ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 6 17 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ Θέμα Α Α1 Παραομή στο σχολικό βιβλίο σελίδα 135. Α α) Λάθος β) f ( x) x η οοία δεν είναι αραγωγίσιμη στο x αλλά είναι συνεχής στο x. Α3 Παραομή στο σχολικό βιβλίο σελίδα 73 (Ορισμός). Α α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε) Σωστό ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 1
Θέμα Β Β1. D f g { x D g /g( x) D f } { (, + ) } x x R {}και 1 1 x x { x 1και 1 x } > { x 1και( 1 x) x > } (, 1) ορίζεται η f g με τύο( f g) x x f ( g ( x) ) ln 1 x Β. h x x ln 1 x Για x 1,x D h (, 1) με h ( x 1 ) h ( x ) έχουμε ln η ln x είναι 1 1 ροκύτει η h είναι 1 1στο D h. Οότε ορίζεται η αντίστροφή της. Έστω y h( x) x y ln 1 x e y x 1 x e y ( 1 x) x e y e y x x e y ( e y + 1) x εειδή e y + 1 > έχουμε e y e y + 1 x x 1 x 1 x 1 ln 1 x εειδή x 1 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x x 1 x x 1 x άρα Πρέει x (, 1) δηλαδή < e y < 1αληθεύει για κάθε y R. e y + 1 Άρα f 1 ( y) e y e y + 1,D 1 1 R συνεώς f ( x) e x f,x R ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ
Β3. ϕ ( x) e x ϕ ( x) 1 1 1. H φ αραγωγίσιμη στο D ϕ R ως ράξεις αραγωγισίμων με ϕ ( x) 1 e x. Η ϕ αραγωγίσιμη στο R ως ηλίκο αραγωγισίμων με ϕ ( x) e x e x ( e x ) e x e x e x e x e x 3 3 e x e x 1 e x e x 3 Μονοτονία Ειλύουμε ϕ ( x)> e x γνησίως αύξουσα στο D ϕ R. > ισχύει για κάθε x R και φ συνεχής άρα φ Αφού η φ είναι γνησίως αύξουσα στο R δεν αρουσιάζει ακρότατο. ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 3
Καμυλότητα Ειλύουμε ϕ ( x)> e x ( 1 e x ) Πίνακας 3 > αρκεί 1 e x > e x < 1 x < Άρα έχει μόνο ένα σημείο καμής το Α, 1. Β. lim ϕ x ( x) lim x e x Άρα η ευθεία y o άξονας xx διότι το lim x e x. είναι οριζόντια ασύμτωτη στο. e lim ϕ ( x x) lim x + x + 1 Άρα η ευθεία y 1 είναι οριζόντια ασύμτωτη στο +. Εύρεση σημείου τομής με τους άξονες. σημειο τομής με τον άξονα xx ϕ ( x) e x. Αδύνατη. Άρα δεν τέμνει τον άξονα xx. ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ
Σημείο τομής με τον άξονα yy ϕ e e + 1 1 άρα τέμνει τον άξονα yy στο σημείο A, 1. Σύνολο τιμών ϕ ( Α) ϕ R ϕ γνησίως αύξουσα και συνεχής ( lim ϕ ( x ), lim ϕ ( x) ) (, 1). x x + Σύμφωνα με τον ίνακα του ερωτήματος Β3 έχουμε την γραφική αράσταση: Θέμα Γ Γ1. f ( x) ημx, x [, ] είναι αραγωγίσιμη. Αν Μ ( x,f( x )) το σημείο εαφής με την εφατομένη (ε) έχουμε (ε) : y f ( x ) f x ( x x ) Οι συντεταγμένες του σημείου Α εαληθεύουν την εξίσωση της εφατομένης δηλαδή: f ( x ) f x + ημx συνx x x ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 5
Θεωρούμε την εξίσωση g( x) ημx + συνx x συνx Παρατηρούμε g g. Η g είναι αραγωγίσιμη στο D g [, ] ως άθροισμα αραγωγισίμων με g ( x) συνx ημx συνx + xημx ημx x για κάθε x,. Άρα, υάρχουν μόνο δύο λύσεις της g ( x). ( ε 1 ):y f f x y 1( x ) y x ( ε ):y f f y x x ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 6
Γ. Ε dx f x ημx dx ημx dx [ συνx] συν + συν ( 1)+ 1 τ.μ. Ε 1 Ε τριγ. Ε 1 τ.μ. Άρα Ε 1 Ε 8 1. Γ3. lim x f ( x)+ x f ( x) x + + διότι lim x ( f ( x)+ x) lim x ( ημx + x) Γνωρίζουμε ότι f ( x) συνx ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 7
f ( x) ημx για κάθε x, [ ] και f συνεχής άρα η f είναι κυρτή στο[, ] άρα η C f είναι άνω αό την εφατομένη με εξαίρεση το σημείο εαφής x. Οότε αό το ερώτημα Γ είναι f ( x) x άρα f ( x) x + και 1 lim x f ( x) x + + διότι lim x ( f ( x) x + ) και f ( x) x + >. Γ. Έχουμε f ( x) x Οότε e f x x dx > 1 x dx 1 e 1 e [ x ln x] 1 e ( 1 ) e 1 Θέμα Δ Δ1 f ( x) H f συνεχής στο 1, Η f συνεχής στο, Είσης lim x lim x + f [ ) [ ] [ ) ως άρρητη ( ] ως γινόμενο συνεχών 3 x, x 1, e x ημx, x, f ( x ) lim f ( x ) lim 3 x x x + ( e x ημx) e ημ Άρα, η f είναι συνεχής στο x οότε η f είναι συνεχής στο[ 1, ]. Η f αραγωγίσιμη στο( 1, ) ως άρρητη με f ( x) 3 x x x < 3 f ( x) ( x) 3 με f ( x) 3 x 1 3 ( 1) 3 x 1 3. Η f αραγωγίσιμη στο(, ) ως γινόμενο αραγωγισίμων με f ( x) e x ημx + e x συνx e x ( ημx + συνx). ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 8
Ειλύουμε f ( x )> ημx + συνx > x, 3 f ( x) f Στο x έχουμε lim x + x lim x + e x ημx x e 1 1 lim x f ( x) f x 1 lim u 3 u + lim x ( x) 3 x u x lim u + 3 u u Άρα στο x η f δεν είναι αραγωγίσιμη αλλά μόνο συνεχής. Άρα η f αρουσιάζει κρίσιμα σημεία στη θέση x με τιμή f και στη θέση x 3 με τιμή f 3 e 3. Δ Πίνακας ροσήμου f Μελέτη μονοτονίας: Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [ 1, ] αφού είναι συνεχής στο [ 1, ]. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, 3 αφού είναι συνεχής στο, 3. 3 Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, αφού είναι συνεχής στο 3,. ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 9
Μελέτη ακροτάτων: ( ( 1) ) δηλαδή το σημείο Α ( 1, 1) είναι τοικό μέγιστο. Α 1, f Β(, f ) δηλαδή το σημείο Β(, ) είναι τοικό ελάχιστο. Γ 3,f 3 δηλαδή το σημείο Γ 3,e 3 είναι τοικό μέγιστο. ( ) δηλαδή το σημείο Δ (, ) είναι τοικό ελάχιστο. Δ, f 3 Ειδικότερα αφού e και Δ είναι ολικά ελάχιστα. > 1τότε το σημείο Γ είναι ολικό μέγιστο και τα σημεία Β Μελέτη Συνόλου Τιμών: Για τα διαστήματα Δ 1 [ 1, ],Δ, 3,Δ 3 3, το σύνολο τιμών είναι f ( Δ) f ( Δ 1 ) f ( Δ ) f ( Δ 3 ) f ( Δ) [ f,f( 1) ] f,f 3 f,f 3 [, 1], e 3 3, e, e 3 3. Γιατί e > 1. Δ3 Έχουμε Ε e x ημx e 5x dx όμως για x, [ ] έχουμε ότι e x ημx e 5x e x ( ημx e x )< γιατί e x 1 και ημx 1 δηλαδή e x ημx >. Άρα E ( e 5x e x ημx)dx E e 5x dx e x ημxdx ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 1
Θεωρούμε Ι 1 e x ημxdx το οοίο με διλή αραγοντική ολοκλήρωση γίνεται Ι 1 1+ e Τελικά Ε 1+ e Ε e 5 1 e 5 1 [ + e 5x ] 5 Δ Η εξίσωση έχει ροφανή ρίζα x 3. Ειλέον λύνοντας ως ρος f ( x ) 3 έχουμε f ( x) 8 e + ( x 3 ) 16 f ( x) 3 e x 3 + 16 Όμως αό το σύνολο τιμών έχουμε f ( x) 3 e. e 3 με το ' ' να ισχύει για x 3. Άρα τελικά x 3 μοναδική λύση της εξίσωσης. Ειμέλεια ααντήσεων των θεμάτων: Τομέας Μαθηματικών Αξιολόγηση θεμάτων Τα θέματα χαρακτηρίζονται ως οιοτικά, διατυωμένα με σαφήνεια, με κλιμακούμενη δυσκολία, καλύτουν όλη την ύλη και ααιτητικά σε σχέση με ροηγούμενα έτη. ΝΕΑ ΠΑΙΔΕΙΑ 11