7 INTEGRALA IMPROPRIE 7 Erciţii rzolv Erciţiul 7 Să s sudiz nur urăorlor ingrl irorii şi să s drin vloril csor în cz d convrgnţă: d c sin d 3 / rcsin d cos d d sin d > R Soluţii Funcţi f : - R f s ingrilă oric inrvl coc [ ] - fiind coninuă Dorc F rcsin s o riiivă nru f rzulă că f d rcsin rcsin Dorc li rcsin ; li rcsin - rzulă că f d s convrgnă şi vlor s s f d + π Funcţi f : R f fiind coninuă Dorc rcsin s ingrilă oric inrvl coc inclus în li f funcţi o fi rlungiă rin coninui în rin urr ingrl s nsnţil irori l cs că Cu surioră Dorc F rcsin convrgnă şi f d li f ingrl s irori în lii s o riiivă funcţii f dduc idi că ingrl s Cu schir d vriilă rcsin s o dduc idi / / d c Cu forul Luniz-Nwon oţin idi: sin d cos 3 / 3/ li cos cos 3 f d
d cos d s divrgnă dorc riiiv F sin nu r liiă l Funcţi f: [ R f - sin s coninuă [ dci s ingrilă oric inrvl coc inclus în [ Ingrând d două ori rin ărţi s oţin riiiv F - sin cos - Cu > rzulă că li şi cu sin cos nru oric [ dduc că li F Rzulă că ingrl dă s convrgnă Dorc F - rzulă f d li F F f Funcţi f: [ R f s coninuă [ dci s ingrilă oric inrvl coc inclus în [ Uilizând dscounr în frcţii sil: [ rcg rcg Dorc li F s oţin riiiv F ln şi F rzulă că ingrl s convrgnă şi vlor s s Erciţiul 7 Fi f : funcţi dfiniă rin f - - Să s donsrz că ingrl f d convrg silu uncul Cu Soluţi Pnru oric ] v < f - d dci ingrl rzulă că nru ficr funcţi f s iroriu ingrilă f d s uncul convrgnă Osrvţi 7 S o dfini funcţi Γ : rin
Γ d cunoscuă su nul d funcţi g lui Eulr Erciţiul 73 Fi f : funcţi dfiniiă rin f y - - y- Să s donsrz că ingrl f y d convrg silu uncul Soluţi Fi g : funcţi dfiniă rin g y - + - y- Fi y fi Dcă unci - y- dci - - y- - g y ir dcă unci < - dci - - y- - y- g y Dci nru oric y şi oric f y g y Cu g y d iroriu ingrilă dci ingrl d + y d + rzulă că funcţi f y s y f y d s uncul convrgnă Osrvţi 7 Din rciţiul 936 rzulă că s o dfini ingrl irori cu doi rrii B : rin B y y d cunoscuă su nul d funcţi lui Eulr d Erciţiul 7 Să s donsrz că ingrl unifor R Soluţi Fi R fi şi < Evidn Dorc d li d rcg rcg li rcg uncul R Pu dfini F :R R rin: dc dc dc R convrg uncul dr nu convrg rzulă că ingrl dă convrg
dc d F dc dc Să osrvă că funcţi F s disconinuă în Funcţi f : R R f s vidnconinuă R Dcă ingrl r fi unifor convrgnă R licând or 75 r rzul că F s coninuă R c c s fls Rzulă că ingrl dă nu s unifor convrgnă R Erciţiul 75 Să s donsrz că funcţi Γ : dfiniă rin Γ drivilă şi Γ ln d Soluţi Din rciţiul 735 dduc că funcţi Γ s in dfiniă Noând f - - rzulă că: f - - ln f şi că s coninuă fiind rodus d funcţii coninu f Fi cu rirr fi Donsră că ingrl d s unifor convrgnă ] Pnru cs s suficin să donsră convrgnţ uniforă ingrllor ln d şi ln d ] Dcă > ri ingrlă s o ingrlă silă Dcă < scri: ln - - ln und λ < Dorc nru oric ] şi ] v: ln - - ln - < d şi s convrgnă dorc λ < dduc că ln d s unifor convrgnă Pnru convrgnţ cli d dou ingrl s osrvă că: ln - - ln M [ und M > s convnil ls + - ln < + + ln ir li ln d s
Cu d s convrgnă rzulă că ingrl ln d s unifor convrgnă Prin urr ingrl d f s unifor convrgnă Alicând or 76 dduc că funcţi Γ s drivilă cu driv coninuă dr fiind orcr dduc că Γ s drivilă cu driv coninuă şi v : Γ ln d Erciţiul 76 Folosind funcţiil şi g să s clculz: d d Soluţi Cu schir d vriilă rzulă: d d B d Cu schir d vriilă oţin : d d d
Erciţiul 733 Uilizând or 77 să s clculz cos cos cos cos Soluţi Dorc li ingrl s irori dor în lii cos cos cos cos surioră Dorc li rzulă că M cu M > convnil ls ir convrgnă Pnru clcul osrvă i înâi că: d d s convrgnă rzulă că ingrl dă s solu convrgnă dci şi cos cos d cos d sin d d sin d d sin d d Uli gli fos oţinuă în rciţiul rcdn uilizând or 77 Pnru [ ] fi clculă: sin d - 'sin d sin cos Prin urr sin d cos cos d d sin 'cos d cos sin d sin d d [ ] Dci d ln ln Erciţiul 73 Fi f:[ [ R funcţi dfiniă rin : f 3 Donsrţi că : f dd f dd
Soluţi Dorc f convrgnă în ror cu rrul [ Prin clcul dirc oţin: Prin urr nru oric [ [ ingrl d d f d - d 3 [ f dd d f d s unifor Dorc f nru oric [ [ ingrl f d s unifor convrgnă în ror cu rrul [ Prin clcul dirc oţin: d d f d d 3 3 [ d d und f dd Să osrvă că funcţi f nu ăsrză un sn consn [ [ dci or 78 nu s licilă chir dcă o clll ioz sun sisfăcu Erciţiul 735 Uilizând or 77să s clculz rcg d rcg Soluţi Dorc li ingrl s irori dor în lii surioră rcg Dorc li licând or 79 nru λ dduc că ingrl s convrgnă Pnru clcul osrvă i înâi că: rcg d 3 şi l
Prin urr d rcg d d d d Dorc nru oric [[ şi d rzulă că d s unifor convrgnă în ror cu rrul Prin urr s o schi ordin d ingrr şi oţin : d rcg d d / sin d u du d d d v rcg d v dv ln ln d Erciţiul 736 Fi f:[ [ R + f Donsrţi că d d f d d f nru oric > Dducţi că d d f d d f c Donsrţi că: d ingrl lui Eulr-Poisson Soluţi Uilizând or 78 dorc f s oziivă şi sisfc condiţiil: f s vidn coninuă [ [ ; d f s unifor convrgnă oric inrvl coc [α β] [ ] dorc f β [α β] [ ir d s convrgnă d f s unifor convrgnă [ dorc f nru oric [ [ ir ingrl s convrgnă;
Rzulă: Dorc g ingrl convrgnă f dd > s convrgnă dorc: f dd d rcg d [ şi f dd f dd nru oric > f d [ [ s coninuă ir g d s unifor convrgnă [ fiind joră d ingrl irori d rzulă că li f dd li f dd Trcând cu l liiă când în gli siliă l rzulă: f dd f dd c Evluă rând ingrll cr r în gli siliă l uncul : f dd dd Prin urr d u du d d f dd u du g d g d d rcg d und rzulă idi gli cruă Erciţiul 737 Folosind funcţiil şi g să s clculz: d
d Soluţi Cu schir d vriilă rzulă: d d B d Cu schir d vriilă oţin : d d d