ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9 ISBN Β ΤΟΜΟΣ: 960-56-028-5 Copyright ΕΚΔΟΣΕΙΣ Θεσσαλονίκη 2006 ΕΚΔΟΣΕΙΣ Δημ. Γούναρη 44 τηλ. 230-235.297, Fx 230-265.26 Εγνατία 48 τηλ. 230-239.537-546 2 Θεσσαλονίκη Εγνατία 56 τηλ. 230-86.97, Fx 230-265.26, εντός Πανεπιστημίου Μακεδονίας e-mil: ikoul@oteet.gr Απαγορεύεται η ανατύπωση, η μετάφραση, η αντιγραφή μερική ή ολική μέσω φωτοτυπιών ή φωτογράφησης, καθώς και ο τρόπος έκθεσης με οποιοδήποτε οπτικοακουστικό μέσο της περιεχόμενες ύλης, χωρίς την έγγραφη άδεια του συγγραφέα.

Aφιερώνεται στους αληθινούς εραστές της Μαθηματικής Γνώσης i

i ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ολοκληρώματα συναρτήσεων μιας μεταβλητής... 5 4.. Ορισμός του ορισμένου ολοκληρώματος... 5 4.2. Ορισμένα ολοκληρώματα και εμβαδά... 2 4.3. Αόριστα ολοκληρώματα και αντίστροφη διαφόριση... 22 4.4. Η τεχνική της ολοκλήρωσης... 26 4.5. Ορισμένα ολοκληρώματα και προσεγγιστική ολοκλήρωση... 63 4.6. Η σχέση μεταξύ μέσων και οριακών εννοιών... 02 4.7. Κεφαλαιακές τιμές... 07 4.8. Ένα πρόβλημα αγαθών διαρκούς κεφαλαίου... 2 4.9. Μέσος και διακύμανση μιας κατανομής συχνοτήτων... 8 4.0. Εφαρμογές της ολοκλήρωσης στη θεωρία πιθανοτήτων και στατιστικής... 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Διαφορικές εξισώσεις... 43 5.. Η φύση του προβλήματος... 43 5.2. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις και η ολοκλήρωσή των... 52 5.3. Το γενικό ολοκλήρωμα (η γενική λύση) μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης... 72 5.4. Συστήματα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων... 83 5.5. Ορθογώνια συστήματα καμπύλων και επιφανειών... 98 5.6. Άλλες διαφορικές εξισώσεις... 209

ii 5.7. Δυναμικές μορφές των συναρτήσεων ζήτησης και προσφοράς... 250 5.8. Η γενική θεωρία της επιλογής καταναλωτών... 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Αναπτύγματα - Σειρές Tylor - Διαφορικά Ανώτερης Τάξης... 273 6.. Όρια και άπειρες σειρές... 273 6.2. Το ανάπτυγμα μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής (Σειρά Tylor)... 282 6.3. Παραδείγματα αναπτύγματος συναρτήσεων... 288 6.4. Το ανάπτυγμα μιας συνάρτησης δύο ή περισσότερων μεταβλητών... 36 6.5. Ένα πλήρες κριτήριο για τα μέγιστα και τα ελάχιστα... 323 6.6. Δεύτερης και ανώτερης τάξης διαφορικά... 328 6.7. Διαφορικά μιας συνάρτησης δύο ανεξάρτητων μεταβλητών... 329 6.8. Διαφορικά μιας συνάρτησης δύο εξηρτημένων μεταβλητών... 338 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ορίζουσες, Γραμμικές Εξισώσεις και Τετραγωνικές Μορφές... 355 7.. Η γενική έννοια μιας ορίζουσας... 355 7.2. Ορισμός οριζουσών διαφόρων τάξεων... 356 7.3. Ιδιότητες οριζουσών... 36 7.4. Ελάσσονες ορίζουσες και συμπαράγοντες οριζουσών... 364 7.5. Εναλλακτική θεώρηση οριζουσών... 374 7.6. Γραμμικές και ομογενείς συναρτήσεις διαφόρων μεταβλητών... 404 7.7. Επίλυση γραμμικων εξισώσεων... 40 7.8. Επίλυση γραμμικών συστημάτων... 49 7.9. Συστήματα Crmer... 433 7.0. Τετραγωνικές μορφές δύο και τριών μεταβλητών... 463 7.. Παραδείγματα τετραγωνικών μορφών... 469 7.2. Δύο γενικά αποτελέσματα τετραγωνικών μορφών... 47

iii ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Επιπρόσθετα Προβλήματα Μέγιστων και Ελάχιστων Τιμών... 505 8.. Μέγιστα και ελάχιστα συνάρτησης μερικών μεταβλητών... 505 8.2. Δεσμευμένα μέγιστα και ελάχιστα... 50 8.3. Παραδείγματα μεγίστων και ελαχίστων τιμών... 53 8.4. Η ευστάθεια της ζήτησης για τους συντελεστές της παραγωγής... 52 8.5. Μερικές ελαστικότητες της αντικατάστασης... 528 8.6. Μεταβολή της ζήτησης για τους συντελεστές της παραγωγής... 53 8.7. Η ζήτηση καταναλωτικών αγαθών (περίπτωση ολοκληρωσιμότητας)... 540 8.8. Ζητήσεις για τρία καταναλωτικά αγαθά (γενική περίπτωση)... 549 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Μερικά προβλήματα λογισμού των μεταβολών... 563 9.. Η γενική θεωρία των συναρτησιακών... 563 9.2. Λογισμός των μεταβολών... 566 9.3. Η μέθοδος του λογισμού των μεταβολών... 568 9.4. Επίλυση του απλούστερου προβλήματος... 57 9.5. Ειδικές περιπτώσεις της εξίσωσης του Euler... 575 9.6. Παραδείγματα επίλυσης με τη βοήθεια της εξίσωσης του Euler... 577 9.7. Ένα δυναμικό πρόβλημα μονοπωλείου... 588 9.8. Άλλα προβλήματα στο λογισμό των μεταβολών... 595 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 605 ΓΕΝΙΚΟ ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ... 609

Πρόλογος Σκοπός του παρόντος συγγράμματος είναι να αναδείξει τη συμβολή των καθαρών μαθηματικών στην ανάπτυξη και λειτουργία οποιουδήποτε οικονομικού συστήματος. Σε κάθε βήμα των μαθηματικών μεθόδων που περιγράφονται, αντικατοπτρίζεται η σημασία τους στην επίλυση των προβλημάτων της οικονομικής θεωρίας. Ο προσδιορισμός και η μελέτη του συνόλου των σχέσεων αλληλεξάρτησης των διαφόρων οικονομικών μεγεθών, όπως κόστος, έσοδα, τιμές, παραγωγή, κατανάλωση, επένδυση κ.ά., αποτελεί βασική επιδίωξη κάθε οικονομικής ανάλυσης. Για την εφαρμογή της μαθηματικής ανάλυσης στη μελέτη και επίλυση οικονομικών προβλημάτων δεν είναι πάντα αναγκαίο να γνωρίζουμε την ακριβή μορφή των μαθηματικών σχέσεων που συνδέουν τις οικονομικές μεταβλητές. Δηλαδή, η απόδειξη μιας πληθώρας οικονομικών προτάσεων βασίζεται μόνο στην πληροφορία, ότι οι τιμές ενός οικονομικού μεγέθους εξαρτώνται από τις τιμές ενός άλλου οικονομικού μεγέθους και η συναρτησιακή αυτή σχέση εκφράζεται με μια παραγωγίσιμη συνάρτηση. Η μαθηματική ανάλυση των οικονομικών σχέσεων μπορεί να πάρει τη μορφή ποιοτικής, παραμετρικής και ποσοτικής ανάλυσης. Η ποιοτική ανάλυση (qulittive lysis) αναφέρεται στον προσδιορισμό της κατεύθυνσης μεταβολής μιας ή περισσότερων οικονομικών μεταβλητών σε σχέση με τη μεταβολή μιας ή περισσότερων άλλων οικονομικών μεταβλητών. Στην περίπτωση παραγωγίσιμων οικονομικών συναρτήσεων, η κατεύθυνση μεταβολής εκφράζεται πλήρως με το πρόσημο της παραγώγου ή των μερικών παραγώγων.

2 Στο σημείο αυτό θα πρέπει να τονίσουμε, ότι τα προβλήματα ποιοτικής οικονομικής ανάλυσης, από τη φύση τους είναι προβλήματα συνδυαστικής ανάλυσης και βρίσκουν την πιο αποτελεσματική τους αντιμετώπιση στα πλαίσια της θεωρίας των προσημασμένων γραφημάτων (siged grphs). Η παραμετρική ανάλυση (prmetric lysis) αναφέρεται σε μια οικογένεια οικονομικών σχέσεων ή συναρτήσεων που έχουν την ίδια μορφή έτσι ώστε κάθε μέλος της οικογένειας αυτής προκύπτει, όταν δώσουμε συγκεκριμένες τιμές στις παραμέτρους. Με την παραμετρική ανάλυση προσδιορίζονται διαστήματα μεταβολής των παραμέτρων, έτσι ώστε να ενσωματώνονται οι πραγματικές οικονομικές συνθήκες που διαμορφώνουν τις τιμές των μεταβλητών του διαστήματος. Εκφράζονται ακόμη τυχόν τυπικά ακρότατα ή σημεία καμπής των συναρτήσεων αυτών σα συναρτήσεις των τιμών των παραμέτρων. Τέλος, η ποσοτική ανάλυση (qutittive lysis) μελετά τις ποσοτικοποιημένες σχέσεις που προκύπτουν, όταν οι παράμετροι πάρουν συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές. Έτσι με την ανάλυση αυτή προσδιορίζονται συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές των οικονομικών μεταβλητών, που είναι οι βασικές για την επίλυση προβλημάτων οικονομικής επιλογής και πιο γενικά για τη διαδικασία λήψης οικονομικών αποφάσεων. Το είδος, η έκταση και η μορφή της μαθηματικής ανάλυσης που χρησιμοποιείται εξαρτάται κυρίως από τη φύση των οικονομικών σχέσεων και μεταβλητών που μελετώνται. Έτσι η μελέτη οικονομικών μεταβλητών που δεν συνδέονται με συναρτησιακές σχέσεις μπορεί να γίνει πιο αποτελεσματικά στα πλαίσια μιας περιοχής των μοντέρνων μαθηματικών που ονομάζεται θεωρία γραφημάτων. Όταν όμως οι οικονομικές μεταβλητές εκφράζονται με συναρτήσεις πραγματικών μεταβλητών, τότε η πιο κατάλληλη μαθηματική ανάλυση για τη μελέτη των οικονομικών αυτών σχέσεων είναι οι τεχνικές του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού. Επομένως, η χρησιμοποίηση της μαθηματικής ανάλυσης στην καλύτερη κατανόηση και επίλυση οικονομικών προβλημάτων είναι θέμα αναγκαιότητας και όχι επιλογής.

3 Αναφορικά με τη δομή του βιβλίου αυτού, θα ήθελα να επισημάνω ότι αναφέρεται σε διαφορετικούς τύπους αναγνωστών. Τα πρώτα κεφάλαια στοχεύουν πρωταρχικά σε αναγνώστες χωρίς μαθηματικό υπόβαθρο, το οποίο θα αποκτηθεί πιθανόν μεταγενέστερα με κατάλληλη σειρά μαθημάτων. Τέτοιου είδους αναγνώστες θα πρέπει να συνηθίσουν στην εφαρμογή των στοιχειωδών μεθόδων, πριν προχωρήσουν σε πιο δυναμικές διαδικασίες που περιγράφονται στα τελευταία κεφάλαια. Ο πιο ενημερωμένος αναγνώστης μπορεί να χρησιμοποιήσει τα πρώτα κεφάλαια για επανάληψη και να προχωρήσει αμέσως στην επόμενη εργασία. Ο έμπειρος μαθηματικός οικονομολόγος μπορεί να θεωρήσει το βιβλίο σαν εργαλείο αναφοράς και έρευνας νέων μεθόδων επίλυσης οικονομικών προβλημάτων. Σε κάθε κεφάλαιο επισυνάπτεται ικανός αριθμός ασκήσεων, που θα εξοικειώσουν τον αναγνώστη με τα μαθηματικά εργαλεία και τις εφαρμογές τους σε διακριτά οικονομικά προβλήματα. Η μέθοδος θεραπείας τους θα καταδείξει την προσπάθεια μιας συστηματικής ανάπτυξης της μαθηματικής οικονομικής θεωρίας, αλλά οι ουσιώδεις δομές μιας τέτοιας θεωρίας θα βρεθούν είτε στο κείμενο είτε στις ασκήσεις. Σεπτέμβριος 2005 Α. Αλεξανδράκης

Ολοκληρώματα συναρτήσεων μιας μεταβλητής 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 4.. Ορισμός του Ορισμένου Ολοκληρώματος Η έννοια του ολοκληρώματος έχει δύο διαφορετικά χαρακτηριστικά, και δύο αντίστοιχες διακριτές εφαρμογές. Από τη μια πλευρά, ένα ολοκλήρωμα είναι η οριακή τιμή μιας ορισμένης αθροιστικής παράστασης, η οποία συχνά εμφανίζεται στην μαθηματική ανάλυση και η οποία αντιστοιχεί, με διαγραμματικούς όρους, σε μια περιοχή που περικλείεται από μια επίπεδη καμπύλη ή καμπύλες. Τότε το ολοκλήρωμα καλείται ορισμένο ολοκλήρωμα. Από την άλλη πλευρά, ένα ολοκλήρωμα είναι το αποτέλεσμα της αντιστροφής της διαδικασίας διαφόρισης. Η παράγωγος μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής είναι από μόνη της μια συνάρτηση κάποιας μεταβλητής. Το αντίστροφο πρόβλημα είναι να αποκτήσουμε, από μια δοσμένη συνάρτηση, μια δεύτερη συνάρτηση, η οποία έχει την πρώτη σαν παράγωγό της. Η δεύτερη συνάρτηση, καλείται αόριστο ολοκλήρωμα της πρώτης. y = f x είναι μια μονό-τιμη συνάρτηση, η οποία Υποθέτουμε ότι η ( ) είναι συνεχής, για όλες τις τιμές του x στο δοσμένο διάστημα [ x, x ] Το διάστημα του x, μήκους ( ) = =., διαιρείται με όποιον τρόπο θέλουμε σε τμήματα με μέσα των σημείων διαιρέσεως: = x, x, x,..., x, x, x =. 2 3 +

6 Κεφάλαιο 4ο Σχηματίζουμε το άθροισμα: ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) + + ( )( ) + ( )( ) f x x x f x x x f x x x f x x x f x x x 2 2 3 2 3 4 3... + όπου κάθε όρος αποκτάται από ένα διαφορετικό τμήμα και αποτελείται από το μήκος του τμήματος επί την τιμή της συνάρτησης στο χαμηλότερο (ή το αριστερότερο) σημείο του τμήματος. Για ευκολία, γράφουμε: f ( xr)( xr+ xr), r= όπου ο γραφόμενος όρος, είναι τυπικός r-όρος του αθροίσματος και το σύμβολο δηλώνει ότι όλοι αυτοί οι όροι, από τον πρώτο ( ) r= τον -οστό ( r ) r = μέχρι = πρέπει να προστεθούν μαζί. Ο αριθμός των τμημάτων στα οποία διαιρείται το δοσμένο διάστημα, αυξάνεται με οποιοδήποτε τρόπο, έτσι ώστε κάθε τμήμα να γίνεται μικρότερο. Τότε το άθροισμα αυξάνεται και πλησιάζει μια ορισμένη οριακή τιμή. Η οριακή τιμή που προσεγγίζεται καθώς το, καλείται ορισμένο ολοκλήρωμα (defiite itegrl) της συνάρτησης μεταξύ του κατώτατου ορίου α και του ανώτατου ορίου και γράφουμε συμβολικά f ( x ) dx. Έτσι: r r+ r. r = ΟΡΙΣΜΟΣ: f ( xdx ) = lim f( x)( x x) Η διαδικασία εύρεσης του ολοκληρώματος μιας συνάρτησης καλείται ολοκλήρωση (itegrtio). Από τον ορισμό, φαίνεται ότι, η τιμή ενός ορισμένου ολοκληρώματος είναι απλά ένας αριθμός, ο οποίος μπορεί να είναι θετικός ή αρνητικός και ο οποίος εξαρτάται μόνο από τον τύπο της συνάρτησης και από τις τιμές των ορίων (α και ) που παίρνουμε. Αθροίσματα διαφορετικά από αυτό που αναφέραμε παραπάνω, έχουν ακριβώς την ίδια οριακή τιμή, το ορισμένο ολοκλήρωμα, καθώς το. Τέτοια αθροίσματα σχηματίζονται παίρνοντας, για κάθε τμήμα, το μήκος του τμήματος επί την τιμή της συνάρτησης στο ανώτερο (από δεξιά) σημείο

Ολοκληρώματα συναρτήσεων μιας μεταβλητής 7 του τμήματος, ή σε οποιοδήποτε ενδιάμεσο σημείο του τμήματος. Πράγματι, πάλι ισχύει: ' f ( xdx ) = lim f( xr)( xr+ xr), r = ' όπου το x r μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεταξύ x r και x r +. Το ολοκλήρωμα από το x= στο x= διαιρείται σε ένα αριθμό τμημάτων, εκ των οποίων το Δx είναι ένα τυπικό τμήμα με το x, ένα σημείο που περιλαμβάνεται σε αυτό. Τότε: ( ) lim ( ) f x dx = f x Δ x, όπου κάθε τμήμα, μήκους Δx, πολλαπλασιάζεται με την τιμή της συνάρτησης f ( x ), σε ένα σημείο του τμήματος, το όλο σύνολο των γινομένων αθροίζεται και βρίσκουμε το όριο του αθροίσματος, καθώς ο, διαιρείται, αριθμός των τμημάτων στα οποία το δοθέν πεδίο ( ) αυξάνεται άπειρα. Οι ακόλουθες ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος προκύπτουν από τον ορισμό: Αν ( ) ϕ είναι μονό-τιμες συναρτήσεις συνεχείς υπεράνω των σχετικών διαστημάτων, τότε: f x και ( x) () ( ) = ( ) f x dx f x dx (2) { ( )} = ( ) f x dx f x dx (3) κ f ( x) dx= κ f ( x) dx ( κ = σταθερά) c (4) ( ) = ( ) + ( ) c f x dx f x dx f x dx (5) { ( ) + ϕ( )} = ( ) + ϕ( ) f x x dx f x dx x dx.

8 Κεφάλαιο 4ο Έχουμε Θα αποδείξουμε την τελευταία ιδιότητα (5): { f ( xr) ϕ( xr) }( xr+ xr) { f ( xr)( xr+ xr) ϕ( xr)( xr+ xr) } r= r= δηλαδή, + = + = f ( xr)( xr+ xr) ϕ ( xr)( xr+ xr), = + r= r= { ( ) + ϕ( )} = ( ) + ϕ( ) f x x dx f x dx x dx παίρνοντας το όριο, καθώς και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα, ότι, το όριο του αθροίσματος είναι το άθροισμα των ξεχωριστών ορίων. Το προηγούμενο αποτέλεσμα επεκτείνεται στην ολοκλήρωση μιας διαφοράς συναρτήσεων ( f ( x) ϕ ( x) ), και φανερά, στην ολοκλήρωση αθροίσματος ή διαφορών οποιουδήποτε αριθμού ξεχωριστών συναρτήσεων. Παράδειγμα r r+ Αν η f ( x ) είναι συνεχής, το άθροισμα f ( x x ) το f ( ) x + x r= 2 xdxσαν οριακή τιμή, καθώς. Δείξτε ότι: 2 2 xdx = ( ). 2 r+ r, έχει Λύση Έχουμε: x + x x x 2 2 2 2 r r+ r+ r ( xr+ xr) = και r= r= xdx = = 2 2 2 2 xr xr lim + r = 2 2 ( )

γ f f x x f x dx f x 2 f ( x) = x [, ] = [ 0,] 3 2 x f ( x) dx= x dx= = 3 3 0 0 0 2 ( ) = t [, ] = [ 0,] f t 3 2 t f () t dt = t dt = = 3 3 0 0 0 ( ) = ( ) = ( ) =... = ( ) f x dx f t dt f z dz f v dv Γενικά γ, γ,..., γ [ α, β] 2 v Ο2 Ο3 Οv Ο ( ) ( ) ( ) ( ) f x dx f x dx... f x dx f x dx 0 Ο Ο2 vο vο f x f x f x β β β β f x f x f x dx f x dx f x dx f x dx 2 2 α α α α

0 Κεφάλαιο 4ο (5) (Ιδιότητα της γραμμικότητας) β β β ( )... ( ) ( )... ( ) κ f x + + κ f x dx= κ f x dx+ + κ f x dx = v v v v α α α β k ( )... ( ) f x dx+ + kv fv x dx = α v β i i= α i ( ) = κ f xdx (7) β α (6) (Ιδιότητα της μονοτονικότητας). Αν οι συναρτήσεις f, συνεχείς στο [, ] αβ και f ( x) g( x) x [ αβ, ], τότε: g είναι β β ( ) ( ) f xdx g xdx (8) α α (7) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ αβ, ] και f ( x) 0 x [ αβ, ] τότε β ( x) dx 0 f (9) (8) Αν η f συνεχής στο [ αβ,, ] τότε: α ( ) = ( ) x f xdx f tdt (0) ξ, όπου ξ τυχαίο αλλά ορισμένο σημείο του [ αβ,, ] το x είναι η μεταβλητή στο [ αβ., ] (9) Αν η συνάρτηση g και η παράγωγός της g είναι συνεχείς συναρτήσεις, g αβ, αβ, αβ,, τότε: στο [ αβ ] με ([ ]) [ ] και η f συνεχής στο [ ]