ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Ααντήσεις Ειμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών http://www.othisi.gr
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Παρασκευή, 9 Ιουνίου 7 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οοία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αοδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Μονάδες 7 A. Θεωρήστε τον αρακάτω ισχυρισμό: «Κάθε συνάρτηση f, η οοία είναι συνεχής στο o, είναι αραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.» α. Να χαρακτηρίσετε τον αραάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής. (μονάδα ) β. Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας στο ερώτημα α. (μονάδες ) Μονάδες A. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες A. Να χαρακτηρίσετε τις ροτάσεις ου ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίλα στο γράμμα ου αντιστοιχεί σε κάθε ρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η ρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η ρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων f :RR και g:rr, αν lim g(), τότε lim o o [f()g()] lim o f() και β) Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με εδία ορισμού A, B αντίστοιχα, τότε η gof ορίζεται αν f(a)b. γ) Για κάθε συνάρτηση f : RR ου είναι αραγωγίσιμη και δεν αρουσιάζει ακρότατα, ισχύει f () για κάθε. δ) Αν α, τότε lim α ε) Η εικόνα f(δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. Μονάδες
ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 A. Σχολικό βιβλίο σελ. 5 A. α. Ψ β. Έστω f(), R. Η f είναι συνεχής στο R ως αόλυτη τιμή συνεχούς άρα είναι συνεχής και στο., f (), f() f() lim lim f() f() lim lim άρα η f δεν είναι αραγωγίσιμη στο ενώ είναι συνεχής. A. Σχολικό βιβλίο σελ. 7 A. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι συναρτήσεις f()ln, και g(),. B. Να ροσδιορίσετε τη συνάρτηση f o g. Μονάδες 5 B. Αν h()( fog)() ln, (,), να αοδείξετε ότι η συνάρτηση h αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της. Μονάδες 6 B. Αν φ()h (), R, να μελετήσετε τη συνάρτηση φ ως ρος τη μονοτονία, τα ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμής. Μονάδες 7 B. Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμτωτες της γραφικής αράστασης της συνάρτησης φ και να τη σχεδιάσετε. (Η γραφική αράσταση να σχεδιαστεί με στυλό.) Μονάδες 7 ΑΠΑΝΤΗΣΗ B. Df (, ), Dg (, )(, ) Dfog {Dg / g() } {R{} / () } (, ) (fog)()f(g())ln
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 B. h()ln lnln(), (,) h (), (,) άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο (,), οότε είναι και και συνεώς αντιστρέψιμη. y Έστω yh()yln y y y ( y ) y y, άρα h (), R. B. φ() h (), R ( ) φ () για κάθε R, άρα η φ είναι γνησίως ( ) ( ) αύξουσα και συνεώς δεν έχει ακρότατα. ( ) ( ) ( ) ( ) φ () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( φ () φ () ) φ φ Σ.Κ., B. lim φ() lim lim DL' H άρα η ε : y είναι οριζόντια ασύμτωτη της C φ στο lim φ() lim άρα ο άξονας : y είναι οριζόντια ασύμτωτη της C στο φ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f()ημ, [, ] και το σημείο A,. Γ. Να αοδείξετε ότι υάρχουν ακριβώς δύο εφατόμενες(ε), (ε) της γραφικής αράστασης της f ου άγονται αό το Α, τις οοίες και να βρείτε. Μονάδες 8 Γ. Αν (ε); y και (ε):y είναι οι ευθείες του ερωτήματος Γ, τότε να σχεδιάσετε τις (ε),(ε) και τη γραφική αράσταση της f, και να αοδείξετε ότι Ε, όου: Ε 8 E είναι το εμβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση της f και τις ευθείες (ε),(ε) και E είναι το εμβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση της f και τον άξονα '. Μονάδες 6 f() Γ. Να υολογίσετε το όριο lim f() f() Γ. Να αοδείξετε ότι d. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Γ. f() ημ, [,] Μονάδες Μονάδες 7 Το Α C f διότι f. Η f είναι αραγωγίσιμη στο [,] με f () συν. Έστω Μ(,f( )) το σημείο εαφής Τότε (ε): y f( ) f ( ) ( ) y ημ συν ( ) A(ε) ημ συν ημ συν συν ημ συν συν Θεωρούμε κ() ημ συν συν [,] 5
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Προφανείς λύσεις της κ() είναι οι και Η κ είναι αραγωγίσισμη στο [,] με κ() συν συν ημ ημ ημ κ () ή ή κ (), κ (), Είναι κ [ / ] κ () κ() Τ.Μ Τ.Ε Τ.Μ κ() κ κ() κ,, και κ(,] (,] Το κ, και η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, άρα η είναι μοναδική στο διάστημα αυτό. Το κ (,] και η f είναι γνησίως αύξουσα στο (,] άρα η είναι μοναδική στο διάστημα αυτό. β τρόος αόδειξης ότι οι ρίζες της κ() είναι ακριβώς δύο Έστω ότι υάρχουν τουλάχιστον τρεις ρίζες. Δηλαδή η κ() έχει ρίζες τις,, [, ] με έστω. Τότε στα [, ], [, ] ληρούνται οι ροϋοθέσεις του Θ. Roll, άρα υάρχουν ξ, ξ με ξ(, )[, ], ξ(, ) [, ], ώστε κ (ξ)κ (ξ) με κ ()ημ. Όμως, κ () ή ημ ή ή, άτοο. Άρα οι μοναδικές ρίζες είναι οι και. Τότε οι ζητούμενες εφατόμενες είναι οι 6
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ε : y f() f()( ) y ε : y f() f()( ) y Γ. f ()συν και f ()ημ, (,) και συνεχής στα σημεία,. Άρα η f είναι κυρτή στο [,]. Συνεώς η Cf είναι άντα άνω αό τις εφατομένες της (ε), (ε), με εξαίρεση τα σημεία εαφής. Δηλαδή f() f() και f() f(). Τότε αν Ε(Ω) το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της Cf, της ε και της κατακόρυφης ευθείας, ισχύει: Ε(Ω ) (f() )d ( ημ )d συν 8 Ομοίως, αν Ε(Ω), το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της Cf, της ε και της κατακόρυφης ευθείας, ισχύει: Ε(Ω ) ( ημ )d συν συν συν 8 8 Άρα, ΕΕ(Ω)Ε(Ω) Η f() ημ για [, ], συνεώς: Ε f() d ημd συν συν συν ( ) 7
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Ε Άρα,. Ε 8 Άλλος τρόος για τον υολογισμό του Ε: Είναι ΟΒ και ΑΓ Ε (ΑΟΒ) Ε ΟΒ ΑΓ Ε Ε Ε Ε (αφού Ε) ημ ημ Γ. h() ημ ημ lim( ημ ) Εειδή η f κυρτή η Cf είναι άντα άνω αό την εφατομένη της (ε): y με εξαίρεση το σημείο εαφής. Οότε f() κοντά στο, δηλαδή η f(). Τότε, lim και lim (ημ). ημ Άρα lim h() ημ Γ. Έστω φ(). Εειδή η f είναι κυρτή στο [, ], όως δείξαμε στο Γ., ισχύει f(), [, ], συνεώς και στο [, ] [,]. ημ Άρα ημ (χωρίς αντού να ισχύει το ) 8
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 Άρα ημ ημ ημ d d d [ ln ] d ln ημ d ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση, [, ) f(). ημ, [, ] Δ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [, ] και να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της. Μονάδες 5 Δ. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως ρος τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της. Μονάδες 6 Δ. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση της f, τη γραφική αράσταση της g, με g() 5, R, τον άξονα y y και την ευθεία. Μονάδες 6. Δ. Να λύσετε την εξίσωση 6 f() ( ) 8 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Δ. Για η f είναι συνεχής ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Για η f είναι συνεχής ως γινόμενο συνεχών. lim f() lim( ημ) lim lim f() f(), άρα f συνεχής στο f() Άρα f συνεχής στο [, ]. Για : f() ( ) f () ( ), Για : f () ημ συν f () (ημσυν) ημσυν ημσυν 9 συν Μονάδες 8 ημ συν
εφ f() f() ημ lim lim ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 f() f() ( ) ( ) lim lim lim lim ( ) Άρα η f δεν είναι αραγωγίσιμη στο. Εομένως τα κρίσιμα σημεία της f είναι το (, f( )) και το (, f()). / Δ. Για : f () ( ) Για : f () (ημσυν) ( Δ) f () μοναδική ρίζα στο (, ) και εειδή η f συνεχής θα διατηρεί σταθερό ρόσημο σε κάθε ένα αό τα, και, εομένως ροκύτει ο αρακάτω ίνακας ρόσημων της f και μεταβολών της f. f'() f'() f'() Μονοτονία f (), (, ) και f συνεχής στο [, ] άρα f γνησίως φθίνουσα στο [, ]. f (), (, ) και f συνεχής στο [, ] άρα f γνησίως αύξουσα στο [, ]. f'() f f (), (,) και f συνεχής στο [,] άρα f γνησίως φθίνουσα στο [,]. Ακρότατα Η f αρουσιάζει τοικό μέγιστο στο το f(), τοικό ελάχιστο στο, το f(), τοικό μέγιστο στο το f( ), τοικό ελάχιστο στο το f(). Άρα ολικό ελάχιστο το μικρότερο ακρότατο, δηλαδή το και ολικό μέγιστο το μεγαλύτερο ακρότατο, δηλαδή το, αφού ου ισχύει αφού Σύνολο τιμών: f([, ]),.
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 5 Δ. E(Ω) f() g() d ημ d (ημ ) d ημ γν.αύξουσα Για τότε Για τότε ημ Άρα ημ. Εομένως Ε(Ω) (ημ Έχουμε Ι ημd ημ Ι συνd Ι συν ημd Ι( συν συν)ι Ι Ι Και 5 d 5 5 5 5 5 )d ( συνd ημ 5 )d 5, άρα Ε(Ω) 5 5 d Δ. 6 6 f() f() f() 6 f() ( ) 8 8 f() f Προφανής ρίζα το. Εειδή η f αρουσιάζει ολικό μέγιστο το f, έχουμε: f() f f, με το να ισχύει μόνο στο Άρα το είναι μοναδική ρίζα της (). () (:6 )
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 7 ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Τα σημερινά θέματα καλύτουν όλη την εξεταστέα ύλη. Διακρίνονται: α) αό αλγεβρική δυσκολία η οοία ααιτούσε δεξιοτεχνία ράξεων, β) αό θεωρητική δυσκολία, η οοία εστιαζόταν κυρίως στο Γ και Δ. Ακόμη, καθοριστικό ρόλο θα αίξει και η διαχείριση του χρόνου στην είλυση των ερωτημάτων. Όλα τα ροηγούμενα οδηγούν στο συμέρασμα ότι ρόκειται για ένα ααιτητικό διαγώνισμα ου θα οδηγήσει σε μείωση του οσοστού των υοψηφίων ου έτυχαν υψηλές βαθμολογίες σε σχέση με έρυσι.