Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά 1.1 Από το διαφορικό λογισµό Ας είναι E 3 ο τριδιάστατος ευκλείδειος σηµειακός χώρος και V 3 ο αντίστοιχος διανυσµατικός του. Θεωρούµε ένα καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων S = {A 0, A 1, A 2, A 3 } του E 3, την αντίστοιχη (ορθοµοναδιαία) βάση {e i := A 0 A i, i = 1, 2, 3} του V 3 και συµβολίζουµε µε x 1, x 2, x 3 τις καρτεσιανές συντεταγµένες ενός σηµείου X E 3 ως προς το S. Στα επόµενα θα χρησιµοποιήσουµε τους παρακάτω συµβολισµούς: a b : διανυσµατικό γινόµενο των διανυσµάτων a, b V 3. a, b : εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a, b V 3. (a, b, c) := a, b c : µεικτό γινόµενο των διανυσµάτων a, b, c V 3. d(p, Q) : απόσταση των σηµείων P, Q E 3. Θεωρούµε µια πραγµατική συνάρτηση f : J, t f(t), ορισµένη σ ένα ανοικτό διάστηµα J = (a, b) Õ.

12 Θεωρία Καµπυλών Θα λέµε, ότι η f είναι της κλάσης διαφορισιµότητας C r πάνω στο J, r 1, όταν σε κάθε σηµείο του διαστήµατος J υπάρχουν οι παράγωγοι κάθε m = 1, 2, Ω, r, και η παράγωγος γράφουµε f(t) C r (J). r d f Το συµβολισµό αυτό επεκτείνουµε ως εξής: dt r m d f dt m για είναι συνεχής. Για συντοµία θα f(t) œ C 0 (J) : η f(t) είναι συνεχής σε κάθε σηµείο του J. f(t) œ C (J) : f(t) œ C r (J) " r 1. Θεωρούµε τώρα µια διανυσµατική απεικόνιση x: J E 3, t x(t), και τις συντεταγµένες συναρτήσεις της x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t), δηλαδή τις συναρτήσεις x i : J, t x i (t), i = 1, 2, 3, για τις οποίες x(t) = x 1 (t) e 1 + x 2 (t) e 2 + x 3 (t) e 3. Θα λέµε, ότι η απεικόνιση x(t) είναι της κλάσης διαφορισιµότητας C r πάνω στο J, r = 0, 1,, όταν x i (t) œ C r (J) για κάθε i = 1, 2, 3. Για συντοµία θα γράφουµε x(t) œ C r (J). 1.2 Μερικές χρήσιµες ιδιότητες Στα επόµενα συµβολίζουµε µε τελεία την παράγωγο µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης ή διανυσµατικής απεικόνισης ως προς τη µεταβλητή της.

Κεφάλαιο 1 13 1.2.1 Πρόταση Ας είναι f(t) C r (J) συνάρτηση και x(t), y(t), z(t) C r (J), διανυσµατικές α- πεικονίσεις, r 1. Ισχύουν οι σχέσεις (1.1) x, i y = xɺ, y + x, yɺ, (1.2) x y i = xɺ y + x yɺ, (1.3) x. x = x, xɺ, i (1.4) ( x, y, z ) = ( xɺ, y, z) + (x, yɺ, z) + (x, y, zɺ ), (1.5) ( f i x ) = f ɺ x + f xɺ. Απόδειξη Ας είναι x i (t), y i (t), i = 1, 2, 3, οι συντεταγµένες συναρτήσεις των απεικονίσεων x(t), y(t) αντίστοιχα. Για την (1.1) παρατηρούµε, ότι άρα x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3, i x, y = xɺ 1 y 1 + x 1 yɺ 1 + xɺ 2 y 2 + x 2 yɺ 2 + xɺ 3 y 3 + x 3 yɺ 3 = xɺ 1 y 1 + xɺ 2 y 2 + xɺ 3 y 3 + x 1 yɺ 1 + x 2 yɺ 2 + x 3 yɺ 3 = xɺ, y + x, yɺ. Για να αποδείξουµε την (1.2) χρησιµοποιούµε την x y = (x 2 y 3 x 3 y 2 ) e 1 + (x 3 y 1 x 1 y 3 ) e 2 + (x 1 y 2 x 2 y 1 ) e 3 και συνεχίζουµε ανάλογα µε την απόδειξη της (1.1). Για να αποδείξουµε την (1.3), παραγωγίζουµε την x 2 = x, x σύµφωνα µε την (1.1) και παίρνουµε 2 x. x = xɺ, x + x, xɺ = 2 x, xɺ,

14 Θεωρία Καµπυλών δηλαδή την αποδεικτέα. Οι (1.4) και (1.5) αποδεικνύονται ανάλογα µε τις προηγούµενες. Όταν x = σταθ., είναι και αντίστροφα, δηλαδή έχουµε το. x 0, οπότε από την (1.3) προκύπτει x, xɺ 0, 1.2.2 Πόρισµα Μια διανυσµατική απεικόνιση x(t) C r (J), r 1, έχει τότε και µόνον τότε σταθερό µέτρο, όταν τα διανύσµατα x και xɺ είναι ορθογώνια.

Κεφάλαιο 2 Η έννοια της καµπύλης στη ιαφορική Γεωµετρία 2.1 Παραµετρικές παραστάσεις Θεωρούµε διάστηµα 1 J και µια διανυσµατική απεικόνιση x : J E 3, t x(t). 2.1.1 Ορισµός Όταν x(t) C r (J), r 1, η απεικόνιση x(t) ονοµάζεται παραµετρική παράσταση του σηµειοσυνόλου M : = x(j) = {X(t) / A 0 X(t) = x(t), t J} της κλάσης διαφορισιµότητας C r. Όταν επιπλέον είναι xɺ (t) 0 για κάθε t J, η παραµετρική παράσταση x(t) ονοµάζεται οµαλή. 1 Ο όρος διάστηµα χρησιµοποιείται στο εξής µε την ευρύτερη έννοια, έτσι ώστε για τα πέρατά του a και b επιτρέπεται να είναι α = ή b = + ή και τα δυο.

16 Θεωρία Καµπυλών Σε ένα σηµείο t 0 J αντιστοιχεί το σηµείο X M E 3 µε διάνυσµα θέσεως x(t 0 ). Στα επόµενα συµβολίζουµε το σηµείο αυτό µε X(t 0 ) ή µε τις καρτεσιανές συντεταγµένες του X(x 1, x 2, x 3 ). Το σηµείο X(t 0 ) ονοµάζεται στάσιµο σηµείο της παραµετρικής παράστασης x(t), όταν xɺ (t 0 ) = 0. Στην τοπική ιαφορική Γεωµετρία συνήθως αποκλείουµε τα στάσιµα σηµεία, γιατί σ αυτά δεν είναι δυνατόν να εφαρµοστούν οι µέθοδοί της. 2.1.2 Παράδειγµα 1. Η διανυσµατική απεικόνιση x(t) = t e 1 + t e 2, t œ ( 1, 1), δεν είναι διαφορίσιµη στο σηµείο t = 0. Πράγµατι, είναι xɺ = e 1 + e 2 όταν t 0 και xɺ = e 1 e 2 όταν t < 0. 2. Η απεικόνιση

Κεφάλαιο 2 17 x(t) = t 3 e 1 + t 2 e 2, t œ ( 1, 1), είναι της κλάσης διαφορισιµότητας C, αλλά δεν είναι οµαλή. Πράγµατι, είναι xɺ = 3 t 2 e 1 + 2 t e 2, ώστε xɺ (0) = 0. Η x(t) είναι οµαλή στα διαστήµατα ( 1, 0) και (0, 1), αλλά όχι σε ολόκληρο το διάστηµα ( 1, 1). Σηµειώνουµε, ότι όταν xɺ ( t 0 ) 0, t 0 œ J, υπάρχει διάστηµα J J, t 0 œ J, στο οποίο η x(t) είναι οµαλή. 3. Θεωρούµε τον κύκλο (2.1) M = {X œ E 3 / x 2 1 + x 2 2 1 = 0, x 3 = 0}, µε κέντρο την αρχή A 0 του συστήµατος συντεταγµένων και ακτίνα 1 πάνω στο επίπεδο x 3 = 0. Οι απεικονίσεις (2.2) x(t) = cost e 1 + sint e 2, t œ [0, 2 π), και (2.3) x * (t * ) = cos2t * e 1 + sin2t * e 2, t * œ [0, π),

18 Θεωρία Καµπυλών είναι παραµετρικές παραστάσεις του M. Μάλιστα και οι δυο είναι της κλάσης διαφορισιµότητας C και οµαλές, αφού xɺ = sint e 1 + cost e 2 0, xɺ * = 2 sin2t * e 1 + 2 cos2t * e 2 0. Από το τελευταίο παράδειγµα διαπιστώνουµε, ότι ένα σηµειοσύνολο M είναι δυνατόν να έχει περισσότερες από µια παραµετρικές παραστάσεις. Παίρνοντας αφορµή από τη διαπίστωση αυτή θεωρούµε ένα διάστηµα J * και µια πραγµατική συνάρτηση (2.4) σ : J * J, t * σ(t * ) = t. 2.1.3 Ορισµός Όταν σ C r (J * ), r 1, και (2.5) σɺ 0 t * J *, η συνάρτηση σ ονοµάζεται επιτρεπτός µετασχηµατισµός της παραµέτρου t της κλάσης διαφορισιµότητας C r. Στα επόµενα όταν αναφερόµαστε σε µετασχηµατισµούς παραµέτρων θα θεωρούµε, ότι αυτοί είναι επιτρεπτοί. Η σύνθεση x * := x ë σ : J * M E 3, για την οποία προφανώς x(t) = x(σ(t * )) = x * (t * ), είναι µια παραµετρική παράσταση του M της κλάσης διαφορισιµότητας C r. Λόγω της (2.5) και της (2.6) xɺ * = xɺ σɺ είναι φανερό, ότι

Κεφάλαιο 2 19 xɺ 0 xɺ * 0. Ώστε, αν η µια από τις παραµετρικές παραστάσεις x(t) ή x * (t * ) του σηµειοσυνόλου Μ της κλάσης διαφορισιµότητας C r είναι οµαλή, είναι και η άλλη. 2.2 Η έννοια της καµπύλης Θεωρούµε το σύνολο Σ των οµαλών παραµετρικών παραστάσεων του Μ της κλάσης διαφορισιµότητας C r και δυο παραµετρικές παραστάσεις x(t), x * (t * ) Σ. 2.2.1 Ορισµός Η x(t) ονοµάζεται ισοδύναµη προς την x * (t * ), όταν υπάρχει µετασχηµατισµός (2.4) της παραµέτρου t της κλάσης διαφορισιµότητας C r έτσι, ώστε x(σ(t * )) = x * (t * ). Συµβολισµός: x(t) ~ x * (t * ). Αποδεικνύεται, ότι η σχέση «~» είναι ανακλαστική, συµµετρική και µεταβατική, άρα µια σχέση ισοδυναµίας στο Σ. Συµβολίζουµε µε [x] ~ την κλάση ι- σοδυναµίας, που παράγει µια οµαλή παραµετρική παράσταση x(t) Σ. 2.2.2 Ορισµός Η κλάση ισοδυναµίας [x] ~ =: Γ οµαλών παραµετρικών παραστάσεων του Μ της κλάσης διαφορισιµότητας C r ονοµάζεται οµαλή καµπύλη της κλάσης διαφορισιµότητας C r. Το σηµειοσύνολο Μ ονοµάζεται ίχνος της οµαλής καµπύλης Γ. Τα σηµεία του Μ ονοµάζονται σηµεία της καµπύλης Γ.

20 Θεωρία Καµπυλών Στα επόµενα, όταν θεωρούµε µια οµαλή καµπύλη Γ, θα αναφέρουµε µόνο µια (οµαλή) παραµετρική παράσταση της. Εξάλλου, για συντοµία, πολλές φορές θα παραλείπουµε τη λέξη οµαλή και θα λέµε: Ας είναι Γ: x = x(t) µια καµπύλη. Ας θεωρήσουµε δυο ισοδύναµες παραµετρικές παραστάσεις x(t) και x * (t * ) µιας καµπύλης Γ. Επειδή ο µετασχηµατισµός σ της παραµέτρου t είναι συνεχής και πληροί την (2.5), η παράγωγος σɺ διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο διάστηµα J *. 2.2.3 Ορισµός Όταν είναι σɺ > 0 (ή σɺ < 0) για κάθε t* J * λέµε, ότι ο µετασχηµατισµός σ της παραµέτρου t διατηρεί (ή αλλάζει) τον προσανατολισµό της Γ και, ότι οι παραµετρικές παραστάσεις x(t) και x*(t*) έχουν τον ίδιο (ή αντίθετο) προσανατολισµό. 2.2.4 Παράδειγµα Αναφερόµενοι στο Παράδειγµα 2.1.2, οι (2.2) και (2.3) είναι ισοδύναµες ο- µαλές παραµετρικές παραστάσεις του σηµειοσυνόλου που ορίσαµε µε την (2.1), γιατί η συνάρτηση σ : [0, π) [0, 2 π), t * σ(t * ) = 2 t, είναι µετασχηµατισµός της παραµέτρου t της κλάσης διαφορισιµότητας C, για τον οποίο x(t) = x(σ(t * )) = x * (t * ). Μάλιστα, ο µετασχηµατισµός σ διατηρεί τον προσανατολισµό. Θεωρούµε µια παραµετρική παράσταση x(t) της Γ και το σύνολο Γ * των ο- µαλών παραµετρικών παραστάσεων, που ανήκουν στην κλάση Γ και έχουν τον ίδιο προσανατολισµό µε την x(t).

Κεφάλαιο 2 21 2.2.5 Ορισµός Το υποσύνολο Γ* Γ ονοµάζεται προσανατολισµένη οµαλή καµπύλη της κλάσης διαφορισιµότητας C r. 2.2.6 Παρατήρηση Η έννοια της οµαλής καµπύλης (αντίστοιχα της προσανατολισµένης οµαλής καµπύλης) ορίζει όχι µόνο το σηµειοσύνολο M, αλλά και έναν τρόπο διαγραφής (αντίστοιχα µια φορά διαγραφής) του M, δηλαδή ορίζει µια δοµή πάνω στο M. 2.2.7 Παράδειγµα Η διανυσµατική απεικόνιση (2.7) x(t) = a cost e 1 + a sint e 2 + b t e 3, όπου t œ και a, b œ, a 0, είναι της κλάσης διαφορισιµότητας C. Όταν b = 0 είναι παραµετρική παράσταση κύκλου κέντρου Α 0 και ακτίνας a. Ας είναι στο εξής b 0. Επειδή (2.8) xɺ = a sint e 1 + a cost e 2 + b e 3 0, η x(t) είναι παραµετρική παράσταση µιας οµαλής καµπύλης Γ της κλάσης διαφορισιµότητας C, που ονοµάζεται κυκλική έλικα. Το σηµειοσύνολο M κείται πάνω στον ορθό κυκλικό κύλινδρο (2.9) x 2 1 + x 2 2 = a 2, του οποίου ο άξονας (στην προκείµενη περίπτωση είναι ο άξονας A 0 x 3 ) ονο- µάζεται άξονας ελίκωσης της Γ. Τέλος, ο αριθµός 2 π b ονοµάζεται βήµα της κυκλικής έλικας.

22 Θεωρία Καµπυλών Θεωρούµε τυχόν t 0 œ και τα σηµεία Q(t 0 ) και R(t 0 + 2 π) της Γ. Έχουµε A 0 Q = x(t 0 ) = a cost 0 e 1 + a sint 0 e 2 + b t 0 e 3, άρα A 0 R = x(t 0 + 2 π) = a cost 0 e 1 + a sint 0 e 2 + b (t 0 + 2 π) e 3, QR = 2 π b e 3 fl d(q, R) = 2 π b. Ώστε, τα σηµεία Q και R κείνται πάνω στην ίδια γενέτειρα του κυλίνδρου (2.9) και η απόστασή τους είναι ανεξάρτητη του t 0 œ και ίση µε το βήµα της έλικας. Ας είναι Γ: x = x(t) µια καµπύλη. Επειδή η απεικόνιση x(t) δεν είναι απαραίτητα αµφιµονότιµη, είναι δυνατόν ένα σηµείο της Γ να αντιστοιχεί σε δυο (τρεις ή και περισσότερες) τιµές της παραµέτρου t. Ένα τέτοιο σηµείο ονο- µάζεται διπλό (τριπλό κ.λπ) σηµείο της Γ. Ένα σηµείο, που αντιστοιχεί σε µια µόνο τιµή της παραµέτρου t, ονοµάζεται απλό. Όταν όλα τα σηµεία της Γ είναι απλά, η καµπύλη ονοµάζεται απλή. Μια απλή οµαλή καµπύλη έχει

Κεφάλαιο 2 23 µια αµφιµονότιµη παραµετρική παράσταση x(t). Τέλος, µια καµπύλη, της οποίας όλα τα σηµεία κείνται πάνω σε ένα επίπεδο, ονοµάζεται επίπεδη. 2.2.8 Παράδειγµα Η καµπύλη µε παραµετρική παράσταση x(t) = sint e 1 + sint cost e 2, t [0, 2 π), είναι επίπεδη και ονοµάζεται καµπύλη του οκτώ (Figure eight curve). Η αρχή A 0 του συστήµατος συντεταγµένων είναι διπλό σηµείο γιατί x(0) = x(π) = 0. Η Γ δεν είναι λοιπόν απλή στο διάστηµα [0, 2 π), αλλά είναι απλή π.χ. στα διαστήµατα (0, π) και (π, 2 π). 2.2.9 Παρατήρηση Πολλές φορές µια καµπύλη δίνεται στο επίπεδο E 2 ως το γράφηµα µιας συνάρτησης f(x 1 ) της κλάσης διαφορισιµότητας C r, r 1. Μια παραµετρική παράστασή της έχουµε αµέσως αν θέσουµε x 1 = t, x 2 = f(t),

24 Θεωρία Καµπυλών και είναι η επόµενη: x(t) = t e 1 + f(t) e 2, η οποία προφανώς είναι οµαλή ( xɺ = e 1 + f ɺ e 2 0!). στο χώρο E 3 µε τη βοήθεια δυο εξισώσεων (2.10) f 1 (x 1, x 2, x 3 ) = 0, f 2 (x 1, x 2, x 3 ) = 0, όπου f i (x 1, x 2, x 3 ), i = 1, 2, είναι συναρτήσεις της κλάσης διαφορισιµότητας C r, r 1. Από την Ανάλυση είναι γνωστό, ότι όταν µια από τις ιακωβιανές ορίζουσες (, f ) D f 1 2 ( i, j) D x x, i, j = 1, 2, 3, i j, είναι διάφορη του µηδενός σε µια περιοχή U(P) ενός σηµείου P, του οποίου οι συντεταγµένες ικανοποιούν τις (2.10), αυτές επιλύνονται στην περιοχή U(P) ως προς x i, x j συναρτήσει του x k, k i, j. Αν, π.χ., το σύστηµα (2.10) επιλύνεται ως προς x 1, x 2 συναρτήσει του x 3, θεωρούµε το x 3 ως παράµετρο t και έχουµε την παραµετρική παράσταση x(t) = x 1 (t) e 1 + x 2 (t) e 2 + t e 3, η οποία προφανώς είναι οµαλή. 2.2.10 Παράδειγµα 1. Για τις συναρτήσεις f 1 (x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 4 a 2, f 2 (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 α) 2 + x 2 2 α 2, όπου a = σταθ., a > 0, έχουµε ( 1, f2) (, ) D f D x x 1 2 = 4 a x 2.

Κεφάλαιο 2 25 Στο σηµείο P(a, a, a 2 ) είναι ( 1, f2) (, ) D f D x x 1 2 = 4 a 2 0, συνεπώς οι εξισώσεις (2.11) x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 4 a 2, (x 1 α) 2 + x 2 2 = α 2, ορίζουν µια καµπύλη του E 3, που είναι τοµή σφαίρας και ορθού κυκλικού κυλίνδρου. Η καµπύλη αυτή ονοµάζεται καµπύλη του Viviani 1. 2. Αναφέρουµε παραµετρικές παραστάσεις καµπυλών, που είναι χρήσιµες για τα επόµενα. Σηµειωτέον, ότι όλες είναι επίπεδες. Έλλειψη x a x + = : x(t) = a cost e 1 + b sint e 2, a, b > 0. b 2 2 1 2 1 2 2 Παραβολή x 1 2 = 4 a x 2 : x(t) = 2 a t e 1 + a t 2 e 2, a 0. Υπερβολή x a x = : x(t) = a cosht e 1 + b sinht e 2, a, b > 0. 2 b 2 2 1 2 1 2 2 Κυκλοειδής: x(t) = (a t b sint) e 1 + (a b cost) e 2, όπου t και a, b œ * +. Το σχήµα της κυκλοειδούς για a = 1, b = 2 και t [ 2 π, 2 π], µπορούµε να πάρουµε µε χρήση του MATHEMATICA πληκτρολογώντας την εντολή (βλ. [Κ1], σελ. 247-298): ParametricPlot[{ t 2 Sin[t], 1 2 Cos[t] }, { t, 2π, 2π}] 1 Vincenzo Viviani (1622-1703). Μαθητής και βιογράφος του Γαλιλαίου. u u e 2 e + coshu =, και sinhu = 2 και το υπερβολικό ηµίτονο. u e 2 u e είναι αντίστοιχα το υπερβολικό συνηµίτονο

26 Θεωρία Καµπυλών Οι κυκλοειδείς, για τις οποίες οι τιµές των παραµέτρων a και b ταυτίζονται, προκύπτουν γεωµετρικά ως εξής: Θεωρούµε τον κύκλο µε κέντρο το σηµείο K(0, a) και ακτίνα a, ο οποίος προφανώς εφάπτεται του άξονα των x 1 στην αρχή του συστήµατος συντεταγµένων, και τον αφήνουµε να «κυλήσει» κατά µήκος της ηµιευθείας A 0 x 1. H κυκλοειδής x(t) = a (t sint) e 1 + a (1 cost) e 2, είναι ο γεωµετρικός τόπος της αρχής A 0 κατά την κύλιση που περιγράψαµε [Π1, τόµος Ι]. Ακολουθεί το σχήµα της για a = 1. ParametricPlot[{ t Sin[t], 1 Cos[t] }, {t, 3π 4, 11π 4 }, Ticks {{ 2, 2, 4, 6, 8}, {1, 2}}, PlotStyle Thickness[.006]]

Κεφάλαιο 2 27 Αστροειδής: x(t) = a cos n t e 1 + b sin n t e 2, όπου t [0, 2 π), a, b œ * και n œ. Ακολουθεί το σχήµα της για a = 2, b = 1 και n = 3. ParametricPlot[{2Cos[t] 3, Sin[t] 3 }, {t, 3, 3}, Ticks {{ 2, 1, 1, 2, 3}, { 1,.5,.5, 1}}, PlotStyle Thickness[.006]] Μάγισσα της Agnesi 1 : x(t) = 2 a tant e 1 + 2 a cos 2 t e 2, όπου t [ 2 π, 2 π] και a œ *. 1 Maria Gaetana Agnesi (1718-1799). Καθηγήτρια στο Πανεπιστήµιο της Bologna. Ήταν η πρώτη γυναίκα που κατέλαβε έδρα µαθηµατικών.

28 Θεωρία Καµπυλών Λογαριθµική σπείρα: x(t) = a e b t cost e 1 + a e b t sint e 2, όπου a, b œ *. Ληµνίσκος του Bernoulli 1 a cost a sin t cost : x(t) = e 2 1 + e 2 2, 1+ sin t 1+ sin t όπου t [0, 2 π] και a œ *. Η αρχή A 0 του συστήµατος συντεταγµένων είναι διπλό σηµείο. Ακολουθούν τα σχήµατα των ληµνίσκων του Bernoulli για a = 1, 2.5, 4. 1 Πρόκειται για τον Jakob Bernoulli (1654-1705) της γνωστής οικογένειας των Ελβετών µαθηµατικών.

Κεφάλαιο 2 29 Καρδιοειδής: x(t) = 2 a cost (1 + cost) e 1 + 2 a sint (1 + cost) e 2, όπου t [0, 2 π) και a œ *. Ακολουθούν τα σχήµατα των καρδιοειδών για a = 1, 2.5, 4. ελτοειδής: x(t) = [2 a cost (1 + cost) a] e 1 + 2 a sint (1 cost) e 2, όπου t [0, 2 π] και a œ *. Ακολουθούν τα σχήµατα των δελτοειδών για a = 1, 4, 7. ParametricPlot[ Evaluate [Table [{2a Cos[t] (1+Cos[t]) a, 2a Sin[t] (1 Cos[t])}, {a, 1, 7, 3}], {t, 0, 2π}]

30 Θεωρία Καµπυλών Κοχλίας του Pascal 1 : x(t) = cost [2 a cost + b] e 1 + sint [2 a cost + b] e 2, όπου t [0, 2 π] και a, b œ *. Η αρχή A 0 του συστήµατος συντεταγµένων είναι διπλό σηµείο. Ακολουθεί το σχήµα του κοχλία του Pascal για a = 4 και b = 3. ParametricPlot[{Cos[t] (8Cos[t]+3), Sin[t] (8Cos[t]+3)},{t, 0, 2π},Ticks {{ 2, 4, 8, 12}, { 6, 4, 4, 6}}, PlotStyle Thickness[.006]] 1 Blaise Pascal (1623-1662). Πρόκειται για το γνωστό γάλλο µαθηµατικό και φυσικό.

Κεφάλαιο 3 Εφαπτοµενικό διάνυσµα. Κάθετο επίπεδο. Μήκος καµπύλης. Φυσική παράµετρος. Καµπυλότητα Ας είναι Γ: x = x(t), t œ J, καµπύλη της κλάσης διαφορισιµότητας C r, r 1, και X(t 0 ) ένα σηµείο της. 3.1 Εφαπτοµενικό διάνυσµα. Κάθετο επίπεδο 3.1.1 Ορισµός Το διάνυσµα xɺ (t 0 ) ονοµάζεται εφαπτοµενικό της Γ στο X. Ο διανυσµατικός υποχώρος V X (Γ) : = sp({ xɺ (t 0 )}) του V 3 ονοµάζεται εφαπτόµενος χώρος της Γ στο X και είναι µονοδιάστατος. Η ευθεία µε διανυσµατική εξίσωση y = x(t 0 ) + λ xɺ (t 0 ), λ œ,

32 Θεωρία Καµπυλών ονοµάζεται εφαπτοµένη της Γ στο X. Τέλος, το επίπεδο µε αναλυτική εξίσωση (3.1) y x(t 0 ), xɺ (t 0 ) = 0, ονοµάζεται κάθετο επίπεδο της Γ στο σηµείο X. Λόγω της (2.6) είναι προφανές, ότι η εφαπτοµένη µιας καµπύλης σε ένα ση- µείο της είναι ανεξάρτητη της χρησιµοποιούµενης παραµέτρου. 3.2 Μήκος καµπύλης. Φυσική παράµετρος Αν θεωρήσουµε την παράµετρο t της καµπύλης Γ ως το χρόνο κατά την κίνηση του σηµείου X(t) κατά µήκος της, τότε το διάνυσµα xɺ είναι η ταχύτητά του. Μάλιστα, όταν r 2, το διάνυσµα xɺɺ είναι η επιτάχυνση του σηµείου X(t). Μεταξύ των παραµέτρων, µε τη βοήθεια των οποίων µπορούµε να παραµετροποιήσουµε µια καµπύλη, κεντρική θέση κατέχουν οι παράµετροι t µε τις εξής δυο ιδιότητες: Το διάνυσµα xɺ της ταχύτητας είναι µοναδιαίο, και Η παράµετρος t είναι το µήκος του τόξου PX, όπου P είναι δεδοµένο σηµείο της Γ. Μια παράµετρος µε τις ιδιότητες αυτές ονοµάζεται µήκος τόξου της καµπύλης Γ. Θα αποδείξουµε στα επόµενα, ότι Οι δυο παραπάνω ιδιότητες είναι ισοδύναµες και Μια παράµετρος t, που είναι µήκος τόξου, δεν είναι µονότιµα ορισµένη.

Κεφάλαιο 3 33 Για να εισαγάγουµε το µήκος τόξου της καµπύλης Γ ως παράµετρο, ενεργούµε ως εξής: Θεωρούµε δυο σηµεία P 1 (t 1 ), P 2 (t 2 ) της Γ τέτοια, ώστε t 1 < t 2. Επειδή η απεικόνιση x(t) είναι της κλάσης διαφορισιµότητας C r, r 1, η απεικόνιση xɺ, κατά συνέπεια και το µέτρο της xɺ, είναι συνεχείς, άρα, όπως είναι γνωστό από τον Ολοκληρωτικό Λογισµό, υπάρχει το ολοκλήρωµα (3.2) L: = t2 xɺ dt. t1 3.2.1 Ορισµός Το ολοκλήρωµα (3.2) ονοµάζεται µήκος του τόξου PP 1 2 της καµπύλης Γ. 3.2.2 Πρόταση Το µήκος L του τόξου PP 1 2 της καµπύλης Γ α) παραµένει αναλλοίωτο ως προς τις µετατοπίσεις 1 του E 3 και β) είναι ανεξάρτητο από τη χρησιµοποιούµενη παράµετρο. 1 Με τον όρο µετατόπιση του E 3 εννοούµε µια ισοµετρία του E 3, δηλαδή ένα µετασχηµατισµό f: E 3 E 3, X(x 1, x 2, x 3 ) X (x 1, x 2, x 3 ), ο οποίος έχει την ιδιότητα να αφήνει την απόσταση δυο σηµείων αναλλοίωτη. Κάθε µετατόπιση του E 3 ορίζεται από ένα γραµµικό σύστηµα της µορφής x i = a i1 x 1 + a i2 x 2 + a i3 x 3 + a i, i = 1, 2, 3, του οποίου ο πίνακας (a ij ) i,j = 1, 2, 3 είναι ορθογώνιος. Το οµογενές σύστηµα v i = a i1 v 1 + a i2 v 2 + a i3 v 3, i = 1, 2, 3, ορίζει την αντίστοιχη γραµµική απεικόνιση φ: V 3 V 3, v(v 1, v 2, v 3 ) v (v 1, v 2, v 3 ), η οποία, επειδή ο πίνακας (a ij ) i,j = 1, 2, 3 είναι ορθογώνιος, είναι ένας ορθογώνιος µετασχηµατισµός του V 3, άρα αφήνει το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων του V 3 αναλλοίωτο (βλ. π.χ. [Σ3, Κεφ. V]).