Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 19 εκεµβρίου 2015 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί εκεµβρίου 2015 1 / 23
Κεφ.6. Παρεµβολή ίνονται οι τιµές µιας συνάρτησης f(x στα n + 1 σηµεία, έστω τα x i, i = 0(1n και Ϲητούµε να κατασκευάσουµε ένα πολυώνυµο p n (x, ϐαθµού το πολύ n, τέτοιο ώστε p n (x i = f(x i Το p n (x είναι µονοσήµαντα ορισµένο γιατί αν δύο πολυώνυµα ϐαθµού το πολύ n λαµβάνουν τις ίδιες τιµές για n + 1 διαφορετικές τιµές της ανεξάρτητης µεταβλητής τους τότε αυτά ταυτίζονται. Η εύρεση του πολυωνύµου παρεµβολής p n (x µας επιτρέπει να ϐρίσκουµε προσεγγιστική τιµή της συνάρτησης f(x στο οποιοδήποτε σηµείο x. Οι απλούστεροι τύποι παρεµβολής είναι εκείνοι στους οποίους τα σηµεία παρεµβολής ισαπέχουν. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί εκεµβρίου 2015 2 / 23
Σχήµα 1 y y=f(x y=p 4 (x x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x Σχήµα: Πολυωνυµική Παρεµβολή Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί εκεµβρίου 2015 3 / 23
Πεπερασµένες διαφορές Προς τα εµπρός διαφορές Εστω ότι έχουµε ένα πίνακα τιµών (x i, f(x i µιας συνάρτησης f(x. Οι πρώτης τάξης προς τα εµπρός διαφορές στο σηµείο x n, ορίζονται από τις σχέσεις f n = f(x n+1 f(x n = f n+1 f n (1 και γενικά οι προς τα εµπρός διαφορές k τάξης ορίζονται από τις k f n = ( k 1 f n = k 1 f n+1 k 1 f n. (2 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί εκεµβρίου 2015 4 / 23
Προς τα πίσω διαφορές Με ανάλογο τρόπο ορίζονται οι πρώτης τάξης προς τα πίσω διαφορές ή f n = f(x n f(x n 1 = f n f n 1 (3 k f n = ( k 1 f n = k 1 f n k 1 f n 1. (4 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί εκεµβρίου 2015 5 / 23
Κεντρικές διαφορές Τέλος οι πρώτης τάξης κεντρικές διαφορές, στο σηµείο x n+1/2 ορίζονται από τη σχέση δf n+1/2 = f(x n+1 f(x n = f n+1 f n. (5 Εύκολα τώρα ϐλέπουµε ότι f n = f n+1 = δf n+1/2 (6 και επαγωγικά k f n = k f n+k = δ k f n+k/2. (7 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί εκεµβρίου 2015 6 / 23
Κατασκευή των πινάκων διαφορών 1. Πίνακας προς τα εµπρός διαφορών x 0 f 0 f 0 2 f 0 f 1 x 1 f 1 3 f 0 2 f 1 4 f 0 f 2 x 2 f 2 3 f 1 2 f 2 x 3 f 3 f 3 x 4 f 4 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί εκεµβρίου 2015 7 / 23
2. Πίνακας προς τα πίσω διαφορών x 4 f 4 f 3 x 3 f 3 2 f 2 f 2 3 f 1 x 2 f 2 2 f 1 4 f 0 f 1 3 f 0 x 1 f 1 2 f 0 f 0 x 0 f 0 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί εκεµβρίου 2015 8 / 23
3. Πίνακας κεντρικών διαφορών x n 2 f n 2 δf n 3/2 x n 1 f n 1 δ 2 f n 1 δf n 1/2 δ 3 f n 1/2 x n f n δ 2 f n δ 4 f n δf n+1/2 x n+1 f n+1 δ 2 f n+1 δ 3 f n+1/2 x n+2 f n+2 δf n+3/2 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί εκεµβρίου 2015 9 / 23
Παράδειγµα ίνονται οι τιµές της f(x = x 3 στα σηµεία 1, 2, 3 και 4. Να σχηµατιστεί ο πίνακας των προς τα εµπρός (και προς τα πίσω διαφορών. i x f(x f/ f 2 f/ 2 f 3 f/ 3 f 0 1 1 7 1 2 8 12 19 6 2 3 27 18 37 3 4 64 Στο σηµείο αυτό ϑα πρέπει να τονιστεί ότι τα σηµεία x i, i = 0(1n ισαπέχουν µεταξύ τους. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19 εκεµβρίου Υπολογισµοί 2015 10 / 23
Θεώρηµα Οι πεπερασµένες διαφορές n τάξης ενός πολυωνύµου ϐαθµού n είναι σταθερές. Πόρισµα Οι πεπερασµένες διαφορές n + 1 και ανώτερης τάξης ενός πολυωνύµου ϐαθµού n είναι µηδέν. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19 εκεµβρίου Υπολογισµοί 2015 11 / 23
Τελεστές Τα σύµβολα, και δ καλούνται τελεστές διαφορών. Οι τελεστές αυτοί είναι γραµµικοί γιατί ικανοποιούν τη σχέση T (αf(x + βg(x = αtf(x + βtg(x όπου T =, και δ. Στη συνέχεια ϑα χρησιµοποιηθεί και άλλος ένας γραµµικός τελεστής, ο οποίος καλείται τελεστής µετατόπισης και ορίζεται από τη σχέση Ef(x = f(x + h. (8 Είναι δυνατόν να αποδειχτεί ότι µε τους ανωτέρω τελεστές µπορούµε να εκτελέσουµε σχεδόν όλες τις πράξεις της Αλγεβρας (λογισµός τελεστών. Επίσης ο τελεστής µετατόπισης µπορεί να εκφραστεί µε τη µορφή του ή του. Εχουµε f(x = f(x + h f(x = Ef(x f(x = (E 1f(x Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19 εκεµβρίου Υπολογισµοί 2015 12 / 23
Σχέσεις µεταξύ Τελεστών Είναι = E 1. (9 Επιπλέον, αλλά άρα ή ή f(x + h = f(x + h f(x = (E 1f(x f(x + h = Ef(x E = E 1 (1 E = 1 E = (1 1. (10 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19 εκεµβρίου Υπολογισµοί 2015 13 / 23
Πολυώνυµο παρεµβολής για ισαπέχοντα σηµεία Πολυώνυµο παρεµβολής µε προς τα εµπρός διαφορές του Newton Εστω ότι x i = x 0 + ih, i = 0(1n είναι n + 1 γνωστά σηµεία παρεµβολής και f(x η Ϲητούµενη τιµή της συνάρτησης στο τυχόν σηµείο x, τότε είναι x = x 0 + θh ή θ = (x x 0 /h (11 τότε f(x = f(x 0 + θh = E θ f(x 0 = (1 + θ f 0 (12 [ ( ( ] θ θ = 1 + + 2 +... f 0 (13 1 2 ή ( θ f(x = f 0 + 1 ( θ f 0 + 2 2 f 0 +... (14 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19 εκεµβρίου Υπολογισµοί 2015 14 / 23
όπου ή ( θ s = θ! θ(θ 1... (θ s + 1 = s!(θ s! s! f(x = p n (x + R n+1 (x, (15 όπου p n (x το πολυώνυµο παρεµβολής που δίνεται από την έκφραση ( θ p n (x = f 0 + 1 ( θ f 0 + 2 ( θ 2 f 0 +... + n και R n+1 το σφάλµα. Ο τύπος που ϐρήκαµε είναι τελικά ο Για το τυχόν x i, i = 0(1n έχουµε ότι ( i p n (x i = f 0 + 1 ( i n f 0 (16 f(x p n (x. (17 ( i f 0 +... + i i f 0 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19 εκεµβρίου Υπολογισµοί 2015 15 / 23
p n (x i = [ 1 + ( i 1 ( i + 2 ( i 2 +... + i i ] f 0 = (1 + i f 0 = E i f 0 = f(x 0 + ih = f(x i, δηλαδή p n (x i = f(x i, i = 0(1n. (18 Αρα το p n (x είναι το πολυώνυµο παρεµβολής. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19 εκεµβρίου Υπολογισµοί 2015 16 / 23
Πολυώνυµο παρεµβολής µε προς τα πίσω διαφορές του Newton Εστω x i = x 0 + ih, i = n(10 τα n + 1 ισαπέχοντα σηµεία της συνάρτησης f(x (µε x 0 συµβολίζουµε τώρα το τελευταίο σηµείο. Τότε είναι x = x 0 θh ή θ = (x 0 x/h (19 τότε f(x = f(x 0 θh = E θ f(x 0 = (1 θ f(x 0 [ ( ( ( θ θ θ = 1 + 2... + ( 1 n 1 2 n Το πολυώνυµο παρεµβολής των προς τα πίσω διαφορών είναι το p n (x = f 0 θ f 0 + ( θ(θ 1 θ 2 f 0 +... + ( 1 n 2! n ] n +... f 0 n f 0. (20 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19 εκεµβρίου Υπολογισµοί 2015 17 / 23
Παράδειγµα ίνεται ο πίνακας τιµών της f(x = 1 + x 3 Να ϐρεθεί η προσεγγιστική τιµή f(1.5. x 0 1 2 3 f(x 1 2 9 28 Λύση Ας υποθέσουµε καταρχήν ότι χρησιµοποιούµε όλα τα σηµεία του πίνακα, τότε το πολυώνυµο παρεµβολής ϑα είναι το πολύ 3ου ϐαθµού και ϑα συµπίπτει µε την f(x, αφού και η f(x είναι πολυώνυµο 3ου ϐαθµού. Πράγµατι, x 0 = 0, h = 1, θ = x x 0 h = x Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19 εκεµβρίου Υπολογισµοί 2015 18 / 23
Πολυώνυµο παρεµβολής µε προς τα εµπρός διαφορές του Newton ( θ p 3 (x = f 0 + 1 = f 0 + θ f 0 + ( θ f 0 + 2 θ(θ 1 2 f 0 + 2! ( θ 2 f 0 + 3 3 f 0 θ(θ 1(θ 2 3 f 0. 3! Για τον υπολογισµό των f 0, 2 f 0 και 3 f 0 κατασκευάζουµε τον πίνακα των προς τα εµπρός διαφορών για τα δεδοµένα σηµεία. Εχουµε x f(x f 2 f 3 f 0 1 1 1 2 6 7 6 2 9 12 19 3 28 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19 εκεµβρίου Υπολογισµοί 2015 19 / 23
όπου f 0 = 1, f 0 = 1, 2 f 0 = 6 και 3 f 0 = 6. Αρα x(x 1 x(x 1(x 2 p 3 (x = 1 + x 1 + 6 + 6 2 6 = 1 + x 3 συνεπώς f(1.5 = p 3 (1.5 = 4.375. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19 εκεµβρίου Υπολογισµοί 2015 20 / 23
Πολυώνυµο παρεµβολής µε προς τα πίσω διαφορές του Newton Τότε το πολυώνυµο παρεµβολής ϑα συµπίπτει µε αυτό που ϐρέθηκε αφού (το πολυώνυµο παρεµβολής είναι µοναδικό. Πράγµατι, χρησιµοποιώντας τον τύπο των προς τα πίσω διαφορών έχουµε θ(θ 1 p 3 (x = f 0 θ f 0 + 2 θ(θ 1(θ 2 f 0 3 f 0 2 6 όπου τώρα f 0 = 28, f 0 = 19, 2 f 0 = 12 και 3 f 0 = 6. Επίσης είναι x 0 = 3 και θ = 3 x συνεπώς (3 x(2 x (3 x(2 x(1 x p 3 (x = 28 (3 x 19 + 12 6 2 6 = 1 + x 3 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19 εκεµβρίου Υπολογισµοί 2015 21 / 23
Αν τώρα χρησιµοποιήσουµε µόνον τα τρία πρώτα σηµεία, τότε έχουµε x(x 1 p 2 (x = 1 + x + 6 2 ή p 2 (1.5 = 4.75. Επίσης, αν χρησιµοποιήσουµε τα τρία τελευταία σηµεία, τότε x 0 = 1, θ = 0.5 έχουµε 0.5 (0.5 1 ˆp 2 (1.5 = 2 + 0.5 7 + 12 = 4.000. 2 Παρατηρούµε ότι το απόλυτο σφάλµα f(1.5 p 2 (1.5 = f(1.5 ˆp 2 (1.5 = 0.375 είναι το ίδιο στις δύο τελευταίες περιπτώσεις. Συνεπώς η προσέγγιση της f(x δεν εξαρτάται από το πόσο πλησίον του x ϑα επιλεγεί το x 0. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19 εκεµβρίου Υπολογισµοί 2015 22 / 23
Το Σφάλµα στην Πολυωνυµική Παρεµβολή Μετά την εύρεση του πολυωνύµου παρεµβολής p n (x, που διέρχεται από τα n + 1 σηµεία x i, i = 0(1n, το ερώτηµα που τίθεται είναι το εξής : Ποιό είναι το σφάλµα e(x = f(x p n (x για ένα οποιοδήποτε σηµείο x x i, i = 0(1n, x [a, b]; Θεώρηµα Αν p n (x είναι το πολυώνυµο το πολύ n ϐαθµού που παρεµβάλει την f(x C n+1 [a, b] στα n + 1 διακεκριµένα σηµεία x i, i = 0(1n στο [a, b], τότε για κάθε σηµείο x [a, b] όπου ξ (a, b. f(x = p n (x + (x x 0(x x 1... (x x n f (n+1 (ξ (21 (n + 1! Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19 εκεµβρίου Υπολογισµοί 2015 23 / 23