UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA FACULTATEA DE MECANICĂ Laborator de Mecanisme SINTEZA MECANISMELOR CU CAME TRASAREA SPIRALEI LUI ARHIMEDE Obiectivele lucrării a. Cunoaşterea unor profiluri uzuale utilizate la came: spirala lui Arhimede (cama cardioidă) şi arcele de cerc (cama armonică). b. Trasarea spiralei lui Arhimede, teoretic şi experimental, pentru o supraînălţare pe iziune impusă. c. Determinarea analitică a centrului de curbură şi a razei de curbură pentru un punct dat al spiralei lui Arhimede şi verificarea lor experimentală. d. Realizarea mecanismului înlocuitor al unui mecanism cu camă rotativă cu profil spirala lui Arhimede şi tachet axial translant (cu vârf, rolă, sau taler) prin substituirea cuplei cinematice superioare de clasa a IV-a (înlocuirea se efectuează în punctul de pe spirală impus anterior). Consideraţii teoretice Spirala lui Arhimede reprezintă locul geometric al unui punct A care se deplasează cu o viteză liniară constantă pe o dreaptă care se roteşte cu viteză unghiulară constantă (Fig. ). y a ct v=ct A t x O Fig. Spirala lui Arhimede Ecuaţia spiralei lui Arhimede în coordonate polare este:, unde ρ este raza polară a unui punct curent de pe curbă, t este unghiul razei punctului curent - în radiani - iar a este o constantă care determină pasul spiralei lui Arhimede. Pasul spiralei reprezintă distanţa dintre două profiluri consecutive ale spiralei (după o rotire a spiralei cu unghiul ) şi este egal cu a (Fig.). Pentru a trasa spirala lui Arhimede pe un unghi al camei, cu o supraînălţare totală pe acest unghi egală cu s, se procedează astfel: se împarte unghiul într-un număr de părţi egale, şi supraînălţarea s se împarte în acelaşi număr de părţi egale. De exemplu, în Fig. unghiul ) s-a împărţit în 6 părţi egale şi supraînălţarea s (s=r -R ) de asemenea s-a împărţit în 6 ( a ρ at
părţi egale. Se construiesc prin iziunile obţinute arce de cerc cu centrul în vârful unghiului, respectiv raze; prin intersectarea acestora se obţin patrulatere curbilinii. Se unesc diagonalele patrulaterelor curbilinii, ca în Fig., obţinându-se o curbă care aproximează spirala lui Arhimede. Cu cât numărul de părţi în care se împarte unghiul (precum şi supraînălţarea totală) este mai mare, cu atât spirala lui Arhimede este mai bine aproximată. S S/6 R /6 Fig. Trasarea teoretică a spiralei lui Arhimede pentru un unghi dat al camei şi o supraînălţare impusă Raza de curbură într-un punct curent de pe spirală se determină cu formula: ' '' ρ ρ ρρ. R ' 3/ (ρ ρ ) Coordonatele centrului de curbură verifică ecuaţiile parametrice ale desfăşuratei spiralei lui Arhimede pentru un unghi t impus: ' ' ( sin t cos t )( ) x cos t ' '' ' ' ( cos t sin t )( ) y sin t ' '' De exemplu, în punctul A de pe spirala lui Arhimede, centrul de curbură este în punctul B(x B, y B ), iar raza de curbură este AB (Fig. 3). A y B x Fig. 3 Centrul şi raza de curbură într-un punct curent al Spiralei lui Arhimede
Montaje experimentale. Programe utilizate Montaje experimentale Dispozitivul existent în Laboratorul de Mecanisme (Fig. ), realizat de firma SKODA, permite prelucrarea/trasarea spiralei lui Arhimede cu o supraînălţare pe iziune între 0 3 mm. Circumferinţa unei came se împarte în 00 iziuni. Fig. Dispozitiv pentru prelucrarea/trasarea spiralei lui Arhimede Schema cinematică a dispozitivului se prezintă în Fig. 5. 6 5 3 3 0 5 6 3 Fig. 5 Schema cinematică a dispozitivului pentru trasarea spiralei lui Arhimede Pentru prelucrarea profilului unei came de forma spiralei lui Arhimede, dispozitivul se montează pe masa unei maşinii de frezat verticale. Mişcarea se transmite de la melcul la roata melcată, la melcul 3, la roata melcată, pe care este fixată cama 5, ce urmează a fi frezată. Roata dinţată - solidară cu roata dinţată -, transmite mişcarea la roata dinţată. Roata dinţată este solidară cu roata dinţată ; sistemul mecanic - poate fi translatat pe verticală, prin rotirea unei pârghii oscilante din poziţia notată : în poziţia :, astfel încât să 3
angreneze roata dinţată cu cremaliera 0, respectiv roata dinţată cu cremaliera. Roata dinţată are o dantură mai lată, astfel încât ea să transmită mişcarea sistemului balador -, indiferent de poziţia pârghiei oscilante (: sau :). Cremalierele 0 şi sunt solidare, distanţa dintre ele fiind mai mare decât distanţa dintre roata dinţată şi roata dinţată, astfel încât, atunci când roata dinţată este în angrenare cu cremaliera 0, angrenajul - este decuplat, şi invers. Cele două cremaliere sunt solidare cu sania transversală a dispozitivului şi pot asigura acesteia o mişcare de translaţie în ghidajele 3, cu două viteze diferite, în funcţie de poziţia pârghiei oscilante (: sau :). Pe sania se află montată prisma, care poate fi înclinată la un unghi impus,, prin rotirea unei rozete. După obţinerea unghiului de înclinare dorit, prisma se fixează pe sanie prin intermediul şuruburilor 5 şi 6. Pe suportul, solidar cu masa maşinii de frezat, se află o rolă, care se păstrează în contact cu prisma prin intermediul forţei unui arc. Forţa transmisă rolei de către prismă provoacă o reacţiune asupra prismei, pe direcţia normalei la suprafaţa înclinată a prismei. Componenta orizontală a reacţiunii care acţionează asupra prismei se transmite ghidajelor 3, şi produce deplasarea longitudinală a saniei în ghidajele. Arborele roţii are lagărul fixat în sania longitudinală, deci peste mişcarea iniţială de rotaţie a camei 5 se suprapune mişcarea de translaţie longitudinală a saniei, adică mişcarea de translaţie a camei de prelucrat în lungul razei curente (raza curentă = distanţa de la centrul camei la centrul frezei). Spre deosebire de descrierea teoretică a trasării spiralei lui Arhimede, prezentată anterior (o dreaptă se roteşte în jurul unui punct al ei, cu o viteză constantă, în timp ce un punct se deplasează cu o viteză liniară constantă pe această dreaptă, descriind spirala lui Arhimede), în prelucrarea/desenarea propriu-zisă a profilului spiralei lui Arhimede, mişcarea de translaţie nu este a punctului trasor pe dreaptă, ci a dreptei către punctul trasor, care este fix (principiul inversării mişcării). În continuare se determină cele două viteze diferite de deplasare ale saniei, la cuplarea cremalierei 0 cu roata, respectiv a cremalierei cu roata (Fig. 6). 0 s00 =60 tg (:) 5 s00 =0 (:) tg cama Larc= Larc= R R 6 rb freza deget Fig. 6 Schemă pentru determinarea vitezelor de deplasare ale saniei i n n z z R R La o rotaţie completă a roţii, roata se va roti cu radiani, unghi care se determină cu relaţia: i i
Cuplarea pârghiei oscilante pe poziţia :, pentru angrenarea roţii cu cremaliera 0 La o rotaţie completă a camei ( radiani, corespunzător la 00 iziuni), deci la o rotaţie a roţii cu radiani, cremaliera 0 se va deplasa pe o distanţă egală ca mărime cu lungimea arcului cercului de rostogolire descris de roata la rotirea cu radiani: L arc R R R d Din sistemul R se determină R şi R i R Se cunosc: z = 0 dinţi, z 6 dinţi, d 56 mm (distanţa dintre axele de rotaţie ale roţilor şi ). 6 i 0, 0 5 0, R R 56 Din sistemul de două ecuaţii cu două necunoscute R 0, R rezultă: R 0 mm şi R 6 mm. 5 6 0 L arc R Din triunghiul dreptunghic prezentat în Fig. 6 se determină supraînălţarea camei pentru 00 iziuni: s 00 tg 0 s00 0 tg Relaţia pentru calculul supraînălţării pe o iziune, pentru raportul :, pentru 0 < s <,5mm, este următoarea: s 0, tg. Cuplarea pârghiei oscilante pe poziţia :, pentru angrenarea roţii cu cremaliera Pentru cuplarea roţii cu cremaliera (raportul :), cunoscând z = 3 dinţi, m mm, se calculează R mz 3 mm şi în continuare se procedează în mod similar cazului anterior. Se obţine relaţia pentru calculul supraînălţării pe o iziune pentru raportul :, pentru,5mm < s < 3mm : s,6 tg. Programe utilizate S-a realizat un program cu softul MAPLE V pentru trasarea spiralei lui Arhimede, a desfăşuratei acesteia, precum şi pentru calculul centrului de curbură şi a razei de curbură pentru un punct dat de pe spirală. Se trasează şi raza de curbură pe direcţia normalei, pentru punctul impus de pe spirală. Se prezintă în continuare programul. > restart; a:=3.30;unghiul:=0*pi/0; ro(t):=a*t; > x(t):=ro(t)*cos(t)-((a*sin(t)+ro(t)*cos(t))*((a*t)**+a**)/(ro(t)**+*a**)); > y(t):=ro(t)*sin(t)+((a*cos(t)-ro(t)*sin(t))*(ro(t)**+a**)/(ro(t)**+*a**)); > z(t):=ro(t)*cos(t); > w(t):=ro(t)*sin(t); 5
> rm(t):=sqrt((ro(t)**+a**)**3)/(ro(t)**+*a**); > b:=subs(t=unghiul,x(t));c:=subs(t=unghiul,y(t)); > d:=subs(t=unghiul,z(t));e:=subs(t=unghiul,w(t)); > r:=subs(t=unghiul,rm(t)); > evalf(b);evalf(c);evalf(d);evalf(e);evalf(r); >plot([[x(t),y(t),t=0..*pi],[z(t),w(t),t=0..*pi],[d+t*(b-d),e+t*(c-e),t=0..]], scaling=constrained,color=[black],thickness=); Prelucrarea rezultatelor Se trasează, teoretic şi experimental, profilul unei came de forma spiralei lui Arhimede ce asigură o supraînălţare pe iziune impusă de temă s =... mm. Se determină teoretic, şi se verifică experimental, raza de curbură a spiralei şi centrul de curbură pentru un punct dat de pe spirală, care are unghiul polar t=... Determinarea teoretică Ecuaţia spiralei lui Arhimede este verificată pentru punctul de coordonate polare π ( t = 3,6 [rad] ; ρ = s [mm] ): 0 π s = a 3,6 0. Se determină a din ecuaţia interiaoră: a=... Ecuaţia spiralei lui Arhimede = at asigură supraînălţarea pe iziune impusă. Se calculează ρ ' = a şi ρ '' = 0. Pentru unghiul t impus se calculează: - raza polară ρ, - raza de curbură R, - coordonatele carteziene ale centrului de curbură în punctul dat de pe spirală, cu formulele prezentate anterior. Se rulează programul realizat în MAPLE V şi se trasează spirala lui Arhimede, desfăşurata acesteia, şi se calculează centrul de curbură şi raza de curbură pentru un punct dat de pe spirală. În urma rulării se trasează şi raza de curbură pe direcţia normalei, pentru punctul impus de pe spirală (Fig. ). Fig. Trasarea spiralei lui Arhimede şi a desfăşuratei acesteia pe cale analitică 6
Determinarea experimentală Experimental se traseză spirala lui Arhimede cu ajutorul dispozitivului din Fig.. Se consideră suma unghiurilor în jurul unui punct (360 ) ca fiind formată din 00 de iziuni. Pentru 0 < s <,5mm se reglează pârghia dispozitivului pentru raportul :; se determină unghiul de înclinare a riglei dispozitivului cu relaţia: s = 0, tg. Pentru,5mm < s < 3mm se reglează pârghia dispozitivului pentru raportul :; se determină unghiul de înclinare a riglei dispozitivului cu relaţia: s =,6 tg. Se reglează prisma dispozitivului la unghiul calculat şi pârghia se roteşte pe poziţia corespunzătoare raportului : sau :, conform indicaţiilor anterioare. Se trasează spirala lui Arhimede cu ajutorul dispozitivului. Pentru verificarea experimentală a centrului de curbură şi a razei de curbură pentru unghiul impus se procedează astfel: - se determină sistemul de axe în care s-a trasat spirala lui Arhimede cunoscând originea sistemului şi având trasată spirala; se identifică o rază polară oarecare, şi se determină direcţia şi sensul pozitiv al axei Ox, măsurând în sens invers trigonometric unghiul corespunzător acestei raze faţă de axa Ox; - se identifică, în sistemul de axe determinat, punctul indicat de pe spirala lui Arhimede şi centrul de curbură al spiralei în acest punct; - se măsoară raza de curbură între punctul dat de pe spirală şi centrul de curbură corespunzător de pe desfăşurată; se compară valoarea măsurată cu valoarea teoretică. Se realizează mecanismul înlocuitor al unui mecanism cu cama rotativă cu profilul spirala lui Arhimede trasat anterior şi tachet axial translant (cu vârf, rolă, sau taler) prin substituirea cuplei cinematice superioare de clasa a IV-a. Înlocuirea cuplei superioare se efectuează în punctul de pe spirală impus anterior. Lanţul cinematic înlocuitor al cuplei superioare are un element cinematic pe direcţia normalei în punctul de contact dintre camă şi tachet, şi două cuple cinematice de clasa a V-a. Dacă razele de curbură ale celor două profiluri al camei şi al tachetului în punctul de contact sunt finite, lungimea elementului înlocuitor este egală cu suma razelor de curbură ale celor două profiluri. Concluzii...