KΕΦΑΛΑΙΟ Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ισότητες. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση κάτω από ένα σύνολο m-περιορισµών µε τη µορφή ισοτήτων min () R n κάτω από (),,, m Προκειµένου να αναζητηθεί λύση, απαιτείται m < n. Αλλοιώς, το πρόβληµα θα αφορούσε απλά την ύπαρξη ή όχι λύσης στο σύστηµα m εξισώσεων µε µικρότερο αριθµό αγνώστων n.. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟ ΤΟΥ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ.. Λύση µε άµεση αντικατάσταση Επιλύονται οι m εξισώσεις περιορισµοί εκφράζοντας m µεταβλητές σαν συναρτήσεις των υπολοίπων n-m µεταβλητών. Οι m µεταβλητές αντικαθίστανται στη συνάρτηση και προκύπτει µια νέα συνάρτηση µε µόνο n-m µεταβλητές που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί χωρίς περιορισµούς, σύµφωνα µε τις µεθόδους που ήδη παρουσιάστηκαν στο Κεφάλαιο... Μεταβολή υπό περιορισµούς Για απλοποίηση της παρουσίασης, έστω n και m. Η αναζήτηση ακρότατου γίνεται στα στάσιµα σηµεία για τα οποία η αναγκαία συνθήκη είναι το ολικό διαφορικό της συνάρτησης να είναι µηδέν d d d () Στην περιοχή του ακρότατου (, ) ικανοποιείται επίσης ο περιορισµός (, ). Εξετάζουµε τα σύνολα επιτρεπτών µεταβολών (d, d ) που δεν παραβιάζουν τον περιορισµό και εποµένως ικανοποιούν τη σχέση d d d ()
Από τη () µε προκύπτει d dκαι αντικαθιστώντας στην () d d στο σηµείο (, ) (4), J, (5) Η γενική µορφή των συνθηκών () και (4) µπορεί να αποδειχθεί ότι είναι,, K, m J,,, όπου,,, m ανεξάρτητες µεταβλητές (6) K m,,, K, m J,,,, m, m,, n n-m εξισώσεις (7) K m Ο υπολογισµός των οριζουσών Jacobi τάξης m είναι από µόνος του πολύπλοκος. Επιπλέον, η ικανή συνθήκη για ακρότατο απαιτεί τον υπολογισµό των δευτέρων παραγώγων της συνάρτησης υπό τους περιορισµούς και µπορεί να γίνει υπολογιστικά απαγορευτική. Γι αυτό η µέθοδος των µεταβολών υπό περιορισµούς έχει εφαρµογή µόνο σε προβλήµατα µε λίγες µεταβλητές και περιορισµούς. Παράδειγµα. min () ½ ( 4 ) κάτω από () 5 4 () 5 6 4 5 Επειδή n 4 και m χρειάζεται να επιλεγούν m ανεξάρτητες µεταβλητές, ώστε να ικανοποιούν τη συνθήκη J, ()
Έστω,,, J δεν ικανοποιείται η συνθήκη Έστω, 5,, J ικανοποιείται η συνθήκη Η δεύτερη αναγκαία συνθήκη είναι,,,, J, 4 εξισώσεις 5 (5-) (-6) (-) 4 4 4 4 5 6 5 4 4 4 4 4 4 4 4 (5-) (5-8) (5-6) 4 7 - Εποµένως οι ικανές συνθήκες για ακρότατο της είναι: 4 / 4 7-4 7 4 7/ Αντικαθιστώντας στους περιορισµούς προκύπτει () / ( 4 7/ ) 5 4 8 4 () / 5( 4 7/ ) 6 4 5 5 6 4 5
Η λύση είναι: -5/7 4 /7-5/74 55/74.. Πολλαπλασιαστές arane Συνεχίζοντας την ανάλυση της προηγουµένης ενότητας για n και m και εισάγοντας τη µεταβλητή λ στην εξίσωση (4) προκύπτει λ Εξάλλου από τον ορισµό του λ προκύπτει: λ Επίσης στο σηµείο ακρότατου (, ) ισχύει και ο περιορισµός (, ) Είναι προφανές ότι αυτές οι τρεις αναγκαίες συνθήκες µπορεί να βρεθούν µε παραγώγιση της συνάρτησης arane (,, λ) (, ) λ (, ) ως προς τις µεταβλητές,, και λ και αναζήτηση των στάσιµων σηµείων της, όπως στην περίπτωση βελτιστοποίησης χωρίς περιορισµούς. Ο συντελεστής λ ονοµάζεται πολλαπλασιαστής arane. Στην γενική περίπτωση (, λ) (,,, n ) min (, λ),λ i λ m R n λ R m i,,, n (8),,, m (9) λ (,,, n ) Οι σχέσεις (8) και (9) αποτελούν σύστηµα από n m εξισώσεις µε n m αγνώστους και λ. Ερµηνεία των πολλαπλασιαστών arane Έστω ότι οι περιορισµοί γράφονται στη µορφή () b m (, λ) () λ [ () b ],,, m
Θεωρώντας ότι το επίπεδο κάθε περιορισµού b µπορεί να µεταβληθεί, στην περιοχή του ακροτάτου ισχύει λ λ b b b δηλαδή ο πολλαπλασιαστής arane λ αντιπροσωπεύει την οριακή µεταβολή (βελτίωση ή γενικά αλλαγή) στη συνάρτηση που προκύπτει από τη διαφορική χαλάρωση του επιπέδου b του περιορισµού (σκιώδης τιµή). Παράδειγµα. Επίλυση του παραδείγµατος. µε πολλαπλασιαστές arane (, λ) ½ ( 4 ) λ ( 5 4 ) λ ( 5 6 4 5) λ λ - λ - λ λ λ - λ - λ λ 5 λ - λ -5 λ 4 5 λ 6 λ 4-5 λ -6 λ 4 () -λ - λ - ( λ λ ) - ( λ 5 λ ) - 5(5 λ 6 λ ) - -9 λ - 5 λ - () -λ - λ - ( λ λ ) -5( λ 5 λ ) - 6(5 λ 6 λ ) - 5-5 λ - 66 λ - 5 66 5 5 9 9 5 5 λ λ 66 9 5 5 74 66 9 5 5-5/74-5/7 55/74 4 /7 85 74 Παράδειγµα. Σχεδιασµός ανοικτής δεξαµενής συγκράτησης φερτών µε δεδοµένα την παροχή Q και τον επιθυµητό χρόνο παραµονής Τ, ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος που είναι ανάλογο της ολικής επιφάνειας της δεξαµενής. Μέσα στη δεξαµενή και κάθετα στη ροή υπάρχει διαπερατό τοίχωµα. Έστω,, z οι διαστάσεις της δεξαµενής (η φορά της ροής είναι κατά το ). Ο όγκος της δεξαµενής δίδεται εµµέσως V Q z και το πρόβληµα είναι: min ( z z) κάτω από z V 5
z z λ ( z - V) z λ z z - λ V z λ z z - λ V λ z z - λ V z z V λ 6λV z -λv 6λ λv 48 48 z -λv z z V λ λ λ V z -λv λv z λ / (9/ V) / (4/ V) / z (/6 V) / Παράδειγµα.4 Να βρεθεί η ακτίνα r και το ύψος h δεξαµενής νερού κλειστού κυλινδρικού σχήµατος µε δεδοµένο όγκο ώστε να έχει ελάχιστη επιφάνεια. min Α ( π r h π r ) κάτω από V π r h π r h π r λ (π r h - V) πh π r λ π r h πh 4 πr (-/r) π r h h r r π r λ π r π r ( λ r) λ -/r h π r h V π r r V r (V/π) / A 6 πr 6π (V/π) / λ. ΙΚΑΝΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΣΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΩΝ AGRAGE Χρειάζεται να ελεγχθεί η ικανή συνθήκη για το πρόβληµα βελτιστοποίησης χωρίς περιορισµούς, δηλαδή να ελεγχθεί το πρόσηµο του πίνακα Hessian της συνάρτησης arane. Παρατηρώντας ότι
λ i λ λ i i λ i i i ο πίνακας Hessian παίρνει τη µορφή n m n K m G n n nn n n mn i i i B H() G n i B n m m mm Ο παραπάνω πίνακας λέγεται συνοριακός πίνακας του Hess (Bordered Hessian atri). Σύµφωνα µε όσα ήδη αναπτύχθηκαν αν Η > υπάρχει τοπικό ελάχιστο, ενώ αν Η < υπάρχει τοπικό µέγιστο. Πρέπει να διευκρινιστεί ότι οι συνθήκες αυτές είναι ικανές για την ύπαρξη ακρότατου, αλλά όχι και αναγκαίες. Με άλλα λόγια ένα στάσιµο σηµείο µπορεί να είναι ακρότατο χωρίς να ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες (δηλαδή να ισχύει Η > ή Η < ). Αποδεικνύεται ότι για να ελεγχθούν οι ικανές συνθήκες, αρκεί να ελεγχθούν οι ρίζες του n-m βαθµού πολυωνύµου i sinn B det ή B s n m m n - s nn n n n n mm - s n n K m m mn 7
και αν όλες οι n-m ρίζες s είναι θετικές τότε υπάρχει τοπικό ελάχιστο, ενώ αν είναι αρνητικές τότε υπάρχει τοπικό µέγιστο. Παράδειγµα.5 Να διερευνηθούν τα ακρότατα της (, ) κάτω από h(, ) 6. (, ) λ ( 6). λ, λ, 6 -λ 6 λ λ -, Η λύση αυτή πρέπει να ελεγχθεί µε τις ικανές συνθήκες ώστε να διαπιστωθεί αν είναι µέγιστο, ελάχιστο ή τίποτε. Ο συνοριακός πίνακας του Hess είναι H s det s -s (-) (-) (s) s s s s - < Εποµένως το κρίσιµο σηµείο (, ) είναι µέγιστο. Παράδειγµα.6 - Προσδιορισµός της κατεύθυνσης επικλινέστερης ανόδου Πρόταση: Η κλίση της συνάρτησης () αντιπροσωπεύει την κατεύθυνση επικλινέστερης ανόδου (δηλαδή την κατεύθυνση στην οποία η συνάρτηση µεταβάλλεται εντονότερα), ενώ η αρνητική κλίση της συνάρτησης δείχνει την κατεύθυνση επικλινέστερης καθόδου. Έστω το µοναδιαίο διάνυσµα στην κατεύθυνση s. Για ένα βήµα ds, έχουµε dr ds d d dr d r d ds d ds ds d d d d d d ds ds ds
9 Η παράγωγος ds d εκφράζει τη µεταβολή της συνάρτησης στην κατεύθυνση s. Εάν ds d > στη φορά του dr τότε είναι κατεύθυνση ανόδου, αλλοιώς καθόδου. Το πρόβληµα προσδιορισµού της κατεύθυνσης επικλινέστερης ανόδου παίρνει τη µορφή: ds d ma κάτω από (,, λ) ) - λ (- λ λ λ λ λ 4 - - λ / λ Αλλά / και συνεπώς i i και δηλαδή η κατεύθυνση της µέγιστης µεταβολής της συνάρτησης είναι η κατεύθυνση της κλίσης της συνάρτησης. Ο ρυθµός µεταβολής υπολογίζεται ως s ma δηλαδή είναι ίσος µε το µέγεθος του διανύσµατος κλίσης της συνάρτησης.
Παρατήρηση Το πρόβληµα µπορεί να τεθεί ισοδύναµα ως εξής: ma z a b κάτω από (,, λ) a b λ (- - ) a a λ λ b b λ λ - - a λ a b a b / a b / ( a ) / b 4λ λ b ( ) ( ) a Επειδή z z [ a b ] / z b και z z Η αντικειµενική συνάρτηση είναι ευθεία και έχει µέγιστο στο σηµείο (-a, -b) και ελάχιστο στο (a, b). Απόδειξη µε έλεγχο της ικανής συνθήκης s - λ s a/λ s a/λ - λ b/λ s b/λ - (λ s) (-b /λ ) a/λ (λ s) a/λ (λ s) (b /λ a /λ ) (λ s) 4 s -λ οπότε επειδή s - (a b ) / < το σηµείο αντιστοιχεί σε τοπικό µέγιστο. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ. Ο Οργανισµός Αστικών Λεωφορείων έχει προσδιορίσει ότι το µέσο κόστος για την εξυπηρέτηση των επιβατών σε ένα σύστηµα δύο γραµµών είναι. ανά επιβάτη. Η επιχείρηση αναζητεί µια µέθοδο για να καθιερώσει τις τιµές εισιτηρίων, λαµβάνοντας υπόψη το µήκος της διαδροµής του επιβάτη και τον αριθµό των επιβατών σε κάθε γραµµή. ηλαδή, οι επιβάτες της γραµµής µε τον µεγαλύτερο αριθµό επιβατών ενδέχεται να πληρώνουν µικρότερο εισιτήριο απ ότι οι επιβάτες της γραµµής µε τη µικρότερη ζήτηση. Παρόµοια, οι επιβάτες της γραµµής µε το µεγαλύτερο µήκος ενδέχεται να πληρώνουν µεγαλύτερο εισιτήριο απ ότι οι επιβάτες της γραµµής µε το µικρότερο µήκος.
Αραιοκατοικηµένη Περιοχή Πυκνοκατοικηµένη Περιοχή Εµπορικό Κέντρο ιαδροµή i Μέσο µήκος διαδροµής i Μέσος αριθµός επιβατών n i 6 5,4 Ένα δίκαιο σύστηµα θεωρείται ότι ελαχιστοποιεί τις αποκλίσεις του κόστους της διαδροµής ανάµεσα σε όλους τους επιβάτες. Σαν µέτρο αποτελεσµατικότητας λαµβάνεται η σταθµισµένη εξίσωση διασποράς V n ( r r) i i i όπου V είναι η διασπορά του κόστους της διαδροµής, r i είναι το έσοδο από το εισιτήριο που πληρώνει κάθε επιβάτης της γραµµής i και r είναι το µέσο έσοδο από το εισιτήριο που πληρώνουν οι επιβάτες, ή r n i r i i, και Ν είναι ο συνολικός αριθµός επιβατών. (α) ιαµορφώστε το µαθηµατικό υπόδειγµα για να προσδιορίσετε τις τιµές εισιτηρίων, ώστε οι επιβάτες να επιµερίζονται δίκαια το κόστος µε βάση το µήκος της διαδροµής και τη ζήτηση. (β) Προσδιορίστε τη βέλτιστη λύση µε τη µέθοδο των πολλαπλασιαστών arane. Επίλυση Έστω p και p οι τιµές εισιτηρίων που θα πληρώνουν οι επιβάτες των γραµµών και αντίστοιχα, ανά µονάδα µήκους - επιβάτη. Εποµένως r i p i i o µέτρο αποτελεσµατικότητας γράφεται V n / (r - r) n / (r - r) 6/ (p.) 4/ (5p.) Υποθέτουµε ότι η επιχείρηση δεν έχει κέρδη, δηλαδή τα έσοδα από τα εισιτήρια καλύπτουν το κόστος, ή p n p n r p 6 p 4 5. 6 p p.4 Το µαθηµατικό υπόδειγµα είναι
min V 6/ (p.) 4/ (5p.) κάτω από 6 p p.4 p, p (β) (p, p, λ) 6/ (p.) 4/ (5p.) λ (.4-6 p - p ).6( p p.4(5 p p.4-6 λ λ.) 6λ p.) 5 λ p. λ. λ 5. λ. λ p 6.4 5 p.7.6 λ.68.4 λ.4 οπότε p. και p.8 ανά µονάδα µήκους επιβάτη. Έλεγχος του πίνακα Hess αποδεικνύει ότι είναι θετικά ορισµένος, άρα τοπικό ελάχιστο και κυρτή συνάρτηση. Από την πρόταση έπεται ότι είναι απόλυτο ελάχιστο.. (Σηµειώσεις ΚΠΑ) Εξετάστε τα ακρότατα του προβλήµατος µε τη µέθοδο των πολλαπλασιαστών arane. Να ελέγξετε και τη σχετική ικανή συνθήκη. in () () () 5 5 (, λ) ( ) - λ ( ) - λ (5 5) - λ - 5 λ.5 λ.5 λ - λ - λ.5 λ λ - λ - λ.5 λ.5 λ () (.5 λ.5 λ ) (.5 λ λ ) (.5 λ.5 λ ) 5.5 λ 5 λ () 5 (.5λ.5λ ) (.5 λ λ ) (.5λ.5λ ) 5 5 λ 5 λ 5 λ /.5.87 λ.4.84.478.87
H B 5 5 H B > 4 (( 9) ( )). 4 44. (Σηµειώσεις ΚΠΑ) Εξετάστε τα ακρότατα του προβλήµατος µε τη µέθοδο των πολλαπλασιαστών arane. Να ελέγξετε και τη σχετική ικανή συνθήκη. in () () 4 4.4 Το όριο ενός οικισµού µπορεί να προσεγγιστεί µε την εξίσωση µιας έλλειψης: /α /β. Η πυκνότητα πληθυσµού του οικισµού δίδεται από τη σχέση: (,) A. Προσδιορίστε τις τοποθεσίες και τις τιµές της µέγιστης πυκνότητας πληθυσµού..5 (Bertseas) - Βέλτιστος Έλεγχος σε ιακριτό Χρόνο Θεωρείστε τη διαχείριση του ισοζυγίου νερού ενός µεµονωµένου ταµιευτήρα. Έστω στάθµη του νερού στον ταµιευτήρα τη χρονική στιγµή (µεταβλητή κατάστασης), η στάθµη τη χρονική στιγµή είναι γνωστή r εισροή νερού στον ταµιευτήρα τη χρονική στιγµή, (µεταβλητή εισόδου), γνωστή για, Ν εκροή από τον ταµιευτήρα τη χρονική στιγµή (µεταβλητή απόφασης), ζητούµενο για, Ν ( ) κόστος απόφασης για εκροή τη στιγµή - Συνολικό Κόστος Πολιτικής Περιορισµός (ισοζύγιο µάζας ταµιευτήρα): - - r ( ), Ν- και γνωστό
Έστω και - - Σηµείωση: κάθε είναι συνάρτηση της πολιτικής ή -... - r... r - Φ () Μια τεχνική που µπορεί να χρησιµοποιείται για να απαλείφονται οι περιορισµοί συνίσταται στη χρησιµοποίηση συναρτήσεων ποινής, δηλαδή στην εισαγωγή µιας συνιστώσας κόστους (συνήθως τετραγωνικής µορφής) όταν η στάθµη αποµακρύνεται από την επιθυµητή τιµή για κάθε χρονική στιγµή (επιθυµητή τροχιά). Για την ειδική περίπτωση όπου ενδιαφέρει µόνο η τελική απόκλιση από την επιθυµητή τιµή, το κόστος γράφεται - Κόστος Πολιτικής ( ) ( ) Κ όπου είναι η γνωστή επιθυµητή τελική στάθµη ηλαδή η πολιτική µε µικρότερο κόστος πρέπει να έχει τελική τιµή στάθµης ούτε πολύ ψηλά ούτε πολύ χαµηλά σε σχέση µε την επιθυµητή τελική τιµή. Προκύπτει άµεσα ότι το κόστος παίρνει τη µορφή Κόστος Πολιτικής J( ) Κ ( Φ () ) Ζητείται να βρεθεί η πολιτική που ελαχιστοποιεί το κόστος: min J() Γενικότερα το κόστος µπορεί να έχει τη µορφή J( ) G - ( Φ ()) ( ) - ( ) Επίλυση Αναγκαίες συνθήκες για ακρότατο σηµείο: J J G Αλλά Ν Φ Ν () - - r
Οπότε οι αναγκαίες συνθήκες γράφονται G δηλαδή το οριακό κέρδος από κάθε απόφαση πρέπει να είναι ίσο µε το οριακό κέρδος από τη µεταβολή της τελικής κατάστασης. 5 Γενίκευση για πολλούς ταµιευτήρες σε σειρά - - r - - r n m Έστω R το διάνυσµα κατάστασης και R το n m διάνυσµα απόφασης τη χρονική στιγµή για m ταµιευτήρες. Το σύστηµα εξισώσεων ισοζυγίου µάζας γράφεται (, ), ώστε n m n : R R Με γνωστά το και το υπολογιστεί. Κόστος, το Φ() µπορεί να - - - ( Φ ()) ( Φ (), ) J( ) G ( ) 44 44 (, ) G κόστος τελική ς κόστος ενδιάµεσης 44444 44444 κατάστασης κατάστασης Για το µη γραµµικό σύστηµα (, ) µε συνάρτηση κόστους (, ) - συνάρτηση µόνο των αποφάσεων
µπορεί να αποδειχθεί ότι µε,,n,, [,,] : (m,n),,n,m,m J() p (m,) (m,n) (n,) (m,) όπου το p ικανοποιεί τη συζυγή (adoint) εξίσωση p p -,..., µε p (n,) (n,n) (n,) (n,) (n,) (n,).5 (Bertseas) - Γραµµικός/Τετραγωνικός Βέλτιστος Έλεγχος Θεωρείστε τη γενική περίπτωση του προβλήµατος.4 µε γραµµική δυναµική εξίσωση συστήµατος και τετραγωνικό κριτήριο κόστους (για απλοποίηση συµβολισµού η υπογράµµιση των διανυσµάτων παραλείπεται). A B γνωστό, R n R m - J Q ( Q R ) Q, R > (n,n) (m,m) Πρόταση: Το πρόβληµα έχει ένα µοναδικό απόλυτο ελάχιστο Με γνωστό το : A τ A -τ Β γραµµική ως προς Ώστε η συνάρτηση κόστους J() είναι τετραγωνική συνάρτηση του και µπορεί να πάρει τη µορφή J() [ ][ m m] - - b -
Το πρόβληµα ανάγεται, εποµένως, σε πρόβληµα ελαχιστοποίησης χωρίς περιορισµούς της { Q ~ J() b } και έχει ένα µοναδικό απόλυτο ελάχιστο αν Q ~ > Καθώς, J() > αυτή η συνθήκη ισχύει από τον ορισµό του θετικά ορισµένου πίνακα Q ~ - b Έστω και - - 7 Αναγκαία συνθήκη για ελάχιστο J( ) Καθώς A B B Συζυγής εξίσωση: Εξίσωση συστήµατος: Q R R - B p R R B p p Q p A p Q -,..., - A BR B p γνωστό p και. Οι παραπάνω n εξισώσεις έχουν n αγνώστους Πρόταση: p K όπουκ είναι πίνακας, (n, n) Απόδειξη: Για Για - ( I Ν - R Ν- p Q K Q ανεξάρτητος από το ισχύει - - R B Κ R B Κ (A B ) - B Κ Ν (I R Ν B) - (R B Ν- B Ν- Κ Κ Ν R Ν B) B) - - B - R Κ B - B Ν Κ Ν Ν Κ A A Ν Ν- - Ν- A Ν- (καθώς R > και K, υπάρχει ο αντίστροφος του πίνακα) Τώρα A B - - -
- ( A - B (R B Κ B) B Κ A) Ν Ν Ν- Q Ν- πολλαπλασιάζοντας µε Α Τ Κ Ν και προσθέτοντας A K Q για να λάβουµε το - [ A ( K ) ] - K B (R B ΚΝB) B ΚΝ A Q Ν- - 4 44 444 44444444 4444444 p - K - p - K - - ισχύει. Παρόµοια: p K 4 p Ν- Εξίσωση Ricatti K Q K A [K - K B(R B K B) - B K ] A Q -, Επίλυση της Εξίσωσης Ricatti προς τα πίσω δίνει τους πίνακες Κ (εξαρχής) Υπολογισµός της βέλτιστης τροχιάς του συστήµατος και των µεταβλητών ελέγχου - (R B Κ B) B Κ A,,..., - () δοµή του προβλήµατος: γραµµικοί περιορισµοί και τετραγωνική συνάρτηση κόστους () η βέλτιστη µεταβλητή ελέγχου είναι γραµµική συνάρτηση της µεταβλητής κατάστασης σε κάθε χρονική στιγµή µπορεί να αποδειχθεί ότι το βέλτιστο κόστος είναι τετραγωνική συνάρτηση της µεταβλητής κατάστασης σε κάθε χρονική στιγµή ή το κόστος για εκκίνηση από το τη στιγµή είναι J ( K ). εδοµένου ότι τα κόστη είναι K () έπεται ότι min J() ( K ) (4) η πολυπλοκότητα επίλυσης της εξίσωσης Ricatti είναι (Ν) ενώ n, m <<..6 Μια βιοµηχανία κατασκευάζει ένα αγαθό χρησιµοποιώντας δύο πρώτες ύλες, Χ και Υ. Η ποσότητα του αγαθού που παράγεται από µονάδες της X και της Y δίδεται από τη συνάρτηση Q(, ) /4 /4. Εάν η βιοµηχανία δαπανά 8 κάθε βδοµάδα για πρώτες ύλες, ποια είναι µια πιθανή τιµή για τη µέγιστη δυνατή εβδοµαδιαία παραγωγή, δεδοµένου ότι µια µονάδα της X κοστίζει 6 και µια µονάδα της Y κοστίζει ;
.7 Στη µέθοδο της γραµµικής παλινδρόµησης αναζητείται µια γραµµική σχέση ανάµεσα στην εξαρτηµένη µεταβλητή û i και την ανεξάρτητη µεταβλητή i µε τη µορφή û i i a i,, () όπου και a είναι σταθερές που πρέπει να προσδιοριστούν. Έχοντας παρατηρήσει Ν ζεύγη { i, i } µε i,,, το συνολικό τετραγωνικό σφάλµα, Ε, που γίνεται όταν χρησιµοποιείται η () γράφεται: Ε i ( i - û i ) α) Θέτοντας σαν κριτήριο την ελαχιστοποίηση του σφάλµατος E, γράψτε την αναγκαία συνθήκη για ελάχιστο και υπολογίστε τις σταθερές και a. β) Ελέγξτε την ικανή συνθήκη για την περίπτωση i..8 Εξετάστε τα ακρότατα του προβλήµατος µε τη µέθοδο των πολλαπλασιαστών arane. Να ελέγξετε και τη σχετική ικανή συνθήκη. min () z () z - 5 () () z - () (, λ) ( z ) - λ ( z - 5) - λ ( z -) λ λ λ λ z λ λ z z ()-(): 4 z - z -/ λ -5/, λ 7/ Ο συνοριακός πίνακας Hess είναι Η και έχει µία ιδιοτιµή s >. 9