Μικροοικονοµική Θεωρία

Μικροοικονοµική Θεωρία Θεωρία Χρησιµότητας και Προτιµήσεων. Καταναλωτικές Προτιµήσεις: Βασικά Αξιώµατα. Συνολική και οριακή χρησιµότητα Καµπύλη αδιαφορίας ή ισοϋψής καµπύλη χρησιµότητας. Ιστορική Αναδροµή Χαρακτηριστικά Καµπυλών Αδιαφορίας Οριακός λόγος υποκατάστασης Φθίνον Οριακός Λόγος Υποκατάστασης (αφορά κυρτές καµπύλες αδιαφορίας) Είδη Καµπυλών Αδιαφορίας 1

Θεωρία Χρησιµότητας και Προτιµήσεων. έσµη ή δεσµίδα ή συνδυασµός κατανάλωσης είναι ένα διάνυσµα Χ= (χ 1, χ 2, χ 3..χ ν ) n που περιέχει αγαθά. Ανήκει σε ένα σύνολο κατανάλωσης Χ ( x X ) όπου X R1 (το Χ υποσύνολο του θετικού τεταρτηµορίου) > : τουλάχιστον τόσο προτιµητέο όσο > : αυστηρά προτιµητέο ~ : αδιάφορο Κάθε συνδυασµός καταναλωτικών αγαθών δίδεται από ένα διατεταγµένο σύνολο µη αρνητικών πραγµατικών αριθµών και απεικονίζεται γεωµετρικά ως ένα σηµείο στο µη αρνητικό τµήµα του σχετικού χώρου. Καταναλωτικές Προτιµήσεις: Βασικά Αξιώµατα. 1. Συγκρισιµότητα Πληρότητα Για οποιουσδήποτε συνδυασµούς αγαθών Α και Β, ο καταναλωτής µπορεί να προσδιορίσει ποιος συνδυασµός του αποφέρει µεγαλύτερη ικανοποίηση. Αν ο Α παρέχει µεγαλύτερη ικανοποίηση από τον Β, τότε λέµε ότι ο Α είναι προτιµητέος έναντι του Β και το αντίστροφο. Αν και οι δυο συνδυασµοί παρέχουν την ίδια ικανοποίηση, τότε λέµε ότι ο καταναλωτής είναι αδιάφορος µεταξύ των Α και Β. 2. Μεταβατικότητα Συνέπεια Αν ο συνδυασµός Α προτιµάται έναντι του συνδυασµού Β και ο Β προτιµάται έναντι του συνδυασµού Γ, τότε ο Α προτιµάται έναντι του. Παρόµοια αν ο καταναλωτής είναι αδιάφορος µεταξύ των συνδυασµών Α και Β και µεταξύ Β και Γ, τότε είναι αδιάφορος και µεταξύ Α και Γ. Το αξίωµα αυτό εξασφαλίζει την εσωτερική συνέπεια των επιλογών του καταναλωτή. Τα σύνολα αδιαφορίας δεν έχουν κοινά σηµεία, δηλαδή οι καµπύλες αδιαφορίας δεν τέµνονται. Ορθολογικός Καταναλωτής: ο καταναλωτής του οποίου οι επιλογές εκπληρούν τις δυο παραπάνω ιδιότητες. 3. Συνεχεία εδοµένου ενός συνδυασµού αγαθών Α, υπάρχουν συνδυασµοί αγαθών, τους οποίους ο καταναλωτής προτιµά έναντι του Α, άλλοι συνδυασµοί έναντι των οποίων ο Α είναι προτιµότερος και τέλος, υπάρχουν οπωσδήποτε συνδυασµοί αγαθών, διάφοροι ποσοτικά του Α, οι οποίοι του παρέχουν την ίδια ικανοποίηση. Άρα οι καµπύλες δεν µπορούν να είναι διακεκοµµένες, αλλά είναι συνεχείς, δεν υπάρχουν δηλαδή ασυνέχειες. 4. Ανακλαστικότητα Το Αξίωµα της Ανακλαστικότητας, σύµφωνα µε το οποίο ένας συνδυασµός είναι εξίσου καλός µε τον εαυτό του. Κάθε δεσµίδα ανήκει σε κάποιο σύνολο αδιαφορίας, έστω και στον εαυτό της. 2

Τα παραπάνω 4 αξιώµατα θεωρούνται τα βασικά υπάρχουν όµως και δυο επικουρικά αξιώµατα. 5. Μονοτονικότητα? Ασθενής Μονοτονικότητα: ο καταναλωτής προτιµά µια δεσµίδα που έχει περισσότερες ποσότητες από µια άλλη που έχει λιγότερες. Άρα θέλει και τα δυο αγαθά να έχουν περισσότερη ποσότητα από την άλλη δεσµίδα για να την προτιµήσει. Ισχυρή Μονοτονικότητα: ο καταναλωτής προτιµά µια δεσµίδα αρκεί το ένα αγαθό να είναι σε µεγαλύτερη ποσότητα από το άλλο για να την προτιµήσει. Αντιπροσώπευση Εκπροσώπηση Μια συνάρτηση Μ(χ) που αντίστοιχη έναν αριθµό σε κάθε δεσµίδα κατανάλωσης, αντιπροσωπεύει τις προτιµήσεις του καταναλωτή, δηλαδή αποτελεί συνάρτηση χρησιµότητας. Το µόνο που απαιτείται από την συνάρτηση χρησιµότητας είναι να εκφράζει απλά, την κατάταξη των συνδυασµών των αγαθών κατά τις προτιµήσεις του καταναλωτή, δίδοντας µεγαλύτερη τιµή σε ορισµένους συνδυασµούς έναντι άλλων χωρίς, όµως να έχουν σηµασία οι αριθµοί αυτοί καθαυτοί και, εποµένως και οι µεταξύ τους διαφορές. (µιλάµε για την χρησιµότητα ως τακτικό µέγεθος και όχι ως απόλυτο) Πολλές συναρτήσεις χρησιµότητας µπορούν να περιγράψουν εξίσου καλά τις προτιµήσεις του καταναλωτή: Π.χ. u 1 = u(x,y) = xy & u 2 = u(u) 2 =(xy) 2 x y u 1 u 2 10 10 100 10.000 5 20 100 10.000 1 100 100 10.000 Άρα ο συγκεκριµένος καταναλωτής είναι αδιάφορος µεταξύ των τριών αυτών συνδυασµών παρόλο που η απόλυτη τιµή (αριθµός) της χρησιµότητας διαφέρει. Η απόλυτη τιµή της χρησιµότητας εξαρτάται από τη συγκεκριµένη συνάρτηση χρησιµότητας που θα πάρουµε. Έχοντας µια συνάρτηση, που αντανακλά τις τακτικές προτιµήσεις του καταναλωτή, µπορούµε να κατασκευάσουµε έναν οποιοδήποτε αριθµό εναλλακτικών συναρτήσεων χρησιµότητας που να αντανακλούν τις ίδιες τακτικές προτιµήσεις. Συνολική και οριακή χρησιµότητα Η γενικευµένη µορφή της συνάρτησης χρησιµότητας είναι: u(x 1, x 2,x 3 x v ) όπου: u= συνολική χρησιµότητα και x 1, x 2,x 3 x v = ποσότητες των αγαθών 1,.., ν 3

Η οριακή χρησιµότητα είναι: η χρησιµότητα που επιτυγχάνεται από την κατανάλωση u µιας επιπλέον µονάδας του αγαθού X, ux Καµπύλη αδιαφορίας ή ισοϋψής καµπύλη χρησιµότητας. Είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων (ή των συνδυασµών αγαθών) µεταξύ των οποίων ο καταναλωτής είναι αδιάφορος. Κάθε σηµείο µιας καµπύλης αδιαφορίας αποφέρει την ίδια συνολική χρησιµότητα µε οποιαδήποτε άλλο σηµείο της ίδιας καµπύλης αδιαφορίας. Αν η συνάρτηση χρησιµότητας δίνεται από τον τύπο u(x 1, x 2,x 3 x v ) όπου χ 1 είναι η καταναλισκόµενη ποσότητα του αγαθού 1, χ 2 είναι η καταναλισκόµενη ποσότητα του αγαθού 2 κ.τ.λ., τότε η καµπύλη αδιαφορίας ορίζεται ως το σύνολο όλων των συνδυασµών των αγαθών (χ 1, χ 2, χ 3, χ v ) που ικανοποιούν την εξίσωση u(x 1, x 2,x 3 x v ) = c όπου c είναι το σταθερό επίπεδο χρησιµότητας για αυτή τη καµπύλη αδιαφορίας. Ένας Χάρτης καµπυλών αδιαφορίας δηµιουργείται αν δοθούν διάφορες τιµές στη σταθερά c της εξίσωσης u(x 1, x 2,x 3 x v ) = c Π.χ. Όταν u(x,y) = xy οι καµπύλες αδιαφορίας δίνονται από την εξίσωση xy=c όπου c είναι η σταθερή τιµή της χρησιµότητας κατά µήκος µιας καµπύλης αδιαφορίας. Τα σηµεία (x,y) : (1,5) και (2,5, 2) βρίσκονται πάνω στην ίδια καµπύλη αδιαφορίας µιας και αποδίδουν την ίδια χρησιµότητα c=5. Έστω ότι αλλάζουµε τις απόλυτες τιµές χρησιµότητας µε την ύψωση τους στο τετράγωνο έτσι ώστε u (x,y) = [u(x,y)] 2 = x 2 y 2. ιαπιστώνουµε ότι βρισκόµαστε πάνω στην ίδια καµπύλη αδιαφορίας αλλά τώρα c=25. Εποµένως οι καµπύλες αδιαφορίας παραµένουν αµετάβλητες (εκτός από τις αριθµητικές ταµπέλες τους) µετά από µονοτονικούς µετασχηµατισµούς της συνάρτησης χρησιµότητας. Ιστορική Αναδροµή Jeremy Bentham 1789 = απόλυτη χρησιµότητα 1. Stanley Jevons 1871, Carl Menger 1871, Leon Warlas 1874 = Απόλυτη, Αθροιστική Χρησιµότητα u= u(x 1 ) + u(x 2 ) + u(x 3 ) +.. u(x n ) 2. Francis Edgeworth 1881, G.B. Antonelli 1886, Irving Fisher 1892 = Μετρήσιµο µέγεθος (απόλυτη χρησιµότητα) αλλά όχι αθροιστική. u(x 1, x 2,x 3 x v ) 3. Vilfredo Pareto 1906 = Τακτική χρησιµότητα Χαρακτηριστικά Καµπυλών Αδιαφορίας 1. Το πεδίο των καµπυλών αδιαφορίας είναι πυκνό. Υπάρχει µια καµπύλη αδιαφορίας που περνά από κάθε σηµείο του χώρου των αγαθών. 4

2. Ο χάρτης αδιαφορίας είναι µοναδικός για κάθε καταναλωτή. 3. Οι συνδυασµοί πάνω στην ίδια καµπύλη αδιαφορίας δίνουν την ίδια ικανοποίηση στον καταναλωτή. 4. Κάθε συνδυασµός δεξιά της καµπύλη αδιαφορίας προτιµάται και αριστερά της καµπύλη αδιαφορίας δίνει λιγότερη ικανοποίηση. 5. Καµπύλες αδιαφορίας που παριστούν διαφορετικά επίπεδα προτίµησης δεν µπορούν να τέµνονται. Σηµεία πάνω σε δυο καµπύλες αδιαφορίας: Α, Β, Γ. Τα σηµεία Α,Β ανήκουν στην καµπύλη αδιαφορίας Ι, και τα σηµεία Α, Γ ανήκουν στην καµπύλη αδιαφορίας ΙΙ. Ο καταναλωτής είναι αδιάφορος µεταξύ των συνδυασµών Α και Β αφού ανήκουν στην ίδια καµπύλη αδιαφορίας. Αντίστοιχα ο καταναλωτής είναι αδιάφορος µεταξύ των συνδυασµών Α και Γ αφού ανήκουν στην ίδια καµπύλη αδιαφορίας. Σύµφωνα µε την ιδιότητα της Μεταβατικότητας: οι συνδυασµοί Β, Γ θα πρέπει να µας είναι αδιάφοροι (ταυτίζονται). Εδώ εµφανίζεται µια αντίφαση µιας και οι συνδυασµοί Β, Γ ανήκουν σε ξεχωριστή καµπύλη αδιαφορίας. 6. Μονοτονικές προτιµήσεις η οποία και συνεπάγεται αρνητική κλίση στις καµπύλες αδιαφορίας Αυστηρή Μονοτονικότητα: ο συνδυασµός Α είναι αυστηρά µεγαλύτερος από τον Β διότι έστω ο πρώτος περιέχει περισσότερες µονάδες για κάθε αγαθό σε σχέση µε τον συνδυασµό Β. Στον χώρο των αγαθών αυτό φαίνεται επειδή ο Α βρίσκεται βορειοανατολικά του Β. Αν ο καταναλωτής δεν έχει φτάσει σε σηµείο κορεσµού και για τα δυο αγαθά, τότε προτιµά τον Α από τον Β: κατά συνέπεια οι καµπύλες αδιαφορίας έχουν αρνητική κλίση. Γιατί έστω ότι ο καταναλωτής είναι αδιάφορος µεταξύ των συνδυασµών Γ,, ο Γ δεν µπορεί να περιέχει µεγαλύτερες ποσότητες και των δυο αγαθών από ότι ο και το αντίστροφο (θα είχαµε θετική κλίση). Αντίθετα κάθε συνδυασµός πρέπει να περιέχει µεγαλύτερη ποσότητα του ενός αγαθού και µικρότερη ποσότητα του αλλού. 5

Η κλίση τους (δηλ. ο MRS) µειώνεται όσο προχωρούµε από πάνω προς τα κάτω. Αυτό σχετίζεται µε το νόµο της φθίνουσας οριακής χρησιµότητας. Όσο αυξάνεται η ποσότητα του Χ και µειώνεται η ποσότητα του Υ η οριακή χρησιµότητα του Χ µειώνεται ενώ η οριακή χρησιµότητα του Υ αυξάνεται. 7. Κυρτότητα (ή φθίνων οριακός λόγος Υποκατάστασης) ένας καταναλωτής που είναι αδιάφορος ανάµεσα στο Α και το Β θα προτιµούσε αυστηρά έναν γραµµικό συνδυασµό Γ = αα + (1-α)Β από είτε απλά Α είτε απλά Β. Άρα προτιµά µίγµατα. Σε περίπτωση κοίλης καµπύλης αδιαφορίας ο καταναλωτής απεχθάνεται τα µίγµατα. Κυρτές προτιµήσεις -ο σταθµισµένος µέσος όρος δύο αδιάφορων συνδυασµών είναι αυστηρά προτιµότερος από τους δύο ακραίους συνδυασµούς- συνεπάγεται καµπύλες αδιαφορίας κυρτές ως προς την αρχή των αξόνων. Η διαπίστωση της κυρτότητας (ή κοιλότητας) γίνεται πιο εύκολα εάν η καµπύλη βρίσκεται πάνω (κάτω) από την εφαπτόµενη της σε κάθε σηµείο. Οριακός λόγος υποκατάστασης Ο λόγος υποκατάστασης του Υ σε όρους του Χ µετράει τον αριθµό των µονάδων του Υ οι οποίες πρέπει να θυσιαστούν για την απόκτηση µιας επί πλέον µονάδας του Χ, έτσι ώστε ο καταναλωτής να απολαµβάνει το ίδιο επίπεδο ικανοποίησης (να διατηρήσει το επίπεδο χρησιµότητας στην ίδια καµπύλη αδιαφορίας) Η κλίση των καµπυλών αδιαφορίας ονοµάζεται οριακός λόγος υποκατάστασης (marginal rate of substitution, MRS) Ορίζεται µόνο για µετακινήσεις κατά µήκος µιας καµπύλης αδιαφορίας και ποτέ για µετακινήσεις µεταξύ καµπυλών. Y ΟΛΥ= MRS = Χ Έστω ότι η συνάρτηση χρησιµότητας είναι u(x,y). Η µεταβολή της χρησιµότητας που προέρχεται από µια µικρή µεταβολή του χ (ή του y) είναι η οριακή χρησιµότητα του χ u (ή του y). Άρα η οριακή χρησιµότητα του χ είναι ux και η οριακή χρησιµότητα 6

u του y είναι uy. Μια καµπύλη αδιαφορίας δίνεται από τον τύπο u(x,y = c µια y σταθερά. Παίρνοντας την ολική παράγωγο βρίσκουµε u ( x, y) dx+ u ( x, y) dy= 0 και λύνοντας ως προς την κλίση της καµπύλης x αδιαφορίας βρίσκουµε ότι: dy ux( x, y) =ΟΛΥ y/ x = dx u ( x, y) y y Άρα ο λόγος υποκαταστάσεως του y µε χ (κλίση) είναι ο λόγος των οριακών χρησιµοτήτων του Χ και του Υ. Φθίνον Οριακός Λόγος Υποκατάστασης (αφορά κυρτές καµπύλες αδιαφορίας) Ο ΟΛΥ του Υ µε Χ µειώνεται σε απόλυτους όρους καθώς το Υ υποκαθίσταται µε το Χ κατά µήκος µιας κυρτής καµπύλης αδιαφορίας. Η κυρτότητα των καµπυλών αδιαφορίας δικαιολογείται συνήθως µε το επιχείρηµα ότι καθώς ο καταναλωτής αποκτά ολοένα και µεγαλύτερες ποσότητες του Χ, η οριακή χρησιµότητα µιας επιπλέον αυξήσεως του Χ µειώνεται. Ενώ αντίθετα η οριακή χρησιµότητα του Υ διαρκώς αυξάνει, µε αποτέλεσµα η µείωση της καταναλώσεως του Υ κατά µια επιπλέον µονάδα να απαιτεί όλο και µεγαλύτερη ποσότητα του Χ για να αντισταθµίσει ο καταναλωτής την απώλεια χρησιµότητας του. ΟΛΥ Υµε Χ =7 αυξάνεται το Χ µια µονάδα, µειώνεται το Υ κατά 7 ΟΛΥ Υµε Χ =5 αυξάνεται το Χ µια µονάδα, µειώνεται το Υ κατά 5 ΟΛΥ Υµε Χ =3 αυξάνεται το Χ µια µονάδα, µειώνεται το Υ κατά 3 Όσο αυξάνεται το Χ τόσο µειώνεται ο ΟΛΥ Υµε Χ εξαιτίας του βαθµιαίου κορεσµού που επέρχεται στον καταναλωτή όταν αυξάνεται η κατανάλωση του Χ. Συνεπώς καθώς αυξάνεται η κατανάλωση του Χ ο καταναλωτής είναι διατεθειµένος να θυσιάσει ολοένα και µικρότερες ποσότητες του Υ για την απόκτηση µιας προσθετής µονάδας του Χ. dy ux( x, y) u =ΟΛΥ y/ x = µειώνεται ux( x. y) dx u ( x, y) y u αυξάνεται uy ( x, y) y Π.χ. ένας καταναλωτής που έχει 1000 λίτρα νερού εβδοµαδιαίως µπορεί να είναι απόλυτα ευχαριστηµένος από την ανταλλαγή ενός λίτρου νερού µε µια φέτα ψωµί. Αν όµως µόνο ένα λίτρο νερού την εβδοµάδα µπορεί να δίσταζε, ίσως να ανταλλάξει ακόµα και ένα ποτήρι νερού έστω και µε ένα ολόκληρο φούρνο ψωµιά. Θεώρηµα: Εάν υποθέσουµε ότι οι προτιµήσεις του καταναλωτή είναι πλήρεις, ανακλαστικές, µεταβατικές και συνεχείς, τότε υπάρχει µια συνεχής συνάρτηση χρησιµότητας, η οποία αντιπροσωπεύει αυτές τις προτιµήσεις. 7

Αυστηρά κοίλη συνάρτηση χρησιµότητας + αυστηρά κυρτή καµπύλη αδιαφορίας + φθίνοντας οριακός λόγος υποκαταστάσεως. Τα παραπάνω ισχύουν όταν 2 y y ΟΛΥ Υµε X = < 0και > 0 2 Η συνάρτηση χρησιµότητας τύπου Cobb Douglas προϋπόθεσης. u a b = x y πλήρη τις πιο πάνω Είδη Καµπυλών Αδιαφορίας 1. Οι καµπύλες αδιαφορίας είναι ευθείες γραµµές (U(x,y) = ax + by) για αγαθά τέλεια υποκατάστατα µε MRS = - a / b 2. Οι καµπύλες αδιαφορίας έχουν σχήµα L για αγαθά τέλεια συµπληρωµατικά µε U(x,y) = min(ax, by) µε MRS είτε 0 είτε άπειρος. 3. Στα ουδέτερα αγαθά οι καµπύλες αδιαφορίας είναι κάθετες γραµµές µε MRS παντού άπειρος. 4. Στα ανεπιθύµητα αγαθά η κατεύθυνση αύξουσας προτίµησης των καµπυλών αδιαφορίας είναι προς τα κάτω και δεξιά προς το «αγαθό». 5. Οι καµπύλες αδιαφορίας που παριστάνουν κορεσµένες προτιµήσεις είναι κυκλικές 6. Οι (κυρτές) Καµπύλες Αδιαφορίας εµφανίζουν έναν µειούµενο οριακό λόγο υποκατάστασης Οµοθετικές και Μη Οµοθετικές προτιµήσεις Οµοθετικές συναρτήσεις: ο οριακός λόγος υποκατάστασης στις συναρτήσεις χρησιµότητας εξαρτάται µόνο από το λόγο των ποσοτήτων των δύο αγαθών και όχι από τις συνολικές ποσότητες των δύο αγαθών. Οι οριακές χρησιµότητες και των δύο αγαθών εξαρτώνται από τα Χ και Υ. οι κλίσεις των καµπυλών αδιαφορίας εξαρτώνται µόνο από τον λόγο Υ / Χ και όχι από το πόσο µακριά είναι η καµπύλη από την αρχή των αξόνων. Μη Οµοθετικές συναρτήσεις: ο οριακός λόγος υποκατάστασης στις συναρτήσεις χρησιµότητας εξαρτάται µόνο από την µια ποσότητα του Υ ή Χ. 8