ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι ριθµοί : Q {οι ριθµοί που δε είι ρητοί } 5) Οι πργµτικοί ριθµοί : R Q Q π.χ.,, π,4... Τ διστήµτ στο σύολο τω πργµτικώ ριθµώ, ορίζοτι ως εξής : i) Κλειστό διάστηµ [,] είι το σύολο τω ριθµώ µε ii) Αοικτό διάστηµ (,) είι το σύολο τω ριθµώ µε < < iii) Το οικτό δεξιά διάστηµ [,) είι το σύολο τω ριθµώ µε < iv) Το οικτό ριστερά διάστηµ (,] είι το σύολο τω ριθµώ µε < v) ιάστηµ (,+ ) ή [,+ ) είι το σύολο τω ριθµώ µε > ή τίστοιχ. vi) ιάστηµ (,) ή (,] είι το σύολο τω ριθµώ µε < ή τίστοιχ. ) ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Αλογί λέγετι κάθε ισότητ κλσµάτω κι έχουµε τις πρκάτω ιδιότητες : ) γ δ γ 4) δ ) γ δ γ δ κι δ γ 5) ) γ γ δ δ ± ± δ γ δ γ δ γ δ + γ + δ γ δ + γ + δ
4 ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΣΑΚΑΡΙΚΟΣ ) ΥΝΑΜΕΙΣ Ισχύου οι πρκάτω ιδιότητες τω δυάµεω : Α πργµτικός ριθµός κι φυσικός, τότε ορίζουµε : 44... 4 ( ),, 0 ( 0), ( 0) πράγοτες i) Α περιττός, τότε : ii) Α άρτιος, τότε : ή Ισχύου οι πρκάτω ιδιότητες : ) ) κ λ κ+ λ κ λ κ λ 4) ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ κ κ κ ) ( ) 4) κ κ 5) ( ) κ κ λ κ λ Τυτότητ λέγετι κάθε ισότητ που περιέχει µετλητές κι επληθεύετι γι όλες τις τιµές τω µετλητώ υτώ. Είι γωστές οι πρκάτω τυτότητες : ) (+ ) + + ) ( ) + ) ( + ) ( ) 4) (+ + γ) + + γ + + γ+ γ 5) (+ ) + + + 6) ( ) + 7) + ( + ) ( + ) 8) ( ) ( + + ) 9) ( + ) ( + ) + (+ )+ 0) ( ) ( + + +... + + + ) 5) ΙΑΤΑΞΗ ΣΤΟ R Γι δύο πργµτικούς ριθµούς, ορίζουµε : > >0 κι < <0 Γι τις ισότητες έχουµε τις πρκάτω ιδιότητες : ) Α >0 κι >0, τότε +>0 ) Α <0 κι <0, τότε +<0
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ 5 ) Α, οµόσηµοι, τότε >0 κι >0 4) Α, ετερόσηµοι, τότε <0 κι <0 5) Γι κάθε ριθµό ισχύει : 0 ( 0 µόο ότ 0) 6) Μεττική ιδιότητ : > κι >γ, τότε >γ 7) Πρόσθεση Αφίρεση στ µέλη µις ισότητς : > ±γ>±γ 8) Πολλπλσισµός ιίρεση στ µέλη µις ισότητς : i) Α γ>0, τότε : > γ > γ, > γ > γ ii) Α γ<0, τότε : > γ < γ, > γ < γ 9) Α > κι γ>δ, τότε +γ > +δ 0) Α,,γ,δ>0 κι >, γ>δ, τότε γ > δ Προσοχή : ε µπορούµε διιρούµε ισότητες κτά µέλη!!! ) Α,>0 κι φυσικός 0 ισχύει : κι > > ) Α, οµόσηµοι, τότε : < > 6) ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ, 0 Ορισµός :, < 0 Οι ιδιότητες τω πολύτω τιµώ είι οι εξής : ) 0 ) κι ). Γεικότερ ισχύει : κι 4) Α θ>0, τότε : θ θ ή θ 5) ή 6) Α θ>0, τότε : θ θ θ θ θ ή θ + +, 0 +, < 0 Γι το άθροισµ, το γιόµεο κι το πηλίκο δύο πργµτικώ ριθµώ ισχύου οι εξής ιδιότητες : ) ) ) + + 4) +
6 ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΣΑΚΑΡΙΚΟΣ 7) ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΑΡΙΘΜΩΝ Απόστση δύο ριθµώ, οοµάζετι το µήκος του ευθύγρµµου τµήµτος που περικλείετι πό τους ριθµούς, στο άξο τω πργµτικώ ριθµώ. Συµολίζετι µε d(,) ή µε d(,), δηλδή ισχύει : 8) ΡΙΖΕΣ d(,) Ορισµοί :, (, 0 κι N * ) Γι τις ρίζες ισχύου οι κόλουθες ιδιότητες : ) Α 0 τότε : ( ) Α ο είι άρτιος, τότε η π.χ. 4 4 ( ) Α ο είι περιττός, τότε η 5 5 π.χ. ) Α, 0 τότε : i) ii) ) Α > > ορίζετι γι κάθε κι είι ορίζετι µόο γι 0 κι είι ( 0) κ 4) Α, 0 κι κ θετικός κέριος, τότε : i) ( ) μ μ 5) Α 0 τότε : i) ρ μ ρ ii) κ ii) 6) Α >0, µ κέριος κι θετικός κέριος, τότε ορίζουµε : Επιπλέο, µ, θετικοί κέριοι ορίζουµε : 0 0 9) ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Ορισµός : log θ θ Γι τους λογάριθµους ισχύου οι κόλουθες ιδιότητες : log θ ) log ) θ ) log 0 4) log 5) log ( θ θ ) log θ + log θ 6) ( ) κ κ 7) log θ κ log θ 8) log log κ log θ 9) Τύπος λλγής άσης : logθ log μ log θ : θ log θ log θ μ μ μ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ 7 ) ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Έχου τη µορφή : +0 κι η διερεύησή τους είι η εξής : Α 0, η εξίσωση έχει µοδική λύση τη : Α 0 κι 0, η εξίσωση είι δύτη (δηλδή δε έχει λύση). Α 0 κι 0, η εξίσωση είι τυτότητ ή όριστη (δηλδή ληθεύει γι κάθε πργµτικό ριθµό ). Α η εξίσωση δίετι σε άλλη µορφή τότε τη άγουµε στη µορφή +0 µε πλοιφή προοµστώ - εκτέλεση πράξεω - χωρισµό γωστώ πό γώστους ή γωγή οµοίω όρω. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ : ) 9 (8 ) 0 (9 ) 4 ( ) 8 7 9 90+0 4+4 8 9+0 4+8 7+90 4+ 5 5 5 5 ) + + 6 + Πρέπει : ( ) ( + ) 0 κι κι 0 + 0 + + 6 + + + + + 6 ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( + ) ( + ) ( + ) + ( ) ( 6) ( ) ( + ) + + + + + 6 6 ( + ) 4+ 8 + 4 4 4+ 8 4 4 4 8 6 6 6 ) ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ Οι µορφές που µπορεί συτήσουµε είι : f() () ή f() g() () ή εξισώσεις µε δύο πόλυτ λλά όχι της µορφής f() g() ή µε περισσότερ πό δύο πόλυτ. Γι τη λύση της () έχουµε : Α <0, τότε η () είι δύτη Α 0, τότε : () f() ή f()... Γι τη λύση της () έχουµε : () f() g() ή f() g()
8 ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΣΑΚΑΡΙΚΟΣ Γι τις εξισώσεις που έχου δύο πόλυτ λλά δε είι της µορφής f() g() ή που έχου περισσότερ πό δύο πόλυτ συτάσσουµε πίκ προσήµου τω πολύτω κι εξετάζοτς κάθε διάστηµ χωριστά ρίσκουµε τις λύσεις της εξίσωσης. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ : ) + + ) + ή ή + + + 4 ή 4 ή i) Α (, ) η εξίσωση γράφετι : (+)+ ( ) + 5 που πορρίπτετι φού (, ) ii) Α [, ) η εξίσωση γράφετι : (+)+ + ( ) ++ (δεκτή) iii) Α [, + ) η εξίσωση γράφετι : + + (δεκτή) ) ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Έχου τη µορφή : ++γ 0, 0 κι γι τη λύση τους έχουµε : 4 γ Η εξίσωση ++γ0, 0 > 0 έχει δύο ρίζες πργµτικές κι άισες τις, ± 0 έχει µί ρίζ διπλή τη, Δ < 0 δε έχει πργµτικές ρίζες ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ : ) + 0 Είι : 9 8 > 0, έχει δύο ρίζες τις ( ) ± ) +0+5 0 Είι : 00 00 0, έχει µί ρίζ διπλή τη 0, 5 ) ( ) + +4+ 0 ++ 0 Είι : 8 7 < 0, δύτη Σηµείωση : Ότ 0 ή γ0, τότε η εξίσωση ++γ0 λύετι πιο εύκολ χωρίς τη χρήση της δικρίουσς.
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ 9 Α γ0, κάουµε πργοτοποίηση. π.χ. 5 0 (5 ) 0 0 ή 5 0 0 ή 5 Α 0, λύουµε τη εξίσωση ως προς π.χ. 8 0 8 4 ± 4 ± 4) ΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έχου τη µορφή : 4 + +γ 0, 0 κι λύοτι µε τη τικτάστση : y, y 0 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Ν λυθεί η εξίσωση : 4 5 +4 0 Θέτουµε y, y 0. Οπότε η εξίσωση γίετι : y 5y+4 0 µε 5 ± 5 6 9 κι y y 4 κι y (δεκτές), ή Ατικθιστώτς στο µετσχηµτισµό, έχουµε : 4 ή, οπότε οι ρίζες της εξίσωσης είι :,, κι 4. 5) ΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έχου τη µορφή : ( Ν *, R). Οι λύσεις της εξίσωσης είι : >0 <0 περιττός έχει κριώς µι λύση : άρτιος έχει κριώς δύο λύσεις : ± περιττός έχει κριώς µι λύση : άρτιος δε έχει λύσεις (δύτη) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ : ) + 8 0 8 8 ) 6 δύτη 0 0 ) 0 0 ή ή ( ) 0 ή 0 ή ± 0 0 0 ή 0 7 6 4) ( ) 6 6 0 0 ή ή ή 6 6
0 ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΣΑΚΑΡΙΚΟΣ 6) ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΒΑΘΜΟΥ Μι πολυωυµική εξίσωση θµού λύετι µε τους εξής τρόπους : Με πργοτοποίηση 7 4 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Ν λυθεί η εξίσωση : + 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 7 4 4 4 + 0 + + 0 + 0 ± 4 ή ή ή + 0 ή 0 4 Με σχήµ Horner ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Ν λυθεί η εξίσωση : + + 0 Οι διιρέτες του στθερού όρου της εξίσωσης είι : +,. Γι έχουµε : + + + + 0. Άρ το είι ρίζ. Οπότε : ρ 0 + + 0 ( ) ( ) Άρ : ή 0 (Δ 8) 0 ή + ή Α η εξίσωση δίετι σε άλλη µορφή (π.χ. κλσµτική, άρρητη, τριγωοµετρική κ.τ.λ.) τότε τη άγουµε σε πολυωυµική µε πλοιφή προοµστώ ή ύψωση στη κτάλληλη δύµη ή θέτοτς το κτάλληλο µετσχηµτισµό. 7) ΑΡΡΗΤΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Είι οι εξισώσεις που περιέχου µι τουλάχιστο ρίζ. Γι τη λύση τους άζουµε περιορισµούς, υψώουµε διδοχικά σε κτάλλη-λες δυάµεις µέχρι οδηγηθούµε σε εξίσωση, τη οποί λύουµε κι προσδιορίζουµε τις ρίζες της. Τέλος ελέγχουµε οι ρίζες ικοποιού τους περιορισµούς. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Ν λυθεί η εξίσωση : + + Πρέπει : + 0 + + 0 ισχύει πάτ ως άθροισμ θετικώ + + + + + + 4 + 4 + Οπότε : ( ) ( ) + + 4 4 που είι δεκτή, φού ικοποιεί το περιορισµό.
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ 8) ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Οι µορφές που µπορεί συτήσουµε είι : f() g(). Γράφουµε το σε δύµη µε άση το ( γίετι) ή λογριθµίζουµε κι τ δύο µέλη. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ : ) 4 4 5 + 4 ή ( ) 4 0 4 ) log log log log ( log ) log f ( ) g( ). Θέτουµε y > 0 κι κτλήγουµε σε πλή εξίσωση µε άγωστο το y. + + ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Ν λυθεί η εξίσωση : + 5 + 8 + + + 5 + 8 + 5 + 8 7 + 5 + 8 Θέτουµε y κι έχουµε : 7y+5y+y y 8 4y y 8 8 y 8 y Ατικθιστούµε στο µετσχηµτισµό κι έχουµε : f( ) g( ). ηµιουργούµε τη δύµη, οπότε γόµστε στη προηγούµεη µορφή. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Ν λυθεί η εξίσωση : 5 6 5 4 4 5 6 5 5 6 5 6 5 4 5 5 6 5 5 6 5 65 5 5 4 4 9) ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Γι λύσουµε λογριθµικές εξισώσεις άζουµε περιορισµούς (λογριθµίσιµες ποσότητες > 0) κι εφρµόζοτς τις ιδιότητες τω λογρίθµω γράφουµε συήθως τη εξίσωση στη µορφή log f ( ) log g ( ) π όπου προκύπτει f() g(). ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Ν λυθεί η εξίσωση : log ( + ) log ( + ) log 5 5 5 Πρέπει : +>0 > κι +>0 >, οπότε τελικά : > κι συεπώς + log ( + ) log ( + ) log log log 5 5 5 5 5 + + + + + 0 δεκτή
ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΣΑΚΑΡΙΚΟΣ ) Ν λυθού οι εξισώσεις : i) ( + ) ( 4) ( ) ( + ) ii) ( ) + 0 v) 5 6 5 + 7 9 vi) ( ) ( 4) iii) iv) + 7 + 5 + 4 4 + ( ) vii) ( λ + ) + 4 ( λ ) λ viii) λ λ ( + ) ) Ν λύσετε τις εξισώσεις : i) + iii) + 4 + v) ii) + + iv) + 5 0 vi) + + 5 4 ) Ν λυθού οι εξισώσεις : i) 8 0 ii) + 0 v) ( ) ( + ) 6 vi) 9 + 4 6 iii) iv) 5 + 4 0 + + 0 vii) ( ) ( ) 0 viii) 6 4) Ν λυθού οι εξισώσεις : i) ii) 4 + 4 + 89 + + 7 0 iii) iv) 4 + 0 0 4 8 + 0 5) Ν λύσετε τις εξισώσεις : 4 i) 7 0 iii) 64 4 v) 5 ii) + 0 5 iv) vi)
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ 6) Ν λύσετε τις εξισώσεις : i) 6 + 0 v) 4 +5 5 0 ii) 4 4 + + 9 0 0 iii) 4 5 + 8 7 + 0 vi) 4 4 + 5 4 + 0 vii) 5 4 5 + 5 + 0 6 iv) 8 6 + 6 0 viii) ( + ) + 9( + ) + 8 0 7) Ν λύσετε τις εξισώσεις : i) ii) ( + ) 9 + + 0 ( ) iv) v) 4 + 8 iii) + vi) ημ + ημ + 5ημ 0 8) Ν λύσετε τις εξισώσεις : i) iv) + 0 vii) ii) + v) 5 viii) iii) 4 + + 0 vi) i) λ 9) Ν λύσετε τις εξισώσεις : + 5 i) 4 04 iv) 5 5 + 4 5 55 0 ii) + v) 4 + 9 5 6 iii) 7 + 9 07 vi) + + + 0) Ν λύσετε τις εξισώσεις : ( ) 6 ( ) i) log5 log + log iv) log +6 ii) log( 7) + log( + 4 ) log6 v) log( + ) + log 5 ( ) log log( ) log log iii) log 4 vi) + 0 5
4 ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΣΑΚΑΡΙΚΟΣ ) ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Έχου τη µορφή : + > 0 () ή + < 0 κι η διερεύησή τους είι η εξής : Α >0 η () δίει : > Α <0 η () δίει : < (διιρούµε µε το >0) (διιρούµε µε το <0) Α 0 η () γράφετι : 0 > κι ληθεύει γι κάθε τιµή του, >0 είι δύτη 0 Οµοίως εργζόµστε κι γι τη ίσωση +<0 Α η ίσωση δίετι σε άλλη µορφή τότε τη άγουµε στη µορφή +>0 (ή +<0) µε εκτέλεση πράξεω - χωρισµό γωστώ πό γώ-στους ή γωγή οµοίω όρω. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Ν λυθεί η ίσωση : 4 ( y+ ) ( y+ ) < ( y ) 4 ( y+ ) ( y+ ) < ( y ) 4 ( y + y+ ) ( y + 6y+ 9) < ( y 4y+ 4) 7 4y + 8y+ 4 y 6y 9 < y y+ y + y 5 < y y + 4y < 7 y < 4 ) ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ Οι µορφές που µπορεί συτήσουµε είι : f() < () ή f() > () ή f() < g() () ή ισώσεις µε δύο πόλυτ λλά όχι της µορφής f() < g() ή µε περισσότερ πό δύο πόλυτ. Α 0, τότε η () είι δύτη Γι τη λύση της () έχουµε : Α > 0, τότε : () < f() < Γι τη λύση της () έχουµε : Α < 0, τότε η () είι τυτότητ Α > 0, τότε : () f() > ή f() < Γι τη λύση της () έχουµε : f ( ) < g ( ) f( ) < g( )... Γι τις ισώσεις που έχου δύο πόλυτ λλά δε είι της µορφής f() < g() ή που έχου περισσότερ πό δύο πόλυτ συτάσσουµε πίκ προσήµου τω πολύτω κι εξετάζοτς κάθε διάστηµ χωριστά συληθεύουµε τις λύσεις. Τέλος η λύση της ίσωσης είι η έωση τω επιµέρους συληθεύσεω.
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ 5 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ : ) < < < + < < + < < ) + > + < ή + > < 5 ή > ) + > + + > 4 + (+) > 4 (+) 4 4 4 ( 6 9) + + + 4 4+ 4 + 4+ 6 4 4 6 8 5 5 8 7 4 4) + + < i) Α (, ) η ίσωση γράφετι : (+) ( ) < +6 + < < 6 < 0, οπότε συληθεύοτς πίρουµε : (, 0) ii) Α [, ] η ίσωση γράφετι : (+) ( ) < 6 + < < +6 5 < > 5, οπότε συληθεύοτς πίρουµε : 5, iii) Α (, + ) η ίσωση γράφετι : (+)+( ) < 6+ < + < +6+ < 4 > 4, οπότε συληθεύοτς πίρουµε : (, + ) Άρ οι λύσεις της ίσωσης είι : (, 0) ή, 5 ή (, + ), δηλδή τελικά : (, 0) ή + 5, ) ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 4 γ Το πρόσηµο του τριωύµου f() ++γ είι : > 0 0 < 0 οµόσηµο του εκτός τω ριζώ κι ετερόσηµο του ετός τω ριζώ οµόσηµο ετερόσηµο οµόσηµο του του του + οµόσηµο του γι κάθε R {ρίζ} οµόσηµο του γι κάθε R
6 ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΣΑΚΑΡΙΚΟΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ : 5 ) +5 0 Είι : 5+4 49 κι ± 7 κι, οπότε :, 6 Άρ : (, ], + ) ++ > 0 Είι : 4 4 0 κι, οπότε το τριώυµο είι θετικό (φού, >0) γι κάθε R { }. Άρ τελικά R { } ή (, ) (,+ ). ) + 0 Είι : 4 4 0 κι, οπότε το τριώυµο είι θετικό (φού, >0) γι κάθε R {}. Άρ η ίσωση ληθεύει µόο γι, όπου ισχύει το ίσο. 4) ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΒΑΘΜΟΥ Μετφέρουµε όλους τους όρους στο πρώτο µέλος, λύουµε σε γιόµεο το ο µέλος (µε πργοτοποίηση ή σχήµ Horner) κι κάουµε πίκ προσήµου γιοµέου. Τέλος ρίσκουµε τ κτάλληλ διστήµτ. 5 4 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Ν λυθεί η ίσωση : + 0 4 + 0 ( ) 5 4 + µε σχήµ Horner ( ) ( +) (+) 0 ( ) ( +) ( +) 0 Γι το τριώυµο + είι : 4 < 0, οπότε επειδή > 0 ισχύει > 0 γι κάθε R. + + 0 Τέλος : 0 Οπότε κάοτς το πίκ προσήµου γιοµέου, σύµφω µε τ πρπάω, έχουµε : Όπως φίετι κι πό το διπλ-ό πίκ η ίσωση : 5 4 + 0 ληθεύει ότ, [0,].
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ 7 5) ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Υπάρχου δύο µορφές στις κλσµτικές ισώσεις : Της µορφής : Α() Α() >0 ή B() B() <0 που γράφετι ισοδύµ Α() Β() > 0 ή Α() Β() < 0 (όπου Β() 0) κι υτό γιτί το πηλίκο κι το γιόµεο δύο ριθµώ έχου το ίδιο πρόσηµο. Ν λυθεί η ίσωση : 0 + ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : < 0 5+ 4 Η ίσωση γράφετι : 0 + 5+ 4 < 0 ( 0 ) ( 5 4) + + < 0 Γι το τριώυµο 0+ είι : 00 84 6, οπότε 0, κι Γι το τριώυµο 5+4 είι : 5 6 9, οπότε 5, κι Οπότε κάοτς το πίκ προσήµου γιοµέου, έχουµε : ± 4 ± 7 4 Άρ τελικά : (,) (4,7) Της µορφής : Α() B() > Γ() γράφετι : Α() Α() B() Γ() Γ() > 0 B() B() [ Α() B() Γ() ] B() > 0 κι λύετι όπως η προηγούµεη περίπτωση. > 0 ηλδή µετφέρουµε το Γ() στο πρώτο µέλος τ κάουµε οµώυµ κι γόµστε σε γωστή µορφή. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Ν λυθεί η ίσωση : + 8 Η ίσωση γράφετι : + 8 + 8 0 + 8 ( + ) ( ) 8 0 0 + + 8 0 ( ) ( + ) ( ) ( + ) 6 0 ( 6) ( ) 0
8 ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΣΑΚΑΡΙΚΟΣ Γι το τριώυµο 6 είι : +4 5, οπότε, ± 5 κι 0 ( ) (+) 0 κι Οπότε κάοτς το πίκ προσήµου γιοµέου, έχουµε : Άρ τελικά : [, ] [, ] 6) ΑΡΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Είι οι ισώσεις που περιέχου µι τουλάχιστο ρίζ. Γι τη λύση τους άζουµε περιορισµούς, υψώουµε διδοχικά σε κτάλλη-λες δυάµεις µέχρι οδηγηθούµε σε ίσωση, τη οποί λύουµε κι προσδιορίζουµε τις ρίζες της. Τέλος κάουµε συλήθευση της λύσης µε τους περιορισµούς. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Ν λυθεί η εξίσωση : 9 > 5 Πρέπει : 9 0 5 0 9 5 ( ) ( ) Άρ : 5 9 ή [5,9]. Οπότε : 9 > 5 9 > 5 9 > 5 < 4 < 7 κι κάοτς συλήθευση µε το περιορισµό έχουµε : [5,7). 7) ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Γι τη επίλυση τω εκθετικώ ισώσεω εργζόµστε όπως στις εκθετι-κές f() g() εξισώσεις. Έτσι κτλήγουµε στη επίλυση ισώσεω της µορφής : >. Τότε : f() g() > έχουµε : > f() > g() f() g() 0<< έχουµε : > f() < g() ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ : > ) < 8 ( ) < < ( ) < 6 + 6 < 0 5+ 6 < 0 (, )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ 9 ) + 8 8 + 0. Θέτουµε y > 0 κι έχουµε : 8 y + y + 9 9 > y 0 8 y 0 y 8) ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Γι τη επίλυση τω λογριθµικώ ισώσεω εργζόµστε όπως στις λογριθµικές εξισώσεις. Έτσι κτλήγουµε στη επίλυση ισώσεω της µορφής : log f() > log g(). Τότε : > έχουµε : log f() > log g() f() > g() 0<< έχουµε : log f() > log g() f() < g() ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Η ίσωση γράφετι : log ( ) Ν λυθεί η εξίσωση : log ( + ) log 5 5 + log + φού 0 < 5 <. 5 5 Θέτουµε y > 0, οπότε : y+ y y y 0 0 < y. Κι τελικά : 0 < y 0 < log log log log log ) Ν λυθού οι ισώσεις : i) 4 + 5 + iv) + + 4 6 ii) (+) ( ) < 0 v) (+) + ( ) > 6 iii) > vi) 5 + > + 4 4 ) Ν ρείτε τις τιµές του γι τις οποίες συληθεύου οι ισώσεις : i) + 5 + + > 0 7 6 5 < 4 κι ii) 7 ( ) + 7 5 ( ) ( ) + ( + ) 5 ( ) κι
0 ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΣΑΚΑΡΙΚΟΣ ) Ν λυθού οι ισώσεις : i) iv) + vii) + 5 7 + + ii) < + 5 v) 4 viii) ++ 0 4 iii) + > 5 vi) i) + 4) Ν λυθού οι ισώσεις : i) + 5 < 0 iv) + 5 0 vii) (+) ( + ) ii) 5 < 0 v) + 4 + 4 > 0 viii) 5 + + 0 iii) 7 0 vi) 6 6 0 i) ( ) ( ) 5) Ν λυθού οι ισώσεις : ( ) i) + 0 iv) 4+ 0 vii) +4 + 5+ 6 4 4 ii) 5 +4 < 0 v) + 8 viii) 4 + + 6 < 0 iii) + 5 6 < 0 vi) + > + 7 i) 5 + > 0 6) Ν λυθού οι ισώσεις : 4 5 0 0 i) < iv) vii) 5 5 + < + 5 > 6 ii) + 7 + v) viii) > + + 6 + 5 + + 5 7 iii) vi) i) + + + + + > < 6 + 7) Ν λυθού οι ισώσεις : i) + iv) + + < 0 vii) 8 + 5 < ii) + > v) 7 5 8 > viii) 4 + 7 > + iii) + + > 0 vi) + 6 i) + < + 6
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ 8) Ν λυθού οι ισώσεις : + i) iv) 5 + < 0 vii) 4 < 6 ii) 4 v) ( ) viii) 8 0 < 4 5 + 4 + < ( ) + + + 4 iii) + > 48+ vi) 7 + > 5 i) 8 > 6 9) Ν λυθού οι ισώσεις : log i) log log iv) > 8 + ii) log < log v) log log < 9 ( ) 8 [ ] iii) log + + log > log+log78 vi) log log ( ) > 0
ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΣΑΚΑΡΙΚΟΣ ) Τριγωοµετρικές τυτότητες συ ημ + συ σφ, ημ 0 εφ + ημ συ ημ εφ, συ 0 εφ σφ σφ + συ ημ ) Τριγωοµετρικοί ριθµοί ου τετρτηµορίου ημ συ εφ σφ o 0 (0 rad) 0 0 δε ορίζετι o 0 ( π/ 6 rad) o 45 ( π/ 4 rad) o 60 ( π/ rad) o 90 ( π/ rad) 0 δε ορίζετι 0 ) Αγωγή στο ο τετρτηµόριο ημ( ) ημ συ( ) συ εφ( ) εφ σφ( ) σφ ημ(π ) ημ συ(π ) συ εφ(π ) εφ σφ(π ) σφ ημ(π+ ) ημ συ(π+ ) συ εφ(π+ ) εφ σφ(π+ ) σφ ημ π συ συ π ημ εφ π σφ σφ π εφ ημ π + συ συ π ημ εφ π + σφ σφ π εφ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ 4) Τριγωοµετρικές εξισώσεις ημ ημθ κπ+ θ ή κπ + (π θ), κ Ζ συ συθ κπ+ θ ή κπ θ, κ Ζ εφ εφθ κπ+ θ, κ Ζ σφ σφθ κπ+ θ, κ Ζ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : π Ν λυθεί η εξίσωση : συ 5 + ημ π π συ 5 ημ συ 5 συ π 5+ κπ+ π + + π π π + κπ 5 ή, κ Ζ 4 8 κπ+ π π ή 6 6 π 4π κπ, κ Ζ 6 6 π 8 κπ ή 6 7π κπ, κ Ζ 6 π κπ ή 4 48 7π κπ, κ Ζ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : Ν λυθεί η εξίσωση : εφ + εφ 0 Θέτουµε εφy (), οπότε η εξίσωση γράφετι : y + y 0 () 4 H () έχει δικρίουσ 4+4 6 κι ρίζες : y + κι 4 y. Ατικθιστώτς στη () έχουµε : π π εφ εφ εφ κπ +, κ Ζ 6 6 εφ π σφ + σφ π π π π + κπ +, κ Ζ κπ, κ Ζ 6 6 5) Tριγωοµετρικοί ριθµοί θροίσµτος γωιώ ημ(+ ) ημ συ + συ ημ συ(+ ) συ συ ημ ημ ημ( ) ημ συ συ ημ συ( ) συ συ + ημ ημ εφ+ εφ εφ(+ ) εφ εφ εφ εφ εφ( ) εφ + εφ
4 ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΣΑΚΑΡΙΚΟΣ 6) Tριγωοµετρικοί ριθµοί της γωίς ημ ημ συ συ συ ημ συ ημ εφ εφ εφ Προσοχή : Οι τύποι υτοί εκφράζου κι τη σχέση άµεσ στο τόξο κι στο µισό του. π.χ. ημ ημ συ 7, συ7 ημ 6) Tύποι ποτετργωισµού συ συ ημ συ + 7) Tύποι µετσχηµτισµού γιοµέου σε άθροισµ ημ συ ημ(+ ) + ημ( ) ημ ημ συ( ) συ(+ ) συ συ συ( ) + συ(+ ) 8) Tύποι µετσχηµτισµού θροίσµτος σε γιόµεο ημa ημβ ημ Α + B συ Α B συa συβ συ Α + B συ Α B + + ημa ημβ ημ Α B συ Α + B συa συβ ημ Α B ημ Α + B
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ S + ( ) ω λ λ + ω Α λ S Α λ S λ Α λ < S λ ( + ) ( ( ) ) S + + +... + ( + ) S + + +... + ( + ) ( + ) 6 ( ) + S + + +... + ( S )