ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΚΥΚΛΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης και ίδιας συχνότητας, οι οοίες εξελίσσονται γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας. Να γράψετε την εξίσωση της αομάκρυνσης αό τη θέση ισορροίας για τη συνισταμένη ταλάντωση ου εκτελεί το σώμα στις εριτώσεις όου οι χρονικές εξισώσεις αομάκρυνσης για τις δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις είναι οι: α. x = 0,ημ5t (S.I.) και x = 0,ημ5t (S.I.) β. x = 0,ημ8t (S.I.) και x = 0,8ημ(8t + ) (S.I.) α. Οι ταλαντώσεις έχουν την ίδια συχνότητα και η διαφορά φάσης τους είναι ίση με μηδέν κάθε χρονική στιγμή (συμφασικές ταλαντώσεις). Εομένως το λάτος της συνισταμένης ταλάντωσης ισούται με το άθροισμα των λατών των συνιστωσών ταλαντώσεων. Δηλαδή: Α=Α + Α Α = 0,8 m Αφού οι δύο συνιστώσες ταλαντώσεις είναι συμφασικές, η φάση της συνισταμένης ταλάντωσης ισούται με τη φάση των συνιστωσών ταλαντώσεων. Άρα η εξίσωση αομάκρυνσης της συνισταμένης ταλάντωσης είναι η: x = 0,8ημ5t (S.I.) Μορούσαμε να χρησιμοοιήσουμε την αρχή της εαλληλίας ως εξής. x = x + x = 0,ημ5t + 0,ημ5t x = 0,8ημ5t (S.I.) Παρατήρηση: Οι συμφασικές ταλαντώσεις δεν είναι ααραίτητο να έχουν μηδενική αρχική φάση. Για αράδειγμα, οι συνιστώσες ταλαντώσεις x = 0,ημ(0t + /) (S.Ι.) και x = 0,ημ(0t + /) (S.I.) είναι συμφασικές και έχουν αρχική φάση / rad. Και στην ερίτωση αυτή το άθροισμα των λατών των συνιστωσών ταλαντώσεων ισούται με το λάτος της συνισταμένης ταλάντωσης και η φάση της συνισταμένης ταλάντωσης ισούται με τη φάση των συνιστωσών ταλαντώσεων. Δηλαδή η εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης στην ερίτωση αυτή είναι η x = 0,4ημ(0t + /) (S.I.). β. Οι δύο συνιστώσες ταλαντώσεις έχουν ίδια συχνότητα και διαφορά φάσης ου είναι ίση με: φ = φ φ φ = (8t + ) 8t φ = rad ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 97 7, 9750 W.U.
Εομένως το λάτος της συνισταμένης ταλάντωσης ισούται με την αόλυτη τιμή της διαφοράς των λατών των συνιστωσών ταλαντώσεων. Δηλαδή: Α = Α Α Α = 0,m Η φάση της συνισταμένης ταλάντωσης ισούται με τη φάση της ταλάντωσης ου έχει το μεγαλύτερο λάτος (δηλαδή της x ). Εομένως η εξίσωση της αομάκρυνσης για τη συνισταμένη ταλάντωση είναι η: x = 0,ημ(5t + ) (S.I.) Με την αρχή της εαλληλίας έχουμε: x = x + x x = 0,ημ8t + 0,8ημ(8t + ) x = 0,ημ8t 0,8ημ8t x = 0,ημ8t x = 0,ημ(8t + ) (S.I.) ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 97 7, 9750 W.U.
. Οι δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις ου εκτελεί ταυτόχρονα ένα μικρό σώμα εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας και οι χρονικές εξισώσεις αομάκρυνσης τους είναι οι x = 0, ημ5t (S.I.) και x = 0,ημ(5t + /) (S.Ι.). α. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της αομάκρυνσης του σώματος αό τη θέση ισορροίας του. β. Να υολογίσετε την ταχύτητα την χρονική στιγμή t = 0, s γ. Να βρείτε οια χρονική στιγμή γίνονται αντίθετες οι δύο ειμέρους αομακρύνσεις για ρώτη φορά. α. Η διαφορά φάσης των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων είναι ίση με: φ = φ φ φ = / rad Το λάτος της συνισταμένης ταλάντωσης υολογίζεται αό τη σχέση: Α = 0,m A t = 0 A ω και 0, 0, θ = rad ( θ A Σημείωση: Η αρχική φάση της συνισταμένης ταλάντωσης ρέει να βρίσκεται άντα ανάμεσα στις δύο αρχικές φάσεις των ταλαντώσεων αό τις οοίες με την σύνθεση τους ροκύτει η συνισταμένη ταλάντωση. Η εξίσωση αομάκρυνσης της συνισταμένης ταλάντωσης έχει τη μορφή: x = 0,ημ(5t + ) (S.I.) β. Η εξίσωση της ταχύτητας ροκύτει αό τη συνισταμένη κίνηση και είναι: υ max = ωα υ max = m/s οότε έχουμε max ( t 0) υ = συν( 5t + ) (S.I.) Άρα τη χρονική στιγμή t έχουμε: m υ = συν( 5 0, + ) υ = συν( ) υ =, 5 s γ. Οι αομακρύνσεις είναι αντίθετες άρα: k x x 0, 5t 0, (5t ) 5t 5t 5t 5t k t 0 Άρα για ρώτη φορά t 5 s 0 t = s ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 97 7, 9750 W.U.
Θα μορούσαμε να ούμε ότι αφού x = x τότε x = x + x = 0 0,ημ(5t + ) = 0... t = s ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 97 7, 9750 W.U. 4
. Σημειακό αντικείμενο μάζας m = kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις x = f(t) και x = f(t) ου έχουν ίσες συχνότητες f = 5/ Hz και εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας. Οι χρονικές εξισώσεις αομάκρυνσης των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων είναι οι x = 0,5ημωt (S.I.) και x = Α ημ(ωt + /). Τη χρονική στιγμή t = 0 το σημειακό αντικείμενο διέρχεται αό τη θέση x = 0,5 m. α. Να υολογίσετε το λάτος της συνιστώσας ταλάντωσης Α. β. Να βρείτε την ενέργεια της συνισταμένης ταλάντωσης. γ. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της κινητικής ενέργειας του σημειακού αντικειμένου. δ. Να βρείτε οια ρέει να είναι η διαφορά φάσης των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων ώστε να ισχύει η σχέση Ε = Ε + Ε. Δίνεται 0 φ rad. α. Κάθε χρονική στιγμή ισχύει: x = x + x () Τη χρονική στιγμή t = 0 είναι: x = 0,4ημ(ω 0) x = 0 και x 0 x Αό την () έχουμε x x x 0, 5 0 Α 0,5 m β. Το λάτος της συνισταμένης ταλάντωσης είναι: A A A AA 0, 5 0, 5 0,5 0,5 Α = 0,5 m Η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης είναι: ω = f ω = 0 rad/s. και η σταθερά εαναφοράς είναι: D m N D = 00 m Η ενέργεια της συνισταμένης ταλάντωσης υολογίζεται αό τον τύο: E DA 00 0,5 E = 75J γ. Για να βρούμε την εξίσωση της κίνησης χρειαζόμαστε την αρχική φάση της συνισταμένης ταλάντωσης ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 97 7, 9750 W.U. 5
0, 5 0,5 0, 5 θ = rad Άρα x A ( t ) x = 0,5 ημ(0t + ) (S.I.) Η εξίσωση της ταχύτητας της συνισταμένης κίνησης είναι: max ( t ) υ = 5 συν(0t + ) (S.I.) Η χρονική εξίσωση της κινητική ενέργειας είναι: m (5 (0t )) Κ = 75συν (0t + ) (S.I.) δ. Αό την εκφώνηση έχουμε: E E E DA DA DA A A A A A AA A A AA 0 0 φ = rad ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 97 7, 9750 W.U.
4. Υλικό σημείο εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις x = f(t) και x = f(t) ου έχουν ίσες συχνότητες και εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας. Η ενέργεια E της συνισταμένης ταλάντωσης ου εκτελεί το υλικό σημείο ισούται με την ενέργεια της ταλάντωσης Ε και Ε ου θα είχε αν εκτελούσε την κάθε συνιστώσα ταλάντωση ξεχωριστά. Η αόσταση μεταξύ των δύο ακραίων θέσεων της συνισταμένης ταλάντωσης ισούται με 0,8 m και το υλικό σημείο χρειάζεται χρόνο 0, s για να τη διανύσει, α. Να υολογίσετε το λάτος των συνιστωσών ταλαντώσεων. β. Να υολογίσετε τη διαφορά φάσης των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων γνωρίζοντας ότι οι τιμές ου μορεί να άρει είναι μεταξύ του 0 και του rad. γ. Αν η χρονική εξίσωση αομάκρυνσης της συνιστώσας ταλάντωσης x = f(t) είναι η x =Α ημωt, να γράψετε τη χρονική εξίσωση αομάκρυνσης του σώματος αό τη θέση ισορροίας του για τη συνισταμένη κίνηση ου εκτελεί. α. Η αόσταση των δύο άκρων είναι ίση με d = A Α = 0,4 m ο δε χρόνος ου χρειάζεται για να διανυθεί η αραάνω αόσταση είναι ίση με το μισό της εριόδου άρα: t 0, Τ = 0,s και rad ω = 0 s. β. Η ενέργεια Ε της συνισταμένης ταλάντωσης ου εκτελεί το υλικό σημείο ισούται με την ενέργεια της ταλάντωσης ου θα είχε αν εκτελούσε την κάθε συνιστώσα ταλάντωση ξεχωριστά. Δηλαδή: E E E DA DA DA A A A αό την εξίσωση του λάτους έχουμε: A A A AA A A A AA A A φ = rad ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 97 7, 9750 W.U. 7
γ. Αφού η χρονική εξίσωση αομάκρυνσης της μιας συνιστώσας ταλάντωσης είναι x = Αημωt, η άλλη ταλάντωση θα είναι: x A ( t ) και η συνισταμένη ταλάντωση έχει χρονική εξίσωση αομάκρυνσης της μορφής: x A ( t ) Α = Α = Α = 0,4 m και 0,5 0,5 θ = rad Άρα η χρονική εξίσωση αομάκρυνσης της συνισταμένης ταλάντωσης είναι η: x = 0,4ημ(0t + ) (S.I.) ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 97 7, 9750 W.U. 8
5. Μικρό σώμα μάζας m = kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο αλές αρμονικές ταλαντώσεις με ίσα λάτη ου εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας. Οι χρονικές εξισώσεις αομάκρυνσης των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων είναι οι x A (0t ) και x A (0t ) (στο S.I. και οι δύο), με Α = Α. Η συνισταμένη δύναμη της ταλάντωσης έχει μέγιστη τιμή F max = 40 N α. Να υολογίσετε τα λάτη των συνιστωσών ταλαντώσεων A και Α. β. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της δύναμης εαναφοράς. α. Η διαφορά φάσης των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων είναι: φ = φ φ = / rad Η σταθερά εαναφοράς της ταλάντωσης είναι D = mω D = 00 N/m Η μέγιστη δύναμη είναι: F DA A max F D max A = 0, m Το λάτος της ταλάντωσης είναι: A A A A A A A A = 0,m και τελικά Α = Α = 0, m β. Θα βρούμε ρώτα τη χρονική εξίσωση της αομάκρυνσης της συνισταμένης ταλάντωσης. Η διαφορά φάσης θ της συνιστώσας ταλάντωσης x = f(t) και της συνισταμένης ταλάντωσης x = f(t) υολογίζεται αό τη σχέση: θ = rad 4 Η συνισταμένη ταλάντωση έχει φάση ου διαφέρει κατά θ αό τη φάση της συνιστώσας ταλάντωσης x. Η φάση της συνισταμένης ταλάντωσης είναι η: t 0 0t 4 5 φ = 0t + (S.I.) Άρα: 5 x 0, (0t ) Η χρονοεξίσωση της δύναμης είναι: F Dx 5 ΣF = 00 0, ημ(0t + ) (S.I.) ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 97 7, 9750 W.U. 9