ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ ος ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwarmscotrolfo 7
ΝΔΑΡΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 5 Κεφάλαιο V Παραδείγματα Ασκήσεις και Προβλήματα 9 V Θεωρητικά και Αριθμητικά Παραδείγματα 9 V Θέματα Γενικών Ασκήσεων 78 V Θέματα Ασκήσεων επί του ου Κεφαλαίου 78 V Θέματα Ασκήσεων επί του ου Κεφαλαίου 8 V Θέματα Ασκήσεων επί του ου Κεφαλαίου 86 V Επιλεγμένα Προβλήματα 7 V Σύστημα Γεννήτορας της Ομάδας των Πινάκων με Ορίζουσα ίση με Χαρακτηρισμός της Ορίζουσας Πίνακα V Σύγκριση των Ιδιοτήτων των Δακτυλίων M ( R και M (C Ο Πίνακας ( a Ι είναι Μεταθέτης της Ομάδας GL( C εάν και μόνον εάν a Arc cos V Μελέτη της Συνάρτησης a Μέθοδος Newto V4 Μέθοδος Newto Εφαρμογές σε Αλγορίθμους Προσεγγίσεων 4 V5 Επίλυση Συστημάτων Μη Γραμμικών Εξισώσεων Μέθοδος της Βαθύτερης Καθόδου Μη Γραμμικές Μέθοδοι Jacob Gauss Sedel και Εσφαλμένης θέσης V6 Πολυώνυμα Παρεμβολής Lagrage Εφαρμογή στα Τριγωνομετρικά Πολυώνυμα V7 Πολυώνυμα Hermte Αναπτύγματα σε Δυναμοσειρές 5 V8 Μελέτη του Φάσματος Τελεστή ενός Χώρου προhlbert Ταχέως Φθινουσών Συναρτήσεων Πολυώνυμα Hermte V9 Μία Μέθοδος Τέταρτης Τάξης που Σχετίζεται με τα Πολυώνυμα Legedre και που Υπολογίζει Προσεγγιστικές Τιμές των Ολοκληρωμάτων 7 9 48 6 68 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
ΝΔΑΡΑΣ V Πολυώνυμα Chebyshev Εφαρμογές στον Υπολογισμό Ολοκληρωμάτων και σε διάφορα Ορθογώνια Αναπτύγματα Ανισότητα Bessel V Αριθμοί και Πολυώνυμα Beroull και Ολοκληρωτική Αναπαράσταση Τύπου Euler Mac Laur Διάφορα Αναπτύγματα σε Σειρές V Τύπος Taylor και Πολυώνυμα Beroull 9 V Μελέτη ενός Προβλήματος Συνοριακών Τιμών 98 V4 Πολυωνυμικές Λύσεις Διαφορικής Εξίσωσης V5 Προσεγγιστική Λύση μίας Διαφορικής Εξίσωσης 4 V6 Προσεγγιστική Λύση Γραμμικής Διαφορικής Εξίσωσης Δεύτερης Τάξης με την Μέθοδο Προβολής σ έναν Συναρτησιακό Χώρο Πεπερασμένης Διάστασης Εφαρμογή Βιβλιογραφία 75 85 9 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Βασικός σκοπός των Μαθηματικών υπήρξε κατ αρχήν η δημιουργία γενικών Θεωριών ανεξάρτητα του κατά πόσο οι σχετικές μέθοδοι ήταν εφαρμόσιμες σε συγκεκριμένα πρακτικά προβλήματα έτσι ώστε να παρέχουν σαφή αριθμητικά αποτελέσματα Η έλλειψη υπολογιστικών μέσων αποτέλεσε σοβαρό λόγο για την καθυστέρηση της τροπής των Μαθηματικών προς μία συστηματική ανάπτυξη παράλληλων και διαφορετικών μεθόδων οι οποίες οδηγούν σε συγκεκριμένα αριθμητικά αποτελέσματα Αυτές οι μέθοδοι απαιτούν πεπερασμένο αλλά τεράστιο πλήθος αριθμητικών πράξεων ώστε η ευχερής και μέσα σε λογικά χρονικά πλαίσια εφαρμογή τους προϋποθέτει την χρήση ταχύτατων υπολογιστικών μηχανών Και ακριβώς η κατά τα τελευταία χρόνια αλματώδης ανάπτυξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών είχε πολύ ευεργετική επίδραση στην ανακάλυψη την επεξεργασία και την εφαρμογή τέτοιων μεθόδων Ένα κεντρικό γνωστικό αντικείμενο της Αριθμητικής Ανάλυσης έγκειται στην αναζήτηση την δημιουργία και την μελέτη αυτών των μεθόδων των λεγόμενων αριθμητικών μεθόδων Τα κριτήρια επιλογής της κατάλληλης αριθμητικής μεθόδου που πρέπει να εφαρμοστεί για την επίλυση κάποιου προβλήματος δεν είναι πάντοτε απλά με συνέπεια αυτή η επιλογή να συνιστά ένα από τα δυσκολότερα στάδια της όλης διερεύνησης του εκάστοτε ζητήματος Ανεξάρτητα από τα όσα προηγήθηκαν πρέπει να σημειωθεί ότι η εννοιολογική δυναμική και οι συνεχώς επεκτεινόμενες δυνατότητες της Αριθμητικής Ανάλυσης δίνουν διεξόδους και θεωρητικές προσεγγίσεις σε πολλά μαθηματικά ερωτήματα που είναι άγνωστο ( ή και ανέφικτο αν και πώς μπορούν να απαντηθούν με μεθόδους της κλασσικής Μαθηματικής Ανάλυσης Για παράδειγμα είναι γνωστό ότι δεν μπορούμε να υπολογίσουμε κάποια ολοκληρώματα πολλών συναρτήσεων ή λύσεις ορισμένων διαφορικών εξισώσεων ή ακόμη τον μοναδικό πραγματικό αριθμό ξ που επαληθεύει την εξίσωση ξ e ξ Σε μία τέτοια περίπτωση αντικαθιστούμε την μαθηματική επίλυση του προβλήματος με την αριθμητική ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 5
ΝΔΑΡΑΣ επίλυσή του Θα δίνουμε για παράδειγμα μία προσεγγιστική τιμή της λύσης της διαφορικής εξίσωσης σε έναν ορισμένο αριθμό σημείων του διαστήματος ολοκλήρωσης Έτσι η γενική θεματολογική κατεύθυνση της Αριθμητικής Ανάλυσης συνοψίζεται στον προσδιορισμό της σαν τον κλάδο των (Εφαρμοσμένων Μαθηματικών που πραγματεύεται τις μεθόδους αριθμητικής επίλυσης των προβλημάτων της Μαθηματικής Ανάλυσης Κατά τον Herc ([8] Αριθμητική Ανάλυση είναι η θεωρία των κατασκευαστικών μεθόδων της Μαθηματικής Ανάλυσης Ο όρος κατασκευαστική μέθοδος σημαίνει ένα σύνολο από κανόνες που λέγεται αλγόριθμος και που επιτρέπει την ανεύρεση της λύσης ενός μαθηματικού προβλήματος με μία αξιόπιστη ακρίβεια και μετά από πεπερασμένο αριθμό αριθμητικών πράξεων Το πρώτο Κεφάλαιο του παρόντος Βιβλίου περιλαμβάνει μία συνοπτική αναφορά στις βοηθητικές έννοιες και εύχρηστες εφαρμογές της Θεωρίας Πινάκων Μετά από μία σύντομη παράθεση βασικών ιδιοτήτων εξετάζονται τρία σπουδαία προβλήματα που άπτονται της Θεωρίας αυτής: η επίλυση τετραγωνικών συστημάτων γραμμικών εξισώσεων η αναζήτηση των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα και η διάσπαση τετραγωνικών πινάκων Κατά την αντιμετώπιση αυτών των προβλημάτων στο Κεφάλαιο αυτό δόθηκε έμφαση στην κατανόηση των αφηρημένων τεχνικών επίλυσής τους γιατί μέσα από αυτές περιγράφεται άμεσα το βαθύτερο θεωρητικό υπόβαθρο και μοντέλο που ανταποκρίνεται στην μελέτη της φύσης τους Στο δεύτερο Κεφάλαιο αναπτύσσονται οι κύριες αριθμητικές μέθοδοι υπολογισμού των ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Όπως θα δούμε υπάρχουν δύο μεγάλες κατηγορίες τέτοιων μεθόδων Στην πρώτη κατηγορία περιλαμβάνονται όλες εκείνες οι τεχνικές που επιτρέπουν τον πρακτικό υπολογισμό ενός ιδιοδιανύσματος κάθε φορά καθώς και όλες εκείνες οι μέθοδοι που οδηγούν στον διαδοχικό υπολογισμό όλων των ιδιοδιανυσμάτων Οι μέθοδοι της δεύτερης κατηγορίας διακρίνονται σε δύο κύρια είδη: τις μεθόδους προσδιορισμού του χαρακτηριστικού πολυωνύμου και τις μεθόδους διάσπασης Το 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ πρώτο είδος είναι το λιγότερο ενδιαφέρον (εκτός από ορισμένες ειδικές περιπτώσεις επειδή πρέπει στην συνέχεια να υπολογισθούν οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου Το δεύτερο είδος έχει κυρίως επαναληπτικό χαρακτήρα ο οποίος στηρίζεται στην χρησιμοποίηση όμοιων μετασχηματισμών Πέραν των μεθόδων που έχουν συμπεριληφθεί σε αυτό το δεύτερο Κεφάλαιο υπάρχει και ένας μικρός αριθμός άλλων αριθμητικών μεθόδων που αναπτύσσονται αρκετά εξαντλητικά σε εργασίες και πραγματείες της Βιβλιογραφίας Στο τρίτο Κεφάλαιο παρουσιάζονται οι αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης αλγεβρικών εξισώσεων και συστημάτων γραμμικών εξισώσεων Μόνο λίγες αλγεβρικές εξισώσεις μπορούν να λυθούν με την χρήση κλασσικών Μαθηματικών (:οι πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού 4 Με την χρήση αριθμητικών μεθόδων όμως έχει κατορθωθεί ο προσεγγιστικός εντοπισμός των ριζών μίας εξίσωσης της μορφής f ( ξ όπου f ( είναι μία συνάρτηση πραγματικής ή μιγαδικής μεταβλητής Στο πρώτο μέρος του Κεφαλαίου αυτού θα ασχοληθούμε κυρίως με τον αριθμητικό υπολογισμό μίας απλής πραγματικής ρίζας της εξίσωσης f ( ξ Στα υπόλοιπα μέρη του Κεφαλαίου θα μελετήσουμε το πρόβλημα επίλυσης ενός γραμμικού συστήματος εξισώσεων Αb όπου Α είναι ένας τετραγωνικός αντιστρέψιμος πίνακας με γραμμές και στήλες και όπου b είναι ένα διάνυσμα του C Θεωρητικά ένα τέτοιο σύστημα μπορεί να επιλυθεί υπολογίζοντας τον αντίστροφο πίνακα A του A Όμως το γεγονός ότι ο A υπολογισμός του προϋποθέτει τον υπολογισμό της ορίζουσας του A υπολογισμός που με την σειρά του απαιτεί την εκτέλεση (! πολλαπλασιασμών φανερώνει ότι η μαθηματική επίλυση ενός μεγάλου συστήματος γραμμικών εξισώσεων είναι πρακτικά αδύνατη Οι αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων χωρίζονται σε τρεις μεγάλες κατηγορίες που είναι ριζικά διαφορετικές μεταξύ τους : τις άμεσες μεθόδους που δίνουν θεωρητικά το διάνυσμα λύση μετά από πεπερασμένο αριθμό στοιχειωδών αριθμητικών πράξεων τις επαναληπτικές μεθόδους που δίνουν την λύση ακολουθίας διανυσμάτων και τις μεθόδους προβολής σαν όριο μιας ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 7
ΝΔΑΡΑΣ Στο τέταρτο θεωρητικό Κεφάλαιο παρουσιάζεται μία εισαγωγή στην Διακριτή Αριθμητική Ανάλυση δηλαδή στον κλάδο εκείνο της Αριθμητικής Ανάλυσης όπου η επίλυση ενός μαθηματικού προβλήματος επιτυγχάνεται με την αντικατάσταση ενός συνεχούς φαινομένου με ένα προσεγγιστικό διακριτό φαινόμενο Οι κεντρικές γνωστικές οντότητες του Κεφαλαίου αναφέρονται στην μελέτη του προβλήματος παρεμβολής της αριθμητικής ολοκλήρωσης και παραγώγισης και τέλος της αριθμητικής επίλυσης μίας συνήθους διαφορικής εξίσωσης ή ενός συστήματος διαφορικών εξισώσεων Στο πέμπτο Κεφάλαιο συγκεντρώσαμε ορισμένα χαρακτηριστικά παραδείγματα και ασκήσεις που αναφέρονται στα θεωρητικά εδάφια που προηγήθηκαν Η προτίμηση που δείξαμε σε στοιχειώδη παραδείγματα οφείλεται όχι μόνο στην επιθυμία μας για άμεση κατανόηση του μηχανισμού των διάφορων μεθόδων από μέρους του αναγνώστη αλλά και στην απρόσκοπτη ευχέρεια συγκριτικών αντιπαραθέσεων των δυνατοτήτων τους Η συλλογή λυμένων και άλυτων ασκήσεων πιστεύουμε ότι καλύπτει όλο το φάσμα των κυριότερων αριθμητικών μεθόδων Παρά την προσπάθεια που έγινε για μία αναλυτική και πλήρη ανάπτυξη των πρώτων Κεφαλαίων ενός μαθήματος Αριθμητικής Ανάλυσης υπάρχουν μερικά ζητήματα και κάποιες ειδικές μεθοδολογίες που δεν ήταν δυνατόν να συμπεριλάβουμε στα πέντε αυτά γενικά Κεφάλαια Προς τούτο ο κάθε ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να προστρέξει και να συμβουλευτεί τα συγγράμματα της προτεινόμενης Βιβλιογραφίας (στο τέλος του παρόντος βιβλίου που όμως όπως είναι φυσικό αντιπροσωπεύει μόνο ένα μέρος του συνεχώς διογκούμενου καταλόγου σχετικών και συναφών πραγματειών Νικόλαος Ιω Δάρας 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ Κεφάλαιο 5 Παραδείγματα Ασκήσεις και Προβλήματα VΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ V ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Χρησιμοποιώντας την μέθοδο των δυνάμεων να βρεθεί η μέγιστη κατ απόλυτη τιμή ιδιοτιμή και το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα: A Λύση Προφανώς οι ιδιοτιμές του πίνακα A είναι οι ρίζες της εξίσωσης: λ det( A λ Ι det λ λ λ ( λ ( λ ( λ ( λ [ λ ( λ ] ( λ [ λ λ ] ( λ ( λ ( λ και άρα οι ιδιοτιμές του A είναι λ και λ λ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 9
ΝΔΑΡΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo Υπάρχει λοιπόν μία απ αυτές η λ που είναι κατ απόλυτη τιμή μεγαλύτερη από τις υπόλοιπες και επομένως είναι δυνατή η εφαρμογή της μεθόδου των δυνάμεων Έτσι λαμβάνοντας σαν αρχικό διάνυσμα το διάνυσμα ( ( T u σχηματίζουμε την επαναληπτική ακολουθία ( ( ( N κ κ κ : A u u των διανυσμάτων ( κ u ως εξής: ( ( u u ( ( u u ( ( 4 u u ( ( 6 6 4 4 u u ( ( 4 5 u u ( ( 5 6 u u
Ν ΔΑΡΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo ( ( 4 4 44 6 7 u u ( ( 86 86 84 7 8 u u ( ( 7 7 7 8 9 u u ( ( 4 4 4 9 u u κ λ π Από τις παρακάτω ισότητες καθίσταται σαφές πως για κάθε j ισχύει: ( ( ] [ ] [ lm j j u u κ κ κ σχέση από την οποία έπεται ο προσεγγιστικός προσδιορισμός της κατ απόλυτη τιμή μεγαλύτερης ιδιοτιμής του πίνακα A
ΝΔΑΡΑΣ V ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Κατασκευάζοντας τις κατάλληλες ακολουθίες Sturm να βρείτε τον αριθμό των ανά δύο διάφορων πραγματικών ριζών της εξίσωσης: όταν: (α P ( (β P ( 4 (γ P ( 4 6 5 4 (δ ( 4 4 4 4 P 6 P ( ξ k Λύση Σύμφωνα με το περιεχόμενο της Υποπαραγράφου ΙΙΙ45 θα πρέπει να κατασκευασθεί η ακολουθία πολυωνύμων: f ( P ( f ( P ( f ( ( Q ( f ( ( Q k k ( όπου Q ( είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου f ( με το πολυώνυμο f ( Εάν N (y είναι ο αριθμός των μεταβολών προσήμου που παρατηρούνται κατά την ανάγνωση της αριθμητικής ακολουθίας f y f ( y f k ( τότε ο αριθμός των ανά δύο διάφορων πραγματικών ριζών της εξίσωσης: ( y P k ( ξ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ μέσα στο διάστημα [ A B] ισούται με N N( A N( B πολλαπλή ρίζα και εάν ( Εάν η παραπάνω εξίσωση έχει μία m είναι ο πρώτος δείκτης τέτοιος ώστε ( τότε οι f m πολλαπλές ρίζες της εξίσωσης P ( ξ θα είναι οι απλές ρίζες της εξίσωσης f ( ξ και ο k αριθμός των ανά δύο διάφορων πραγματικών ριζών δίνεται από το παραπάνω απόφθεγμα ανακόπτοντας την ακολουθία f ( y f ( στον όρο f m (y ( y Θα περάσουμε τώρα στην εφαρμογή των θεωρητικών αυτών αποτελεσμάτων στις συγκεκριμένες περιπτώσεις των πολυωνύμων του Παραδείγματος (α Διαδοχικά γράφουμε: f ( ( 4 ( 7 8 f f (αγνοώντας έναν σταθερό θετικό πολλαπλασιαστικό παράγοντα f ( 8 (αγνοώντας πάλι έναν σταθερό θετικό πολλαπλασιαστικό παράγοντα απ όπου διαμορφώνεται ο εξής πίνακας: y f ( y f ( f ( f ( N (y y y y Άρα υπάρχουν πραγματικές και διάφορες μεταξύ τους ρίζες της: στο διάστημα [ ] ξ ξ ξ και πραγματικές και ανά δύο διάφορες μεταξύ τους ρίζες της ίδιας εξίσωσης στο διάστημα [ ] m ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
ΝΔΑΡΑΣ (β Ομοίως βρίσκουμε: f ( f ( 6 f ( και σχηματίζουμε τον αντίστοιχο πίνακα: y f ( f ( N (y y y Η εξίσωση ξ ξ ξ έχει λοιπόν μία πολλαπλή ρίζα μεταξύ και Πρόκειται για την ρίζα ξ της εξίσωσης f ( ξ ξ 6ξ Άρα η εξίσωση f ( ξ ξ ξ ξ έχει μία (και μόνον τριπλή ρίζα (γ Η ακολουθία πολυωνύμων που πρέπει να κατασκευασθεί είναι: 4 f ( f ( 4 4 f ( f ( με την επισήμανση ότι τα πολυώνυμα αυτά ορίζονται κατόπιν μη ουσιώδους παράλειψης κάποιων σταθερών θετικών πολλαπλασιαστικών παραγόντων Τότε ο επισυναπτόμενος πίνακας προς την παραπάνω κατασκευασθείσα ακολουθία είναι: y f ( f ( f ( N (y y y y 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ Η εξίσωση ξ 4 ξ έχει λοιπόν πολλαπλές ρίζες που είναι ρίζες της f ( ξ ξ Προφανώς πρόκειται για τις ρίζες ξ ± Αυτές οι ρίζες είναι διπλές και συνεπώς η εξίσωση ξ 4 ξ έχει αυτές τις τέσσερις ρίζες (δ Τέλος διαδοχικά έχουμε: 6 5 4 f ( 4 4 4 4 5 4 f ( 6 6 4 4 f ( 4 8 4 6 f ( 6 8 f ( 7 58 48 4 f ( 5 με την συνηθισμένη επισήμανση ότι τα πολυώνυμα αυτά ορίζονται μετά από μη ουσιώδη παράλειψη μερικών θετικών πολλαπλασιαστικών σταθερών Ο αντίστοιχος πίνακας διαμορφώνεται τότε όπως ακολούθως: y f ( f ( f ( f ( f ( f ( N (y y y y y 4 y 5 y 4 Διαπιστώνουμε λοιπόν ότι υπάρχουν δύο αρνητικοί αριθμοί (μεταξύ και και ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 5
ΝΔΑΡΑΣ ένας θετικός αριθμός (μεταξύ και που είναι ρίζες της εξίσωσης 6 5 4 ξ 4ξ 4ξ ξ 4ξ 4 Η πρώτη στήλη (που αναφέρεται στην μελέτη του προσήμου της ποσότητας f ( εμφανίζει αυτές τις τιμές: και Εξ άλλου επειδή f ( y 5 ο αριθμός είναι μία διπλή ρίζα της παραπάνω εξίσωσης y V ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης: ξ ξ με την μέθοδο Beroull Λύση Σ ένα πρώτο στάδιο πρέπει να θεωρήσουμε την επαγωγική ακολουθία: που ορίζεται από τον Τύπο: ( y y y y k yk yk και (παραδείγματος χάρη από τις αρχικές συνθήκες: y και y Σχηματίζεται έτσι η επόμενη αριθμητική ακολουθία: ( 7 5 6 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ και παρατηρούμε πως: y y y y y y y y y y 4 5 4 6 5 7 6 K 4K K K αλλά και γενικότερα πως: y κ k lm y Συνεπώς ο αριθμός είναι μία ρίζα της εξίσωσης ξ ξ Σ ένα δεύτερο στάδιο πρέπει να διαιρέσουμε το πολυώνυμο k με το μονώνυμο προκειμένου να βρούμε την δεύτερη ρίζα της παραπάνω εξίσωσης Στην συγκεκριμένη όμως περίπτωση είναι: ( ( και απ ευθείας μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι η δεύτερη ρίζα είναι ο αριθμός ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 7
ΝΔΑΡΑΣ V4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αφού δείξετε ότι η πραγματική συνάρτηση: F : R R : a F( έχει μοναδικό σταθερό σημείο στο διάστημα [ ] και αφού βρείτε μία ικανοποιητική προσέγγισή του να εφαρμόσετε την μέθοδο Newto προκειμένου να λύσετε αριθμητικά την παρακάτω εξίσωση: - ξ ξ Λύση Θα δείξουμε κατ αρχάς ότι υπάρχει σταθερό σημείο της ( F στο διάστημα [ ] Προς τούτο παρατηρούμε ότι η συνάρτηση F είναι γνησίως φθίνουσα παντού στο R και επί πλέον η πρώτη παράγωγός της είναι παντού αρνητική: Καθώς μάλιστα ισχύει: η συνέχεια της F εγγυάται ότι: F ( l < R F ( και F( F( [ ] [ ] [ ] Το Θεώρημα Μέσης Τιμής εξασφαλίζει τώρα αμέσως την ύπαρξη σταθερού σημείου της F ( στο [ ] Ας εξετάσουμε τώρα το ενδεχόμενο της μοναδικότητας αυτού του σταθερού σημείου Επειδή η F είναι απεικόνιση Lpschtz με συντελεστή συστολής: ( sup l l 69 λ sup F 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ μία εφαρμογή του Θεωρήματος ΙΙΙ πιστοποιεί ότι σταθερό σημείο της F στο [ ] είναι μοναδικό και ότι η ακολουθία: ( ξv ξ N v : v συγκλίνει για κάθε ξ [ ] προς το σταθερό αυτό σημείο ξ Ενδεικτικά επιλέγοντας ξ 5 λαμβάνουμε τους πιο κάτω αρχικούς όρους της ακολουθίας ( ξ v N : v : v ξ v 776788655 65476567 65448647 4 6549784587 5 647864787 6 646774 7 646858774 8 6496577796 9 6484596659 4 6485744598 5 6485744555 6 64857445496 M Όπως κατέστη σαφές στην απόδειξη του Θεωρήματος ΙΙΙ η ακολουθία των ποσοτήτων ξ ξ v v φθίνει μονοτονικά Συνεπώς εάν για δεδομένο δ > η ποσότητα ξ γίνει για πρώτη φορά μικρότερη από το δ για v N τότε ξ v ξ v < δ για κάθε v ξ v ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 9
ΝΔΑΡΑΣ v N Εξ άλλου όπως είδαμε πάλι στην απόδειξη του Θεωρήματος ΙΙΙ ισχύει: v λ p ξ v ξ ξ p N λ ξ v Αυτό σημαίνει πως εάν αφήσουμε τον δείκτη p να μεγαλώσει απεριόριστα τότε θα έχουμε αποκομίσει την ακόλουθη εκτίμηση για το σφάλμα της προσέγγισης: Θέτοντας ζ : ξ παραπάνω ανισότητα βρίσκουμε απ όπου έπεται αμέσως ότι: κι επομένως: της μορφής ξ ξ v v λ λ ξ ξ ( v N v και F( ζ F( ξv ξv ζ : και χρησιμοποιώντας την ζ λ ξ λ ζ ζ λ ξ ξ v ξ v ξ v ( v λ N λ ξ ξ v δ για κάθε v N λ Έτσι εφόσον θελήσουμε να εξασφαλίσουμε ένα άνω φράγμα του σφάλματος περίπτωση επιλέξαμε ξ ξv C δ αρκεί να επιλέξουμε τον αριθμό N αρκετά μεγάλο Στην προκειμένη - δ για το οποίο το N που προκύπτει είναι 6 Θα δούμε τώρα πώς η (επαναληπτική μέθοδος Newto της Παραγράφου ΙΙΙ( μπορεί να δώσει πολύ πιο γρήγορα εξίσου ικανοποιητικές προσεγγίσεις θεωρήσουμε την συνάρτηση: f R : a f ( : R Προς τούτο θα Σύμφωνα με ότι προηγήθηκε μέσα στο διάστημα [ ] η συνάρτηση αυτή έχει μοναδική ρίζα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ τον αριθμό ξ 64857445 K Επειδή f ( > για κάθε η ρίζα αυτή είναι απλή Εφαρμόζοντας την μέθοδο Newto με 5 και κριτήριο τερματισμού - N N < (όπως και παραπάνω παίρνουμε τις προσεγγίσεις: v ξ v 6898584 648587 64857445496 4 64857445499 Είναι προφανές ότι η μέθοδος Newto συγκλίνει πολύ γρήγορα αφού για v δίνει την ίδια ακρίβεια προσέγγισης που παίρνουμε από την επανάληψη Σύμφωνα μάλιστα με το Θεώρημα ΙΙΙ( η ακολουθία: ( v : v N ξ ξv v για 6 v της μεθόδου Newto συγκλίνει προς το σημείο ξ 64857445 K και είναι τάξης τουλάχιστον (ως προς την συνηθισμένη νόρμα του R V5 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται η εξίσωση: e ξ ξ Αφού χρησιμοποιήσετε την μέθοδο της διχοτόμησης για τον εντοπισμό μίας κατάλληλης ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
ΝΔΑΡΑΣ μικρής περιοχής μίας απλής ρίζας της συνάρτησης f ( e να βρείτε προσεγγιστικές λύσεις της παραπάνω εξίσωσης με: την επαναληπτική μέθοδο που ορίζει η απεικόνιση F ( e την μέθοδο Newto την μέθοδο της τέμνουσας Στην συνέχεια να συγκρίνετε τα αποτελέσματα και εφόσον είναι αναγκαίο και εφικτό να βελτιωθεί η ταχύτητα της ακρίβειας των μεθόδων εφαρμόζοντας τον αλγορίθμο Δ του Atke ή τον αλγόριθμο του Steffese Λύση Αρχίζουμε με την εφαρμογή της μεθόδου της διχοτόμησης για τον εντοπισμό μίας κατάλληλα μικρής περιοχής μίας απλής ρίζας της συνάρτησης f ( e τόσο μικρής ώστε να πληρούνται οι υποθέσεις του Θεωρήματος ΙΙΙ προκειμένου να είναι δυνατή η χρησιμοποίηση της επαναληπτικής μεθόδου επίλυσης που ορίζει η απεικόνιση F( e καθώς και της επαναληπτικής μεθόδου Newto (Παρατηρήστε πως η δομή της μεθόδου της εσφαλμένης θέσης είναι τέτοια που δεν μπορεί να συμπεριληφθεί στις προδιαγραφές του Θεωρήματος ΙΙΙ γιατί: Σαν διάστημα εκκίνησης επιλέγουμε (όπως συνήθως αυθαίρετα το διάστημα [ ] f ( > και f ( < Αυτό σημαίνει πως υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της f στο [ ] Επιλέγοντας το μέσον του διαστήματος [ ] ποσότητας f ( Επειδή: f ( > (και f ( < μία ρίζα της συνάρτησης f βρίσκεται μέσα στο διάστημα ελέγχουμε το πρόσημο της ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ Σε αυτό το σημείο της λύσης είναι ώριμη αντίδραση να αναρωτηθούμε εάν στο διάστημα [( ] ικανοποιούνται οι υποθέσεις του Θεωρήματος ΙΙΙ που εξασφαλίζουν την σύγκλιση προς την ζητούμενη ρίζα των επαναληπτικών ακολουθιών που ορίζονται από τις δύο μεθόδους Για τον σκοπό αυτό κατ αρχήν μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι αφού οι συναρτήσεις: F ( e και ~ f ( F( f ( που στοιχειοθετούν την μέθοδο της απεικόνισης F και την μέθοδο Newto (αντίστοιχα είναι μία φορά συνεχώς διαφορίσιμες στην ανοιχτή περιοχή του [( ] το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού εγγυάται ότι για κάθε y [ ( ] υπάρχουν a [ y] [ y] β τέτοια ώστε: ~ F( F( y F ( a ( y και F ~ ( F ~ ( y F ( β ( y Συνεπώς οι μικρότερες σταθερές λ και ~ λ για τις οποίες ισχύουν: και είναι οι: F ~ ( F ~ ( y λ y και ~ ~ F( F ~ ( y λ y y β a a λ : sup F ( a sup e e 6656 και β β ~ ~ β e e ~ λ : sup F ( β sup F 7865 β β β β e e ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
ΝΔΑΡΑΣ ~ γιατί οι συναρτήσεις F (a και ( β F είναι γνησίως φθίνουσες μέσα στο διάστημα [( ] (αφού οι παράγωγοί τους ( F ( a F ( a και ( F ~ ( β F ~ ( β είναι αρνητικές στο συγκεκριμένο διάστημα Έτσι επιλέγοντας σαν αρχικό σημείο ~ των επαναληπτικών ακολουθιών ( v : v N και ( ~ v : v N των δύο μεθόδων το σημείο ~ διαπιστώνουμε πως για κάθε ε 759659 και κάθε ~ ε 578 ισχύουν: ~ ~ F ( λ ε και F ( ~ ~ ( λ ~ ε γιατί: και ( e ~ ( F ( e 8958 και ( ~ ~ f F 669 f ( e ~ λ 94694 και λ 9885 Επομένως σύμφωνα με το Θεώρημα ΙΙΙ οι επαναληπτικές ακολουθίες ( v : v N και ( ~ v : v N των δύο μεθόδων: και v F( v e v N ( ~ ~ f ( ~ v v F ( ~ v ~ v v N f ( ~ v ( ~ συγκλίνουν προς το μοναδικό σημείο 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ ξ ε ε U ~ ε ~ ε που έχει την ιδιότητα να διατηρείται από τις απεικονίσεις F και μοναδική ρίζα της εξίσωσης: ~ F δηλαδή προς την ( ξ F ξ e ξ Συγκεκριμένα αντικαθιστώντας στον Τύπο της επαναληπτικής ακολουθίας της πρώτης μεθόδου έχουμε διαδοχικά: 6656 5459 5797 56646 4 5 577 6 564869 7 56848 566494 8 9 5675596 56697 56777 56767 56786 56788 4 56757 5 6 56754 567477 7 8 56747 9 567447 56744 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 5
ΝΔΑΡΑΣ 56747 5674 56744 Λαμβάνοντας σαν κριτήριο διακοπής των επαναλήψεων την συνθήκη: v v ε με v N όπου ε είναι η ακρίβεια προσέγγισης που επιθυμούμε για την ρίζα ξ (συνήθως ε -4-6 -8 με ακρίβεια μέχρι και το βλέπουμε ότι μετά από επαναλήψεις παίρνουμε μία καλή προσέγγιση 6 δεκαδικό ψηφίο Αντίστοιχα αντικαθιστώντας στον Τύπο της επαναληπτικής ακολουθίας της μεθόδου Newto έχουμε διαδοχικά: ~ ~ ~ 5669 5674 5674 Λαμβάνοντας πάλι σαν κριτήριο διακοπής των επαναλήψεων την συνθήκη: ~ v ~ v ε~ με v N ~ όπου ~ ε είναι η ακρίβεια προσέγγισης που επιθυμούμε για την ρίζα ξ βλέπουμε ότι στην τρίτη επανάληψη παίρνουμε μία πολύ καλή προσέγγιση της ρίζας με ακρίβεια μέχρι και το δεκαδικό ψηφίο Όσον αφορά στην μέθοδο της τέμνουσας επισημαίνουμε ότι επειδή δεν είναι δυνατή η συγκρότηση κάποιας αντίστοιχης απεικόνισης F (ή ~ F της οποίας το σταθερό σημείο είναι η ρίζα της f και κατά συνέπεια αφού είναι αδύνατη η εφαρμογή του Θεωρήματος ΙΙΙ (ή του Θεωρήματος ΙΙΙ( θα πρέπει να επιχειρήσουμε την δοκιμαστική εφαρμογή της μεθόδου 6 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ στο διάστημα [( ] επαναληπτικής ακολουθίας: επιλέγοντας τυχαία μέσα σ αυτό τα αρχικά σημεία z και z της Ενδεικτικά λαμβάνοντας zv f ( zv zv f ( zv ( zv : v N f ( z f ( z v v z και z θα έχουμε διαδοχικά: z 5767 z 56684 z 56746 4 z 5 5674 z 6 567 z 7 56749 z 8 56746 z 56744 9 Επικαλούμενοι σαν κριτήριο διακοπής των επαναλήψεων πάλι την συνθήκη: zv zv δ με v M για κάποια ανεκτικότητα δ που επιθυμούμε για την ακρίβεια της προσέγγισης της ρίζας ξ μπορούμε να ισχυριστούμε ότι κατά την όγδοη επανάληψη παίρνουμε μία καλή προσέγγιση της ρίζας με ακρίβεια μέχρι και το o 5 δεκαδικό ψηφίο Είναι φανερό ότι η ταχύτερη και αποτελεσματικότερη από τις τρεις μεθόδους είναι η μέθοδος Newto Εξ άλλου η αργή σύγκλιση των άλλων δύο μεθόδων ήταν αναμενόμενη μετά από τα θεωρητικά αποτελέσματα του ου Κεφαλαίου Εάν ωστόσο κανείς επιμείνει σ αυτές ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 7
ΝΔΑΡΑΣ θέλοντας να βελτιώσει την ταχύτητα της ακρίβειάς τους εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο Δ του Atke ή τον αλγόριθμο του Steffese τότε θα πρέπει να είναι επιφυλακτικός γιατί αφ ενός η δομή της μεθόδου της εσφαλμένης θέσης είναι τέτοια που δεν μπορεί να διασκευαστεί από κάποιον από τους παραπάνω αλγορίθμους και γιατί αφ ετέρου η επαναληπτική ακολουθία της μεθόδου που ορίζεται από την απεικόνιση F δεν ανταποκρίνεται στις ικανές συνθήκες του Θεωρήματος ΙΙΙ( με συνέπεια ο αλγόριθμος Δ του Atke να μην μπορεί να επιταχύνει την σύγκλιση της ακολουθίας αυτής (Πράγματι παρατηρήστε τις αρχικές τιμές των όρων της ακολουθίας: που διατυπώνει το σχήμα της μεθόδου ( v F( v : v N : v v v ( Δv yv v : v N Δ ( v v v v Δ του Atke για τον μετασχηματισμό της ακολουθίας y 855 y 477 y 69788 y 577 y 69589 y 5 67647 Θα πρέπει επομένως κανείς να περιοριστεί μόνον στην εξέταση της επιτάχυνσης της σύγκλισης της ακολουθίας ( v F( v : v N με τον αλγόριθμο του Steffese Ενδεικτικά παραθέτουμε τα αρχικά αποτελέσματα της εφαρμογής του αλγορίθμου: u e e e ( e e e 56764 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ κ λ π u u e e e e ( e e e e e ( e e e 56786 566598 V6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων: (α Να δειχθεί ότι η χαλαρωτική μέθοδος Jacob συγκλίνει και να βρεθούν οι τρεις πρώτες επαναλήψεις εάν ληφθεί σαν σημείο εκκίνησης της μεθόδου το ( T ( (β Να εκτελεσθεί η ίδια εργασία όπως στο ερώτημα (α για την χαλαρωτική μέθοδο Gauss Sedel (γ Να εφαρμοστεί η υπερχαλαρωτική μέθοδος καθώς και η επιταχυντική υπερχαλαρωτική μέθοδος για την επίλυση του παραπάνω συστήματος (δ Εξετάστε την δυνατότητα εφαρμογής της μεθόδου προβολής και των μεθόδων της βαθύτερης καθόδου και της συζυγούς διαβάθμισης Λύση Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι η μαθηματική λύση του συστήματος είναι το διάνυσμα: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 9
ΝΔΑΡΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo R Ας δούμε τώρα πώς οι αριθμητικές μέθοδοι που ζητούνται μπορούν να δώσουν προσεγγίσεις της μαθηματικής λύσης Κατ αρχάς όπως αναφέρθηκε στην Παράγραφο ΙΙΙ44 στις χαλαρωτικές μεθόδους ο πίνακας: A του συστήματος του Παραδείγματος διασπάται σε δύο πίνακες ως εξής: Εάν D E και F τότε ο πίνακας A γράφεται υπό την μορφή: N M A όπου οι πίνακες M και N έχουν προέλθει από συνένωση των τριών πινάκων D E και F (α Ιδιαιτέρως στην μέθοδο Jacob οι πίνακες M και N ορίζονται από τις σχέσεις: D M και F E N και η αντίστοιχη επαναληπτική ακολουθία που σχηματίζεται δίνεται από τον Τύπο: ( ( ( ( ( T v v v D F E D ( N β όπου β είναι το διάνυσμα του δεξιού μέρους του συστήματος του Παραδείγματος: R β
Ν ΔΑΡΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo Σύμφωνα με το Θεώρημα ΙΙΙ4 μία ικανή και αναγκαία συνθήκη για την σύγκλιση της επαναληπτικής ακολουθίας ( ( ( ( ( προς την μοναδική λύση του συστήματος είναι η φασματική ακτίνα του πίνακα: N M B : να είναι μικρότερη του αριθμού Καθώς: : F (E D N Μ B - οι ιδιοτιμές του B είναι οι αριθμοί: και και συνεπώς η φασματική ακτίνα ρ ( B του πίνακα B είναι: ρ ( B ma μικρότερη του αριθμού ένα Άρα η επαναληπτική ακολουθία της χαλαρωτικής μεθόδου Jacob ( ( ( ( ( συγκλίνει προς την λύση του συστήματος Προκειμένου να βρούμε τις αρχικές τιμές της επαναληπτικής διαδικασίας της μεθόδου Jacob γράφουμε αναλυτικά τον Τύπο της επαγωγικής αυτής ακολουθίας:
ΝΔΑΡΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( v v v v v v v v v D F E D ( ( ( ( ( ( ( v v v v v v v Έτσι επαγωγικά και με δεδομένο ότι και ( ( ( έχουμε ότι: 5 5 και ( ( ( 5 και ( ( ( 75 4 75 4 και ( ( ( (β Αντίστοιχα στην μέθοδο Gauss Sedel οι πίνακες M και N είναι: E D M και F N και η επαναληπτική ακολουθία που τότε σχηματίζεται δίνεται από τον Τύπο: ( ( ( ( ( T v v v E D F E D ( ( N β Πάλι σύμφωνα με το Θεώρημα ΙΙΙ4 καθώς οι ιδιοτιμές του πίνακα B : F E D N M B ( : 4 8 4
Ν ΔΑΡΑΣ είναι οι αριθμοί: η φασματική ακτίνα ρ ( B του πίνακα B είναι: ρ ( B και ma μικρότερη του ένα και συνεπώς η επαναληπτική ακολουθία της χαλαρωτικής μεθόδου Gauss ( ( ( Sedel ( ( ( ( ( συγκλίνει προς την μοναδική λύση ( T του συστήματος Για να βρούμε τις τιμές των τριών πρώτων επαναλήψεων της μεθόδου Gauss Sedel γράφουμε αναλυτικά τον Τύπο της ακολουθίας: ( v ( v ( v ( D E F ( v ( v ( v ( D E 4 ( v ( v 4 4 8 ( v ( v ( v ( v ( v ( v 4 5 8 4 ( v ( v ( v 8 4 ( Έτσι διαδοχικά και με δεδομένο ότι ( και έχουμε ότι: ( ( ( ( 7 5 75 και 875 4 8 ( 7 ( 7 ( 5 875 875 και 975 8 8 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
ΝΔΑΡΑΣ ( 5 ( ( 975 και 96875 6 (γ Όπως αναφέρθηκε στην Παράγραφο ΙΙΙ48 στην μέθοδο υπερχαλάρωσης λαμβάνουμε: M ω ω με ω C {} Τότε ο πίνακας B είναι: ω ( D E και N [ ( ω D ω F] B M N ( D ω E [( ω D ω F] και το επαναληπτικό διάνυσμα M βρίσκεται από τον Τύπο: ( v ( v ( v ( T ω ω ( ( v N ( GS όπου είναι το επαναληπτικό διάνυσμα που προκύπτει από την εφαρμογή της ( v GS χαλαρωτικής μεθόδου Gauss Sedel κατά την ( v επανάληψή της Επομένως για το συγκεκριμένο σύστημα του Παραδείγματος η μέθοδος υπερχαλάρωσης παράγει το ακόλουθο επαγωγικό σχήμα: ( v ( v ( v ( ω ( v ( v ( v Η βέλτιστη ωopt τιμή του ω δίνεται από τον Τύπο: ή: ω 4 8 ( v ω [ ( ρ ( B ] opt 4 ( v ( v ( v ( v 4 5 8 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ ενώ: 4 ω opt 76 ρ ( L 76 ω opt ω opt ( ( ( Λαμβάνοντας και έχουμε διαδοχικά ότι: ( ( 8 ( 4457 και 74566 ( ( ( ( 786847 7746 και 59694 ( ( ( 65797 55759 και 66 (4 (4 (4 67776 495958 και 4957 (5 (5 (5 5584 99898 και 6 (6 (6 (6 66667 7997 και 5874 (7 (7 (7 47645 4755 και 948 (8 (8 (8 866 97 και 9746 Τα παραπάνω αριθμητικά αποτελέσματα φανερώνουν την εξασφαλισμένη ασυμπτωτική επιτυχία της υπερχαλαρωτικής μεθόδου Είναι όμως σαφές ότι η επιτυχία αυτή έρχεται με κάπως αργό ρυθμό Γιαυτό θα ήταν δόκιμη κάθε απόπειρα επιταχυντικής παρέμβασης στην διάρθρωση της μεθόδου Θα επιχειρήσουμε μία τέτοια προσπάθεια εφαρμόζοντας τώρα την επιταχυντική μέθοδο υπερχαλάρωσης Σύμφωνα με όσα εκτέθηκαν στην Παράγραφο ΙΙΙ4 τα διανύσματα της επαναληπτικής ακολουθίας της μεθόδου αυτής ορίζεται από τον Τύπο: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 5
ΝΔΑΡΑΣ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo ( ( β ω τ ω τ ( ~ D E D v v I L όπου: A D E D ( ~ ω τ ω τ I I L Επειδή το σύστημα του Παραδείγματος είναι: E D τ ω ~ L 8 8 8 4 4 τ ω ω τ ω τ ω τ ω τ τ τ και 4 ( ω τ ω τ τ β ω τ D E D I η επιταχυντική μέθοδος υπερχαλάρωσης παράγει το εξής επαγωγικό σχήμα: ( 4 ] 8 [ 8 4 4 ] [ v τ ω ω τ ω τ ω τ τ ω ω τ τ τ τ ( ( ( ( ( ( ( ( ( v v v v v v v v v Δεν θα δώσουμε αριθμητικές εφαρμογές του παραπάνω σχήματος γιατί δεν είναι
Ν ΔΑΡΑΣ γνωστό το θεωρητικό υπόβαθρο που θα μπορούσε να τις κατευθύνει προς ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα Παρ όλ αυτά επειδή ο πίνακας B ~ της μεθόδου: ~ B D ( E F έχει ιδιοτιμές τους αριθμούς ± και λαμβάνοντας καταχρηστικά υπ όψη το Θεώρημα ΙΙΙ4 μπορούμε να αποπειραθούμε κάποιες δοκιμές έχοντας επιλέξει: f ( f ( f ( ω και f ( h ( ± f ( δηλαδή έχοντας επιλέξει ω 7578 και τ 445 Τότε το παραπάνω επαγωγικό σχήμα γράφεται υπό την μορφή: ( ( v v ( ( v ( v 445 7767 7767 ( v ( v ( v 445 445 8847 ( v ( v 4646 75759 4858 ( ( ( από την οποία διαδοχικά και ενδεικτικά αποκομίζουμε (για και : ( ( ( 989 8847 και 999999 ( ( ( 7576 και 7577 ( ( ( 4786 64459 και 9675 (4 (4 (4 859 8844 και 9489 (5 (5 (5 4799 88577 και 954 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 7
ΝΔΑΡΑΣ (6 (6 (6 44944 9977 και 95878 (7 (7 (7 4577 996 και 9574 (δ Θα εξετάσουμε τώρα την δυνατότητα εφαρμογής της μεθόδου προβολής και των μεθόδων της βαθύτερης καθόδου και της συζυγούς διαβάθμισης στο σύστημα του Παραδείγματος Κατ αρχάς παρατηρούμε ότι ο πίνακας A του συστήματος είναι προφανώς συμμετρικός αντιστρέψιμος (γιατί: det( A 8 και επί πλέον είναι θετικά ορισμένος ( αφού για κάθε ( T w w w w R {} ισχύει: w T A w ( w w w ( w w w > Άρα υπάρχει δυνατότητα εφαρμογής της μεθόδου προβολής για το σύστημα του Παραδείγματος σύμφωνα με τις προδιαγραφές της Παραγράφου ΙΙΙ5 Όπως είναι γνωστό η επαναληπτική ακολουθία της μεθόδου αυτής θεμελιώνεται συνοπτικά από τον ακόλουθο Τύπο: ( v ( v με u : τυχαίο διάνυσμα του R {} και με: T ( v u r μ : και με v u T A u μ u r v ( v ( v : A β ( v N Μπορούμε εύκολα να δούμε ότι λόγω της τυχαίας επιλογής του διανύσματος u η σύγκλιση της παραπάνω ακολουθίας είναι γενικά αργή και γιαυτό θα αποφύγουμε την παρουσίαση αριθμητικών αποτελεσμάτων Αντίθετα καθώς ειδικότερα οι μέθοδοι της βαθύτερης καθόδου και της συζυγούς διαβάθμισης μπορούν επίσης (για τους ίδιους λόγους με παραπάνω να εφαρμοσθούν στο σύστημα του Παραδείγματος θα προτιμήσουμε την διάθεση αριθμητικών αποτελεσμάτων που προέρχονται από τις δύο αυτές μεθόδους Στην μέθοδο της 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ βαθύτερης καθόδου το αντίστοιχο σχήμα προσδιορίζεται σύμφωνα με τον Τύπο: όπου: Έχοντας επιλέξει ( v ( v r : A και β μ r ( v ( v ( v v v ( v r μ : ( v N ( v ( v [ r ] A r ( T ( βρίσκουμε διαδοχικά: ( r μ και ( 7 6 7 ( r μ 57 και 9 ( 84666 657 6 8 ( r 76 μ 785 και 7746666 ( 8454 89989 95458 5958 ( r 99866 μ 54648 και 947 9845 ( 4 r 895 μ 4 548 και 59 ( 4 ( 5 95995 949 9497 9548745 95589 955747 46749 97747 ( 5 ( 6 r 5986 μ 5 48 και 95555 454745 977448 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 9
ΝΔΑΡΑΣ Στην μέθοδο της συζυγούς διαβάθμισης η επαναληπτική ακολουθία προσδιορίζεται από τον ακόλουθο Τύπο: ( v ( v ( v μ u v με: ( v T ( v [ u ] r μ v : ( v T ( v [ u ] A u ( v r ( v ( v u : r ( v [ r ] u ( v και ( r v A β ( ( Σύμφωνα με το Θεώρημα ΙΙΙ55 (Stefel εάν λάβουμε u r τότε η μέθοδος της συζυγούς διαβάθμισης συγκλίνει μετά από το πολύ τρεις επαναλήψεις Επί του προκειμένου για ( ( T έχουμε: ( T ( ( r ( μ 5 (παίρνοντας u r και ( 5 5 ( r ( T ( ( r ( 4 T u ( 5 5 T μ και ( ( 5 5 u ( 84 784 84 T μ 649 και ( 95958 4659 95958 Βλέπουμε ότι παρά την θεωρητική διαβεβαίωση του ωραίου Θεωρήματος Stefel τα αναγκαστικά σφάλματα στρογγύλευσης εμποδίζουν την αναμενόμενη ακρίβεια της προσεγγιστικής λύσης (Παρατήρηση ΙΙΙ55 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ V7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ τιμές Εστω η συνάρτηση: cos( t f ( dt ( R t Εφαρμόζοντας την σύνθετη μέθοδο τραπεζίων με βήμα να υπολογίσετε τις f ( και ( 4 f (Προς τούτο δημιουργείστε έναν πίνακα χρήσιμων τιμών και διατηρείστε μόνον 4 δεκαδικά ψηφία στα τελικά αποτελέσματα Στην συνέχεια να υπολογίσετε με ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων και χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα σε δυναμοσειρά της f την τιμή f ( Τέλος να δώσετε την συμπεριφορά της γραφικής αναπαράστασης της f προσδιορίζοντας τον ασυμπτωτικό χαρακτήρα της Λύση Θέτουμε: cos( t φ (τ (( t R t Η εφαρμογή του σύνθετου τύπου τραπεζίων με βήμα στην περίπτωση της φ και όταν t [ ] δίνει: Έτσι για έχουμε: 9 f ( ( ( ] [φ φ 4 5 6 7 8 9 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 4
ΝΔΑΡΑΣ ( φ 976 88566 75789 669 44 649 47 785 56 87 απ όπου έπεται ότι: ενώ για 4 έχουμε: f ( 479 4 5 6 7 8 9 (4 φ 994 6699 48 57 97 54 664 6876 495447 8 απ όπου έπεται ότι: f ( 4 859 Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα σε δυναμοσειρά της f βρίσκουμε ότι: p ( p t f( b p p με bp dt p (! t Επειδή η σειρά που αναπαριστάνει την τιμή ( κάθε k N ισχύει ότι: και k p k p k ( b p p f ( p f είναι εναλλασσόμενη βλέπουμε πως για ( 4k p k p t 4k ( b p ( b b dt (4! t dt p p k t k (4 k (4 k! Προκειμένου να εξασφαλίσουμε ακρίβεια μέχρι και δύο δεκαδικών ψηφίων στον υπολογισμό της προσεγγιστικής τιμής του αριθμού f ( αρκεί να επιλέξουμε το k έτσι που να ικανοποιείται η ανισότητα: 4k 4k! 5 (4k(4k! ( ( Προφανώς η επιλογή k είναι αρμόζουσα γι αυτό: p p p f ( p ( b ( b p p p b p 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ Αλλά: p p p p p t t t t t ( ( t t p! bp dt dt dt δηλαδή: dt t t t t ( p! b ( p! bp t p p p dt ( p! bp και dt π b t 4 Επομένως: π π π b b ( b ( και b 4 4 4! 4 και άρα: 6895 < f ( < 685 απ όπου έπεται ότι: f ( 68 κατά προσέγγιση δύο δεκαδικών ψηφίων ( 6! 5 p π 4 Κατά τον ίδιο τρόπο κανείς μπορεί να βρει τις ακόλουθες τιμές κατά προσέγγιση δύο δεκαδικών ψηφίων για την f : 5 5 5 5 4 45 5 55 6 65 7 75 8 85 9 95 π f( 4 76 68 57 4 8 5 4 4 8 9 7 7 4 6 6 5 7 και να κατασκευάσει την ακόλουθη γραφική αναπαράσταση της f : ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 4
ΝΔΑΡΑΣ π/4 7 6 5 4 4 6 5 7 8 9 V8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Επιλέγοντας την ακολουθία βημάτων: h h h h h να δώσετε τον αυθεντικό αλγόριθμο Romberg Στην συνέχεια να εφαρμόσετε αυτόν τον αλγόριθμο προκειμένου να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα: d Λύση Ο αυθεντικός αλγόριθμος Romberg ( που συνιστά μία ειδική περίπτωση μίας γενικής μεθόδου η οποία είναι γνωστή με το όνομα μέθοδος προέκτασης του Rchardso δίνεται ως εξής: 44 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ Βήμα ο : Εάν I f ( d είναι το προς υπολογισμό ολοκλήρωμα θέτουμε: β a ( h T : R [ f ( a f ( β f ( a h ] για κάθε Βήμα ο ( : Κατασκευάζουμε τα στοιχεία T με την βοήθεια του Τύπου: k 4 T 4 ( ( T k ( k k k k T : για κάθε και για κάθε k (Παρατηρήστε ότι κατόπιν απλής αντικατάστασης των διαφόρων τιμών επαληθεύεται ότι: όπου: ( R R M β a R ( f ( a f ( β και M h f ( a ( h Το M δίνει το γινόμενο του h επί το άθροισμα των τιμών της συνάρτησης στα νέα σημεία δηλαδή στα σημεία της διαμέρισης που χρησιμοποιούμε για τον υπολογισμό του R τα οποία όμως δεν ανήκουν στα σημεία της διαμέρισης που χρησιμοποιούμε για τον υπολογισμό του R ( Τις τιμές T μπορούμε να τοποθετήσουμε σ ένα τριγωνικό πίνακα σύμφωνα με την ακόλουθη διάταξη: k ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 45
ΝΔΑΡΑΣ k ( T 4 5 ( T ( T ( T 4 ( 4 T 5 ( 5 T ( T ( T ( T ( 4 T ( 5 T ( T ( T ( 4 T ( 5 T ( T ( 4 T ( 5 T ( 4 T 4 ( 5 T 4 ( 5 T 5 M M M M M M M M Ιδιαίτερα για την περίπτωση του υπολογισμού του ολοκληρώματος: d (όπου f ( a και β η κατασκευή του παραπάνω πίνακα επιτυγχάνεται ως εξής: Για την πρώτη στήλη: T ( β a ( f ( a f ( β β a M ( β a f ( a ( β a a β f ( T ( ( ( T ( 66667 M ( β a β a ( β a M ( f ( a f ( a 66667 4 4 5 46 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ T ( ( ( T M (66667 66667 6667 β a β a ( β a 5( β a M ( f ( a f ( a f ( a 4 8 8 8 7 ( β a 4 4 4 4 f ( a ( 89754 8 5 7 9 M ( ( T ( T T ( Για την δεύτερη στήλη: ( ( 4 T T T ( 4 T ( ( T T ( 4 T ( ( T 9876 T ( Για την τρίτη στήλη: ( ( 6 T T 5 9959 ( T ( ( 6 T T 5 9864 Για την τέταρτη στήλη: T ( ( ( 64 T T 6 986 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 47
ΝΔΑΡΑΣ Έτσι διαμορφώνεται ο εξής πίνακας της μεθόδου Romberg: k 66667 6667 9959 9876 9864 986 Άρα εάν θεωρήσουμε σαν προσεγγιστική τιμή του ολοκληρώματος: d την τιμή ( T τότε θα έχουμε: d 986 που πρόκειται για μία αρκετά ικανοποιητική προσέγγιση δεδομένου ότι η αληθής τιμή του εν προκειμένω ολοκληρώματος είναι: d l 986 48 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ V9 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν προσεγγιστικές τιμές του ολοκληρώματος e d ( 7468479 (α με την σύνθετη μέθοδο τραπεζίων με ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων (β με την σύνθετη μέθοδο Smpso με ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων (γ με την μέθοδο Romberg με ακρίβεια 6 δεκαδικών ψηφίων και (δ με την μέθοδο Gauss Λύση (α Υπενθυμίζουμε ότι ο μαθηματικός τύπος της σύνθετης μεθόδου τραπεζίων για έναν ομοιόμορφο διαμερισμό του διαστήματος ολοκλήρωσης [ a β ] μίας συνάρτησης ( ( m κόμβους δίνεται από την έκφραση: με: β a f ( a f ( β f ( d h [ f ( a h f ( a ( m h ] R( f a h β ( και ( m ( β a d f R f ξ για κάποιο ξ [ a β ] m d f με και κάτω από την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση f είναι δύο φορές συνεχώς διαφορίσιμη μέσα σε μία ανοικτή περιοχή του διαστήματος [ β ] Στην παρούσα άσκηση εάν θέσουμε a f ( e a και β μπορούμε να επιτύχουμε την ακόλουθη εκτίμηση για την τιμή του σφάλματος: R( f m f ( ξ m ( ξ e ξ m sup ( e ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 49
ΝΔΑΡΑΣ γιατί sup ( e 6m Επομένως για να εξασφαλισθεί ακρίβεια προσέγγισης 5 δεκαδικών ψηφίων αρκεί ο αριθμός m να επιλεγεί έτσι ώστε: 6 5 m > 8 6m Με άλλα λόγια ο σύνθετος τύπος τραπεζίων με περισσότερους από 84 ομοιόμορφα κατανεμημένα κομβικά σημεία δίνει στην προκειμένη περίπτωση το αποτέλεσμα με ακρίβεια τουλάχιστον πέντε δεκαδικών ψηφίων Στην πραγματικότητα αυτός ο ισχυρισμός είναι μόνον ικανός (και όχι αναγκαίος αφού η ζητούμενη από την άσκηση ακρίβεια επιτυγχάνεται και με λιγότερα κομβικά σημεία Ενδεικτικά αναφέρουμε τα επόμενα αποτελέσματα: πλήθος κόμβων m 4 5 6 7 Προσεγγιστική τιμή ολοκληρώματος με την 746877 746898 746897 74685 7468 7468 746894 746854 σύνθετη μέθοδο τραπεζίων (β Οπως είναι γνωστό ο μαθηματικός τύπος της σύνθετης μεθόδου Smpso για έναν ομοιόμορφο διαμερισμό του διαστήματος ολοκλήρωσης [ a β ] μίας συνάρτησης ( ( m κομβικά σημεία ( m άρτιος δίνεται από την έκφραση: β a όπου: 5 h ( m h f ( d [ f ( y 4 ( ( ] j j f y j f y j 9 4 d f ( ξ d ( m j 4 j a h β m f με 5 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ a y < y < y < < y j < y j < y j < < ym β είναι τα ( m κομβικά σημεία της διαμέρισης y y ] ξ και κάτω από την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση ( j [ j j f είναι τέσσερις φορές συνεχώς διαφορίσιμη μέσα σε μία ανοικτή περιοχή του διαστήματος [ β ] Θέτοντας πάλι f ( e a και β μπορούμε να οδηγηθούμε στην παρακάτω εκτίμηση του σφάλματος της προσέγγισης: 5 h d f R( f ξ 9 d 9 m d f d 4 4 ( m ( m ( 5 sup ( j 4 j j 4 m sup 4 (4 6 4 5 9m a 8 m 4 sup 8( ( 7 ( 7 8m 4 8 ( ( 7 ( 7 6 4 4 8m m Έτσι για να εξασφαλισθεί ακρίβεια 5 δεκαδικών ψηφίων αρκεί ο άρτιος m να επιλεγεί έτσι ώστε: 6 < 5 m 4 m Με άλλα λόγια ο σύνθετος τύπος Smpso με περισσότερα από κομβικά σημεία ομοιόμορφης διαμέρισης δίνει αποτέλεσμα με ακρίβεια πέντε δεκαδικών ψηφίων Στην πραγματικότητα αυτός ο ισχυρισμός είναι μόνον ικανός (και όχι αναγκαίος αφού η ζητούμενη από την άσκηση ακρίβεια επιτυγχάνεται και με λιγότερους κόμβους Για του λόγου το αληθές ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 5
ΝΔΑΡΑΣ παραθέτουμε τα επόμενα αποτελέσματα: πλήθος κόμβων m 5 7 9 5 προσεγγιστική τιμή ολοκληρώματος με την σύνθετη 747846 74685544 74684 74686 746849 7468456 746848 μέθοδο Smpso (γ Όπως είναι γνωστό η μέθοδος Romberg για τον προσεγγιστικό υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος μίας πραγματικής συνάρτησης f ( επί ενός κλειστού διαστήματος [ β ] συνοψίζεται σε τρία βασικά στάδια: a Σ ένα πρώτο στάδιο επιλέγουμε αυθαίρετα μήκη των διαστημάτων των διαμερίσεων του [ β ] a : Σ ένα δεύτερο στάδιο για κάθε μήκος ( T του ζητούμενου ολοκληρώματος h h h h h β a h βρίσκουμε την αντίστοιχη προσεγγιστική τιμή f ( d χρησιμοποιώντας την σύνθετη μέθοδο τραπεζίων Στο τελευταίο στάδιο συμπληρώνουμε τα στοιχεία: μέσα στον πίνακα: ( T ( k > k 5 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ ( T ( T ( T ( T ( T ( T ( T ( T ( T ( T σύμφωνα με τον ακόλουθο Τύπο: M M M M T ( k ( ( h T h T : k k k h k h Στις πρακτικές εφαρμογές κατά το πρώτο στάδιο το μήκος h συναρτάται προς το μήκος h σύμφωνα με την σχέση h h και συνήθως λαμβάνουμε: h ή h ή h ή h 4 οπότε αντίστοιχα θα είναι: h ή h ή h ( ή h Είναι φανερό πως η επιλογή της σχέσης h h επισύρει και κάποιες διευκολυντικές αλλαγές στην έκφραση του βασικού Τύπου του τελευταίου σταδίου ο οποίος σε μία τέτοια περίπτωση απλοποιείται και διαμορφώνεται ως εξής: T ( k k k k h T ( ( T k ( k > Έτσι εάν h οι τέσσερις πρώτοι όροι της ακολουθίας ( h N : είναι οι ακόλουθοι: h h h 4 h 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 5
ΝΔΑΡΑΣ και για κάθε μήκος h ( βρίσκουμε την αντίστοιχη προσεγγιστική τιμή ( T του ζητούμενου ολοκληρώματος με την σύνθετη μέθοδο τραπεζίων όπως ακολούθως: για h : T ( f ( f ( ( h 68997 για h : ( f ( f ( T ( f ( 777 h για h 4 : ( f ( f ( T ( f ( f ( f ( 74984 h 4 4 4 ( f ( f ( 7 για h : T ( f ( f ( f ( 74586564 8 h 8 8 8 Εφαρμόζοντας τώρα τον Τύπο T ( k k k k h T ( ( Tk διαδοχικά για k k και k βρίσκουμε: T T T T T ( ( ( ( ( 747846 74685544 74687 74688 74684 ( T 74684 Σχηματικά η πεπερασμένη αυτή εφαρμογή της μεθόδου Romberg αναπαρίσταται στον ακόλουθο πίνακα: 54 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ 9498 7459 6866 6486 594948 5888495 69 64 645989 655 Το παράδειγμα αυτό δείχνει την συμπτωματικότητα της προηγούμενης ικανοποιητικής προσέγγισης 74684 Εν τούτοις σε κάθε περίπτωση η μέθοδος Romberg έχει αποδειχθεί πολύ ταχύτερη από τις σύνθετες μεθόδους τραπεζίων και Smpso (δ Εάν είναι γνωστός ο τύπος τετραγωνισμού Gauss σ ένα διάστημα τότε εύκολα μπορούμε να προσδιορίσουμε τον τύπο Gauss με ίδιο πλήθος κομβικών σημείων σε ένα άλλο διάστημα υπό την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση w ( είναι ίση με μέσα και στα δύο διαστήματα Πραγματικά ας υποθέσουμε ότι: ( A f ( είναι ένας τύπος τετραγωνισμού Gauss στο διάστημα [ ] μέσα σε μία ανοικτή περιοχή του διαστήματος [ a β ] έχουμε: β a β a f ( d (β a t β a Εάν η συνάρτηση f ορίζεται και τότε με την αλλαγή μεταβλητής: β a β a f ( d Στην προκειμένη περίπτωση γνωρίζουμε τον Τύπο τετραγωνισμού Gauss ( A f ( στο διάστημα [ ] αφού: A ( ( για ( P ( ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 55
ΝΔΑΡΑΣ όπου είναι οι ρίζες του πολυωνύμου Legedre ( P επαληθεύσουμε τις παρακάτω ενδεικτικές αλλά χρήσιμες πληροφορίες: τότε ( όταν όταν ενώ ενώ P και ( A τότε P ( και η μοναδική ρίζα του ( A ( ( A όταν τότε ( ( 5 9 ( ( A A και όταν ενώ Μπορούμε εύκολα να P είναι η P και οι δύο ρίζες του ( και ( A 8 9 τότε P ( ( 5 ( ( A A και και οι τρεις ρίζες του ( 5 και 5 6 ( ( A A 6 P είναι οι P είναι οι Κατ αντιστοιχία ο Τύπος τετραγωνισμού Gauss στο διάστημα [ ] θα είναι: A ( f ( Παραθέτουμε τώρα μερικά αποτελέσματα που δίνουν οι τύποι αυτοί για 4: 56 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ ( A f ( 778879 74659467 746846 4 746845 Παρατηρούμε ότι λόγω της υψηλής τάξης ακρίβειας των Τύπων τετραγωνισμού Gauss τα αποτελέσματα είναι εξαιρετικά καλά ακόμα και όταν το πλήθος των κόμβων είναι πολύ μικρό Για παράδειγμα ο Τύπος τετραγωνισμού Gauss με τέσσερις μόνον κόμβους δίνει στην προκειμένη περίπτωση καλύτερη προσέγγιση από τον σύνθετο τύπο τραπεζίων με 7 ομοιόμορφα κατανεμημένους κόμβους Επί πλέον συγκριτικά με την μέθοδο Romberg τα κομβικά σημεία ενός τύπου τετραγωνισμού Gauss είναι ορισμένα κατά μοναδικό τρόπο σε αντίθεση με την μέθοδο Romberg όπου η επιλογή του συστήματος των ομοιόμορφων κατανομών των κομβικών σημείων είναι απολύτως ελεύθερη V ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω μία ομοιόμορφη διαμέριση με βήμα ίσο με h : a < < < 4 < < < < < < < < 4 του διαστήματος [ a β ] Εάν η συνάρτηση: < < β ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 57
ΝΔΑΡΑΣ 58 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo [ ] R β : a f είναι τέσσερις φορές συνεχώς διαφορίσιμη μέσα σε μία ανοιχτή περιοχή του [ ] β a να δοθούν οι Tύποι των μέχρι και τάξης 4 αριθμητικών παραγώγων της f στο σημείο : ( f ( f ( f και ( ( 4 f χρησιμοποιώντας: (α προς τα εμπρός διαφορές (β προς τα πίσω διαφορές και (γ κεντρικές διαφορές Λύση (α ΤΥΠΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΜΕ ΠΡΟΣ ΤΑ ΕΜΠΡΟΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ: h f f f ( ( ( ( ( ( ( h f f f f ( ( ( ( ( h f f f f f 4 4 4 ( ( ( 4 ( 6 ( 4 ( ( h f f f f f f (β ΤΥΠΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΜΕ ΠΡΟΣ ΤΑ ΕΜΠΡΟΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ: h f f f ( ( ( ( ( ( ( h f f f f ( ( ( ( ( h f f f f f
Ν ΔΑΡΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 59 4 4 4 ( ( ( 4 ( 6 ( 4 ( ( h f f f f f f (γ ΤΥΠΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΜΕ ΠΡΟΣ ΤΑ ΕΜΠΡΟΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ: h f f f ( ( ( ( ( ( ( 4 h f f f f 8 ( ( ( ( ( h f f f f f 4 4 4 (4 6 ( ( 4 ( 6 ( 4 ( ( h f f f f f f Στις δύο πρώτες περιπτώσεις δηλαδή σ αυτές των προς τα εμπρός και προς τα πίσω διαφορών το σφάλμα των τύπων της αριθμητικής παραγώγισης είναι πάντα της μορφής: ( h Ο (υπό την έννοια ότι υπάρχει μια θετική σταθερά C ανεξάρτητη από την επιλογή του βήματος h τέτοια ώστε: ( h C h h < Ο Αντίθετα στην περίπτωση των κεντρικών διαφορών το σφάλμα της προσέγγισης της αληθινής τιμής της παραγώγου της f στο σημείο είναι της μορφής: ( h Ο (υπό την έννοια ότι υπάρχει μία θετική σταθερά K ανεξάρτητη από την επιλογή του βήματος h τέτοια ώστε: ( h K h h < Ο
ΝΔΑΡΑΣ V ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν προσεγγιστικές τιμές της παραγώγου της συνάρτησης: 4 f ( 5 5 5 στο σημείο 5 χρησιμοποιώντας τις μεθόδους των προς τα εμπρός των προς τα πίσω και των κεντρικών διαφορών λαμβάνοντας ομοιόμορφη διαμέριση του διαστήματος [ ] με σταθερό βήμα h 5 Στην συνέχεια να βελτιωθεί η ακρίβεια των προσεγγίσεων αυτών εφαρμόζοντας το σχήμα Nevlle Atke στα αποτελέσματα δύο ομοιόμορφων διαμερίσεων του [ ] με αντίστοιχα βήματα h 5 και h 5 Λύση Κατ αρχάς επισημαίνουμε ότι η ακριβής τιμή f (5 της παραγώγου της συνάρτησης f στο σημείο 5 ισούται με 95 h 5 : Θεωρούμε τώρα την παρακάτω διαμέριση του διαστήματος [ ] με σταθερό βήμα 5 5 75 < < < < Είναι εύκολο να επαληθευτούν οι ακόλουθοι ισχυρισμοί: f ( f ( f ( f ( f ( 5 95 66 Έτσι χρησιμοποιώντας την μέθοδο των προς τα εμπρός διαφορών βρίσκουμε: f ( f ( 66 95 f ( 56 h 5 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ ενώ με την μέθοδο των προς τα πίσω διαφορών: f ( f ( 66 5 f ( 74 h 5 και με την μέθοδο των κεντρικών διαφορών: περιπτώσεις f f ( f ( h ( 66 5 95 5 Προφανώς τα σφάλματα των προσεγγίσεων είναι μεγάλα ειδικά στις δύο πρώτες Στην προσπάθεια υπολογισμού προσεγγιστικών παραγώγων μεγαλύτερης ακρίβειας θα αναπτύξουμε τον παρακάτω αλγόριθμο που βασίζεται στο σχήμα Nevlle Atke Προς τούτο επιλέγουμε μία ακολουθία: h h h h h Βήμα ο : Εάν f ( είναι η προς υπολογισμό τιμή της παραγώγου της συνάρτησης f στο σημείο θέτουμε: T ( f ( h f ( h : h για κάθε Βήμα ο ( : Κατασκευάζουμε τα στοιχεία T με την βοήθεια του Τύπου: k 4 T 4 ( ( T k ( k k k k T : για κάθε και για κάθε k Σύμφωνα μ αυτόν τον αλγόριθμο η προέλευση και η αλληλεξάρτηση των στοιχείων ( T k αποδίδεται στον ακόλουθο παραστατικό πίνακα: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 6
ΝΔΑΡΑΣ k 4 5 ( T ( T ( T ( T ( T ( T ( T ( T ( T ( T 4 ( 4 T ( T ( T ( T ( T 4 5 ( 5 T ( 4 T ( T ( T ( T 4 ( T 5 M M M M M M M M Στο συγκεκριμένο Παράδειγμα θα περιοριστούμε στο πεπερασμένο σχήμα: k ( T ( T ( T με h 5 και h 5 Προφανώς: f ( 5 f ( ( και T 5 5 ( f ( 5 f ( 5 5 9475 T 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ Εφαρμόζοντας το δεύτερο βήμα του αλγορίθμου συνάγουμε ότι: ( 4 ( 9475 ( T 95 4 ( και κατά συνέπεια ότι η προσέγγιση T είναι απόλυτα ακριβής V ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίνεται το πρόβλημα αρχικών τιμών: d d y y y ( του οποίου η μοναδική λύση είναι η συνάρτηση y( e Εφαρμόζοντας την βελτιωμένη μέθοδο Euler να βρεθούν προσεγγιστικές τιμές λύσης y ( στα σημεία ( y της ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 6
ΝΔΑΡΑΣ Λύση Θέτοντας y y( και h o επαγωγικός Τύπος της βελτιωμένης μεθόδου Euler (ή Heu σχηματίζεται ως εξής: y ή y [ y ( y ( y y για κάθε 9 y 5 [ y y Στον πιο κάτω πίνακα παρουσιάζουμε τις προσεγγιστικές τιμές τις αντίστοιχες τιμές y( e στα επίμαχα σημεία ] ] y της λύσης y ( και ( : y y( e 45 48 79 86 9 4 4 4 4668 468 5 5 5995 6 6 6 757 779 7 7 876 876 8 8 4 45 9 9 469 54 778 87 64 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo
Ν ΔΑΡΑΣ V ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εστω y ( η μοναδική λύση του προβλήματος αρχικών τιμών: dy d ( y y ( Να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Euler προκειμένου να βρεθεί προσέγγιση της τιμής y ( Στην συνέχεια να βελτιωθεί το αποτέλεσμα με την μέθοδο Ruge Kutta Λύση Θεωρούμε μία ομοιόμορφη διαμέριση του κλειστού διαστήματος [ ] : τέτοια ώστε N < < < < N < h για κάθε N Θέτοντας y ( η μέθοδος Euler περιγράφεται από το ακόλουθο σχήμα: y y( y y h [ ( y ] Προφανώς y N y N h [ ( y h N N και ακόμη η αναζητούμενη προσέγγιση του αριθμού ( y N y( N ] y είναι η τιμή y N δηλαδή Έτσι εάν για παράδειγμα επιλέξουμε N τότε θα είναι: h και τα αποτελέσματα που θα προκύπτουν από το παρακάτω σχήμα θα δίνονται στον ακόλουθο ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ (wwwarmscotrolfo 65