ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 Β5. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1
Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας Ακτίνα καμπυλότητας 2
Εισαγωγή (1/2) Μελετήσαμε ήδη στην Στατική την ισορροπία φορέων (δοκών) υποθέτοντας ότι τα σώματα παραμένουν απαραμόρφωτα κατά την επιβολή εξωτερικών φορτίων. Σε αυτό το κεφάλαιο της κάμψης θα εφαρμόσουμε τις αρχές της Αντοχής των Υλικών γιαναμελετήσουμεπωςτασώματαπαραμορφώνονταιμε επιβαλλόμενα φορτία σε εγκάρσια φόρτιση. Σε προηγούμενα κεφάλαια αναφερθήκαμε στα εντατικά μεγέθη. Χρησιμοποιώντας την μέθοδο των τομών γνωρίσαμε ότι στην δοκό αναπτύσσονται εσωτερικές αντιδράσεις (N,Q,M) οι οποίες συνδέονται με τα εξωτερικά φορτία. 3
Εισαγωγή (2/2) Στην Στατική είδαμε ότι τα μεγέθη NQM είναι ανεξάρτητα από το μέγεθος και την γεωμετρία μιας διατομής. Ωστόσο τόσο τα σώματα με διαφορετική διατομή αντιδρούν διαφορετικά σε μια συγκεκριμένη εξωτερική δύναμη όσο και τα σώματα με την ίδια διατομή πάλι αντιδρούν διαφορετικά σε ίσα φορτία διαφορετικής κατανομής όμως. Με άλλα λόγια οι εσωτερικές αντιδράσεις μπορεί να είναι γνωστές όμως η κατανομή τους στην διατομή αποτελεί ένα στατικά αόριστο πρόβλημα το οποίο δεν μπορεί να προσεγγιστεί με τα έως τώρα δεδομένα της Στατικής. Έτσι λοιπόν πρέπει να ορίσουμε κάποια νέα μεγέθη τα οποία να μπορούν να περιγράψουν τις εσωτερικές δυνάμεις σε μία μικρή περιοχή γύρω από ένα σημείο. Όπως πάντα έτσι και τώρα θα ξεκινήσουμε την μελέτη μας μικροσκοπικά και θα την γενικεύσουμε με τις τελικές σχέσεις που θα προκύψουν σε μακροσκοπικό επίπεδο για ολόκληρα τα σώματα. Για ένα μηχανικό αυτό είναι σημαντικό ώστε ανάλογα με τα φορτία να δουλέψει αντίστροφα και να σχεδιάσει φορείς με τέτοιες διαστάσεις (διατομές κλπ) ώστε ο φορέας να μπορεί να παραλάβει με ασφάλεια τα επιβαλλόμενα φορτία ή/ και να μην αλλάζει το σχήμα του πέραν κάποιων ορίων. Συμπερασματικά το κεφάλαιο αυτό αποτελεί το πάντρεμα της Στατικής με την Αντοχή των Υλικών με εφαρμογή στην κάμψη των δοκών. 4
Διαγράμματα NQM και Κάμψη Μέχρι τώρα γνωρίσαμε 2 είδη διαγραμμάτων: 1. Τα διαγράμματα αξονικής φόρτισης [Ν], 2. Τα διαγράμματα τεμνουσών δυνάμεων [Q] και καμπτικών ροπών [Μ]. Αξονική καταπόνηση έχουμε όταν από τις έξι συνιστώσες που είδαμε πριν μόνο η Ν 0 είναι διάφορη του μηδενός. Καταπόνηση σε διάτμηση έχουμε όταν διάφορες του μηδενός είναι μόνο οι 0 και 0. Καταπόνηση σε καθαρή κάμψη έχουμε μόνο όταν οι 0 και 0 Τέλος με το τι συμβαίνει όταν η 0 θα ασχοληθούμε στο επόμενο κεφάλαιο καθώς αφορά την καταπόνηση σε στρέψη. 5
Υπενθύμιση εννοιών της Αντοχής Υλικών Γνωρίζουμε ότι η τάση είναι το πηλίκο της δύναμης προς την επιφάνεια. Συνεπώς αφού η δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος έτσι και η τάση είναι ένα διάνυσμα. Έστω λοιπόν σε μία τυχαία τομή στο Σχήμα α θεωρούμε Τ(n) το διάνυσμα της τάσης. Αν το αναλύσουμε στους άξονες τότε προκύπτουν άλλα δύο διανύσματα, το διάνυσμα της ορθής τάσης σ(n) και το διάνυσμα της διατμητικής τάσης τ(n) το οποίο είναι παράλληλο στο επίπεδο της τομής. Σχήμα α Αν θεωρήσουμε ένα στοιχειώδες κυβικό στοιχείο τότε η ανάλυση των διανυσμάτων σε κάθε του έδρα είναι αυτές που εμφανίζονται στο Σχήμα β. Σχήμα β 6
Παραδοχές καθαρής κάμψης Το μέτρο ελαστικότητας του υλικού της δοκού σε εφελκυσμό είναι ίσο με μέτρο ελαστικότητας σε θλίψη και το υλικό συμπεριφέρεται γραμμικά ελαστικά. Οι αναπτυσσόμενες τάσεις περιορίζονται στην ελαστική περιοχή όπου ισχύει ο νόμος του Hooke. Το επίπεδο φόρτισης είναι τέτοιο ώστε η δοκός να μην καταπονείται σε στρέψη ενώ τα φορτία επιβάλλονται ομαλά ώστε να μην αναπτύσσονται δυναμικά φαινόμενα. Κάθε διατομή επίπεδη και κάθετη στον άξονα της δοκού πριν την παραμόρφωση παραμένει επίπεδη και κάθετη και μετά από αυτήν (υπόθεση Bernoulli Navier). Η μεγαλύτερη διάσταση h της εγκάρσιας διατομής είναι πολύ μικρότερη σε σχέση με το μήκος της δοκού. 7
Καθαρή και γενική κάμψη Ας πάρουμε το διπλανό παράδειγμα με μία δοκό που καταπονείται από δύο δυνάμεις. Από το Α μέχρι το Γ και από το Δ μέχρι το Β η δοκός καταπονείται και από διάτμηση και από κάμψη. Στο διάστημα ΓΔ όμως η ροπή κάμψης είναι σταθερή ενώ η τέμνουσα (διατμητική) δύναμη είναι μηδέν. Στην περιοχή αυτή λοιπόν αναπτύσσονται μόνο καμπτικές ροπές οι οποίες οδηγούν σε κάμψη της δοκού. Τότε έχουμε καθαρή κάμψη. Αντιθέτως στη γενική κάμψη εμφανίζεται εκτός της καμπτικής ροπής και τέμνουσα δύναμη. 8
Ανάλυση κάμψης (1/2) Σε αυτό το παράδειγμα θεωρούμε τη δοκό ότι αποτελείται από παράλληλες ίνες που κάπτονται. Παρατηρούμε ότι επιβραχύνονται οι άνω ίνες και επιμηκύνονται οι κάτω ίνες. Για να γίνει αυτή η μετάβαση υπάρχει ένας άξονας (ουδέτερος άξονας) όπου δεν υφίσταται καμία μεταβολή μήκους. Επειδή κάθε ίνα κινείται αναφορικά με τις γειτονικές της, αναπτύσσεται και διάτμηση. Είναι προφανές ότι στη κάμψη δοκού έχουμε μέγιστες ορθές τάσεις στο άνω και κάτω επίπεδο και μέγιστες διατμητικές στο μέσο. 9
Ανάλυση κάμψης (2/2) Παρατηρούμε ότι η καμπτική ροπή είναι διάνυσμα που ορίζεται από το εξωτερικό γινόμενο της θέσης επί τη δύναμη. Την καμπτική ροπή τη συμβολίζουμε σαν διάνυσμα με 2 βέλη: κάθετο στο επίπεδο ή σαν καμπύλο διάνυσμα που περιέχεται στο επίπεδο φόρτισης της δοκού. 10
Κατανομή ορθών τάσεων (1/3) Θεωρούμε στοιχειώδες μήκος dx. Από τα όμοια τρίγωνα ΟΓΔ και ΔΜΝ R dx y l l y y (1) dx R R 11
Κατανομή ορθών τάσεων (2/3) Εναλλακτική απόδειξη με μήκη τόξων: Rd (2) EN R y d (3) (2),(3) l EN-ΓΔ= yd (4) l yd y Άρα x = = (5) dx Rd R Από το νόμο του Hooke και (5): E R y (6) E Η ορθή τάση που αναπτύσσεται σε τυχαίο σημείο της διατομής είναι ανάλογη της απόστασης του σημείου αυτού από την ουδέτερη γραμμή. 12
Κατανομή ορθών τάσεων (2/3) E Αν θέσουμε C Cy (7) R Για θετική ροπή κάμψης τότε οι μέγιστες θλιπτικές και εφελκυστικές τάσεις δίνονται από: E E E y, y και C R R y R y y u u max max max max max max u max u max 13
Θεμελιώδης νόμος κάμψης κάμψη στη διεύθυνση z Η δύναμη dn επενεργεί σε στοιχειώδη επιφάνεια df. Από τα προηγούμενα προκύπτει: E E dn df dn ydf N ydf R R F Άρα και αλγεβρικά αποδεικνύεται ότι N=0 μόνο στη ουδέτερη γραμμή ( y=0) που είναι και κεντροβαρική (συμπίπτει με τον άξονα z). (8) 14
Θεμελιώδης νόμος κάμψης Θεωρούμε ένα σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων (x,y,z). Η αρχή του συστήματος συμπίπτει με το κέντρο βάρους της διατομής. Ο άξονας x συμπίπτει με τον άξονα της δοκού ενώ οι άξονες z,y συμπίπτουν με τους κύριους άξονες της επιφάνειας της διατομής της δοκού. Έχουμε ορίσει γενικά τη ροπή ως: M=(δύναμη) (απόσταση) ή M=(τάση) ( df) (απόσταση) Η συνισταμένη των ορθών δυνάμεων ως προς x θα είναι μηδέν: N df 0 x Οι ροπές ως προς z που δείχνονται στο σχήμα θα είναι: E 2 E Mz y xdf y df Iz, όπου Iz ροπή αδρανείας (επιφανείας) ή ροπή 2ου βαθμού (9) R R F Αν έχουμε και ροπές ως προς y τότε θα είναι: E E M z df z df I, όπου I ροπή αδρανείας. 2 y x y y R R F (Βέβαια στην περίπτωση που εξετάζουμε M 0) y 15
Aνάλυση καμπτικών τάσεων Όταν μιλάμε για κατανομή καμπτικών τάσεων αναφερόμαστε στο προφίλ των τάσεων σε μία τυχαία διατομή της δοκού. Χαρακτηριστικά παραδείγματα αποτελούν αυτά στο σχήμα. Η πιο απλή κατανομή τάσεων είναι η γραμμική. Επιλύοντας ως προς στις εξισώσεις (8) προκύπτει ότι: [10α] (Αν έχουμε 0 τότε αντιστοίχως θα έχουμε: [10β]) 16
Τυπικές Ροπές Αδρανείας Επιφανείας r I z I y r 4 4 b y h I z bh hb, Iy 12 12 3 3 z h bh I z 36 3 17
Σχεδιασμός καμπτικών φορέων Από την εξ. 10 (α) πιο πάνω προκύπτει ότι η μέγιστη ορθή τάση λόγω της κάμψης δίνεται από τον τύπο: M y M I S η ροπή αδρανείας (επιφανείας) I μέτρο (αντίστασης) κάμψης y z max max I S max Το προφανές συμπέρασμα είναι ότι μια δοκός υπό κάμψη με μεγάλο S θα καταπονείται με μικρότερη σ max. Στο παράδειγμα δίπλα έχουμε μια ορθογώνια διατομή οπότε ισχύει: 1 3 I 12 bh 1 2 1 S 6bh 6 Ah y h max 2 Άρα μεταξύ δυο δοκών με την ίδια διατομή μεγαλύτερη αντίσταση στην κάμψη παρέχεται από τη δοκό με τo μεγαλύτερο ύψος h. 18
Aνάλυση καμπτικών τάσεων (γενικά) Όταν έχουμε κάμψη ως προς τον z άξονα τότε [10α] Όταν έχουμε κάμψη ως προς τον y άξονα τότε [10β] Όταν όμως το ζεύγος Μ δεν διευθύνεται κατά μήκος κάποιου κεντρικού άξονα τότε το διάνυσμα της Μ αναλύεται κι στις δύο συνιστώσες του, οπότε από την επαλληλία των κατανομών των τάσεων [10γ] 19
Εξίσωση ουδέτερου άξονα Ουδέτερος άξονας Δεδομένου ότι η εξίσωση, για την περίπτωση της γραμμικής κατανομής καμπτικών τάσεων είναι η κόκκινη ευθεία στο σχήμα ο ουδέτερος άξονας είναι η γραμμή που ενώνει όλα τα σημεία της δοκού με, 0 ή πιο απλά με =0. =0 Αν λοιπόν λύσουμε την, ως προς z για =0 τότε προκύπτει από 10(γ) ότι η εξίσωση του ουδέτερου άξονα η οποία είναι: z= [11] και διέρχεται από το κέντρο βάρους της διατομής. 20
Ακτίνα καμπυλότητας γωνία στροφής E Mz E 1 Mz Επίσης από την Mz Iz k (12) R I R R EI z z Από την (12) υπολογίζουμε την ακτίνα καμπυλότητας της ελαστικής γραμμής της δοκού. Η αντίστοιχη γωνία στροφής d μεταξύ δύο διατομών απόστασης ds υπολογίζεται ως εξής: 1 d Mz Mz Στοιχειώδες τόξο ds Rd d ds (13) R ds EI EI M z Με ολοκλήρωση προκύπτει: l (14) EI z z z 21
Τέλος Ενότητας 22