2.2 ιαίρεση Πολυωνύμων

ιαίρεση Πολυωνύμων 1 Να γίνουν οι διαιρέσεις: α) (x 5 - x + x - 9) : (x - 1) β) (x 4-7x + x - 15) : (x + 5) γ) (x - 4αx + α ) : (x - α) δ) [7x - (9α + 7α ) x + 9α ] : (x - α) Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων: α) (x - x + 5x - 6) : (x - ) β) (x 5 - x 4 + 6x + ) : (x + 1) γ) [6x - (α + 6α ) x + α ] : (x - α), α R δ) (x 6-4x 5 + x - ) : (x - 1) ε) (x 5 1 - λ x + λx - ) : (λx + 1), λ R* Να γίνουν οι διαιρέσεις και να γραφούν οι ταυτότητες των διαιρέσεων: i ( x + x 5x + 1) : ( x ) ii ( x x 5x 4) : ( x + 1) 4 iii ( x x 4x ) : ( x + ) 5 4 iv ( x x x + ) : ( x ) v ( x x + x 1) : ( x + 1) 6 6 vi ( x α ): ( x α) x 5 : x 1 vii 79

4 Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης 4 α) ( x + x + x + x + 7) : ( x + 1) 4 β) ( x x + 5x 4x + 6) : ( x x + ) 5 4 x + x + x + x + 4x + : x + x + 1 γ) 5 Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης σε κάθε περίπτωση ί) (χ +6χ -17χ+0):(χ+) ii) (x 4-81) : (χ-) iii) (4x 5 +0x -16x -15): (6χ +5) iv) (x 4 +4x -5x +x-):(x +x-) ν) χ 4 : (χ-1) vi) (x 5 +7) : (χ -1) 6 Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων: i) (-x +75x-50): (χ+10) ii) (x +51): (χ+8) iii) (x 5 +l) : (χ-1) iv) -x 4 : (χ-) ν) (4χ +16χ -χ-15): (χ + 1 ) 7 Να κάνετε τις διαιρέσεις: i) (χ -αχ-8α ): (χ-α) ii) (χ +αχ -α χ-α ): (χ+α) 8 Να βρείτε το πολυώνυμο f (x) το οποίο όταν διαιρεθεί με το x + 1, δίνει πηλίκο x - 1 και υπόλοιπο x + 5 1 1 9 Δίνονται τα πολυώνυμα: P x x x x = + +, Q ( x) = x + 1, R x = x + x + και υ( x) = x α) Να αποδείξετε ότι: P( x) = Q( x) R( x) + υ( x) β) Να εξετάσετε αν η παραπάνω ισότητα είναι ταυτότητα της διαίρεσης του P ( x) με το Q ( x) γ) Να εξετάσετε αν η παραπάνω ισότητα είναι ταυτότητα της διαίρεσης του διαίρεσης του P ( x) με το Q( x) P x με το Q x δ) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του διαίρεσης του 10 Θεωρούμε το πολυώνυμο 4 P x = x + 5x + 4x + x+1 i) Να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( x ) με το x 1 με το σχήμα Horner ii) Να αποδείξετε ότι το P( x) γράφεται με τη μορφή { 5 4 } P x = x+ x+ x+ x+ 1 (Ι) 80

iii) Με τη βοήθεια της μορφής (Ι) να βρείτε το Π(1) Τι παριστάνει η τιμή αυτή; Να τη συγκρίνετε με το αποτέλεσμα του ερωτήματος (i) iv) Έχοντας υπόψη το πηλίκο που βρήκατε στο (i), να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα: α) Τι παριστάνει η τιμή του x + 5 για x = 1; β) Τι παριστάνει η τιμή της παράστασης ( x + 5) x + 4 για x = 1; γ) Τι παριστάνει η τιμή της παράστασης { x + 5 x + 4 x + } για x = 1; 11 Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης (18χ80-6χ 50 +4χ 0 -): (χ+1) 1 Να βρείτε τις τιμές του k, για τις οποίες το χ-1 είναι παράγοντας του g(x) = k x 4 + kx -4 1 Αν Ρ(χ) = -χ - χ - χ+409, να βρείτε το Ρ(-11) 14 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ (x) = λ x + (λ - λ + 1) x - (4λ + 1) Δείξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ (x) : (x + ) είναι ανεξάρτητο του λ 15 Να βρείτε τα υπόλοιπα των παρακάτω διαιρέσεων χωρίς να κάνετε τις διαιρέσεις: 58 1 5 4x + 5x 6x 17 : x + 1 i [ ] 4 ii ( x x + 4x 1) : ( x ) iii ( x + 5x 10x + 100) : ( x + 10) 16 Να βρεθούν τα α, β ώστε το πολυώνυμο P ( x ) x 4 ( ) x ( 5 ) x α α + + β + ( α + β) x + 9 διαιρούμενο με το x 5x + 6, να αφήνει υπόλοιπο =, 17 Να βρεθούν οι τιμές του α για τις οποίες το P ( x ) x ( 1 ) x 5x + α + α διαιρείται δια x +1 δίνει υπόλοιπο 15 18 Δίνεται το πολυώνυμο: P ( x ) x 004 x 00 x 000 = + + x α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P ( x) με το x + 1 β) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P ( x) με το x 1 =, όταν 19 Να βρεθεί ο k ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης P( x) : Q ( x ) να είναι το 1 όπου P( x) = x kx + ( k ) x+ k και Q( x) = x k 0 Αν τα υπόλοιπα των διαιρέσεων των πολυωνύμων: P x = a x 4β x 1 και Q x = β x + x+ a 4 + με το x + 1 είναι ίσα να βρείτε τα α και β 81

1 Το πολυώνυμο P (x) διαιρούμενο με x - αφήνει υπόλοιπο 10 και διαιρούμενο με x + αφήνει υπόλοιπο 5 Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ (x) με το (x - ) (x + ) ( x) Αν το πολυώνυμο P δίνει υπόλοιπο στη διαίρεσή του με x +, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Q x = P 5x + + x + x + διαιρείται με x + 1 x αφήνει υπόλοιπο 5 Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Το πολυώνυμο 4 Αν το πολυώνυμο P x διαιρούμενο με το x + 1 αφήνει υπόλοιπο 7 και διαιρούμενο με το P x με το ( x+ 1) ( x ) P x στη διαίρεσή του με τα διώνυμα x + 1 και x δίνει αντίστοιχα υπόλοιπα 4 και 164, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης P( x) :( x x ) 5 Το πολυώνυμο P x διαιρείται με τα πολυώνυμα x 1 και x και δίνει υπόλοιπα και αντίστοιχα Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης: P( x) :( x x ) + 6 Το πολυώνυμο αφήνει υπόλοιπο P x διαιρούμενο με x + 1 αφήνει υπόλοιπο και διαιρούμενο με Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P x με το x + x 1 1 x 7 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P( x ) με το 1 Q x με το x + 1 είναι να βρείτε το 8 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου x + όπου P x = x + Q x + x+ P x με το x + είναι να βρείτε το Q x = P 9x+ 7 + x 10 (1) με το x + 1 9 Έστω τα πολυώνυμα και είναι 5 και ισχύειq Q x να δείξετε ότι το 1 P( x ) ( + 5) = P( x+ 5) + x 14 x είναι και παράγοντας του Q x Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q x P x με το x 0 Να αποδείξετε ότι αν το πολυώνυμο Ρ (x) έχει παράγοντα το x - 5, τότε το πολυώνυμο P (x - ) έχει παράγοντα το x - 4 8

1 Αν το πολυώνυμο P(x+ ) διαιρείται με το 4x + Αν το πολυώνυμο ( x ) Q( x) P( x 6) P x διαιρείται με το x, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο P διαιρείται με x, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο: = διαιρείται με x 4 P( x ) Έστω τα πολυώνυμα και Q x Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του είναι και ισχύει: Q( x) = P( x+ 4) + 5x +8x να δείξετε ότι το x + είναι παράγοντας του Q( x ) P x με το x 1 4 Να αποδείξετε ότι τα πολυώνυμα της μορφής χ-ρ που δίνονται σε κάθε περί πτώση, είναι παράγοντες του Ρ(χ) ι) Ρ(χ) = χ 4-5χ + 144, χ + ii) Ρ(χ) = 16χ 4-8χ + 9χ +14χ-4, χ - 1 4 iii) P(x) = χ -χ +, χ 1-5 Στα παρακάτω ζεύγη πολυωνύμων να εξετάσετε αν τα 4 i Δ ( x) = x 11x + 18x 4x 8, δ ( x) = x ii 4 Δ ( x) = x 8x 6x + 16x, δ ( x) = x 1 iii Δ ( x) = x + 1, δ ( x ) = x + 1 iv Δ ( x) = x x + x + 1, δ ( x) = x + 1 δ είναι παράγοντες των Δ x : 6 Αν το πολυώνυμο f (x) = x + αx + βx + 4 διαιρείται ακριβώς με το x - και εάν επιπλέον f (1) = 8, να προσδιοριστούν τα α, β 7 Να βρείτε το α ώστε το πολυώνυμο P ( x ) x x + α 0x + 6 8 Να βρεθούν τα κ, λ ώστε το πολυώνυμο x και x + 1 = να έχει παράγοντα το x x 4 + κx + λx + x + 4 να έχει παράγοντα τα 9 Να οριστεί ο * λ R ώστε το πολυώνυμο P( x) = x 5x 6 + λ να διαιρείται δια του λ x 1 8

40 Να βρεθεί το λ ώστε το πολυώνυμο P ( x ) 4x 4 x λ + i Να έχει παράγοντα το x 1 ii Το υπόλοιπο της διαίρεσης του ( x) 41 Να δείξετε ότι το πολυώνυμο P = : P με το x + 1 να είναι x = x αβx + α + β έχει παράγοντα το x + α + β 4 Δίνεται το πολυώνυμο: P x x x = + + α x το οποίο έχει παράγοντα το x 1 α) Να βρείτε την τιμή του α β) Να κάνετε γινόμενο το P( x) γ) Να βρείτε τις τιμές του x, ώστε P ( x) < 0 8 4 Το πολυώνυμο: P x x 4 1 x x = λ + + λ x + π + έχει παράγοντα το x + α) Να βρείτε την τιμή του λ και να κάνετε γινόμενο το P ( x) β) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του P ( x) με το x + 1 : i) εκτελώντας τη διαίρεση, ii) με το σχήμα Horner 44 Δίνονται τα πολυώνυμα:, φ x = P x 1 ax β Να βρεθούν οι α, β ώστε το παράγοντα το x + 1 P x = x + ax + β x 6 α, β, Q( x) = P( x+ 1) + ax+ β και Q x να έχει παράγοντα το 1 x και το ( x) φ να έχει 45 Να βρείτε το λ ώστε το πολυώνυμο: 7 7 P x x x να έχει παράγοντα το x = + λ λ + λ+ 1 46 Αν ν είναι ένας άρτιος θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι το x + y είναι παράγοντας του χ ν - y v 47 Να αποδείξετε ότι τα παρακάτω πολυώνυμα δεν έχουν παράγοντα της μορφής χ-ρ i) Ρ(χ) = 4χ 4 +7χ +1 ii) Q(x) = -5x 6 -x -4 48 Να δικαιολογήσετε ότι τα παρακάτω πολυώνυμα δεν έχουν παράγοντα της μορφής ρ 8 6 4 α x + 5x + 4x + 7 4 β 4x x 1 x : 84

49 Να βρείτε τα κ, λ ώστε το πολυώνυμο P ( x ) = x x + κx + λ δ ( x ) = ( x 4)( x + ) Να βρείτε επίσης το πηλίκο της διαίρεσης ( x) : ( x) να διαιρείται ακριβώς με το P δ 50 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ (x) = x + αx - 1x + β Αν το Ρ (x) διαιρείται με το x - x - 6, να προσδιορίσετε τα α, β R 51 Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί κ, λ ώστε το πολυώνυμο P (x) = x - κx + (λ - 1) x + 5 να έχει για παράγοντα το (x - 1) (x + ) 4 5 Δείξετε ότι το x 4x + x + x + 6 διαιρείται δια x 5x + 6 και να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης 5 Με τη βοήθεια του σχήματος Horner μόνο, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Ρ(χ) = χ 4-6χ + 5χ -χ+ διαιρείται με το (χ-1)(χ-) και να βρείτε το πηλίκο 54 Να προσδιοριστούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε το πολυώνυμο P (x) = x - x - ( + α) x + β + 10 να έχει για παράγοντα το (x - ) 55 Να βρεθούν τα α, β ώστε το πολυώνυμο P ( x ) x 4 x x + α β + α 5x + 4 με το ( x 1) = να διαιρείται 56 Να οριστούν τα α, β, ( x 1) γ R ώστε το πολυώνυμο P( x) = x 4 + αx + βx + γ να διαιρείται με β 57 Δίνεται το πολυώνυμο: P x = x x + αx + Αν το P x διαιρείται με ( x 1) : α) να βρείτε τα α και β, β) να κάνετε γινόμενο το P x + και μετά να οριστούν τα α και β ώστε η διαίρεση να είναι τέλεια 58 Να γίνει η διαίρεση ( x 4 x 7x x ) : ( x + α + β x + 5 ) 59 Να βρείτε τα α και β ώστε το πολυώνυμο ( x ) α x + x + 1 P = x 4 + αx + βx + x + να διαιρείται με το 60 Αν το πολυώνυμο P x = x + ax a+ β έχει παράγοντες του πολυωνύμου βρείτε τα α και β x x να 85

61 Δίνεται το πολυώνυμο: P ( x ) ( x 004 ) ( x 1 000 = + ) 1 Να αποδείξετε ότι οι παράγοντες του πολυωνύμου Q( x) x x + P( x) = είναι και παράγοντες του 6 Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Ρ(χ) = (χ + 1)ν - χ ν - χ - 1, ν 0 έχει παρά γοντες όλους τους παράγοντες του x + x + x 6 Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) υπόλοιπο της διαίρεσης του P( x) με τα x και x + P με το x 9 είναι x + Να βρείτε το 64 Πολυώνυμο διαιρείται με Q x = x 4x+ και δίνει υπόλοιπο ( x) x 5 βρεθούν τα υπόλοιπα των διαιρέσεων: P( x) :( x 1) και P( x) :( x ) 65 Να βρείτε τα α, β για τα οποία το πολυώνυμο x δίνει υπόλοιπο 10x + 5 5 66 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( x ) με το x + 1 67 Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) βρείτε το υπόλοιπο: α) της διαίρεσης του P ( x) με το x +1, β) της διαίρεσης του P ( x) με το x υ = Να x + x + ax+ β διαιρούμενο με το P x με το x x 4 είναι x + 5, να P με το x x είναι x +, να 68 Να βρείτε τα α, β 4 για τα οποία το πολυώνυμο x x + ax+ β διαιρούμενο με το x 1 δίνει υπόλοιπο x + 69 Να βρείτε τα α, β για τα οποία το πολυώνυμο 5 P( x) = x + x + ax+ β διαιρούμενο με το x 5 δίνει υπόλοιπο 6x + 11 70 Δίνεται πολυώνυμο P ( x) με: P ( α) = β, P ( β) = γ και ( γ) = α Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο: Q( x) P( P( P( x) )) x f ( x) = ( x α)( x β)( x γ) P = έχει παράγοντα το πολυώνυμο: 86

71 Έστω τα πολυώνυμα και P( x ) Q( x ) με Q ( x ) = P P ( x ) Αν ο α είναι ρίζα του P( x) να αποδείξετε ότι ο α είναι ρίζα και του Q( x) x x, 7 Με τη βοήθεια του σχήματος Horner να βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης v v 1 v vx x x x 1 : x 1 7 Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ ώστε αν το πολυώνυμο Ρ (x) = x 4 + 1 διαιρεθεί με το πολυώνυμο x + κx + λ να αφήνει υπόλοιπο 0 P( x) 74 Έστω το πολυώνυμο, βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου με δύο, το οποίο ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες: i Το P( x) διαιρείται με x + 1 και δίνει υπόλοιπο ii ( x + 1) P( x) + x P( x ) = 1 Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου με x x 75 Ένα πολυώνυμο P ( x ) έχει την ιδιότητα: xp ( x + 1 ) + ( x + ) P ( x + ) = x + 10 α) Να βρείτε τα P( 1) και P() β) Να προσδιορίσετε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P ( x) με το ( x )( x + 1) 76 Το πολυώνυμο P (x) διαιρούμενο με x + αφήνει υπόλοιπο και διαιρούμενο με x - 4x + αφήνει υπόλοιπο x + 7 Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης: Ρ (x) : (x + ) (x - 4x + ) 77 Αν ο ν είναι περιττός θετικός ακέραιος, τότε το χ+1 είναι παράγοντας του χν +1 Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης (χ ν +1) : (χ+1) 78 Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες το πολυώνυμο P x = x + ημa+ xημa+ xημa 1 διαιρείται ακριβώς με το x 1 4 87

79 Το πολυώνυμο 1999 5 1997 1995 P x = a x a x + a x+ a+ 1 όπου α, έχει παράγοντα το x Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P x με το x + a 80 Αν με 4 P x = x + συνω ημω x συν ω x + ημωx ω, να βρεθεί για ποιες τιμές του θ το πολυώνυμο P x έχει παράγοντα το x + 1 81 Να βρεθεί ο λ ώστε το πολυώνυμο 8 Για ποιες τιμές του P x = x + λx+ 1 να διαιρείται με x + λ * v v v N το πολυώνυμο P( x) = x 1x + 7 διαιρείται δια x ; 8 Δίνεται το πολυώνυμο P( x ) με την ιδιότητα P( x) = P( x) για κάθε x i) Να αποδείξετε ότι το P x έχει ρίζα το 0 ii) Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( x ) με το x 5 είναι, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( x) με το 84 Αν το πολυώνυμο: δειχθεί ότι: 4μ + 17v =0 x 5x = + μ + διαιρείται με το Q( x) ( x λ ) P x x x v =, μ, ν, λ, να 85 Αν το πολυώνυμο P (x) = αxν+1 + βx ν + 1 έχει παράγοντα το (x - 1) αποδείξτε ότι το πολυώνυμο Q (x) = (ν + 1) αx ν + νβx ν-1 έχει παράγοντα το x - 1 86 Αν το πολυώνυμο P (x) = (ν + 1) xν - νx ν+1 + α διαιρείται με το x - 1, τότε αποδείξτε ότι διαιρείται και με το (x - 1) 87 Να δειχθεί ότι το P ( x ) v x v+ 1 ( v 1 ) x v = + + 1 πηλίκο της διαίρεσης v v 1 (Υπόδειξη: Παρατηρήστε ότι P( x) = ( x 1) ( vx x 1) διαιρείται με το ( x 1) και να βρεθεί το ) 88 Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο 4 P x = x 5x + 6x + 4x 8 έχει τριπλή ρίζα το 89 Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε το πολυώνυμο: 4 P x = x + a+ β x + ax x+, να διαιρείται με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη δύναμη του x 1 88

90 Να υπολογίσετε τους α, β για τους οποίους το Ρ(χ) = αχν+1 + βχ ν + 1 έχει παράγοντα το (χ-1) 91 Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο ( x) = ( x + αx + α) ( α 1) x να βρείτε το πηλίκο π x Ρ διαιρείται με x + x + 1 και 9 Έστω P( x) x 6 x x = + x + και R( x) = x + x Να βρεθεί: i Το υπόλοιπο και το πηλίκο της διαίρεσης του P ( x) με το R ( x) P( x) x 6 1 ii Να απλοποιηθεί η παράσταση R( x) α R α R( α) 0 και ( α) > 0 iii Να δειχθεί ότι, για κάθε, έχουμε Ρ 9 ί) Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(χ) με το αχ+β, α 0 β είναι υ = Ρ α ii) Να βρείτε τις συνθήκες, για τις οποίες το πολυώνυμο αχ +β διαιρείται με το αχ+β 94 Να αποδείξετε ότι, αν το ν είναι παράγοντας του μ, τότε και το χν -α ν είναι παράγοντας του χ μ -α μ, (μ, ν θετικοί ακέραιοι) 95 Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο ( 15 1 6 1) 7 6 5 4 1 P x = x x + x x + x x + x x 4 διαιρείται ακριβώς με το πολυώνυμο Q x = x x + 15x 1x + 6x x+ 1 6 5 4 96 Βρείτε έναν τρόπο να δικαιολογήσετε ότι το P ( x ) x x + 1 x + x + 1 (χωρίς να κάνετε τη διαίρεση) 97 Να οριστούν τα μ, R ν ώστε το P ( x ) x 4 + 1 98 Αν το πολυώνυμο: P x = αx + βx + γx + με αποδείξετε ότι διαιρείται και με το γx + δ δ = δε διαιρείται ακριβώς με το = να διαιρείται με ( μx + ν) x αβγδ 0 διαιρείται με αx + β, να β 99 Έστω το πολυώνυμο P x = x + αx + α, διαιρεί το P Ρ x [ ] β R Να βρεθούν τα α ώστε το P ( x) να 89

P( x) 100 Να βρείτε πολυώνυμο ου βαθμού, με σταθερό όρο το 1 και συντελεστή του x ίσο με το μηδέν, το οποίο, αν διαιρεθεί με το x 1 να έχει πηλίκο x + 4 101 Να δείξετε ότι αν οι διαιρέσεις f ( x ) : g ( x ) και ( x) : g( x) g ( x) διαιρεί τη διαφορά f ( x) ρ( x) ρ έχουν το ίδιο υπόλοιπο, τότε το 10 Το πολυώνυμο P( x ) έχει τις ιδιότητες P ( 0 ) 0 και P( x) P( 1 x) αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( x ) με το x x μηδενικού βαθμού = για κάθε x Να + είναι ένα πολυώνυμο 10 Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο: P( x) x k x 1 x Q( x) x x 1 k, λμ, = + + λ+ μ + = + + διαιρείται με το πολυώνυμο: [ ] v 1 : ( x ) 104 Να δείξετε ότι η διαίρεση ( x v ) + ( x 1 ) πηλίκο της διαίρεσης είναι τέλεια και να βρείτε το 1 v+ * 105 Έστω το πολυώνυμο P x = 1+ x + x + + x, N, και έστω υ x το υπόλοιπο της διαίρεσης του P ( x) με x ( x * 1) Να δειχθεί ότι για κάθε v N, η εξίσωση υ( x ) = 0 έχει ρίζες ρητές 106 Να βρεθεί ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης P( x) :( x 6x 8) ( 4) P P υ ( x) = x+ P P( 4) f ( x) 5 α + είναι: 107 Να οριστεί το πολυώνυμο με ρητούς συντελεστές 4ου βαθμού έτσι, ώστε, ισχύει Ρ 0 + Ρ 1 + + Ρ ν = ν + 1 α Ν, να 90

108 Να βρεθεί το πολυώνυμο 5ου βαθμού ώστε το ( x) 1 P ( x) + 1 να διαιρείται με ( x +1) 109 Να βρεθεί το πολυώνυμο 6ου βαθμού, έτσι ώστε το ( x) 1 4 το P ( x) + να διαιρείται με x P να διαιρείται με ( x 1) και το P + να διαιρείται με ( x 1), ενώ P( x) P x 110 Να ορίσετε πολυώνυμο πρώτου βαθμού, ώστε: i) το να διαιρείται ακριβώς με το P x, ii) το P x να διαιρείται ακριβώς με το P( x ) 111 Αν το Ρ( x) = x + αx + β έχει παράγοντα το ( x ρ) α β, να δείξετε ότι + = 0 11 Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ( x ) Ρ( α) Ρ( α) Ρ( α) Ρ( α) α x + Ρ δια x α ισούται με: 11 Να λύσετε την εξίσωση: x ( 4 ) x α + ( 4 α) x α = 0 ρίζες ανεξάρτητες του αριθμού α + αν γνωρίζουμε ότι έχει και 91