2 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ, 9 Πότε μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της ; Απάντηση : Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν και μόνο αν υπάρχει το και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται με Δηλαδή: Σχόλια : α Αν, τώρα, στην ισότητα h h h h Πολλές φορές το συμβολίζεται με Δ, ενώ το συμβολίζεται με Δ, οπότε ο παραπάνω τύπος γράφεται: θέσουμε h, τότε έχουμε h Δ Δ Δ Δ Η τελευταία ισότητα οδήγησε το Libniz να συμβολίσει την παράγωγο στο με d d Ο συμβολισμός είναι μεταγενέστερος και οφείλεται στον Lagrang β Αν το είναι εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της, τότε: Η είναι παραγωγίσιμη στο, αν και μόνο αν υπάρχουν στο R τα όρια :, και είναι ίσα d ή d ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 9 Α Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη της C στο σημείο της A, Β Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο, να γράψετε την εξίσωση της o εφαπτομένης της C στο σημείο της A, Απάντηση : Α Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν υπάρχει το και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ Β Η εξίσωση της εφαπτομένης ε της C στο σημείο της A, είναι: y Σχόλια : Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό: Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της C στο σημείο C μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης, στο σημείο A, είναι η παράγωγος της στο Δηλαδή, είναι λ, οπότε η εξίσωση της ε φ α π τ ο μ έ ν η ς ε είναι : y Την κλίση της εφαπτομένης ε στο A, θα τη λέμε και κλίση της C στο Α ή κλίση της στο Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, τη χρονική στιγμή t, είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης St τη χρονική στιγμή t Δηλαδή, είναι υ t S t Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό,, 7 Β, Β, 7 Σ-Λ με εξήγηση Απόδειξη : Για έχουμε, οπότε θα είναι : [ ], αφού η είναι παραγωγίσιμη στο Επομένως,, δηλαδή η είναι συνεχής στο Σχόλιο : Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει Για παράδειγμα : Έστω η συνάρτηση Η είναι συνεχής στο, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη σ αυτό, αφού :, ενώ 7 Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια συνάρτηση μπορεί να είναι συνεχής σ ένα σημείο χωρίς να είναι παραγωγίσιμη σ αυτό Αν, όμως, η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε θα είναι και συνεχής στο, Ισχύει όμως ότι : Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σ ένα σημείο, τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ Μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε σημείο υπάρχει το όριο του πεδίου ορισμού της, αν, και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο αυτό συμβολίζεται με και ονομάζεται παράγωγος της στο Αν ' ' Δηλ = είναι σημείο του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης και η δίνεται αριστερά του και δεξιά του με διαφορετικό τύπο σε κλάδους, τότε είναι παραγωγίσιμη στο, αν και μόνο αν, τα πλευρικά όρια : = =α όπου α πραγματικός αριθμός ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΟ ' Μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε σημείο του πεδίου ορισμού της, αν h υπάρχει το όριο, και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο h h αυτό συμβολίζεται με και ονομάζεται παράγωγος της στο Δηλ = ' ' h h h ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΤΙ ΕΚΦΡΑΖΕΙ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Το ρυθμό μεταβολής του y= ως προς, όταν Το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της γραφικής παράστασης της, στο σημεία επαφής Α δηλαδή, Την ταχύτητα t ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του δίνεται από τη συνάρτηση t, τη χρονική στιγμή t Είναι t Την επιτάχυνση t ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα με ταχύτητα t, τη χρονική στιγμή t Είναι t t t ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν δεν είναι συνεχής στο τότε δεν είναι παραγωγίσιμη σε αυτό ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Παράγωγος στο συνάρτησης απλού τύπου ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρείτε την παράγωγο της στο σημείο Λύση : άρα D Έχουμε : Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει Να βρείτε αν υπάρχει την παράγωγο της στο σημείο Λύση : και D [, Έχουμε : Το παραπάνω όριο υπάρχει, αλλά δεν είναι πραγματικός αριθμός, άρα η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Παράγωγος και συνέχεια παράγωγος στο συνάρτησης πολλαπλού τύπου Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο τότε είναι και συνεχής στο Αν όμως δεν είναι συνεχής στο τότε δεν είναι και παραγωγίσιμη ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να εξετάσετε αν η συνάρτηση σημείο = Λύση : Θα εξετάσω πρώτα αν η είναι συνεχής στο, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο, Άρα η δεν είναι συνεχής στο και άρα η δεν είναι και παραγωγίσιμη στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη, στο σημείο Λύση : Θα εξετάσω πρώτα αν η είναι συνεχής στο Άρα η είναι συνεχής στο Θα εξετάσω τώρα αν είναι και παραγωγίσιμη στο Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο με, 5 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη, στο σημείο Λύση : Θα εξετάσω πρώτα αν η είναι συνεχής στο Άρα η είναι συνεχής στο Θα εξετάσω τώρα αν είναι και παραγωγίσιμη στο έ : u u Ό : u u ό : u Άρα η δεν είναι παραγωγίσιμη στο Παρατηρώ δηλαδή ότι μια συνάρτηση μπορεί να είναι συνεχής σε ένα σημείο αλλά να μην είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό 6 Αν η συνάρτηση g είναι συνεχής στο και g να βρεθεί η τιμή Λύση : Η g είναι συνεχής στο άρα g g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ g g g Επίσης : g g Άρα η είναι παραγωγίσιμη στο με ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Παράγωγος στο συνάρτησης με απόλυτη τιμή Αν έχουμε συνάρτηση που περιέχει απόλυτες τιμές και θέλουμε να βρούμε την παράγωγο σε ένα σημείο, βρίσκουμε τα πρόσημα των παραστάσεων που περιέχονται στην απόλυτη τιμή κατασκευάζοντας πίνακα προσήμων και με βάση τα πρόσημα βγάζουμε τις απόλυτες τιμές Αν χρειαστεί γράφουμε τη συνάρτηση με πολλαπλό τύπο και κάνουμε χρήση πλευρικών ορίων τόσο για την συνέχεια όσο και για την παραγωγισιμότητα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο σημείο Λύση : Έχω : - - +, Άρα η γίνεται :, Θα εξετάσω πρώτα αν η είναι συνεχής στο,, Άρα η είναι συνεχής στο Θα εξετάσω τώρα αν είναι και παραγωγίσιμη στο Άρα η δεν είναι παραγωγίσιμη στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 65

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Καθορισμός παραμέτρων ώστε η συνάρτηση να είναι παραγωγίσιμη στο Βρίσκουμε αρχικά τη σχέση μεταξύ των παραμέτρων πχ α,β ώστε η να είναι συνεχής στο Έπειτα βρίσκουμε τα όρια l, l και ζητάμε να ισχύει l Από τις σχέσεις και l προσδιορίζουμε τις παραμέτρους α,β ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 8 Να βρεθούν οι τιμές των παραμέτρων α και β ώστε η συνάρτηση, να είναι παραγωγίσιμη στο σημείο, Λύση : Αφού η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, θα είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Δηλαδή ισχύει : Άρα 5 5 Αφού η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει : 5 5 5 Από και και λόγο της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 66

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 : Προσδιορισμός από ανισοτική σχέση κριτήριο παρεμβολής Αρχικά θέτουμε όπου το και βρίσκουμε την τιμή Έπειτα μορφοποιούμε την ανισότητα ώστε να έχουμε στη μέση κριτήριο παρεμβολής βρίσκουμε το και τέλος εφαρμόζοντας το ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9 Αν για κάθε ισχύει : 5 να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο Λύση : Για η σχέση γίνεται : 5 Άρα Η παράγωγος στη θέση είναι : Άρα έχω : 5 5 7 6 5 7 6 Για : 5 7 7 Είναι 9 6 6 9 άρα από κριτήριο παρεμβολής έχω : 9 5 7 6 Για : 5 7 7 Είναι 9 6 6 9 άρα από κριτήριο παρεμβολής έχω : 9 Άρα από και ισχύει : 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 67

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : Προσδιορισμός ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : από γνωστό όριο Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι : i Να βρείτε το ii Νδο η είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε το Λύση : i Η είναι συνεχής στο άρα : Θέτω g, άρα g Έχω : g g g Άρα : [ g ], άρα από ii Για να δείξω ότι η είναι παρ/μη στο, αρκεί να δείξω ότι το όριο υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός g Έχω : g g g, άρα η είναι παρ/μη στο και Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι : Αν η είναι παραγωγίσιμη στο να βρείτε το Λύση : Η είναι παραγωγίσιμη στο άρα είναι και συνεχής στο δηλαδή : Θέτω g με g Λύνοντας ως προς έχω : g g άρα : g άρα από : Επίσης : η είναι παραγωγίσιμη στο άρα : Το όριο που δίνεται γράφεται : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 68

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Δίνεται συνάρτηση : η οποία είναι συνεχής στο 5 και 8 Να δείξετε ότι 5 και ότι η είναι παραγωγίσιμη στο 5 με 5 Λύση : έ u u u u Έχουμε : 8 8 8 u u 5 u u 5 u 5 5 u u 8 u 5 u 5 u 5 u 5 5 5 Έστω : g, 5 και g Είναι : 5 g 5 5 Επειδή η είναι συνεχής στο 5 5 5 g Έτσι 5 5 5, άρα 5 5 5 5 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : Ισοδύναμος ορισμός για το Μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε σημείο h υπάρχει το όριο, και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο αυτό h h συμβολίζεται με και ονομάζεται παράγωγος της στο Δηλ = ' ' h h h ' του πεδίου ορισμού της, αν ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Άσκηση σελ Β ομάδας σχολικού βιβλίου κατεύθυνσης Αν για μια συνάρτηση ισχύει h h h h, για κάθε h, να αποδείξετε ότι : i ii η είναι παραγωγίσιμη στο και ότι Λύση : i Για να βρω το, στη σχέση h h h h, θα βάλω όπου h και έχω : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 69

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7 ii Για να είναι η παραγωγίσιμη στο αρκεί το όριο h h h να υπάρχει και να είναι πραγματικός αριθμός Έχω h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h Άρα η παρ/μη στο με h h h Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο να δείξετε ότι h h h h Λύση : H είναι παραγωγίσιμη στο άρα h h h Έχουμε : h h h h h h h h * h h h h h h * είναι u h u h έ u h h h h u u u u u u ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 5 Δίνεται η συνάρτηση : παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει : για κάθε Να βρείτε : i το και ii το Λύση : i Στη σχέση θέτω για και έχω : ii Η είναι παραγωγίσιμη στο άρα Όμως : καθώς η παράσταση είναι τριώνυμο ως προς με άρα για κάθε Έτσι έχουμε : ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8 : Παράγωγος και συναρτησιακές σχέσεις

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7 καθώς η είναι παραγωγίσιμη στο άρα είναι και συνεχής στο, οπότε 6 Δίνεται η συνάρτηση : παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει : για κάθε Να βρείτε : i το και ii το Λύση : i Στη σχέση θέτω για και έχω : ii Είναι Διαιρώ τη σχέση : με και έχουμε : άρα παίρνοντας όριο έχουμε : 7 Δίνεται η συνάρτηση :, για την οποία ισχύει : για κάθε Να δείξετε ότι : i η είναι συνεχής στο και ii ότι Λύση : i Για κάθε έχουμε Είναι : για κάθε Δηλ Έτσι : από κριτήριο παρεμβολής : Επίσης :, άρα, άρα η είναι συνεχής στο ii καθώς

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με και για κάθε, y είναι y y με, να δείξετε ότι για κάθε Λύση : Για y είναι : καθώς h h h Επίσης : h h h h h h h h h ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 9 Αν, να βρείτε το ' Αν να εξετάσετε αν η είναι παραγωγίσιμη στο = Να εξετάσετε αν η συνάρτηση, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο σημείο Υποδ για να βρούμε την παράγωγο σε ένα σημείο μιας συνάρτησης που περιέχει απόλυτα, πρώτα βγάζουμε τα απόλυτα και η συνάρτηση γίνεται πολλαπλού τύπου Να εξετάσετε αν η συνάρτηση, είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο σημείο, Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη 5 5, στο σημείο Υποδ Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο τότε είναι και συνεχής στο Αν όμως δεν είναι συνεχής στο τότε δεν είναι και παραγωγίσιμη Να εξετάσετε αν η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο σημείο,, είναι συνεχής και 5 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο σημείο,, είναι συνεχής και 6 Να βρείτε τα α,β ώστε η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο σημείο,, να είναι ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο =7 και 7=, να βρείτε το 7 8 Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 5 g είναι παραγωγίσιμη στο 9 Αν μια συνάρτηση είναι είναι συνεχής στο και 7 i ii 7 να αποδείξετε : 7 Αν μια συνάρτηση είναι είναι συνεχής και i Να βρείτε το ii Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε το iii Να υπολογίσετε το Αν μια συνάρτηση είναι είναι συνεχής και i Να βρείτε το ii Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε το 5 iii Να υπολογίσετε το Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :,για την οποία ισχύει 5 i Να δείξετε ότι = ii Να δείξετε ότι = λ iii Να βρείτε το λ IR έτσι, ώστε: Πανελλήνιες 5 Αν για μια συνάρτηση : ισχύει : για κάθε Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε το Δίνεται συνάρτηση :, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο Αν 5 και να υπολογίσετε το όριο : 5 5 Αν η συνάρτηση : είναι συνεχής στο και 7 i να αποδείξετε ότι ii να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο με ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ iii να υπολογίσετε το όριο : 9 6 Δίνεται συνάρτηση :, για την οποία ισχύει 5 Να υπολογίσετε τα όρια : i ii 7 Δίνεται συνάρτηση :, για την οποία ισχύει Να υπολογίσετε τα όρια : i 7 ii 8 Δίνεται η συνάρτηση : παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει : για κάθε Να βρείτε : i το και ii το 9 Δίνεται η συνάρτηση : παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει : 8 για κάθε Να βρείτε : i το και ii το Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι : y y y για κάθε, y Επίσης η είναι παραγωγίσιμη στο με Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη σε κάθε Δίνεται η συνάρτηση :, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο Αν επιπλέον η, συνάρτηση : g είναι παραγωγίσιμη στο, τότε να βρείτε :, i τα και ii το όριο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΙΜΕ ΤΝΑΡΣΗΕΙ-ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΤΝΑΡΣΗΗ ΟΡΙΜΟΙ Πσ ηδα υθϊλββ ζϋΰαδ : α Παλαΰπΰέδηβ κ τθκζκ ί Παλαΰπΰέδηβ κ αθκδεσ δϊβηα αβ, ΰ Παλαΰπΰέδηβ κ εζδσ δϊβηα [ αβ, ], Σδ κθκηϊακυη πλυβ, τλβ εαδ ΰθδεΪ θδκά παλϊΰπΰκ ηδαμ υθϊλββμ ; πϊθηη : Έπ ηδα υθϊλββ η πέκ κλδηκτ Ϋθα τθκζκ Θα ζϋη σδ: α H έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ ά, απζϊ, παλαΰωΰέδηη, σαθ έθαδ παλαΰπΰέδηβ εϊγ βηέκ A ί Η έθαδ παλαΰωΰέδηη Ϋθα αθκδεσ δϊηηα αβ, κυ πέκυ κλδηκτ βμ, σαθ έθαδ παλαΰπΰέδηβ εϊγ βηέκ, ΰ Η έθαδ παλαΰωΰέδηη Ϋθα εζδσ δϊηηα [ αβ, ] κυ πέκυ κλδηκτ βμ, σαθ έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ, εαδ πδπζϋκθ δξτδ: R εαδ R Έπ ηδα υθϊλββ η πέκ κλδηκτ εαδ o τθκζκ πθ βηέπθ κυ α κπκέα αυά έθαδ παλαΰπΰέδηβ θδκδξέακθαμ εϊγ κ, κλέακυη β υθϊλββ A R :, β κπκέα κθκηϊααδ πλυη παλϊΰωΰκμ ημ ά απζϊ παλϊΰωΰκμ ημ H πλυβ d παλϊΰπΰκμ βμ υηίκζέααδ εαδ η πκυ δαίϊααδ θ φ πλκμ θ ξδ Γδα d πλαεδεκτμ ζσΰκυμ βθ παλϊΰπΰκ υθϊλββ y γα β υηίκζέακυη εαδ η y θ υπκγϋκυη σδ κ έθαδ δϊβηα ά Ϋθπβ δαβηϊπθ, σ β παλϊΰπΰκμ βμ, αθ υπϊλξδ, ζϋΰαδ τλη παλϊΰωΰκμ ημ εαδ υηίκζέααδ η ν παΰπΰδεϊ κλέααδ β θδκά παλϊΰωΰκμ ημ, η ν, εαδ υηίκζέααδ η βζαά ν ν [ ], ν Η πααου υ, ο ο που α, α πα ο Σ υχα α ο α ππ παα υαω, που α χοποο πααου υαω α α χοποο ο ο φο Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 75

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Να απκέι σδ : α θ c, σ ί θ, σ ΰ θ, η N {,}, σ θ, σ, 5 πσδιη : α Γδα δξτδ: cc πκηϋθπμ,, βζαά c ί Γδα δξτδ σδ : πκηϋθπμ,, βζαά ΰ θ έθαδ Ϋθα βηέκ κυ R, σ ΰδα δξτδ: πκηϋθπμ : θ έθαδ Ϋθα βηέκ κυ,, σ ΰδα δξτδ:, βζαά,, κπσ : Παλαάλββ : β Ϋξδ πέκ κλδηκτ κ [,, σηπμ : χσζδα Στπκδ :, Ϊλα β θ έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ,βζαά Έπ υθϊλββ ημ Η υθϊλββ έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ R εαδ δξτδ συν, βζαά ημ συν Έπ β υθϊλββ συν Η υθϊλββ έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ R εαδ δξτδ ημ, βζαά συν ημ Έπ β υθϊλββ, βζαά πκδεθταδ σδ β έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ R εαδ δξτδ Έπ β υθϊλββ ln πκδεθταδ σδ β έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ, δξτδ, βζαά ln Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 76

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΚΑΝΟΝΕ ΠΑΡΑΓΩΓΙΗ ΘΩΡΜ Παωο αοαο θ κδ υθαλάδμ,g έθαδ παλαΰπΰέδημ κ, σ β υθϊλββ g έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ εαδ δξτδ: g g πσδιη : g g g g g g Γδα, δξτδ: πδά κδ υθαλάδμ,g έθαδ παλαΰπΰέδημ κ, Ϋξκυη: g g g g g, g g βζαά ηηέωη : θ κδ υθαλάδμ, g έθαδ παλαΰπΰέδημ Ϋθα δϊβηα Δ, σ ΰδα εϊγ Δ δξτδ: g g Σκ παλαπϊθπ γυλβηα δξτδ εαδ ΰδα πλδσλμ απσ τκ υθαλάδμ βζαά, αθ,,, k, έθαδ παλαΰπΰέδημ κ Δ, σ : k k Γα παα, η η συ ΘΩΡΜ Παωο οου θ κδ υθαλάδμ,g έθαδ παλαΰπΰέδημ κ, σ εαδ β υθϊλββ g έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ εαδ δξτδ: g g g ηηέωη : θ κδ υθαλάδμ,g έθαδ παλαΰπΰέδημ Ϋθα δϊβηα, σ ΰδα εϊγ δξτδ: g g g Γδα παλϊδΰηα, ln ln ln ln, Σκ παλαπϊθπ γυλβηα πεέθαδ εαδ ΰδα πλδσλμ απσ τκ υθαλάδμ Έδ, ΰδα λδμ παλαΰπΰέδημ υθαλάδμ δξτδ: g h [ g h ] g h g h Γα παα : [ g g ] h g h g h g h g h η ln η ln η ln η ln η ln συ ln η, Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 77

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ θ έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ Ϋθα δϊβηα εαδ c R, πδά c, τηφπθα η κ γυλβηα Ϋξκυη: c c Γα παα : 6 6 6 8 5 ΘΩΡΜ Παωο που θ κδ υθαλάδμ,g έθαδ παλαΰπΰέδημ κ εαδ g, σ εαδ β υθϊλββ g g g g [g ] έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ εαδ δξτδ: ηηέωη : θ κδ υθαλάδμ,g έθαδ παλαΰπΰέδημ Ϋθα δϊβηα εαδ ΰδα εϊγ δξτδ g g g, σ ΰδα εϊγ Ϋξκυη: g [ g ] Έπ β υθϊλββ *, N Η υθϊλββ έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ R* εαδ δξτδ, βζαά πσδιη ΠλΪΰηαδ, ΰδα εϊγ N * Ϋξκυη: Έπ β υθϊλββ εφ Η υθϊλββ έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ R { συν } εαδ δξτδ, βζαά εφ συν συν πσδιη: ΠλΪΰηαδ, ΰδα εϊγ R { συν } Ϋξκυη: ημ ημ συν ημσυν συνσυν ημημ συν ημ εφ συν συν συν συν συν Έπ β υθϊλββ δξτδ, βζαά σφ ημ ημ σφ Η υθϊλββ έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ R { ημ } εαδ 6 ΘΩΡΜ θ β υθϊλββ g έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ εαδ β έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ g, σ β υθϊλββ g έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ εαδ δξτδ g g g χσζδα : ΓθδεΪ, αθ ηδα υθϊλββ g έθαδ παλαΰπΰέδηβ Ϋθα δϊβηα εαδ β έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ g, σ β υθϊλββ g έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ εαδ δξτδ g g g Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 78

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ βζαά, αθ u g, σ u u u Μ κ υηίκζδησ κυ Libniz, αθ y u dy dy du εαδ u g, Ϋξκυη κθ τπκ d du d αζυέαμ πκυ έθαδ ΰθπσμ πμ εαθσθαμ ημ 7 ΘΩΡΜ Να απκέι σδ : α Η υθϊλββ, a Z έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ, εαδ δξτδ, ί Η υθϊλββ, έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ R εαδ δξτδ ln ΰ Η υθϊλββ ln, R * έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ R * εαδ δξτδ 8 πσδιη : ln ln u α ΠλΪΰηαδ, αθ y εαδ γϋκυη u ln, σ Ϋξκυη y πκηϋθπμ, u u ln y u ln ί ΠλΪΰηαδ, αθ y u εαδ γϋκυη u ln, σ Ϋξκυη y πκηϋθπμ, u u ln y u ln ln ΰ ΠλΪΰηαδ αθ, σ ln ln, θυ αθ, σ ln ln, κπσ, αθ γϋκυη y ln εαδ u, Ϋξκυη y lnu πκηϋθπμ, y lnu u u εαδ Ϊλα ln Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 79

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 8 ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΠΡΓΩΓΟΙ ΙΚΩΝ ΤΝΡΣΩΝ ΤΝΡΣΗΗ ΠΡΓΩΓΟ,,,,,,, πέημ δχτκυθ κδ ιάμ εαθσθμ παλαΰυΰδημ :, c c c ln ln ln g g c c c g g g g g g g ΠΡΓΩΓΟΙ

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 8 ΛΤΜΝ ΚΙ : Να ίλέ βθ παλϊΰπΰκ πθ παλαεϊπ υθαλάπθ i 5 ii 5 iii 5 7 iv 9 v 5 ln vi vii ln viii, Λτβ : i 5 5 ii 5 5 5 iii 5 7 5 7 5 7 iv 9 9 v 5 5 5 ln 5 ln 5 ln vi vii ln ln ln viii έθαδ, Άλα : Να ίλέ βθ παλϊΰπΰκ πθ παλαεϊπ υθαλάπθ i ln ii 7 5 iii ln iv v vi vii

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Λτβ : i ii iii iv 5 7 5 7 6 5 7 5 ln ln ln 6 ln 6 ln 5 6 8 6 5 η ln η ln η ln η ln η ln συ ln η, [ ] 8 [6 ] 8 6 8 6 v vi vii, Να ίλέ βθ παλϊΰπΰκ βμ παλαεϊπ υθϊλββμ :, Λτβ : Γδα Ϋξπ Ϊλα Γδα Ϋξπ Ϊλα κ γα πλϋπδ θα ιϊπ η κθ κλδησ αθ έθαδ παλαΰπΰέδηβ : Πλυα γα ιϊπ αθ έθαδ υθξάμ κ : υλα αθ έθαδ εαδ παλαΰπΰέδηβ κ : Ϊλα β έθαδ υθξάμ κ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 8 Θα ιϊπ

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ παλαΰπΰέδηβ κ η Ϊλα :,, ΚΙ ΓΙ ΛΤ : Να ίλέ δμ παλαΰυΰκυμ πθ υθαλάπθ i ii 5 κ =- iii 5 7 iv v 6ln =6 vi vii 5 viii ln = 5 Να ίλέ δμ παλαΰυΰκυμ πθ υθαλάπθ i ln ii iii iv v vi vii viii i ln t ln t t t 6 Να ίλέ δμ παλαΰυΰκυμ πθ υθαλάπθ : i ii iii ln ln iv v vi 7 Να ίλέ βθ παλϊΰπΰκ βμ υθϊλββμ Ϊλα β έθαδ,,, ά Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 8

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 8 8 Να ίλέ, σπκυ κλέααδ, βθ παλϊΰπΰκ πθ υθαλάπθ : i,, ii,, 9 έθαδ β υθϊλββ,, Να έι σδ β έθαδ υθξάμ β υθϋξδα θα ίλέ βθ παλϊΰπΰκ εαδ θα ιϊ αθ έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ βηέκ = έθαδ β υθϊλββ Να ίλέ α σλδα : i ii ΛΤΜΝ ΚΙ : Να ίλέ δμ παλαΰυΰκυμ πθ παλαεϊπ υθαλάπθ : i ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΠΡΓΩΓΟΙ ΤΝΘΣΩΝ ΤΝΡΣΩΝ Ιξτδ : ln g g g ln

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 85 ii ln iii iv ln v vi vii viii i i Λτβ : i ii ln ln ln ln ln iii iv ln v vi vii viii i i Τπκ Γδα εϊγ δξτδ : ln a Μδα υθϊλββ h g, β κπκέα κλέααδ σαθ g, ΰδα θα ίλκτη βθ ΰλΪφκυη κθ τπκ βμ πμ Ϋιβμ : ln ln g h g h g h εαδ β υθϋξδα παλαΰπΰέακυη, η, εαδ έθαδ : ln ln Ϋδ Ϋξκυη : ln ln ln ln έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : Να ίλέ βθ παλϊΰπΰκ βμ υθϊλββμ g Λτβ : g

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΚΙ ΓΙ ΛΤ : Να ίλέ δμ παλαΰυΰκυμ πθ παλαεϊπ υθαλάπθ : i ii 5 iii iv ln v ln vi 5 vii 5 viii i i ii Να ίλέ δμ παλαΰυΰκυμ πθ παλαεϊπ υθαλάπθ i ii iii 5 iv v vi vii 5 / viii η i ln ln i ii iii 5 iv v ln Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 86

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ 5 Να ίλέ δμ παλαΰυΰκυμ πθ παλαεϊπ υθαλάπθ : i ii ln iii 5 iv v vi ln vii viii ln i 6 Να ίλέ βθ παλϊΰπΰκ βμ υθϊλββμ κ βηέκ σαθ : i ii, / /, iii η, iv 6, 7 Να ίλέ βθ παλϊΰπΰκ πθ υθαλάπθ : ln i ii iii iv 5 ln, η συ 8 Να ίλέ βθ παλϊΰπΰκ πθ υθαλάπθ i ii 9 έθαδ υθϊλββ παλαΰπΰέδηβ κ, ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 5 5 6, Να ίλέ κ 6 έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ :, Να ίλέ βθ παλϊΰπΰκ βμ υθϊλββμ g ln ΰδα εϊγ β υθϋξδα αθ έθαδ σδ, θα ίλέ βθ δηά g Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 87

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΠΡΓΩΓΟΙ ΝΩΣΡ ΣΞ ΛΤΜΝ ΚΙ : έθαδ β υθϊλββ, Να ίλγκτθ κδ δηϋμ πθ παλαηϋλπθ,, υ θα δξτδ : ΰδα εϊγ Λτβ : Άλα ΚΙ ΓΙ ΛΤ : έθαδ υθϊλββ, υκ φκλϋμ παλαΰπΰέδηβ κ, ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ln ln, ΰδα εϊγ Να ίλέ κ Να ίλγέ πκζυυθυηκ Ϋκδκ υ ΰδα εϊγ θα έθαδ 5 Υπόιη : Α ο πουυο χ α, ο χ α Να ίλγέ πκζυυθυηκ Ϋκδκ υ εαδ ΰδα εϊγ θα έθαδ 5 Να ίλέ πκζυυθυηκ λέκυ ίαγηκτ Ϋκδκ, υ,, εαδ 6 6 έθαδ β υθϊλββ Να έι σδ ΰδα εϊγ 7 έθαδ β υθϊλββ Να ίλέ βθ δηά κυ ζ υ θα δξτδ : Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 88

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΠΡΓΩΓΟΙ ΚΙ ΤΝΡΣΙΚ ΧΙ ΠΡΓΩΓΟ ΝΣΙΣΡΟΦ ΤΝΡΣ ΤΝΙΣΙΚ ΘΜΣ ΛΤΜΝ ΚΙ : 8 έθαδ παλαΰωΰέδηη υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 8 ΰδα εϊγ Να ίλέ δμ δηϋμ εαδ Λτβ : β ξϋβ : 8 γϋπ εαδ Ϋξπ : 8 Η υθϊλββ έθαδ παλαΰπΰέδηβ πμ πλϊιδμ παλαΰπΰδδηπθ, κηκέπμ εαδ β υθϊλββ 8 έθαδ παλαΰπΰέδηβ πμ πκζυπθυηδεά πκηϋθπμ παλαΰπΰέαπ εαδ α ηϋζβ βμ εαδ Ϋξπ : 8 8 β ΰδα Ϋξπ : 8 Πρσχή : Σ πααπω πααωα υαα χ φαοα α πααω, α χα ποφοα α πααω ο Α ωα α πααω ο ο α ποοα α πααωου χ α α ππ α ο ο ο ο Σ 9 9 έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : * ΰδα βθ κπκέα δξτδ : y y y ΰδα εϊγ y y y *, y Να έι σδ ΰδα εϊγ *, y δξτδ : Λτβ : Παλαΰπΰέακυη β ξϋβ y y y πμ πλκμ, γπλυθαμ κ y αγλϊ : y y y y y y y y y y y, πέβμ η παλαΰυΰδβ β ξϋβ Ϋξκυη : y y y y y y y y y y y y y y y y y Συλα παλαΰπΰέακυη βθ πμ πλκμ y, γπλυθαμ κ αγλϊ : y y y y y y y y y y, πέβμ η παλαΰυΰδβ β ξϋβ Ϋξκυη : y y y y y y y y y y 5 πσ εαδ 5 Ϋξκυη : y y y y y y Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 89

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ έθαδ β υθϊλββ i Να απκέι σδ β αθδλϋφαδ ii Να ίλέ βθ έθαδ παλαΰπΰέδηβ, αθ γπλάκυη ΰθπσ σδ β Λτβ : i Έξπ : D, Έπ, D, η πέβμ : ΠλκγΫπ εαϊ ηϋζβ δμ εαδ εαδ Ϋξπ : Άλα β έθαδ ΰθβέπμ ατικυα, Ϊλα β έθαδ «-» εαδ Ϊλα β αθδλϋοδηβ πέβμ,, Άλα D ii Γδα εϊγ, σηπμ βθ ΰδα Ϋξπ : ΚΙ ΓΙ ΛΤ : δξτδ σδ κπσ : Ϊλα : έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ Να ίλέ δμ δηϋμ εαδ έθαδ υθϊλββ : παλαΰπΰέδηβ κ, ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 8 ΰδα εϊγ Να ίλέ δμ δηϋμ εαδ έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 9 Να ίλέ δμ δηϋμ εαδ ΰδα εϊγ έθαδ β υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ Να ίλέ δμ δηϋμ εαδ αθ ΰθπλέακυη σδ β έθαδ : i παλαΰπΰέδηβ κ ii παλαΰπΰέδηβ κ 5 έθαδ β παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : a ΰδα εϊγ iνα ίλέ κ α ii Να εφλϊ βθ πμ υθϊλββ βμ iii Να ίλέ κ θ β C δϋλξαδ απσ βθ αλξά πθ αισθπθ : 6 έθαδ β παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 5 ΰδα εϊγ Να ίλέ : iσκ ii Σκ σλδκ : Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 9

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ 7 έθαδ παλαΰπΰέδηβ εαδ πλδά υθϊλββ :, ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 7 7 i Να ίλέ δμ δηϋμ εαδ ii θ g, θα ίλέ β g 8 έθαδ β υθϊλββ i Να απκέι σδ β αθδλϋφαδ ii Να ίλέ βθ 9 **έθαδ υθϊλββ : η υθξά πλυβ παλϊΰπΰκ εαδ ΰδα εϊγ, ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ i Να ίλέ δμ δηϋμ εαδ ii Να απκέι σδ iii Να απκέι σδ υπϊλξδ Ϋθα κυζϊξδκθ, Ϋκδκ, υ 5 έθαδ β παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ θ β C δϋλξαδ απσ κ,, θα ίλέ : iσκ βηέκ κηάμ βμ ii Σκ iii Σκ σλδκ : C η κθ Ϊικθα y y έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : y y ΰδα εϊγ, y Να απκέι σδ ΰδα εϊγ, y δξτδ : y y [ ] [ y y] έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : y y ΰδα εϊγ, y, y y, y, δξτδ : y y y Να απκέι σδ ΰδα εϊγ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 9

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΦΠΣΟΜΝ ΚΜΠΤΛ ΠΡΟΟΧ ΙΧΤΟΤΝ Σ Ξ : θ ηδα υθϊλββ έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ, σ β C Ϋξαδ φαπκηϋθβ Η ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ κ έθαδ : Σκ αθέλκφκ σηπμ θ δξτδ βζαά αθ ηδα υθϊλββ Ϋξαδ φαπκηϋθβ κ,, σ θ έθαδ πϊθα παλαΰπΰέβηβ κ, αφκτ ηπκλέ θα Ϋξαδ εαδ εααεσλυφβ φαπκηϋθβ κ υθζάμ δτγυθβμ θ κλέααδ Ϊλα εαδ κ θ σηπμ Ϋξαδ φαπκηϋθβ σξδ εααεσλυφβ σ έθαδ παλαΰπΰέδηβ Οδ Ϋθθκδμ φαπκηϋθβ κ έθαδ αυσβημ θ ηδα παλαΰπΰέβηβ υθϊλββ Ϋξαδ φαπκηϋθβ κ βηέκ βμ β κπκέα ξβηαέαδ η κθ Ϊικθα ΰπθέα π, σ : o π κιέα o π αηίζέα o π= // κ βηέκ, Ο υθζάμ δτγυθβμ βμ φαπκηϋθβμ έθαδ σπκυ π β ΰπθέα πκυ ξβηαέαδ β φαπκηϋθβ η κθ Ϊικθα y,,, εαδ παλϊΰπΰκμ κ ΦΠΣΟΜΝ ΓΝΩΣΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Ο ΣΣΡΣΜΟΡΙΟ Ο ΣΣΡΣΜΟΡΙΟ 8 ά ά 6 5 5 6 5 6 ά ά 5 ά ά 9 ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΞΙΩ ΦΠΣΟΜΝ ΟΣΝ ΓΝΩΡΙΟΤΜ ΣΟ ΜΙΟ ΠΦ, C Γδα θα ίλκτη βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ ΰθπσ βηέκ, ξλβδηκπκδκτη κθ τπκ y λέεκυη κ Ϊλα κ βηέκ παφάμ, β υθϋξδα ίλέεπ βθ εαδ κ εϊθπ αθδεαϊαβ κθ παλαπϊθπ τπκ εαδ πλκετπδ β ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ, Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 9

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΛΤΜΝ ΚΙ : έθαδ β υθϊλββ 5, Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ, C κ βηέκ Λτβ : Έπ β φαπκηϋθβ βμ C κ βηέκ παφάμ, Ϊλα κ βηέκ παφάμ,,7, σ : y Έξπ 7 Έξπ : Ϊλα Ιξτδ : : y y 7 y 7 6 y Άλα : : y έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 8 ΰδα εϊγ Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C Λτβ : Έπ β φαπκηϋθβ βμ : y κ βηέκ βμ, C κ βηέκ παφάμ,, σ β ξϋβ : 8 γϋπ εαδ Ϋξπ : 8 Η υθϊλββ έθαδ παλαΰπΰέδηβ πμ πλϊιδμ παλαΰπΰδδηπθ, κηκέπμ εαδ β υθϊλββ 8 έθαδ παλαΰπΰέδηβ πμ πκζυπθυηέα πκηϋθπμ παλαΰπΰέαπ εαδ α ηϋζβ βμ εαδ Ϋξπ : 8 8 β ΰδα Ϋξπ : 8 Ιξτδ : : y y y Άλα : : y έθαδ β υθϊλββ βμ, C κ βηέκ Λτβ : Έπ β φαπκηϋθβ βμ, Να ίλγέ β ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ 5, C κ βηέκ παφάμ,, σ : y Έξπ Ϊλα κ βηέκ παφάμ,, πέβμ πλϋπδ θα ίλπ κ 9 5 5 7 9 Ϊλα παλαΰπΰέδηβ κ Ιξτδ : : y y 9 y 9 8 y 9 Άλα : : y 9 Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 9

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΚΙ ΓΙ ΛΤ : C κ,,,,,,, Να ίλέ βθ φαπκηϋθβ βμ i 5 6 ii iii iv, v ln,,, δμ παλαεϊπ πλδπυδμ :, 5 έθαδ β υθϊλββ : Να ίλέ, αθ υπϊλξδ, βθ ιέπβ 6, βμ φαπκηϋθβμ βμ, C κ βηέκ βμ a, 6 έθαδ β υθξάμ υθϊλββ : a a, iνα ίλέ κ α ii Να απκέι σδ β έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ εαδ θα ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ, C κ βηέκ βμ 7 έθαδ β παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : a, a 5, βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ, C κ βηέκ βμ a, Να ίλέ 8 θ, θα πλκδκλδκτθ α α,ί υ β φαπκηϋθβ βμ κ Μ, θα Ϋξδ εζέβ ζ= 9 έθαδ β παλαΰπΰέβηβ υθϊλββ : η βθ δδσβα : 7 ΰδα εϊγ Να έι σδ 5 εαδ β υθϋξδα θα ίλγέ β ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ, C κ έθαδ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 9 ΰδα εϊγ Να απκέι σδ ΰδα β C κλέααδ φαπκηϋθβ κ βηέκ βμ,, βμ κπκέαμ εαδ θα ίλέ βθ ιέπβ έθαδ υθϊλββ : υκ φκλϋμ παλαΰπΰέδηβ, ΰδα βθ κπκέα δξτδ θ g, σ θα ίλέ βθ φαπκηϋθβ βμ Cg κ βηέκ πκυ αυά Ϋηθδ κθ Ϊικθα y y έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : ΰδα εϊγ Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C κ βηέκ βμ, Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 9

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ έθαδ υθϊλββ : παλαΰπΰέδηβ κ, ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 8 ΰδα εϊγ κ βηέκ βμ, Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 9 ΰδα εϊγ Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C κ βηέκ βμ, 5 έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 9 ΰδα εϊγ Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ, C κ βηέκ βμ 6 έθαδ β υθϊλββ 6ln Να ίλέ : i Σκ πέκ κλδηκτ εαδ βθ ii Σκ πλσβηκ βμ iii Σβθ εζέβ βμ βμ C κ, C κ η κθ Ϊικθα, εαγυμ εαδ β ΰπθέα πκυ ξβηαέαδ β φαπκηϋθβ 7 Έπ : ηδα παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ ΰδα βθ κπκέα δξτκυθ : h h 8 εαδ Να ίλέ βθ φαπκηϋθβ βμ C κ h h 8 Έπ ηδα υθϊλββ, παλαΰπΰέδηβ κ δϊβηα,, ΰδα βθ κπκέα δξτδ :, ΰδα εϊγ, Να απκέι σδ β φαπκηϋθβ βμ C κ, ξβηαέαδ η κυμ Ϊικθμ δκεζϋμ λέΰπθκ βηέκ 9 έθαδ υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : Να απκέι σδ ΰδα β C κλέααδ φαπκηϋθβ κ βηέκ βμ, βμ κπκέαμ θα ίλέ βθ ιέπβ έθαδ β υθϊλββ Έπ σδ β C δϋλξαδ απσ κ βηέκ -,-5 εαδ β φαπκηϋθβ βμ κ ξβηαέαδ η κθ Ϊικθα ΰπθέα i Να ίλέ α α,ί ii Γδα εαδ 8 θα ίλέ βθ φαπκηϋθβ βμ εαηπτζβμ βμ ξ κ βηέκ, Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 95

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΞΙΩ ΦΠΣΟΜΝ ΟΣΝ ΓΝΩΡΙΟΤΜ ΣΝ ΚΛΙ Σ Όαθ ηαμ έθαδ κ βηέκ παφάμ αζζϊ Ϋθα κδξέκ ΰδα βθ εζέβ βμ φαπκηϋθβμ, σ ιεδθϊη γπλυθαμ κ βηέκ παφάμ, κ κπκέκ πλϋπδ εαδ θα υπκζκΰέκυη ξλβδηκπκδυθαμ κ κδξέκ ΰδα βθ εζέβ βμ φαπκηϋθβμ Πδκ υΰεελδηϋθα δαελέθκυη δμ πλδπυδμ : ΠΡΙΠΣΩΗ : Η φαπκηϋθβ βμ κ βηέκ Ϋξδ υθζά δτγυθβμ ΠΡΙΠΣΩΗ : Η φαπκηϋθβ βμ κ βηέκ έθαδ παλϊζζβζβ βθ υγέα : y, σαθ ΠΡΙΠΣΩΗ : Η φαπκηϋθβ βμ κ βηέκ έθαδ εϊγβ βθ υγέα : y, σαθ ΠΡΙΠΣΩΗ : Η φαπκηϋθβ βμ κ βηέκ έθαδ παλϊζζβζβ κθ Ϊικθα, σαθ C, C ΠΡΙΠΣΩΗ 5 : Η φαπκηϋθβ βμ κ βηέκ ξβηαέαδ ΰπθέα 9 η κθ Ϊικθα, σαθ δξτδ σδ φκτ ίλκτη κ βηέκ παφάμ, εϊθκυη αθδεαϊαβ κθ τπκ : : y, C, C εαδ ίλέεκυη βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ, C,, ΛΤΜΝ ΚΙ : έθαδ β υθϊλββ, Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ εαηπτζβμ βμ πκυ i Έξδ υθζά δτγυθβμ 5 ii έθαδ παλϊζζβζβ βθ υγέα : y 5 iii έθαδ εϊγβ βθ υγέα : y iv έθαδ παλϊζζβζβ κθ Ϊικθα v ξβηαέαδ ΰπθέα η κθ Ϊικθα 5 Λτβ : Έπ β φαπκηϋθβ πκυ οϊξθπ η βηέκ παφάμ κ,, σ : y πέβμ i Η Ϋξδ υθζά δτγυθβμ 5 Ϊλα 5 5 Άλα βζαά κ βηέκ παφάμ έθαδ,, Ιξτδ : : y y 5 y 5 5 y 5 Άλα : : y 5 ii Η // : y 5 Άλα βζαά κ βηέκ παφάμ έθαδ,, Ιξτδ : Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 96

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ : y y y y Άλα : : y iii : y Όαθ υκ υγέμ έθαδ εϊγμ κδ υθζϋμ δτγυθβμ κυμ έθαδ αθδγκαθδλκφκδ 6 Άλα βζαά κ βηέκ παφάμ έθαδ,, Ιξτδ : : y y y 9 Άλα : : y 9 iv 9 // Άλα βζαά κ βηέκ παφάμ έθαδ 9,, Ιξτδ : 9 9 9 : y y y Άλα : : y Θα ηπκλκταη θα πκτη σδ πδά // Ϊλα γα έθαδ βμ ηκλφάμ y y εαδ 9 9 αφκτ ίλκτη κ βηέκ παφάμ,, θα πκτη εαυγέαθ : y v Η ξβηαέαδ η κθ Ϊικθα ΰπθέα 5 Ϊλα 5 Άλα βζαά κ βηέκ παφάμ έθαδ,, Ιξτδ : : y y y Άλα : : y ΚΙ ΓΙ ΛΤ : έθαδ β υθϊλββ 5 Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ εαηπτζβμ βμ πκυ iέξδ υθζά δτγυθβμ ii έθαδ παλϊζζβζβ βθ υγέα : y 5 7 iii έθαδ εϊγβ βθ υγέα : 7y ivέθαδ παλϊζζβζβ κθ Ϊικθα vξβηαέαδ ΰπθέα η κθ Ϊικθα 5 viξβηαέαδ ΰπθέα η κθ Ϊικθα 5 Να ίλέ βθ φαπκηϋθβ βμ εαηπτζβμ βμ πκυ ξβηαέαδ η κθ Ϊικθα ΰπθέα Να ίλέ δμ ιδυδμ πθ φαπκηϋθπθ βμ εαηπτζβμ βμ ln πκυ έθαδ παλϊζζβζμ β δξκσηκ βμ ΰπθέαμ ˆ y 5 Να ίλέ δμ ιδυδμ πθ φαπκηϋθπθ βμ εαηπτζβμ βμ παλϊζζβζμ κθ Ϊικθα πκυ έθαδ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 97

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ 6 έθαδ β υθϊλββ Να ίλέ α βηέα βμ εαηπτζβμ βμ α κπκέα κδ φαπκηϋθμ έθαδ παλϊζζβζμ βθ υγέα : y β υθϋξδα θα ίλέ δμ ιδυδμ πθ φαπκηϋθπθ 7 έθαδ β υθϊλββ Να απκέι σδ θ υπϊλξκυθ βηέα βμ εαηπτζβμ βμ υ κδ φαπκηϋθμ αυϊ θα έθαδ παλϊζζβζμ βθ υγέα : y 8 έθαδ β υθϊλββ 5 Να απκέι σδ θ υπϊλξκυθ βηέα βμ εαηπτζβμ βμ υ κδ φαπκηϋθμ αυϊ θα έθαδ παλϊζζβζμ κθ Ϊικθα 9 Να ίλέ α βηέα βμ ΰλαφδεάμ παλϊαβμ βμ υθϊλββμ : η η, [, ], α κπκέα β φαπκηϋθβ βμ έθαδ παλϊζζβζβ κθ Ϊικθα πθ Να απκέι σδ β φαπκηϋθβ βμ εαηπτζβμ βμ υθϊλββμ κπκδκάπκ βηέκ βμ ξβηαέαδ η κθ Ϊικθα αηίζέα ΰπθέα ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΞΙΩ ΦΠΣΟΜΝ ΠΟΤ ΙΡΧΣΙ ΠΟ ΓΝΩΣΟ ΜΙΟ ΠΟΤ Ν ΝΚΙ Σ C Γδα θα ίλκτη βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ, πκυ θ αθάεδ β C, λΰαασηα πμ ιάμ : γπλκτη κ βηέκ παφάμ, πκυ δϋλξαδ απσ Ϋθα βηέκ ΰλΪφκυη κθ τπκ βμ φαπκηϋθβμ : y β δϋλξαδ απσ κ βηέκ,, Ϊλα κδ υθαΰηϋθμ κυ γα παζβγτκυθ βθ ιέπβ βμ, βζ απσ βθ παλαπϊθπ ιέπβ ίλέεκυη βθ δηά ά δμ δηϋμ κυ εαδ β υθϋξδα βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ Πλκκξά : εαηέα πλέππβ θ πλϋπδ θα ηπλτκυη κ βηέκ παφάμ η κ βηέκ δϋζυβμ C Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 98

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΛΤΜΝ ΚΙ : Να ίλέ δμ ιδυδμ πθ φαπκηϋθπθ βμ εαηπτζβμ βμ υθϊλββμ 5 πκυ δϋλξκθαδ απσ κ βηέκ, Λτβ : Έπ, σ, β φαπκηϋθβ πκυ οϊξθπ η βηέκ παφάμ κ : y πέβμ 6 5 Άλα : : y y 5 6 5 Όηπμ β δϋλξαδ απσ κ βηέκ, Ϊλα κδ υθαΰηϋθμ κυ παζβγτκυθ βθ y : y 5 6 5 5 6 5 5 8 6 5 5 8 5 6 5 ά 5 ιέπβ βμ βζαά : Γδα, εαδ Ϊλα : y y y Ϊλα : y Γδα 5, 5 5 εαδ 5 5 Ϊλα : y 5 5 5 y 5 5 5 y 5 5 5 y 5 7 Ϊλα : y 5 7 ΚΙ ΓΙ ΛΤ : Να ίλέ δμ ιδυδμ πθ φαπκηϋθπθ βμ εαηπτζβμ βμ υθϊλββμ πκυ δϋλξκθαδ απσ βθ αλξά πθ αισθπθ έθαδ β υθϊλββ Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ υγέαμ βμ εαηπτζβμ βμ πκυ δϋλξαδ απσ βθ αλξά πθ αισθπθ Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ εαηπτζβμ βμ υθϊλββμ κπκέα δϋλξαδ απσ κ βηέκ -,- β 7 5 έθαδ β υθϊλββ Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C πκυ δϋλξαδ απσ κ βηέκ, 6 έθαδ β υθϊλββ 6 Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C πκυ δϋλξαδ απσ κ βηέκ -,- 7 έθαδ β υθϊλββ, ζ> Να ίλέ βθ φαπκηϋθβ βμ C πκυ δϋλξαδ απσ βθ αλξά πθ αισθπθ Ικτθδκμ 5 Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 99

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΤΝΘΚ ΓΙ Ν ΦΠΣΣΙ ΜΙ ΤΘΙ Σ Η υγέα : y φϊπαδ β C, αθ εαδ ησθκ αθ υπϊλξδ D, υ θα δξτδ : ΛΤΜΝ ΚΙ : 8 θ β υγέα y 6 φϊπαδ βθ εαηπτζβ βμ υθϊλββμ κ βηέκ,, i Να ίλέ α α,ί ii Να απκέι σδ β υγέα y φϊπαδ β C Λτβ : i Έπ β φαπκηϋθβ πκυ οϊξθπ η βηέκ παφάμ κ, πέβμ Η υγέα y 6 φϊπαδ β C κ 6 8, 6 8 6 6 ii Γδα εαδ 6 κ τπκμ βμ ΰέθαδ : 6 Ϊλα Η υγέα y φϊπαδ β C, αθ εαδ ησθκ αθ υπϊλξδ βηέκ, βμ 6 C, υ θα δξτκυθ : Άλα β υγέα y 6 φϊπαδ β,,6 C κ βηέκ C, ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 9 Να απκέι σδ β υγέα : y 6 φϊπαδ β ΰλαφδεά παλϊαβ βμ υθϊλββμ 5 7 Να απκέι σδ β υγέα : y φϊπαδ β ΰλαφδεά παλϊαβ βμ υθϊλββμ Έπ : παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ η : εαδ g, ΰδα εϊγ iνα ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ, ii Να ίλέ κ g iii Να απκέι σδ β φϊπαδ βμ C κ g, g C κ βηέκ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ έθαδ β υθϊλββ η, Η φαπκηϋθβ βμ C κ βηέκ βμ, Ϋξδ ιέπβ : y 9 i Να ίλέ α, ii Να απκέι σδ εαδ β υγέα : y φϊπαδ βμ C έθαδ β υθϊλββ η, Η φαπκηϋθβ βμ C κ βηέκ βμ, Ϋξδ ιέπβ : y 7 i Να ίλέ α, iiνα απκέι σδ εαδ β υγέα : y φϊπαδ βμ C θ β υγέα y φϊπαδ βθ εαηπτζβ βμ υθϊλββμ κ βηέκ,, θα ίλέ α α,ί 5 θ β υγέα y φϊπαδ βθ εαηπτζβ βμ υθϊλββμ κ βηέκ,, θα ίλέ α α,ί 6 θ β υγέα y φϊπαδ βθ εαηπτζβ βμ υθϊλββμ, θα ίλέ κ βηέκ παφάμ εαδ β υθϋξδα βθ υγέα 7 θ β δξκσηκμ βμ ΰπθέαμ ˆ y φϊπαδ βθ εαηπτζβ βμ υθϊλββμ,, θα ίλέ κ βηέκ παφάμ 8 έθκθαδ κδ υθαλάδμ ln εαδ g iνα ίλέ βμ φαπκηϋθβ βμ εαηπτζβμ βμ κ εαδ β ΰπθέα πκυ ξβηαέαδ η κθ Ϊικθα ii Να απκέι σδ β παλαπϊθπ φαπκηϋθβ, φϊπαδ εαδ βθ εαηπτζβ βμ g 9 έθαδ υθϊλββ : βμ κπκέαμ β φαπκηϋθβ βθ υγέα y Να ίλέ κ σλδκ : C κ βηέκ, 9 Ϋξδ 5 έθαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : εαδ γπλκτη εαδ β υθϊλββ g, ΰδα εϊγ Η υγέα y 76 φϊπαδ β Cg κ βηέκ βμ, g Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C κ βηέκ βμ, 5 έθκθαδ κδ παλαΰπΰδδημ υθαλάδμ, g : ΰδα δμ κπκέμ δξτδ : g ΰδα εϊγ θ β υγέα : y φϊπαδ β ΰλαφδεά παλϊαβ βμ κ βηέκ βμ,, σ θα ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C κ βηέκ βμ, g g 5 έθαδ Ϊλδα εαδ παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : Η φαπκηϋθβ βμ C κ βηέκ βμ, Ϋξδ ιέπβ y iνα απκέι σδ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ iiθπλκτη β υθϊλββ g Να ίλέ βθ ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C κ βηέκ βμ, g g 5 έθαδ β παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : 8 ΰδα εϊγ Να απκέι σδ β υγέα η ιέπβ y φϊπαδ β C εαδ θα ίλέ κ βηέκ παφάμ 5 Έπ ηδα παλαΰπΰέδηβ υθϊλββ κ ΰδα βθ κπκέα δξτδ εαδ g β υθϊλββ πκυ κλέααδ απσ βθ δσβα g, Να απκέι σδ β φαπκηϋθβ βμ C κ, φϊπαδ βμ C g κ, g a, 55 έθαδ β υθξάμ υθϊλββ : εαδ β υθϊλββ, g η a,, i Να ίλέ κ α ii Να ίλέ βθ ii θ β φαπκηϋθβ βμ C κ βηέκ βμ, φϊπαδ εαδ β C g κ βηέκ, g, σ θα ίλέ α ί,ΰ ΜΘΟΟΛΟΓΙ 5 : ΚΟΙΝ ΦΠΣΟΜΝ ΤΟ ΓΡΦΙΚΩΝ ΠΡΣΩΝ ΚΟΙΝΟ ΜΙΟ ΣΟΤ Οδ ΰλαφδεΫμ παλαϊδμ C, υκ υθαλάπθ,g Ϋξκυθ εκδθά φαπκηϋθβ ά C g αζζδυμ φϊπκθαδ ηαιτ κυμ κ εκδθσ βηέκ κυμ, y, αθ δξτδ : g εαδ g ΛΤΜΝ ΚΙ : 56 έθκθαδ κδ υθαλάδμ εαδ g Να ίλγκτθ α,, Ϋδ υ κδ C, Cg θα Ϋξκυθ εκδθά φαπκηϋθβ κ Λτβ : Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ g Οδ C, C Ϋξκυθ εκδθά φαπκηϋθβ κ εκδθσ βηέκ κυμ η, Ϊλα δξτδ : g g εαδ g Έξπ g Καδ g, Ϊλα απσ ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 57 έθκθαδ κδ υθαλάδμ ίλέ δμ δηϋμ πθ α,ί υ κδ η ηβηϋθβ ln εαδ g, η, Να C, C θα Ϋξκυθ εκδθά φαπκηϋθβ κ εκδθσ κυμ βηέκ g 58 έθκθαδ κδ υθαλάδμ 7 7 εαδ g Να απκέι σδ κδ C, C κ εκδθσ βηέκ κυμ Ϋξκυθ εκδθά φαπκηϋθβ, βμ κπκέαμ θα ίλέ εαδ βθ ιέπβ g 59 έθκθαδ κδ υθαλάδμ εαδ g Να απκέι σδ κδ C, C κ εκδθσ βηέκ κυμ Ϋξκυθ εκδθά φαπκηϋθβ, βμ κπκέαμ θα ίλέ εαδ βθ g ιέπβ 6 έθκθαδ κδ υθαλάδμ εαδ i Να ίλέ α εκδθϊ βηέα πθ C, ii Να ίλέ κ δϊβηα σπκυ β C g iii Να έι σδ κ εκδθσ βηέκ κυμ κδ g C έθαδ εϊπ απσ β C, C g C Ϋξκυθ εκδθά φαπκηϋθβ g Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΜΘΟΟΛΟΓΙ 6 : ΚΟΙΝ ΦΠΣΟΜΝ ΤΟ ΓΡΦΙΚΩΝ ΠΡΣΩΝ Μ ΚΟΙΝΟ ΣΟΤ ΜΙΟ Γδα θα ίλκτη, αθ υπϊλξδ, εκδθά φαπκηϋθβ πθ, C ηβ εκδθσ βηέκ κυμ, C g λΰαασηα πμ ιάμ : γπλκτη, εαδ, g α βηέα παφάμ βμ η δμ C εαδ αθέκδξα β ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C κ, έθαδ : y y θυ β ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C κ, g έθαδ : g y g g y g g g ΰδα θα παλδϊθκυθ κδ εαδ βθ έδα υγέα πλϋπδ : g g g απσ κ παλαπϊθπ τβηα ίλέεκυη α α,ί Cg ΛΤΜΝ ΚΙ : 6 έθκθαδ κδ υθαλάδμ εαδ g 7 6 Να ίλγκτθ κδ εκδθϋμ φαπκηϋθμ πθ C, C g Λτβ : η D εαδ εαδ g 7 6 η D εαδ g 7 λξδεϊ γα ιϊκυη αθ κδ C, C g Ϋξκυθ εκδθά φαπκηϋθβ κ εκδθσ βηέκ κυμ Γδα θα ίλκτη εκδθϊ βηέα πθ C, C g, ζτθκυη βθ ιέπβ : g 7 6, Ϊλα κ εκδθσ βηέκ πθ C, C g έθαδ κ,, Γδα θα Ϋξκυθ εκδθά φαπκηϋθβ κ εκδθσ βηέκ κυμ Μ πλϋπδ θα δξτδ : g πκυ δξτδ, εαδ g πκυ θ δξτδ Άλα κδ C, C θ Ϋξκυθ εκδθά φαπκηϋθβ κ εκδθσ βηέκ κυμ g Θα ιϊκυη υλα αθ Ϋξκυθ εκδθά φαπκηϋθβ ηβ εκδθσ βηέκ Έπ β εκδθά φαπκηϋθβ πθ C, C εαδ, εαδ, g α βηέα παφάμ βμ η δμ C εαδ C αθέκδξα g g g Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Η ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C κ, έθαδ : y y θυ β ιέπβ βμ φαπκηϋθβμ βμ C κ, g έθαδ : y g g y g g g g Γδα θα παλδϊθκυθ κδ εαδ βθ έδα υγέα πλϋπδ : g g g 7 7 7 6 7 7 6 6, β ζσΰκ βμ ΰέθαδ, 6 εαδ απσ Άλα α βηέα παφάμ έθαδ,, εαδ, g,, θυ β ιέπβ βμ εκδθάμ φαπκηϋθβμ έθαδ : : y y y βζαά : y ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 6 Να ίλέ δμ εκδθϋμ φαπκηϋθμ πθ C, g C αθ εαδ g 6 Να ίλέ βθ ιέπβ βμ εκδθάμ φαπκηϋθβμ πθ ΰλαφδευθ παλαϊπθ πθ υθαλάπθ εαδ g 6 Να ίλέ δμ εκδθϋμ φαπκηϋθμ πθ C, g 5 6 C αθ εαδ g 65 Να ίλέ βθ ιέπβ βμ εκδθάμ φαπκηϋθβμ πθ ΰλαφδευθ παλαϊπθ πθ υθαλάπθ εαδ g 8 ΜΘΟΟΛΟΓΙ 7 : ΤΠΡΞ ΜΙΟΤ ΠΦ ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 66 Να έι σδ υπϊλξδ Ϋθα κυζϊξδκθ,, υ β φαπκηϋθβ βμ ΰλαφδεάμ παλϊαβμ βμ υθϊλββμ κ βηέκ,, θα έθαδ εϊγβ βθ υγέα : : y 7 Λτβ : Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 5

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Έξκυη εαδ Έπ β φαπκηϋθβ βμ C κ, η : y σ βζ Έπ g, Θα έιπ σδ υπϊλξδ, Ϋκδκ υ g φαλησαπ Θ Bolzano ΰδα β g κ [,] Η g έθαδ υθξάμ κ [,] πμ πλϊιδμ υθξυθ υθαλάπθ g g g g Άλα απσ Θ Bolzano υπϊλξδ, Ϋκδκ υ g ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 67 έθαδ β υθϊλββ Να απκέι σδ υπϊλξδ : i Έθα κυζϊξδκθ βηέκ βμ C η ηβηϋθβ,, υ β φαπκηϋθβ βμ C κ θα έθαδ παλϊζζβζβ βθ υγέα : : y ii Έθα κυζϊξδκθ βηέκ βμ C η ηβηϋθβ,, υ β φαπκηϋθβ βμ C κ θα Ϋηθδ κθ Ϊικθα y y κ -6 68 Να έι σδ υπϊλξδ αελδίυμ Ϋθα,, υ β φαπκηϋθβ βμ ΰλαφδεάμ παλϊαβμ βμ υθϊλββμ βθ αλξά πθ αισθπθ ln κ βηέκ, h, θα δϋλξαδ απσ 69 έθκθαδ κδ υθαλάδμ εαδ g ln Να έι σδ κδ ΰλαφδεΫμ παλαϊδμ πθ υθαλάπθ,g Ϋξκυθ ηκθαδεά εκδθά φαπκηϋθβ ΜΘΟΟΛΟΓΙ 8 : ΦΠΣΟΜΝ ΝΣΙΣΡΟΦ ΛΤΜΝ ΚΙ : 7 έθαδ β υθϊλββ i Να απκέι σδ β αθδλϋφαδ εαδ θα ίλέ κ τθκζκ δηυθ βμ ii Να ίλέ βθ φαπκηϋθβ βμ C κ, αθ γπλάκυη ΰθπσ σδ β έθαδ παλαΰπΰέδηβ Λτβ : i Έξπ : D, Έπ, D, η πέβμ : Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 6 ΠλκγΫπ εαϊ ηϋζβ δμ εαδ εαδ Ϋξπ : Άλα β έθαδ ΰθβέπμ ατικυα, Ϊλα β έθαδ «-» εαδ Ϊλα β αθδλϋοδηβ πέβμ,, Άλα D

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ii Έπ β φαπκηϋθβ βμ : y C κ βηέκ, σ : Γδα έθαδ : Άλα Γδα εϊγ δξτδ σδ κπσ :, σηπμ Ϊλα : βθ ΰδα Ϋξπ : Άλα : : y y ΚΙ ΓΙ ΛΤ : y 7 έθαδ β υθϊλββ i Να απκέι σδ β αθδλϋφαδ εαδ θα ίλέ κ τθκζκ δηυθ βμ ii Να ίλέ βθ φαπκηϋθβ βμ C κ, αθ γπλάκυη ΰθπσ σδ β έθαδ παλαΰπΰέδηβ 5 7 έθαδ β υθϊλββ i Να απκέι σδ β αθδλϋφαδ εαδ θα ίλέ κ τθκζκ δηυθ βμ ii Να ίλέ βθ φαπκηϋθβ βμ C κ, αθ γπλάκυη ΰθπσ σδ β έθαδ παλαΰπΰέδηβ : Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 7

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Γ ΚΝΟΝ DE L HOSPITAL ΣΟΙΧΙ ΘΩΡΙ ΘΩΡΜ κ θ, g, R {, }, g' πλδκξά κυ η ιαέλβ έπμ κ εαδ υπϊλξδ κ ππλαηϋθκ ά Ϊπδλκ, σ: ΘΩΡΜ κ θ, g, R {, }, g' πλδκξά κυ η ιαέλβ o g έπμ κ εαδ υπϊλξδ κ ππλαηϋθκ ά Ϊπδλκ, σ: o ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΠΡΟΙΟΡΙΣΙ g φκτ δαπδυπ βθ απλκδκλδέα, φαλησαπ κ Θ D L Hospital παλαΰπΰέαπ αλδγηβά εαδ παλαθκηαά θ Ϋξκυη εαδ πϊζδ απλκδκλδέα παθαζαηίϊθκυη α πλκβΰκτηθα o g o g g g πξ ΚΙ ΓΙ ΛΤ : Να υπκζκΰδκτθ α σλδα : ln i ii iii iv v 5 vi vii viii i ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΠΡΟΙΟΡΙΣΙ φκτ δαπδυπ βθ απλκδκλδέα, φαλησαπ κ Θ D L Hospital παλαΰπΰέαπ αλδγηβά εαδ παλαθκηαά θ Ϋξκυη εαδ πϊζδ απλκδκλδέα παθαζαηίϊθκυη α πλκβΰκτηθα πξ ln ln Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 8

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΚΙ ΓΙ ΛΤ : Να υπκζκΰδκτθ α σλδα : 6 ln ln i ii iii iv ln ln ln ln ln v vii viii i ln 5 ln ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΠΡΟΙΟΡΙΣΙ g φκτ δαπδυπ βθ απλκδκλδέα, ΰλΪφπ g ά κπσ Ϋξπ απλκδκλδέα ά εαδ ζδκυλΰυ σππμ παλαπϊθπ πξ πξ ln ln ln g g ΚΙ ΓΙ ΛΤ : Να υπκζκΰδκτθ α σλδα : i ln ii ln iii iv v ln vi ln Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία 9

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΜΘΟΟΛΟΓΙ : ΠΡΟΙΟΡΙΣΙ Όλδκ [ g ] φκτ δαπδυπ βθ απλκδκλδέα, ΰλΪφκυη κθ g g τπκ η β ηκλφά ά g Γδα κ ά Ϋξκυη g g απλκδκλδέα βμ ηκλφάμ, εαδ φαλησακυη Θ D L Hospital πξ σηπμ ln ln ln l ln πέβμ : ln Άλα : ln πξ **δδεά πλέππβ!! σλδα αυάμ βμ ηκλφάμ, αθ κυζϋοκυη τηφπθα η β ηγκκζκΰέα εαδ κ πξ γα κβΰβγκτη απλκδκλδέα, ΰδα αυσ ξλβδηκπκδυ κ ιάμ Ϋξθαηα : ln l ln ln ln Έξκυη : Όηπμ ln ln Άλα : Όαθ κ τπκμ έθαδ δαφκλϊ, η Ϋθα κυζϊξδκθ σλκ εζϊηα, εαδ Ϋξκυη απλκδκλδέα βμ ηκλφάμ, εϊθκυη κηυθυηα εαδ ηϊ ίλέεκυη κ Όλδκ πξ DLH DLH Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ ΚΙ ΓΙ ΛΤ : Να υπκζκΰδκτθ α σλδα : i ii ln iii ln iv ln v vi vii** viii ** ln i** ln ** ln ln 5 Να υπκζκΰδκτθ α σλδα : i ii iii ln ΜΘΟΟΛΟΓΙ 5 : ΠΡΟΙΟΡΙΣΙ,, g ln[ ] g ln g φκτ δαπδυπ βθ απλκδκλδέα, ΰλΪφπ l υθϋξδα ίλέεπ κ σλδκ [ g ln ] Σκ αβκτηθκ σλδκ έθαδ l β πξ ln, Ϋξκυη : ln ln ln ln Άλα : ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 6 Να υπκζκΰδκτθ α σλδα : i ii iii Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία

ΑΑ : ΑΣ ΣΣ Α : ΑΑ ΑΣ wwwpittragonogr Σλία ΚΙ ΓΙ ΛΤ : 7 Να ιϊ αθ έθαδ υθξέμ β γϋβ = β υθϊλββ : 8 Να ιϊ αθ έθαδ υθξέμ β γϋβ = β υθϊλββ : 9 Να ιϊ αθ έθαδ παλαΰπΰέδηβ β γϋβ = β υθϊλββ : Να ιϊ αθ έθαδ παλαΰπΰέδηβ β γϋβ = β υθϊλββ : Να ιϊ αθ έθαδ παλαΰπΰέδηβ β γϋβ = β υθϊλββ : έθαδ υθϊλββ : η υθξά τλβ παλϊΰπΰκ, ΰδα βθ κπκέα δξτδ : h h h h ΰδα εϊγ Να ίλέ βθ έθαδ υθξάμ υθϊλββ : ΰδα βθ κπκέα δξτδ : i Να ίλέ βθ δηά ii Να απκέι σδ β έθαδ παλαΰπΰέδηβ κ iii θ h, θα απκέι σδ κδ φαπκηϋθμ πθ C εαδ h C α βηέα, εαδ, h έθαδ παλϊζζβζμ ΘΫηα παθζζβθέπθ,,, ln ln,, ln,,,, ln, ΜΘΟΟΛΟΓΙ 6 : ΦΡΜΟΓ ΣΟΤ Θ HOSPITAL Σ ΤΝΧΙ ΚΙ ΠΡΓΩΓΙΙΜΟΣΣ ΤΝΡΣ

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 8 ΟΡΙΣΜΟΣ Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y ως προς το μέγεθος για, αν y είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση ; Απάντηση : Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, y συνδέονται με τη σχέση y, όταν είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το στο σημείο την παράγωγο Σχόλια : Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας v ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t είναι η παράγωγος v t, της ταχύτητας v ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t Η παράγωγος v t λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t και συμβολίζεται με t Είναι δηλαδή : t v t S t Στην οικονομία, το κόστος, η είσπραξη και το κέρδος εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας του παραγόμενου προϊόντος Έτσι, η παράγωγος παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους ως προς την ποσότητα, όταν και λέγεται οριακό κόστος στο Ανάλογα, ορίζονται και οι έννοιες οριακή είσπραξη στο και οριακό κέρδος στο ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΡΥΘΜΟΥ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Για να επιλύσουμε προβλήματα σχετικά με ρυθμούς μεταβολής μεγεθών, κάνουμε τα εξής : i Πρώτα καταγράφουμε όλους τους αγνώστους, καθώς και τις σχέσεις που τους συνδέουν Αν η σχέση που συνδέει τους αγνώστους δε δίνεται στην εκφώνηση, τότε την φτιάχνουμε μέσα από τα δεδομένα της εκφώνησης είτε με σχήμα, είτε με τη λογική σκέψη ii Έπειτα μετατρέπουμε τη σχέση που συνδέει τους αγνώστους σε συνάρτηση ως προς τον ανεξάρτητο άγνωστο iii Υπολογίζουμε τις τιμές των αγνώστων όταν που ζητείται ο ρυθμός μεταβολής iv Τέλος παραγωγίζουμε τη συνάρτηση που φτιάξαμε και με αντικατάσταση προκύπτει ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Υπενθύμιση : Εμβαδόν σφαίρας : R, Όγκος σφαίρας : V R Εμβαδόν κώνου : R R, Όγκος κώνου : V R, Όγκος πυραμίδας : V ά Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας v ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t είναι η παράγωγος v t, της ταχύτητας v ως προς το χρόνο t τη χρονική στιγμή t Η παράγωγος v t λέγεται επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t και συμβολίζεται με t Είναι δηλαδή : t v t S t Στην οικονομία, το κόστος, η είσπραξη και το κέρδος εκφράζονται συναρτήσει της ποσότητας του παραγόμενου προϊόντος δηλ,, Έτσι, η παράγωγος παριστάνει το ρυθμό μεταβολής του κόστους ως προς την ποσότητα, όταν και λέγεται οριακό κόστος στο Ανάλογα, ορίζονται και οι έννοιες οριακή είσπραξη στο και οριακό κέρδος στο Η βασική σχέση που συνδέει τις συναρτήσεις,, είναι Το μέσο κόστος παραγωγής μονάδων προϊόντος συμβολίζεται με και είναι ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης των σημείων Α, και Β, ως προς, όταν = Λύση : Η Απόσταση δυο σημείων, y και, y Δίνεται από τον τύπο : y Άρα 6 y Άρα η συνάρτηση που δίνει την απόσταση ως προς είναι 6 με D Εδώ θέλω το ρυθμό μεταβολής της όταν =, δηλ το Βρίσκω πρώτα την Άρα 6 9 6 5 6 6 6 6 Δίνεται ορθογώνιο με διαστάσεις t t 9t και y t 6t 8, όπου t ο χρόνος σε sc Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου, τη χρονική στιγμή που γίνεται τετράγωνο Λύση : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ y άρα t t y t t 9t6t 8 8t 5t 5t 6t 8t 8t 6t Τη χρονική στιγμή που το ορθογώνιο γίνεται τετράγωνο θα ισχύει y t t 9t 6t 8 t t 8 t t 6 t, ή, t απορ t Η συνάρτηση του εμβαδού είναι t 8t 8t 6t Εδώ θέλω το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του ορθογωνίου, τη χρονική στιγμή που γίνεται τετράγωνο δηλ το Βρίσκω πρώτα t 5t 6t 6 Άρα 5 6 6 8 τετραγωνικές μονάδες/sc Η θέση ενός υλικού σημείου, το οποίο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση δίνεται από τον τύπο t t 6t 9t, όπου το t μετριέται σε δευτερόλεπτα και το σε μέτρα iνα βρεθεί η ταχύτητα του σημείου σε χρόνο t ii Ποια είναι η ταχύτητα του σημείου σε χρόνο s και ποια σε χρόνο s; iii Πότε το σημείο είναι στιγμιαία ακίνητο; ivπότε το σημείο κινείται στη θετική κατεύθυνση και πότε στην αρνητική κατεύθυνση; vνα βρεθεί το ολικό διάστημα που έχει διανύσει το σημείο στη διάρκεια των πρώτων 5 s Λύση : i Η ταχύτητα είναι : υ t t t 6t 9t t t 9 ii Η ταχύτητα του σημείου σε χρόνο και σε χρόνο t s είναι υ 9 9 m/s iii Το σημείο είναι ακίνητο, όταν t t s είναι υ 9 m/s t ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 5 t t 9 t t t ή Άρα, το σημείο είναι ακίνητο ύστερα από s και ύστερα από s ivτο σημείο κινείται στη θετική κατεύθυνση, όταν t t t 9 t t t t t ή t Άρα, το σημείο κινείται στη θετική κατεύθυνση στα χρονικά διαστήματα t και t και στην αρνητική κατεύθυνση όταν t Σχηματικά η κίνηση του υλικού σημείου μπορεί να παρασταθεί ως εξής:

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ t= t= t= =t vη απόσταση που διανύθηκε από το κινούμενο σημείο είναι: Στη διάρκεια του πρώτου δευτερόλεπτου Από t μέχρι t S m Από t μέχρι t 5 S 5 m S m Άρα, το ολικό διάστημα S που διάνυσε το σημείο σε χρόνο 5s είναι S S S S 8m Mια σφαιρική μπάλα χιονιού αρχίζει να λιώνει Η ακτίνα της, που ελαττώνεται, δίνεται σε cm από τον τύπο r t, όπου t ο χρόνος σε sc Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της επιφάνειας Ε και του όγκου V της μπάλας, όταν t sc Θυμηθείτε ότι E r και V r Ασκ Α ομάδας σελ σχολικό Λύση : Επειδή r και η ακτίνα r μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου t, έχουμε : t r t και r t t t 8 r t r t με r t t Έτσι : 8r r 8 8 cm / s Ομοίως r V t t, V t r t r t Έτσι : V r r 9 7 cm / s 5 Αν η επιφάνεια μιας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό cm /sc, να βρείτε το ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται ο όγκος αυτής όταν r 85cm Ασκ Β ομάδας σελ σχολικό Λύση : Είναι r rt η ακτίνα της σφαίρας ως συνάρτηση του χρόνου t Η επιφάνεια της σφαίρας είναι t r t και ο όγκος V t r t Οπότε : t 8 r t r t και V t r t r t Τη χρονική στιγμή t η επιφάνεια μιας σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό cm /sc δηλ t cm / s και η ακτίνα της είναι r t 85 cm ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 6

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Άρα t cm / s 8r t r t 8 85r t r t Έτσι : V t r t r t 85 5 cm / s 68 cm / s 68 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΗ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 Ένα κινητό Μ ξεκινά από την αρχή των αξόνων και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y, Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του y, αν υποτεθεί ότι t για κάθε t Ασκ 5 Α ομάδας σελ σχολικό Λύση : Έστω, y σημείο της καμπύλης y Επειδή η τετμημενη και η τεταγμένη του σημείου Μ μεταβάλλονται συναρτήσει του χρόνου t είναι t, y y t με y t t O ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του Μ είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της t τεταγμένης του y άρα : t y t t t t t t t t Και y t t y t y t Δηλ, 7 Ένα κινητό κινείται σε κυκλική τροχιά με εξίσωση y Καθώς περνάει από το σημείο,, η τεταγμένη y ελαττώνεται με ρυθμό μονάδες το δευτερόλεπτο Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης τη χρονική στιγμή που το κινητό περνάει από το Α Ασκ 8 Β ομάδας σελ 5 σχολικό Λύση : Έστω t, y y t οι συντεταγμένες του κινητού, την τυχαία χρονική στιγμή t Τη χρονική στιγμή t που το κινητό βρίσκεται στη θέση, είναι t, y t Επίσης y t Όμως το κινητό κινείται στον κύκλο y δηλ t y t Παραγωγιζοντας και τα δυο μέλη έχουμε : t y t t t y t y t ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 7

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Έτσι η για t t γίνεται : t t y t y t t t ά / s 8 Ένα περιπολικό Α κινείται κατά μήκος της καμπύλης y, πλησιάζοντας την ακτή και ο προβολέας του φωτίζει κατευθείαν εμπρός Σχήμα Αν ο ρυθμός a A a, μεταβολής της τετμημένης του περιπολικού δίνεται από τον τύπο t t να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του σημείου Μ της ακτής στο οποίο πέφτουν τα φώτα του προβολέα τη χρονική στιγμή κατά την οποία το περιπολικό έχει τετμημένη Ασκ 6 Β ομάδας σελ 5 σχολικό Λύση : B M Ακτή Ο Ο προβολέας του περιπολικού φωτίζει κατά τη διεύθυνση της εφαπτομένης της στο σημείο,, καθώς αυτό κινείται κατά μήκος της καμπύλης Είναι y, με Έστω ε η εφαπτομένη της C στο σημείο, τότε : y : y : y Το σημείο Μ είναι το σημείο που η εφαπτομένη τέμνει τον y Έτσι : Άρα το σημείο Μ έχει τετμημενη t t t t, έτσι t, όμως τη χρονική στιγμή t το περιπολικό, δηλ το σημείο Α, έχει τετμημενη άρα t Τελικά t ή t ό 9 Ένα υλικό σημείο, y κινείται κατά μήκος της καμπύλης C : y, με t, y y t t Τη χρονική στιγμή t που το Μ περνάει από το σημείο, η τετμημένη του αυξάνει με ρυθμό μονάδες/sc Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης l τη χρονική στιγμή που το κινητό περνάει από το Α Λύση : Έστω t, y y t οι συντεταγμένες του σημείου Μ Ισχύει ότι y t t t Τη χρονική στιγμή t το Μ παίρνει από το,, άρα : t, y t και από εκφώνηση t / s Επίσης : l y l Όμως η απόσταση y χρόνου t, έτσι έχω : l t t y t y ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 8 C l είναι συνάρτηση του y

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Παραγωγίζοντας και τα δυο μέλη της έχω : l t l t t t y t y t Επίσης η για t t γίνεται : l t t y t l t l t t Ακόμα : y t t t t t t, Δηλαδή : y t t t t t y t Τελικά η για t t γίνεται : l t l t t t y t y t l t l t 8 l t / s ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΓΩΝΙΑΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Ένα αερόστατο Α αφήνει το έδαφος σε απόσταση m από έναν παρατηρητή Π με ταχύτητα 5m/min Με ποιο ρυθμό αυξάνεται η γωνία θ που σχηματίζει η ΑΠ με το έδαφος τη χρονική στιγμή κατά την οποία το μπαλόνι βρίσκεται σε ύψος m A Π θ Ασκ Β ομάδας σελ 5 σχολικό Λύση : Το ύψος h και η γωνία μεταβάλλονται ως συνάρτηση του χρόνου t Έτσι : h ht και t Τη χρονική στιγμή t από δεδομένα έχουμε : h t m και h t 5m / min Το τρίγωνο του σχήματος είναι ορθογώνιο έτσι : ά h h t t Παραγωγίζοντας την ισότητα έχουμε : ά h t t t h t t t t t t h t m t t h t t t h t t H για t t γίνεται : t t h t h t Όμως t Άρα η γίνεται : 5 t t h t t t rad / min h ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα 9

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΣΚΑΛΑΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Μία σκάλα μήκους m είναι τοποθετημένη σ έναν τοίχο Το κάτω μέρος της σκάλας γλιστρά στο δάπεδο με ρυθμό,m/sc Τη χρονική στιγμή t, που η κορυφή της σκάλας απέχει από το δάπεδο,5m, να βρείτε: i Την ταχύτητα με την οποία πέφτει η κορυφή Α της σκάλας ii Το ρυθμό μεταβολής της γωνίας θ Σχήμα Ασκ 7 Β ομάδας σελ 5 σχολικό Λύση : i Τα μεγέθη, y, είναι συναρτήσεις του χρόνου t έτσι : t, y y t, t Από δεδομένα έχουμε ότι τη χρονική στιγμή t είναι t,m / s, y t, 5m Ψάχνουμε την ταχύτητα με την οποία πέφτει η κορυφή Α της σκάλας δηλ το y t Επειδή το τρίγωνο του σχήματος είναι ορθογώνιο έχουμε : y t y t 9 tt Επίσης t y t 9 t y t 9 t 6,5 9 t, 75m Παραγωγίζοντας την ισότητα έχουμε : t t y t y t H για t t γίνεται : t t y t y t,75 y t m / s 5 ii Είναι : ά ά y t t t t t t t t t t H για t y,75,,5 y t t y t t y t t t t t y t t y t t t t t y t t t y t Παραγωγίζοντας την ισότητα έχουμε t y t t t γίνεται : t t y t,5 Όμως t t,75 y t t y t t A y Ο t y t t y t t t m θ Β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpittragonogr Σελίδα