II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ.Γραφήματα-Επιφάνειες.Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο 3.Ισοσταθμικές 4.Κλίση ισοσταθμικών 5.Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος 6.Ιδιότητες των ισοσταθμικών 7.κυρτότητα των ισοσταθμικών 8.Κυρτότητα σταθμικών περιοχών. 9.Εξαρτημένες συναρτήσεις.περισσότερες μεταβλητές. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= (,) Αν παραστήσουμε τις τιμές z ως ύψη πάνω από τα αντίστοιχα σημεία (,) του επιπέδου, σχηματίζεται μια επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο Oz την οποία θεωρούμε ως το γράφημα της συνάρτησης. Όσον αφορά την γεωμετρική ερμηνεία των μερικών παραγώγων παρατηρούμε τα εξής. σταθερό, αντιστοιχεί σε τομή της επιφάνειας με κατακόρυφο επίπεδο κάθετο στον άξονα. Δίνει μια καμπύλη στον χώρο που εκφράζεται ως συνάρτηση του, όπως στο γράφημα: {= α, z= (α, )}, την μελετούμε χρησιμοποιώντας την παράγωγο. σταθερό, αντιστοιχεί σε τομή της επιφάνειας με κατακόρυφο επίπεδο κάθετο στον άξονα. Δίνει μια καμπύλη στον χώρο που εκφράζεται ως συνάρτηση του, όπως στο γράφημα: {= β, z= (,β)}, την μελετούμε χρησιμοποιώντας την παράγωγο. Οι γραμμικές συναρτήσεις ορίζουν επίπεδες επιφάνειες, όπου οι σταθερές μερικές παράγωγοι μας δίνουν τις κλίσεις της επιφάνειας στις δύο κατευθύνσεις.. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο Μια επίπεδη επιφάνεια ορίζεται από 3 σημεία της, ή εναλλακτικά από ένα σημείο της και τις δύο κλίσεις της: {(,,z ),α= z,β= z } z= z + z ( ) + z ( ) Γενικά, καλούμε γραμμική προσέγγιση ή γραμμική επέκταση μιας συνάρτησης (,) σε κάποιο σημείο (, ), την γραμμική συνάρτηση που έχει την ίδια τιμή και τις ίδιες μερικές παραγώγους με την συνάρτηση, στο σημείο. Είναι η γραμμική συνάρτηση του εφαπτόμενου επιπέδου στο αντίστοιχο σημείο της επιφάνειας. Σύμφωνα με τα παραπάνω θα έχει την παράσταση: (,) z= + ( ) + ( ), όπου: = (, ), = (, ), = (, ) Παράδειγμα. 3 = + + στο ( =, = ) { =, = 3 + = 3, = + = }. Γραμμική προσέγγιση: z= + 3( ) + = + + Παρατήρηση. Στα πολυώνυμα, μπορούμε να βρούμε την γραμμική προσέγγιση αναπτύσσοντας σε δυνάμεις των {, }, και κρατώντας μόνο τις δυνάμεις μέχρι ης τάξης. Παρατήρηση. Παρατηρούμε ότι σε κάθε σημείο (,) : οι μεταβολές αντιστοιχούν σε μετατοπίσεις πάνω στην επιφάνεια και ικανοποιούν πολύπλοκες σχέσεις, αντίστοιχες με την αρχική συνάρτηση: Δz= (+ Δ, + Δ) (, ) τα διαφορικά αντιστοιχούν σε μετατοπίσεις πάνω στο εφαπτόμενο επίπεδο και συνδέονται με τις παραπάνω απλές γραμμικές σχέσεις: d = d+ d. Στα στάσιμα σημεία το εφαπτόμενο επίπεδο είναι οριζόντιο. Συνήθως είναι σημεία ακρότατης τιμής της συνάρτησης, αλλά όχι απαραίτητα. 3. Ισοσταθμικές: (, ) = z= (,β) z= (α,) Θεωρούμε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών και την παράστασή της ως επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο: z= (, ) Έχουμε εξετάσει κατακόρυφες τομές της επιφάνειας, κάθετα στον άξονα και στον άξονα αντίστοιχα. Τώρα θα εξετάσουμε τομές της επιφάνειας με οριζόντια επίπεδα κάθετα στον z άξονα. = β = α
Παρατηρούμε ότι η τομή με το οριζόντιο επίπεδο: z= δίνει μια οριζόντια καμπύλη στο χώρο, της οποίας η προβολή στο επίπεδο O παριστάνεται με την εξίσωση υποκατάστασης: (, ) = Καλείται ισοσταθμική της με τιμή, διότι στα σημεία της η z= συνάρτηση έχει τη σταθερή τιμή. Γενικά κάθε ισοσταθμική χωρίζει το πεδίο ορισμού της συνάρτησης στο επίπεδο Oσε δύο υποπεριοχές, οι οποίες καλούνται: + : (,), πάνω σταθμική + (, ) = (, ) = : (,), κάτω σταθμική Στην πάνω σταθμική περιοχή η συνάρτηση έχει τιμές μεγαλύτερες ή ίσες με το και στη κάτω μικρότερες ή ίσες με το. Ειδικά η μηδενική ισοσταθμική: (,) =, χωρίζει την περιοχή των θετικών τιμών από την περιοχή των αρνητικών τιμών. Παράδειγμα. Θα δώσουμε γραφήματα ισοσταθμικών, με πεδίο ορισμού στη θετική περιοχή:,.. z=, γραμμική. z Παριστάνει επίπεδο, που τέμνει τους άξονες, ως εξής:. ( =, = ) z=, τομή με τον z άξονα ( =,z = ) =, τομή με τον άξονα (=,z = ) =, τομή με τον άξονα z= + =, τομή με το O επίπεδο Ισοσταθμικές της είναι οι παρακάτω παράλληλες ευθείες, για διάφορες τιμές του : = + = /. z= Cobb-Douglas (C-D) Η μηδενική ισοσταθμική αντιστοιχεί στους θετικούς ημιάξονες. z= = = ή = Οι υπόλοιπες ισοσταθμικές είναι υπερβολικές καμπύλες: = = / 3. z= 4+ + = ( ) ( ), τετραγωνική ή παραβολική Έχει μέγιστη τιμή: z=. Η αντίστοιχη ισοσταθμική αποτελείται από ένα μόνο σημείο: ( =, = ). Για τιμές z= <, οι ισοσταθμικές είναι ομόκεντροι κύκλοι με z κέντρο (,) και ακτίνα : z= ( ) ( ) = ( ) + ( ) = Για z= > δεν υπάρχουν ισοσταθμικές, διότι η συνάρτηση δεν παίρνει τιμές μεγαλύτερη του. 4. Δίνουμε και τα παρακάτω γραφήματα ισοσταθμικών χωρίς τις αντίστοιχες επιφάνειες, στη θετική περιοχή. z + + (+ ) ln+ (+ )( + ) ln ln = ln( / )
Παρατήρηση. Γενικά, οι ισοσταθμικές σχηματίζουν μια οικογένεια διακριτών καμπύλων στο επίπεδο O, η οποία ερμηνεύεται ως επίπεδη παράσταση της αντίστοιχης επιφάνειας, όπως ακριβώς οι ανάγλυφοι χάρτες παριστάνονται με τις ισοϋψείς τους. Η ισοσταθμική που διέρχεται από το τυχόν σημείο (, ) παριστάνεται με την εξίσωση: (,) = (, ) 4. Κλίση ισοσταθμικών. Η κλίση των ισοσταθμικών δίνεται από τον ρυθμό υποκατάστασης και συνδέεται με τις ιδιότητες μονοτονίας της συνάρτησης (,), δηλαδή με τα πρόσημα των {, }, λόγω της σχέσης: d (, ) = () = = d Ειδικότερα:. Οι ισοσταθμικές έχουν αρνητική κλίση αν τα {, } έχουν το ίδιο πρόσημο, δηλαδή αν η συνάρτηση (, ) είναι μονότονη. Πράγματι, αν τα {, } έχουν το ίδιο πρόσημο τότε οι μεταβολές των {,} επηρεάζουν την με τον ίδιο τρόπο, οπότε για να μείνουμε σε μια ισοσταθμική ώστε να μην μεταβληθεί η τιμή της συνάρτησης, θα πρέπει όταν αυξάνουμε τη μία μεταβλητή να ελαττώνουμε την άλλη. Έτσι η ισοσταθμική θα έχει αρνητική κλίση, δηλαδή η πλεγμένη συνάρτηση: (, ) = = () θα είναι φθίνουσα. Λέμε ότι έχουμε υποκατάσταση.. Οι ισοσταθμικές έχουν θετική κλίση αν τα {, } έχουν αντίθετο πρόσημο, δηλαδή αν η συνάρτηση (, ) δεν είναι μονότονη. Πράγματι, αν τα {, } έχουν αντίθετο πρόσημο, τότε οι μεταβολές των {,} επηρεάζουν την με αντίθετο τρόπο, οπότε για να μείνουμε σε μια ισοσταθμική ώστε να μη μεταβληθεί η τιμή της συνάρτησης, θα πρέπει όταν αυξάνουμε τη μια μεταβλητή να αυξάνουμε και την άλλη για αντιστάθμισμα. Έτσι η ισοσταθμική θα έχει θετική κλίση και η πλεγμένη συνάρτηση: (, ) = = () θα είναι αύξουσα. Λέμε ότι η υποκατάσταση αντιστοιχεί σε αντιστάθμιση. Παρατήρηση. Συχνά στις εφαρμογές ο ρυθμός υποκατάστασης ορίζεται ως το αρνητικό του παραπάνω: = / οπότε στην υποκατάσταση θα είναι θετικό. Ενίοτε ορίζεται και ως το μέτρο: (), οπότε είναι πάντοτε θετικό. 5. Διανυσματική ή Ιακωβιανή παράγωγος μιας συνάρτησης (,) καλείται το επίπεδο διάνυσμα που έχει για συντεταγμένες τις δύο μερικές παραγώγους: = (, ) J ή Τοποθετείται με την αρχή του στο εκάστοτε σημείο (,) και μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο, εκτός αν η συνάρτηση είναι γραμμική οπότε είναι σταθερό. Σε κάθε σημείο η μονοτονία χαρακτηρίζεται από την κατεύθυνση της διανυσματικής παραγώγου. Υπάρχουν τέσσερες γενικές κατευθύνσεις, οι παρακάτω: αύξουσα φθίνουσα αύξουσα φθίνουσα αύξουσα φθίνουσα φθίνουσα αύξουσα δεξιά-πάνω αριστερά-κάτω δεξιά-κάτω αριστερά-πάνω Δ> < > Δ> = Δ< = Δ> 3
Αν οι δύο μερικές παράγωγοι έχουν το ίδιο πρόσημο, όπως στα δύο πρώτα γραφήματα του παραπάνω σχήματος, τότε ως γνωστόν λέμε ότι η συνάρτηση είναι μονότονη. Ειδικότερα μια συνάρτηση είναι: αύξουσα αν η διανυσματική παράγωγος δείχνει πάνω-δεξιά όπως στο πρώτο γράφημα με: {, } φθίνουσα αν δείχνει κάτω-αριστερά όπως στο δεύτερο γράφημα με: {, } Αναφέρουμε χωριστά τις τέσσερις ειδικές κατευθύνσεις όπου η μία μερική παράγωγος είναι μηδενική και η άλλη μη μηδενική, οπότε η κατεύθυνση της διανυσματικής παραγώγου είναι: οριζόντια αν {, = }, κατακόρυφη αν { =, }. Στα στάσιμα σημεία η διανυσματική παράγωγος είναι το μηδενικό διάνυσμα. Παράδειγμα. (, ) = + (,) = (, ) = (4,) Σκιαγραφούμε τις διανυσματικές παραγώγους στα σημεία: { : (,) = (,)}, {B : (,) = (4,)}, {Γ : (,) = (4,)}, {Δ : (,) = (,)} Γ Παρατηρούμε ότι είναι αύξουσα στη θετική περιοχή. Το Δ είναι στάσιμο σημείο με μηδενική διανυσματική παράγωγος. Στο Δ η συνάρτηση έχει Δ B ελάχιστη τιμή μηδενική, διότι παντού αλλού είναι γνήσια θετική. Παρατήρηση. Η διανυσματική παράγωγος καλείται επίσης διανυσματική κλίση (gradient), και τότε παριστάνεται ως διάνυσμα στήλη με τον συμβολισμό: (, ) ή grad(, ) = 6. Ιδιότητες των ισοσταθμικών Υπάρχει μια ιδιαίτερη σχέση μεταξύ των διανυσματικών παραγώγων και των ισοσταθμικών, μιας συνάρτησης z= (, ), ως εξής:. Σε κάθε σημείο (,), η διανυσματική παράγωγος είναι κάθετη στην ισοσταθμική που διέρχεται από το ίδιο σημείο, και δείχνει στην κατεύθυνση της Δ> πάνω σταθμικής. Αυτό συμβαίνει διότι σε σχέση με την επιφάνεια η ισοσταθμική Δs = + Δ δείχνει την κατεύθυνση σταθερού υψόμετρου, ενώ η διανυσματική παράγωγος την κατεύθυνση μέγιστης ανωφέρειας. Εξάλλου οι κλίσεις της ισοσταθμικής και της = διανυσματικής παραγώγου έχουν γινόμενο -, και επομένως είναι κάθετες μεταξύ τους: ( / )( / ) =. Σε κάθε σημείο το μήκος της διανυσματικής παραγώγου είναι αντιστρόφως ανάλογο της απόστασης μεταξύ γειτονικών ισοσταθμικών, δηλαδή ανάλογο της πυκνότητας των ισοσταθμικών. Αυτό συμβαίνει διότι όσο κοντύτερα βρίσκονται οι ισοσταθμικές μεταξύ τους τόσο γρηγορότερα μεταβάλλονται οι τιμές της συνάρτησης, δηλαδή τόσο πιο απότομη είναι η επιφάνεια και μεγαλύτερες οι μερικές παράγωγοι. Έτσι, σε κάθε σημείο, η διανυσματική παράγωγος δείχνει την κατεύθυνση προς την οποία η συνάρτηση αυξάνει με τον γρηγορότερο ρυθμό ο οποίος και είναι ίσος με το μήκος της διανυσματικής παραγώγου. Στην αντίθετη από την παραπάνω κατεύθυνση έχουμε την πιο απότομη κατωφέρεια προς την οποία οι τιμές της συνάρτησης μικραίνουν με τον γρηγορότερο ρυθμό. Στα στάσιμα σημεία η διανυσματική παράγωγος είναι μηδενική και δεν ορίζεται κατεύθυνση αύξησης ή μείωσης των τιμών. Συνήθως στα σημεία αυτά η συνάρτηση έχει ακρότατη τιμή, μέγιστη ή ελάχιστη, οπότε πράγματι δεν ορίζεται ειδική κατεύθυνση αύξησης ή μείωσης των τιμών της. Παράδειγμα. (, ) = + (,) = (, ) = (4,) Σκιαγραφούμε τις ισοσταθμικές και τις διανυσματικές παραγώγους στα σημεία: { : (,) = (,)}, {B : (,) = (4,)}, {Γ : (,) = (4,)}, {Δ : (,) = (,)} Γ Στα {,B,Γ} οι διανυσματικές παράγωγοι είναι κάθετες στις αντίστοιχες Δ B ισοσταθμικές και δείχνουν προς τις πάνω σταθμικές περιοχές. Είναι μεγαλύτερες όπου οι ισοσταθμικές είναι πιο πυκνές, δηλαδή απέχουν μεταξύ τους λιγότερο. Στο Δ έχουμε στάσιμο σημείο με μηδενική διανυσματική παράγωγο. 4
Παράδειγμα. (,) = στη θετική περιοχή: {, }. Οι μερικές παράγωγοι έχουν αντίθετο πρόσημο: = >, =, αύξουσα, φθίνουσα και επομένως οι ισοσταθμικές πρέπει να έχουν θετική κλίση. Πράγματι οι ισοσταθμικές είναι οριζόντιες παραβολές, με θετική κλίση: (,) = = = +.. Η διανυσματική κλίση δείχνει δεξιά-κάτω, εκτός των σημείων στον άξονα που δείχνει δεξιά. Σε κάθε περίπτωση είναι κάθετη στην ισοσταθμική και πρέπει να δείχνει προς την πάνω σταθμική. Πράγματι, οι πάνω σταθμικές είναι προς τα δεξιά-κάτω όπως η γραμμοσκιασμένη περιοχή στο σχεδιάγραμμα: (,) = + Παράδειγμα. Οι γραμμικές συναρτήσεις έχουν σταθερή διανυσματική παράγωγο και παράλληλες ευθείες ως ισοσταθμικές, με σταθερό ρυθμό υποκατάστασης: d α = α + β + γ = d = β {Δ = α υποκαθιστά Δ= } ή {Δ= β υποκαθιστά Δ= α } β Αναφέρουμε τις παρακάτω ειδικές περιπτώσεις: =. Οι ισοσταθμικές είναι οριζόντιες ευθείες: =. Όσο και να αυξάνει το η διατήρηση της τιμής της συνάρτησης απαιτεί το ίδιο. Ορίζει μηδενικό ρυθμό υποκατάστασης του από το, δηλαδή το δεν μπορεί να υποκαταστήσει το : { =, = } =. =. Οι ισοσταθμικές είναι κατακόρυφες ευθείες: =. Όσο και να αυξάνει το η διατήρηση της τιμής της συνάρτησης απαιτεί το ίδιο. Ορίζει μηδενικό ρυθμό υποκατάστασης του από το, δηλαδή το δεν μπορεί να υποκαταστήσει το : { =, = } = 7. Εξαρτημένες μεταξύ τους καλούνται δύο συναρτήσεις: {(,), g(,)}, αν η μια είναι μετασχηματισμός της άλλης: = H(g) (,) = H(g(,)) όπου H είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής. Αν η H είναι γνήσια μονότονη, τότε ισχύει και η αντίστροφη σχέση: g= H () οπότε η κάθε συνάρτηση είναι γνήσια μονότονος μετασχηματισμός της άλλης, γνήσια αύξων αν η Η είναι γνήσια αύξουσα. Γεωμετρικά, οι εξαρτημένες συναρτήσεις χαρακτηρίζονται από την ιδιότητα ότι έχουν τις ίδιες ισοσταθμικές, βέβαια με διαφορετικές τιμές. Κριτήριο εξάρτησης. Οι συναρτήσεις δυο μεταβλητών: {(,),g(,)} είναι εξαρτημένες ικανοποιείται η συνθήκη: g g Παράδειγμα. Οι συναρτήσεις { = ln ln, g= / } είναι εξαρτημένες στη θετική περιοχή, διότι ικανοποιείται η συνθήκη: / / = = g g / / Πράγματι έχουμε: { = lng, g= e } οπότε οι ισοσταθμικές της = ln ln= ln( / ) είναι ακτίνες, όπως της g= /. 5
α β. Οι συναρτήσεις: =, g= ln = αln + βln είναι εξαρτημένες στη θετική περιοχή και έχουν τις ίδιες ισοσταθμικές. Καλούνται τύπου C-D (Cobb-Douglas) και λογαριθμικές C-D αντίστοιχα.. Oι συναρτήσεις { = ( ), g= } είναι εξαρτημένες διότι έχουμε: = g. Κάθε ισοσταθμική της g είναι ισοσταθμική και της. Έτσι εκτός των γραμμικών, και όλες οι συναρτήσεις που είναι εξαρτημένες από τις γραμμικές έχουν ως ισοσταθμικές παράλληλες ευθείες. Παράδειγμα. (, ) = + { =, = }, στη θετική περιοχή: {, } Είναι μονότονη αύξουσα και έχει ισοσταθμικές με αρνητική κλίση. Η διανυσματική παράγωγος δείχνει πάνω δεξιά προς την πάνω σταθμική. Στο στάσιμο: (,), η ισοσταθμική είναι σημείο και η διανυσματική παράγωγος είναι μηδενική.. Η g= + =, είναι αύξων μετασχηματισμός της, οπότε έχει τις ίδιες ισοσταθμικές, με τα ίδια χαρακτηριστικά. 3. Η h = ( + ) = /, είναι φθίνων μετασχηματισμός της, οπότε έχει τις ίδιες ισοσταθμικές, αλλά είναι μονότονη φθίνουσα και αντιστρέφει την κατεύθυνση της διανυσματικής παραγώγου. 8. Κυρτότητα ισοσταθμικών Εκτός από την κλίση των ισοσταθμικών, ενδιαφέρον παρουσιάζει και η κυρτότητα των ισοσταθμικών. Λέμε ότι η συνάρτηση (, ) ορίζει φθίνοντα ρυθμό υποκατάστασης του από το αν το () είναι φθίνουσα συνάρτηση του, δηλαδή: καθώς το αυξάνει κάθε επιπλέον μοναδιαία αύξησή του υποκαθιστά ή αντισταθμίζει όλο και μικρότερη ποσότητα, οριακά. Αν συμβαίνει το αντίθετο τότε λέμε ότι η συνάρτηση ορίζει αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης του από το. Διαπιστώνουμε ότι μια συνάρτηση (,) ορίζει: φθίνοντα ρυθμό υποκατάστασης του από το αν η πρώτη και η δεύτερη πλεγμένη παράγωγος: () και (), έχουν αντίθετο πρόσημο, όπως στa παρακάτω γραφήματα {,4}. αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης του από το αν η πρώτη και η δεύτερη πλεγμένη παράγωγος : () και (), έχουν το ίδιο πρόσημο, όπως στα παρακάτω γραφήματα {,5}. σταθερό ρυθμό υποκατάστασης αν η δεύτερη πλεγμένη παράγωγος είναι μηδενική: () =, οπότε οι ισοσταθμικές είναι ευθείες, όπως στα παρακάτω γραφήματα {3,6}. Αυτό ισχύει για τις γραμμικές συναρτήσεις, αλλά και για τις εξαρτημένες από αυτές..φθίνων. αύξων 3.σταθερό 4.φθίνων 5.αύξων 6.σταθερό υποκατάσταση αντιστάθμιση Παρατήρηση. Στην υποκατάσταση, αν το () είναι αύξον ή φθίνον τότε το αντίστροφο () θα έχει την ίδια ιδιότητα. Στην αντιστάθμιση ισχύει το αντίθετο, όπως διαπιστώνουμε και γραφικά από τα σχήματα. Παράδειγμα. Στη θετική περιοχή: {, } θεωρούμε τις παρακάτω συναρτήσεις:. (,) =, ορίζει φθίνοντα ρυθμό υποκατάστασης του από το. 3. 4. (, ) = +, ορίζει αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης του από το (, ) =, ορίζει φθίνοντα ρυθμό αντιστάθμισης του από το (, ) =, ορίζει αύξοντα ρυθμό αντιστάθμισης του από το 5. (, ) = + + = (+ ), ορίζει σταθερό ρυθμό υποκατάστασης Δίνουμε τα σχετικά γραφήματα παρακάτω: 6
. =. + = 3. = = + 4. = = + 5. (+ ) = + = 9. Κυρτότητα σταθμικών περιοχών Στις εφαρμογές εξετάζουμε και την κυρτότητα των σταθμικών περιοχών. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Οι κάτω σταθμικές είναι κυρτές. Σ αυτή την περίπτωση για κάθε ζεύγος συνδυασμών (, ) και (, ) στην ίδια ισοσταθμική, η συνάρτηση θα έχει μικρότερη τιμή στους ενδιάμεσους συνδυασμούς: { t = ( t) + t, t = ( t) + t } με t, διότι θα βρίσκονται όλοι στην αντίστοιχη κάτω σταθμική: (, ) = (, ) = (, ) t t Λέμε ότι η συνάρτηση είναι οιονεί κυρτή αν έχει την παραπάνω ιδιότητα, δηλαδή αν έχει τις κάτω σταθμικές περιοχές κυρτές Οι πάνω σταθμικές είναι κυρτές. Σ αυτή την περίπτωση για κάθε ζεύγος συνδυασμών (, ) και (, ) στην ίδια ισοσταθμική, η συνάρτηση θα έχει (, ) (, ) μεγαλύτερη τιμή στους ενδιάμεσους συνδυασμούς: { = ( t) + t, = ( t) + t } με t, t t διότι θα βρίσκονται όλοι στην αντίστοιχη πάνω σταθμική: (, ) = (, ) = (, ) t t Λέμε ότι η συνάρτηση είναι οιονεί κοίλη αν έχει την παραπάνω ιδιότητα, δηλαδή αν έχει τις πάνω σταθμικές περιοχές κυρτές Παρατήρηση. Οι παραπάνω περιοχές θα είναι γνήσια οιονεί κυρτές (κοίλες) αν επιπλέον οι ισοσταθμικές δεν έχουν ευθύγραμμο τμήμα, ή ισοδύναμα αν οι παραπάνω ανισότητες είναι γνήσιες για κάθε γνήσια ενδιάμεσο συνδυασμό: < t<. Παρατηρούμε ότι: Αύξων μετασχηματισμός συνάρτησης διατηρεί τις παραπάνω δύο ιδιότητες. Αντίθετα, φθίνων μετασχηματισμός αντιστρέφει τις δύο ιδιότητες.. Περισσότερες μεταβλητές Τα παραπάνω γενικεύονται σε συναρτήσεις με περισσότερες από δύο μεταβλητές. Ειδικά στην περίπτωση συναρτήσεων 3 μεταβλητών: w = (,,z) τα γραφήματα των ισοσταθμικών είναι επιφάνειες στον τρισδιάστατο χώρο: {w = (,, z) = } Κάθε ισοσταθμική επιφάνεια χωρίζει την περιοχή ορισμού της συνάρτησης σε δύο χωρικές υποπεριοχές. Καλούνται πάνω σταθμική και κάτω σταθμική και ορίζονται με τις αντίστοιχες ανισότητες: + (,,z) = : (,,z), : (,,z) Επίσης, σε κάθε σημείο ορίζεται η διανυσματική κλίση: =(,, ) z (, ) (, ) (, ) (, ) Είναι διάνυσμα κάθετο στην αντίστοιχη σταθμική επιφάνεια και δείχνει την κατεύθυνση της πάνω σταθμικής, δηλαδή την κατεύθυνση αύξησης των τιμών της συνάρτησης. Για να μελετήσουμε την ισοσταθμική επιφάνεια θεωρούμε ότι η εξίσωση ορίζει πλεγμένα μια συνάρτηση, π.χ. (,, z) = z= z(, ) την οποία στη συνέχεια εξετάζουμε σύμφωνα με την παραπάνω γνωστή θεωρία δύο μεταβλητών. 7
II.6 IΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. Θεωρούμε τις παρακάτω συναρτήσεις στη θετική περιοχή: {, }. α) Να σκιαγραφηθούν οι διανυσματικές παράγωγοι οι ισοσταθμικές και οι σταθμικές περιοχές. β) Να διερευνηθεί η μονοτονία ως προς την κάθε μεταβλητή. / /3 +,,,,, ln+, e, ma{, }. Θεωρούμε δύο συναρτήσεις με ισοσταθμικές που δίνονται από τις καμπύλες του παραπλεύρως σχήματος, αντίστοιχα. Αν αμφότερες είναι αύξουσες να διερευνηθεί σε κάθε περίπτωση η μονοτονία ως προς και να σκιαγραφηθεί η αντίστοιχη πάνω σταθμική. 3. Η συνάρτηση (,) έχει τις ισοσταθμικές του παραπλεύρως σχήματος. Να βρεθούν στα σημεία {,B} τα πρόσημα των μερικών παραγώγων καθώς και του ρυθμού υποκατάστασης Ασκήσεις = B = 4. Στα γραφήματα παραπλεύρως δίνονται δύο ισοσταθμικές μιας συνάρτησης (,). Στα σημεία {,B} :. Να εκτιμηθούν οι μερικές παράγωγοι και ο ρυθμός υποκατάστασης. Να σκιαγραφηθεί η διανυσματική παράγωγος. B = 6 = 3 = 3 B = 6 5. Για τη συνάρτηση z= z(, ) που ορίζεται πλεγμένα από την εξίσωση: z+ z =, να διαπιστωθεί ότι δεν έχει στάσιμο σημείο, και να βρεθεί η γραμμική προσέγγιση στο (,,) 6. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτόμενων επιπέδων στα αντίστοιχα σημεία (,,z) των παρακάτω επιφανειών: z= + στο (,,5), + + z = 9 στο (,,) 7. Αν μια συνάρτηση (, ) έχει στα σημεία: { : (,), B : (,), Γ : (,)} τις τιμές: {,, } αντίστοιχα, να εκτιμηθούν, οι μερικές παράγωγοι στο Α, καθώς και η τιμή της συνάρτησης στο (,). 8. Να σκιαγραφηθούν οι ισοσταθμικές και οι διανυσματικές παράγωγοι μιας συνάρτησης (,) που έχει τις παρακάτω ιδιότητες στη θετική περιοχή: {, }.. αύξουσα, με ρυθμό υποκατάστασης: α) αύξοντα, β) φθίνοντα. φθίνουσα, με ρυθμό υποκατάστασης: α) αύξοντα, β) φθίνοντα 3. φθίνουσα, αύξουσα, με αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης(αντιστάθμισης) του ως προς. 4. αύξουσα, φθίνουσα, με αύξοντα ρυθμό υποκατάστασης(αντιστάθμισης) του ως προς. 5. αύξουσα και: α) οιονεί κυρτή, β) οιονεί κοίλη 6. φθίνουσα και: α) οιονεί κυρτή, β) οιονεί κοίλη 7. φθίνουσα, αύξουσα και οιονεί κοίλη 8. αύξουσα, φθίνουσα και οιονεί κοίλη 8