 4χ -4χ+μ = 0, έχει ρίζα το, τότε θα έχει και άλλη ρίζα, η οποία να βρεθεί. 0. Αν χ=3 είναι η μια από τις δυο ρίζες της εξίσωσης χ +(λ+) χ+ λ =6 να προσδιοριστεί η άλλη.. Η μια κάθετη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι εκατοστά μεγαλύτερη από την άλλη κάθετη. Αν η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του τριγώνου είναι 4 εκατοστά, να βρεθεί το μήκος των κάθετων πλευρών του τριγώνου.. Η μια κάθετη πλευρά ενός ορθογωνίου είναι 7 μέτρα μικρότερη από την άλλη. Αν η διαγώνιος είναι 3 μέτρα, τότε πόσα μέτρα είναι καθεμία από τις κάθετες πλευρές του ορθογωνίου ; 3. Το μήκος μιας ορθογώνιας πισίνας είναι τριπλάσιο του πλάτους της και η πισίνα περιβάλλεται από έναν διάδρομο 4 μέτρων. Αν η συνολική έκταση που περιλαμβάνει την πισίνα και τον διάδρομο, είναι 595 τετραγωνικά να βρεθούν οι διαστάσεις της πισίνας. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 4

4. Το εμβαδόν της σελίδας ενός βιβλίου είναι : 6 cm και η μια διάσταση της είναι τα 3 της άλλης. Να βρεθούν οι διαστάσεις της σελίδας. 5. Έστω οι θετικοί α, β, γ με α ¹ γ. Οι εξισώσεις αχ +βχ+γ=0 και γχ +βχ+α=0 έχουν μια κοινή ρίζα ρ. α) Να βρεθεί ο ρ β) Να δειχθεί ότι α+ γ= β 6. Να βρεθούν οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, αν ξέρουμε ότι η περίμετρος του είναι 8 μέτρα και μια εκ των διαγωνίων του 0 μέτρα. 7. Αν α, β, γ πλευρές τριγώνου, να εξεταστεί αν η εξίσωση : χ -(α-β)χ+γ =0 έχει πραγματικές ρίζες. Άθροισμα και γινόμενο ριζών ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ v Έστω χ και χ, οι ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ = 0. Τότε συμβολίζουμε με S το άθροισμα των ριζών χ, χ και με P το γινόμενο τους. S = χ +χ = β γ - P = χ χ = α α v Η εξίσωση αχ +βχ+γ = 0, τότε γράφεται διαδοχικά : αχ +βχ+γ =0 Þ χ + α β χ + α γ = 0 Þ χ (- α β )χ + α γ = 0 Þ χ Sχ +P = 0 v Ισχύουν οι ταυτότητες : χ +χ = (χ +χ ) χ χ = S - P χ 3 +χ 3 = (χ +χ ) 3 3χ χ (χ +χ ) = S 3-3P S ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8. Να συμπληρωθούν τα κενά στις παρακάτω προτάσεις. Η εξίσωση χ +4χ+λ=0 :. έχει μια διπλή ρίζα όταν λ=. έχει δυο πραγματικές ρίζες όταν λ Î(,.) Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 5

3. δεν έχει πραγματικές ρίζες όταν λ Î(,.) 4. αν έχει ρίζα το, τότε η άλλη ρίζα είναι η. 5. αν έχει ρίζες αντίστροφους αριθμούς, τότε λ= 9. Να υπολογιστεί το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών των παρακάτω εξισώσεων: ι) χ -4χ+=0 ιι) -χ +=0 ιιι) χ =3χ ιν ) -5χ -7χ+5 =0 ν ) χ +5χ-3 = 0 νι ) χ -5χ- = 0 30. Αν χ, χ είναι ρίζες της χ + βχ+ γ = 0, να συμπληρώσετε με το κατάλληλο σύμβολο ανισότητας τα παρακάτω κενά: α ) οι χ, χ είναι ετερόσημες όταν γ..0 β ) οι χ, χ είναι θετικές όταν β..0 και γ..0 γ ) οι χ, χ είναι αρνητικές όταν β..0 και γ.0 3. Να σχηματιστεί η εξίσωση ου βαθμού όταν: ι) S=κ+λ, Ρ=κλ ιι) S=λ, Ρ=λ ιιι) S= -, Ρ= 3 3 ιν ) S = -, P = + ν ) S =, P = - 3. Αν χ, χ οι ρίζες της χ +6χ-3 = 0, να υπολογίσετε τα παρακάτω : α ) χ +χ β ) χ χ γ ) χ +χ δ ) χ 3 +χ 3 ε ) + στ ) + - - 33. Αν χ, χ οι ρίζες της εξίσωσης : χ -3χ- = 0, να υπολογιστούν : α ) χ +χ β ) χ χ γ ) + δ ) χ +χ ε ) (χ -χ ) στ ) - ζ ) ( + η ) χ 3 3 +χ ) θ ) ( - ) Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 6

34. Αν χ, χ οι ρίζες της χ +αχ+β=0, β ¹ 0 να υπολογιστούν οι παραστάσεις: ι) χ + χ χ + χ ιι) χ 3 + χ 3 ιιι) χ - 3-3 + 35. Αν η μια ρίζα της αχ +βχ+γ = 0 είναι διπλάσια της άλλης, να αποδείξετε ότι : 9αγ = β 36. Για ποια τιμή του κ, το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών της εξίσωσης : χ 8χ + κ = 0 είναι 34 ; 37. Για ποιες τιμές του λ, το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών της εξίσωσης : χ -4λχ+λ- = 0, είναι ; 38. Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε η εξίσωση : χ +4χ+3λ- = 0 να έχει ρίζες χ, χ, οι οποίες ικανοποιούν τις σχέσεις : α ) + = -4 β ) χ -χ +χ -χ = 8 39. Να βρεθεί η εξίσωση που να έχει ρίζες : α ) τα τετράγωνα των ριζών της εξίσωσης : 5χ -χ- =0 β ) τους αντιστρόφους των τετραγώνων των ριζών της : χ -8χ+3 = 0 γ ) τους αριθμούς S+ S, P+ P, όπου S, P το άθροισμα και γινόμενο των ριζών της : χ +5χ+ = 0 40. Αν χ, χ οι ρίζες της εξίσωσης : χ +5χ+6 = 0, να βρεθεί η εξίσωση με ρίζες : α ) +, + β ) + 4. Να βρεθεί η εξίσωση με ρίζες :, + α ) το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της χ -8χ+7 = 0 β ) τους αντιστρόφους των ριζών της χ -8χ+7 = 0, Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 7

γ ) τις αντίθετες των ριζών της χ -8χ+7 = 0, δ ) κατά μικρότερες από τις ρίζες της χ -8χ+7 = 0. 4. Αν α ¹ 0, και η εξίσωση : αχ +βχ+γ = 0 έχει ρίζες χ, χ, τότε : α ) να αποδείξετε ότι η εξίσωση : αχ +λβχ+λ γ = 0, έχει ρίζες τις λχ,λχ β ) να βρείτε την εξίσωση με ρίζες : -χ, -χ 43. Να συμπληρωθούν τα παρακάτω: Αν χ, χ ρίζες της αχ +βχ+γ=0, α ¹ 0 τότε:. Αν χ, χ αντίθετοι, ισχύει αβ=... Αν χ, χ αντίστροφοι, ισχύει α-γ=. b + g 3. Αν (χ -)( χ -)=0, ισχύει =. a b 4. Αν + =, =.. c c g 44. Αν χ, χ ρίζες της χ -αχ+β=0, να αποδείξετε ότι: ι) χ + χ =α -β ιι) οι χ, χ ρίζες της χ -(α -β) χ+ β =0 45. Για ποιο λ οι ρίζες της χ -3(λ-)-4λ=0 είναι: ι) αντίθετες; ιι) αντίστροφοι αριθμοί; 46. Δίνεται η εξίσωση λχ -μχ+ν=0, λν ¹ 0 με ρίζες χ, χ. Να σχηματίσετε την εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες : ι) αντίθετες των χ, χ ιι) αντίστροφες των χ, χ ιιι) α χ, α χ ιν) τα τετράγωνα των χ, χ 47. Αν χ, χ οι ρίζες της χ -(λ+)χ+λ +=0, να προσδιοριστεί ο λîr ώστε χ (3 χ -5)=5 χ +7. 48. Να εξεταστεί αν είναι δυνατόν, οι αριθμοί α, β να είναι ρίζες της εξίσωσης : χ +(α-β)χ+αβ+=0. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 8

49. Να βρεθεί η εξίσωση με ρίζες χ, χ οι οποίες επαληθεύουν τις σχέσεις : χ χ +χ +χ = και χ χ + 5(χ +χ ) = 3 50. Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση : χ +(λ+)χ + λ = 0, έχει ρίζες από τις οποίες η μια είναι τριπλάσια της άλλης ; 5. Για ποιες τιμές του λ και μ,η εξίσωση : χ -(λ+)χ+μ = 0, έχει διπλάσιες από τις ρίζες της εξίσωσης : χ -(μ+)χ+λ+ = 0. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΛΥΣΗ Β ΒΑΘΜΙΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ v Η εξίσωση : αχ 4 +βχ + γ = 0, α ¹ 0, καλείται διτετράγωνη. Λύνεται αν θέσω ψ = χ, αντικαταστήσω στην αρχική και βρώ το ψ. Μετά από την ψ = χ, βρίσκω το χ. v Η εξίσωση : (χ-χ ο ) + (ψ-ψ 0 ) = ρ, παριστάνει κύκλο κέντρου (χ ο,ψ ο ) και ακτίνας ρ. v Η εξίσωση : αχ+ βψ + γ = 0, παριστάνει ευθεία. v Γνωρίζουμε από τη Γεωμετρία οτι, οι σχετικές θέσεις μιας ευθείας και ενός κύκλου, είναι οι εξής : α ) ένα κοινό σημείο (εφαπτομένη) β ) δυο κοινά σημεία (τέμνουσα) γ ) κανένα κοινό σημείο v Η εξίσωση ψ = κχ, παριστάνει παραβολή. v Οι σχετικές θέσεις ευθείας και παραβολής είναι ίδιες με τις σχετικές θέσεις ευθείας κύκλου. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: ι) 3χ+ = 4 7 5 ιι) + = - 3 - ιιι) + = - 3 ( + ) + 3 Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 9

53. Ομοίως οι εξισώσεις: ι) χ 3-5χ +6χ=0 ιι) (χ -)(χ+3)(χ +4χ)=0 ιιι) χ = 3-4 ιν) χ - -3=0 ν) (χ+ ) +(χ+ )-=0 νι) χ 4 -χ +36=0 νιι ) χ 4-4χ - = 0 νιιι ) 4χ 4 +5χ = 0 ιχ ) χ 4 +5χ +3 =0 χ ) χ -5 +3 = 0 χι ) (χ-) - - - 6 = 0 χιι ) (- ) -7(- )+6 =0 χιιι ) χ-3 += 0 54. Να λυθούν τα συστήματα και να ερμηνευτούν γεωμετρικά οι λύσεις τους: ι) ì í î y = c c + y = 0 ιι) ì í î c + y y - c = 6 = 0 ιιι) ì í î c + y = 8 cy = -5 55. Να προσδιοριστεί για τις διάφορες τιμές του λîr, ο αριθμός των λύσεων ì y = c του συστήματος í και να δοθεί γεωμετρική ερμηνεία. c -y = l î 56. Δίνεται η ψ=χ-3λ και η παραβολή ψ=χ. Να προσδιοριστεί ο λîr, ώστε η ευθεία να έχει με την παραβολή : ι) ένα κοινό σημείο ιι) δυο κοινά σημεία ιιι) κανένα κοινό σημείο. 57. Αν ρ, ρ είναι οι ρίζες της ρ -5ρ+=0, να λυθεί το σύστημα: ì í î -y = r r + c -y = r + r 58. Να υπολογιστούν οι κάθετες πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου του 4 οποίου ο λόγος των κάθετων πλευρών είναι και η υποτείνουσα 4 ε- 5 κατοστά. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 0