ΕΠΙΠΕΔΟ 11 12 (Β - Γ Λυκείου) 19 Μαρτίου 2011 10:00-11:15
3 point/μονάδες 1) Στθν πιο κάτω εικόνα πρζπει να υπάρχει αρικμόσ ςε κάκε κουκκίδα ϊςτε το άκροιςμα των αρικμϊν ςτα άκρα κάκε ευκφγραμμου τμιματοσ είναι το ίδιο. Δφο από τουσ αρικμοφσ είναι τοποκετθμζνοι. Ποιοσ είναι ο αρικμόσ ςτθ κζςθ x; (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 24 2) Τρεισ οδθγοί ταχφτθτασ ζλαβαν μζροσ ςτθ FORMULA 1: Michael, Fernando και Sebastian. Μετά τθν εκκίνθςθ ο Michael ιταν πρϊτοσ, ο Fernando ιταν δεφτεροσ, ο Sebastian ιταν τρίτοσ. Κατά τθ διάρκεια τθσ κοφρςασ ο Μichael και Fernando προςπζραςαν ο ζνασ τον άλλο 9 φορζσ, ο Fernando και Sebastian προςπζραςαν ο ζνασ τον άλλον 10 φορζσ, και ο Michael και Sebastian προςπζραςαν ο ζνασ τον άλλο 11 φορζσ. Με ποια ςειρά τζλειωςε θ κοφρςα; (A) Michael, Fernando, Sebastian (B) Fernando, Sebastian, Michael (C) Sebastian, Michael, Fernando (D) Sebastian, Fernando, Michael (E) Fernando, Michael, Sebastian 3) Αν x y 2 15, 15 32 τότε το xy ιςοφται με (A) 5 (B) log 2 15+log 15 32 (C) log 2 47 (D) 7 (E) 47 4) Η Jane που δεν είναι πολφ καλι ςτο ςχζδιο, προςπάκθςε να ςχεδιάςει ζνα χάρτθ οδθγιϊν προσ το χωριό τθσ. Κατάφερε να ηωγραφίςει τουσ τζςςερεισ δρόμουσ, τισ επτά διαςταυρϊςεισ και τα ςπίτια των φίλων τθσ, αλλά ςτθν πραγματικότθτα οι δρόμοι Arrow, Nail και Ruler είναι όλοι ευκείεσ δρόμοι. Ο τζταρτοσ δρόμοσ είναι με ςτροφζσ. Ποιοσ μζνει ςτο δρόμο με τισ ςτροφζσ; (A) Amy (B) Ben (C) Carol (D) David (E) Δεν μπορούμε να βρούμε την απάντηςη 5) Για όλουσ τουσ τετραψιφιουσ αρικμοφσ που το άκροιςμα των ψθφίων τουσ ιςοφται με 4 τουσ γράφουμε ςε φκίνουςα ςειρά. Σε ποια κζςθ βρίςκεται ο αρικμόσ 2011; (A) 6η (B) 7η (C) 8η (D) 9η (E) 10 η 2 THALES FOUNDATION
6) Μασ δίδεται κανονικό εξάγωνο με πλευρά 1, ζξι τετράγωνα και ζξι ιςόπλευρα τρίγωνα, όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα. Να βρεκεί θ περίμετροσ του ςχιματοσ. (A) (B) (C) 9 (D) (E) 12 7) Χαρτί ορκογωνίου ςχιματοσ τυλίγεται γφρω από κφλινδρο και μετά κάνουμε επίπεδθ τομι μζςω των ςθμείων Α και Β όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα. Μετά ξετυλίγουμε το κάτω μζροσ του χαρτιοφ. Ποια εικόνα δείχνει το αποτζλεςμα; (A) (B) (C) (D) (E) 8) Να βρεκεί το εμβαδό του τετραπλεφρου ABCD, ϊςτε AB BC, ABC ADC 90, BE AD, BE 5. (A) 20 (B) 22,5 (C) 25 (D) 27,5 (E) 30 9) Ο Andrew ζγραψε τουσ περιττοφσ αρικμοφσ 1 μζχρι 2011 ςτον πίνακα και μετά ο Bob ζςβθςε όλα τα πολλαπλάςια του 3. Πόςοι αρικμοί ζμειναν ςτον πίνακα; (A) 335 (B) 336 (C) 671 (D) 1005 (E) 1006 3 THALES FOUNDATION
10) Ο Max και ο Hugo, ζριξαν μερικά ηάρια για να αποφαςίςουν ποιοσ κα είναι ο πρϊτο που κα μπει ςτο κρφο νερό. Αν δεν εμφανιςτεί ο αρικμόσ 6 τότε κα μπει ο Max. Αν ζρκει ζνα 6 τότε κα είναι ο Hugo και να ζρκουν περιςςότερα 6 τότε δεν κα κολυμπιςουν εκείνθ τθν θμζρα. Πόςα ηάρια πρζπει να ρίξουν ϊςτε θ πικανότθτα να μπει πρϊτοσ οποιοςδιποτε από τουσ δυο να είναι θ ίδια; (A) 3 (B) 5 (C) 8 (D) 9 (E) 17 4 point/μονάδες 11) Ζνα ορκογϊνιο μοιράηεται ςε τρία ορκογϊνια. Ζνα από αυτά ζχει μζγεκοσ 7 επί 11. Ζνα άλλο ζχει μζγεκοσ 4 επί 8. Να βρεκεί το μζγεκοσ του τρίτου με μζγιςτο εμβαδό. (A) 1 επί 11 (B) 3 επί 4 (C) 3 επί 8 (D) 7 επί 8 (E) 7 επί 11 12) Ο Mike κζλει να γράψει ακζραιουσ ςτα τετραγωνάκια του 3Χ3 πίνακα ϊςτε το άκροιςμα των αρικμϊν ςε κάκε 2Χ2 τετράγωνο να ιςοφται με 10. Τζςςερεισ αρικμοί ζχουν ιδθ γραφεί ςτον πίνακα όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα. Ποια από τισ τιμζσ μπορεί να είναι το άκροιςμα των υπολοίπων πζντε αρικμϊν; (A) 9 (B) 10 (C) 12 (D) 13 (E) Κανένα από αυτά 13) 48 παιδιά πιγαν ςε ταξίδι για ςκι. Ζξι από αυτοφσ είχαν ακριβϊσ ζνα αδελφό ςτο ταξίδι, εννιά από αυτοφσ είχαν ακριβϊσ δφο αδζλφια ςτο ταξίδι και τζςςερεισ από αυτοφσ είχαν ακριβϊσ τρία αδζλφια. Τα υπόλοιπα παιδιά δεν είχαν άλλα αδζλφια ςτο ταξίδι. Πόςεσ οικογζνειεσ πιγαν ςτο ταξίδι; (A) 19 (B) 25 (C) 31 (D) 36 (E) 48 14) Πόςεσ από τισ γραφικζσ παραςτάςεισ των ςυναρτιςεων ςυμπεριλαμβάνονται ςτο πιο κάτω γράφθμα; Ο οριηόντιοσ άξονασ είναι ο Χ και ο κατακόρυφοσ ο Υ. (A) None (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) Ολα, 8 4 THALES FOUNDATION
15) Ο πίςω υαλοκακαριςτιρασ του αυτοκινιτου ςχεδιάηεται ϊςτε ο κακαριςτιρα w και ο μοχλόσ ςφνδεςθσ r είναι ιδίου μικουσ και ςυνδζονται με γωνία α. Ο κακαριςτιρασ ςτθρίηεται ςτο ςθμείο C και κακαρίηει το χϊρο όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα. Να βρεκεί θ γωνία β μεταξφ του δεξιοφ άκρου του χϊρου που κακαρίηεται και τθσ εφαπτομζνθσ του καμπυλωτοφ άνω άκρου. (A) 3 2 3 (B) (C) 2 (D) (E) 16) Ζχουμε τρεισ οριηόντιεσ ευκείεσ και τρεισ μεταξφ τουσ παράλλθλεσ υπό κλίςθ ευκείεσ. Οι δφο κφκλοι εφάπτονται των τεςςάρων ευκειϊν. A, B και C είναι τα εμβαδά των ςκιαγραφθμζνων ςχθμάτων. D είναι το εμβαδό του παραλλθλογράμμου PQRS. Ποιοσ είναι ο μικρότεροσ αρικμόσ εμβαδϊν A, B, C, και D που πρζπει να είναι γνωςτά ϊςτε να μποροφμε να υπολογίςουμε το εμβαδό του παραλλθλογράμμου Χ; (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) το X δεν μπορεί να υπολογιςτεί από τα A, B, C και D 17) Στο επίπεδο (x,y) με κανονικοφσ άξονεσ, το ςθμείο Α(1, -10) ςθμειϊνεται ςτθν παραβολι 2 y ax bx c. Μετά ζχουν διαγραφεί οι άξονεσ και ςχεδόν όλο το γράφθμα τθσ παραβολισ. Ποιο από τα πιο κάτω μπορεί να είναι λάκοσ; (A) a 0 (B) b 0 (C) a b c 0 (D) b 2 4ac (E) c 0 18) Οι πλευρζσ AB, BC, CD, DE, EF και FA ενόσ εξαγϊνου εφάπτονται όλεσ ςε κοινό κφκλο. Τα μικθ των πλευρϊν AB, BC, CD, DE και EF είναι 4, 5, 6, 7 και 8 αντίςτοιχα. Τότε το μικοσ τθσ πλευράσ FA είναι (A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6 (E) Το μήκοσ δεν μπορεί να υπολογιςτεί με αυτά τα δεδομένα 5 THALES FOUNDATION
19) Να βρεκεί το άκροιςμα όλων των κετικϊν ακεραίων x που είναι μικρότεροι του 100 ϊςτε το είναι πολλαπλάςιο του 100. (A) 200 (B) 100 (C) 90 (D) 81 (E) 50 20) Τα αδζλφια Andrej και Brano ζδωςαν αλθκείσ απαντιςεισ ςε ερϊτθςθ για τον αρικμό των μελϊν του Συλλόγου Σκακιοφ. Ο Andrej είπε: Όλα τα μζλθ του Συλλόγου, εκτόσ από πζντε, είναι αγόρια. Ο Brano είπε: Σε κάκε ομάδα των ζξι μελϊν υπάρχουν υποχρεωτικά τουλάχιςτο τζςςερα κορίτςια. Πόςα είναι τα μζλθ του Συλλόγου; (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 12 (E) 18 5 point/μονάδες 21) Υπάρχουν μπαλίτςεσ ςε ζνα δοχείο κλιρωςθσ. Στθ κάκε μπαλίτςα γράφεται ζνα ακζραιοσ αρικμόσ, διαφορετικόσ ςε κάκε μπαλίτςα. Σε 30 μπαλίτςεσ γράφεται αρικμόσ που διαιρείται με το 6, ςε 20 μπαλίτςεσ γράφεται αρικμόσ που διαιρείται με το 7 και ςε 10 μπαλίτςεσ γράφεται αρικμόσ που διαιρείται με το 42. Πόςεσ μπαλίτςεσ τουλάχιςτο πρζπει να ζχουμε ςτο δοχείο; (A) 30 (B) 40 (C) 53 (D) 54 (E) 60 22) Εξετάηουμε δφο αρικμθτικζσ ακολουκίεσ 5, 20, 35, και 35, 61, 87,. Πόςεσ διαφορετικζσ αρικμθτικζσ ακολουκίεσ κετικϊν αρικμϊν υπάρχουν που να ζχουν και τισ δφο αυτζσ ακολουκίεσ ωσ υπο-ακολουκίεσ; (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 26 (E) Άπειρεσ 23) Η ακολουκία αρικμθτικϊν ςυναρτιςεων ικανοποιεί τισ ςχζςεισ (1) f 1 (x)=x; (2) f n+1 (x)= 1. Να βρεκεί θ τιμι τθσ. 1 ( x) f n (A) 2011 (B) 1 2010 (D) 1 (E) 2011 (C) 2010 2011 24) Ζνα κουτί περιζχει μερικζσ κόκκινεσ μπάλεσ και μερικζσ πράςινεσ. Αν επιλζξουμε τυχαία δφο μπάλεσ από το κουτί, υπάρχει πικανότθτα ½ να είναι του ιδίου χρϊματοσ. Ποιο από τισ απαντιςεισ μπορεί να είναι το ςφνολο των αρικμϊν ςτο κουτί; (A) 81 (B) 101 (C) 1000 (D) 2011 (E) 10001 25) Μια αεροπορικι εταιρεία δεν χρεϊνει για αποςκευζσ όταν το βάροσ των αποςκευϊν είναι κάτω από ζνα όριο. Για κάκε επιπλζον κιλό χρεϊνεται ζνα ποςό. Οι αποςκευζσ του κφριου και κυρίασ Trip ηυγίηουν 60 kg και πλιρωςαν 3 Ευρϊ. Οι αποςκευζσ του κυρίου Wander ζχουν το ίδιο βάροσ αλλά πλιρωςε 10,50 ευρϊ. Ποιο είναι το μζγιςτο βάροσ αποςκευϊν που ζνασ επιβάτθσ μπορεί να ζχει και να μθν πλθρϊςει τίποτα; (A) 10 (B) 18 (C) 20 (D) 25 (E) 39 6 THALES FOUNDATION
26) Ποια είναι θ μικρότερθ δυνατι ακζραια τιμι τθσ ζκφραςθσ K A N G A R O O G A M E (διαφορετικά γράμματα αντιςτοιχοφν ςε διαφορετικά κετικά ψθφία ενϊ ίδια γράμματα αντιςτοιχοφν ςε ίςα ψθφία). (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 7 27) Ο Robin Hood ρίχνει τρία βζλθ ςτο ςτόχο, κερδίηοντασ πόντουσ για κάκε βζλοσ όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα. Πόςα διαφορετικά ακροίςματα πόντων μπορεί να ζχει με αυτό το τρόπο; (A) 13 (B) 17 (C) 19 (D) 20 (E) 21 28) Ζςτω ab, και c κετικοί ακζραιοι ϊςτε του abc (ςυμπεριλαμβανομζνου των 1 και abc ); 2 3 5 a 2b 3c. Ποιοσ είναι ο μικρότεροσ αρικμόσ διαιρετϊν (A) 30 (B) 49 (C) 60 (D) 77 (E) 1596 29) Είκοςι διαφορετικοί ακζραιοι αρικμοί γράφονται ςε πίνακα με τετραγωνάκια 4Χ5. Οποιοιδιποτε γειτονικοί αρικμοί (αρικμοί που βρίςκονται ςε τετραγωνάκια με κοινι πλευρά) ζχουν κοινό διαιρζτθ μεγαλφτερο του 1. Αν n είναι ο μεγαλφτεροσ αρικμόσ ςτον πίνακα να βρεκεί θ μικρότερθ δυνατι τιμι του n. (A) 21 (B) 24 (C) 26 (D) 27 (E) 40 30) Ζνασ κφβοσ 3Χ3Χ3 ςχθματίηεται από 27 ίδιουσ μικροφσ κφβουσ. Ζνα επίπεδο είναι κάκετο ςτθ διαγϊνιο του μεγάλου κφβου και περνά από το κζντρο. Πόςουσ μικροφσ κφβουσ τζμνει το επίπεδο αυτό; (A) 17 (B) 18 (C) 19 (D) 20 (E) 21 7 THALES FOUNDATION