Γραμμική Άλγεβρα, Τμήμα Β (Τζουβάρας/Χαραλάμπους) Φεβρουάριος 07 (I) Εστω n n πίνακας A τέτοιος ώστε A = 6A, έστω δ.χ. V με dim(v ) = n και f : V V η γραμμική απεικόνιση με πίνακα A ως πρός κάποια βάση του V. (α) Βρείτε τις ιδιοτιμές της f. (6) (β) Άν W = { x V : f( x) = 6 x}, δείξτε ότι V = W ker(f). (8) (γ) Συμπεράνετε ότι ο f (άρα και ο A) διαγωνιοποιείται. (6) (II) Δίδεται ο πίνακας A = x x x x x x x x x x x x (α) Βρείτε την det(a) και τις τιμές του x για τις οποίες det(a) = 0. [Υπόδ. Για να βρείτε την det(a) προσθέστε όλες τις στήλες στην πρώτη, και κατόπιν αφαιρέστε την πρώτη γραμμή από τις υπόλοιπες.] (0) (β) Βρείτε όλες τις τιμές που μπορεί να πάρει η rank(a) για τις διάφορες τιμές του x. (0) (ΙΙΙ) (α) Εστω f : R R η γραμμική συνάρτηση f(x, y, z) = (x + y + z, y z, x + y). Να βρεθεί διάνυσμα w = (a, b, c) έτσι ώστε για κάθε v R να ισχύει f( v), (,, ) = v, w. (0) (β) Εστω ότι A = A T, και κ λ ιδιοτιμές του A. Άν X, Y είναι αντίστοιχα ιδιοδιανύσματαστήλες για τον A, δείξτε ότι τα X, Y είναι ορθογώνια, δηλαδή X T Y = 0. (0) (IV) (α) Δίδεται ο πίνακας 0 0 A = 0. Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A και γράψτε τον A 4 0 ώς γραμμικό συνδυασμό των I, A και A. (0) (β) Δίδονται οι υποχώροι του R 4 W = {(x, y, z, t) : y z + t = 0}, W = {(x, y, z, t) : x = t, y = z}. Βρείτε βάση και διάσταση των W, W, W W, W + W. (0) (V) Δίδονται οι βάσεις B = { ε = (,, 0, 0), ε = (, 0,, 0), ε = (0,, 0, ), ε 4 = (, 0, 0, )}, και B = { η = (,, 0), η = (0,, ), η = (0, 0, )} των R 4 και R αντίστοιχα. (α) Βρείτε τον πίνακα της συνάρτησης g : R R 4 με τύπο g(x, y, z) = (x + y, y + z, z + x, x z), πρώτα ως προς τις κανονικές βάσεις των R και R 4, και κατόπιν ως πρός τις παραπάνω βάσεις B, B. (0) (β) Βρείτε τη συνάρτηση f : R 4 R της οποίας ο πίνακας ως πρός τις βάσεις B, B είναι 0 ο A = 0 0. (0) 0 0
ΛΥΣΕΙΣ (I) (α) Αφού A = 6A, προκύπτει ότι f = 6f. Εστω ότι v 0 είναι ιδιοδιάνυσμα της f για την ιδιοτιμή λ. Τότε f(v) = λv και άρα f (v) = λf(v) = λ v. Ομως, αφού f = 6f, έχουμε ότι f (v) = 6f(v) και άρα f (v) = 6λv. Επομένως λ v = 6λv λ(λ 6)v = 0 και αφού v 0 λ = 0 ή λ = 6. Ας σημειωθεί ότι A = 6A A(A 6I n ) = 0. Αν λοιπόν A = 0, τότε f = 0 και η μοναδική ιδιοτιμή της f είναι το 0, ενώ αν A = 6I n, τότε η μοναδική ιδιοτιμή του A (και της f) είναι το 6. Σε κάθε άλλη περίπτωση, και οι δύο πίνακες A και A 6I n δεν είναι αντιστρέψιμοι, και επομένως το 0 και το 6 είναι ιδιοτιμές του A. (β) Αν w W ker(f), τότε f(w) = 6w και f(w) = 0. Επομένως 6w = 0 και άρα w = 0. Δείξαμε λοιπόν ότι W ker(f) = {0}. Εστω τώρα v V, v = /6f(v) και v = v v. Ετσι v = v + v. Παρατηρούμε ότι Επίσης f(v ) = f( 6 f(v)) = 6 f (v) = 6 (6f(v)) = 6( 6 f(v)) = 6v v W. f(v ) = f(v v ) = f(v) f(v ) = f(v) 6v = f(v) 6 6 f(v) = 0 v ker(f). Συνεπώς v = v + v W + ker(f) και επομένως V = W ker(f). (γ) Παρατηρούμε ότι W 0, μόνο όταν το 6 είναι ιδιοτιμή της f. Για να συμπεράνουμε ότι η f διαγωνιοποιείται, αρκεί να δείξουμε ότι ο V είναι το άθροισμα των ιδοχώρων της f. Αν το 0 είναι η μοναδική ιδιοτιμή της f, τότε όπως είδαμε στο (α), f = 0 και άρα ο ιδιοχώρος της f, δηλ. ο ker(f) είναι ολόκληρος ο V, επομένως η f διαγωνιοποιείται. Αν το 6 είναι η μοναδική ιδιοτιμή της f, τότε όπως είδαμε στο (α), A = 6I n και άρα W = V και η f διαγωνιοποιείται. Αν 0 και 6 είναι και τα δύο ιδιοτιμές της f, τότε όπως αποδείξαμε στο (β), ο V είναι το άθροισμα των ιδοχώρων της f και άρα η f διαγωνιοποιείται. (II) (α) Εφαρμόντας τις πράξεις στηλών και γραμμών της υπόδειξης, προκύπτει ο πίνακας + x x x x A = 0 x 0 0 0 0 x 0 0 0 0 x Παίρνοντας την ανάπτυξη της ορίζουσας κατά την πρώτη στήλη, και αφού οι πράξεις γραμμών και στηλών που κάναμε δεν αλλάζουν την τιμή της ορίζουσας, βρίσκουμε ότι det(a) = ( + x)( x). Άρα det(a) = 0 αν και μόνο αν x = / ή x =.
(β) Οι στοιχειώδεις πράξεις γραμμών και στηλών δεν αλλάζουν τη βαθμίδα του πίνακα. Αν x /, x, τότε rank(a) = 4. Σημειώνουμε ότι rank(a) = rank(a ). Αν x = /, τότε η ελαττωμένη κλιμακωτή μορφή γραμμών του A είναι 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 και άρα rank(a) = rank(a ) =. Αν x =, τότε η ελαττωμένη κλιμακωτή μορφή γραμμών του A είναι /4 /4 /4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 και rank(a) =. (III) (α) Ο πίνακας της f ως προς την κανονική βάση του R είναι: 0 A = 0 με A T = 0 0 άρα f (x, y, z) = (x + z, x + y + z, x y). Γνωρίζουμε ότι f(v), u = v, f (u). Άρα w = f (,, ) = (4,, ). Εναλλακτικά: έστω v = (x, y, z), w = (a, b, c). Τότε f(v), (,, ) = (x + y + z, y z, x + y), (,, ) = (x + y + z) + (y z) + (x + y) = 4x + y + z, ενώ v, w = ax + by + cz. Αφού θέλουμε 4x + y + z = ax + by + cz, (x, y, z) R, προκύπτει ότι a = 4, b =, z =. (β) Παρατηρούμε ότι AX, Y = kx, Y = k X, Y και ότι (αφού A = A T ) Ομως AX, Y = X, A T Y και άρα X, A T Y = X, AY = X, λy = λ X, Y. k X, Y = λ X, Y (k λ) X, Y = 0 X, Y = 0 X T Y = 0. (IV) (α) p A (x) = det(a xi ) = det x 0 0 0 x 0 x = (x+)(x ) = x x +x+. Επομένως A A + A + I = 0 A = A + A I
A 4 = A + A A = (A + A I ) + A A = 4A I. (β) Αν (x, y, z, t) W, τότε y = z t και άρα (x, y, z, t) = (x, z t, z, t) = x(, 0, 0, 0) + z(0,,, 0) + t(0,, 0, ). Άρα μία βάση για το W είναι το σύνολο {(, 0, 0, 0), (0,,, 0), (0,, 0, )} και dim(w ) =. Αν (x, y, z, t) W, τότε (x, y, z, t) = (t, z, z, t) = t(, 0, 0, ) + z(0,,, 0). Άρα μία βάση για το W είναι το σύνολο {(, 0, 0, ), (0,,, 0)} και dim(w ) =. Ο W δεν είναι υποσύνολο του W, αφού (, 0, 0, ) / W. Επομένως dim(w W ) < dim(w ). Επίσης W W {0}, αφού (0,,, 0) ανήκει και στους δύο χώρους. Επομένως 0 < dim(w W ) < και άρα dim(w W ) =. Κατά συνέπεια, οποιοδήποτε μη μηδενικό στοιχείο του W W θα δώσει μία βάση για τον W W και άρα το σύνολο {(0,,, 0)} είναι βάση για τον W W. Από τη σχέση dim(w ) + dim(w ) = dim(w W ) + dim(w + W ) προκύπτει ότι dim(w + W ) = 4 και κατά συνέπεια W + W = R 4. Μία βάση του R 4 είναι η κανονική βάση {e, e, e, e 4 }. Εναλλακτικά, παίρνοντας τον πίνακα με στήλες τα διανύσματα των βάσεων και φέρνοντας τον πίνακα σε ελαττωμένη κλιμακωτή μορφή γραμμών, προκύπτει ο πίνακας: A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Επομένως οι 4 αρχικές στήλες του A είναι γραμμικά ανεξάρτητες και dim(w + W ) = 4, ενώ Σ = Σ 5 και dim(w W ) =. (V) (α) Για να βρούμε τον πίνακα H της g ως προς τις κανονικές βάσεις των R και R 4, παίρνουμε ως στήλες του H τις συντεταγμένες των g(, 0, 0), g(0,, 0), g(0, 0, ) : 0 H = 0 0 0 Για να βρούμε, τώρα, τον πίνακα E της g ως προς τις βάσεις B, B, πρέπει να βρούμε τις συντεταγμένες των g(η i ) ως προς την B, για i =,...,. Θέλουμε, λοιπόν, να λύσουμε τρία γραμμικά συστήματα με τον ίδιο πίνακα συντελεστών, δηλ. τον πίνακα που οι στήλες του είναι τα διανύσματα του B. Ο πίνακας των σταθερών για το πρώτο σύστημα είναι οι συντεταγμένες του g(η ), για το δεύτερο σύστημα οι συντεταγμένες του g(η ) και για το τρίτο σύστημα οι 4
συντεταγμένες του g(η ). Λύνουμε τα τρία συστήματα ταυτόχρονα. Αφού g(η ) = (0,,, ), g(η ) = (,,, ), g(η ) = (0,,, ), έχουμε: 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Επομένως, ο ζητούμενος πίνακας είναι ο E = 5 (β) Από τον πίνακα A, προκύπτει ότι f(ɛ ) = η + η = (,, ), f(ɛ ) = η + η = (0, 4, 0), f(ɛ ) = η = (,, 0) και f(ɛ 4 ) = η + η = (, 7, ). Για να εκφράσουμε το τυχόν διάνυσμα (x, y, z, t) ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων ɛ,..., ɛ 4 της βάσης B, λύνουμε το γραμμικό σύστημα kɛ + λɛ + µɛ + νɛ 4 = (x, y, z, t). Χρησιμοποιώντας τον επαυξημένο πίνακα του συστήματος βρίσκουμε ότι και άρα 0 x 0 0 y 0 0 0 z 0 0 t 0 0 0 (x + y z t) 0 0 0 z 0 0 0 ( x + y + z + t) 0 0 0 (x y z + t) (x, y, z, t) = (x + y z t)η + zη + ( x + y + z + t)η + (x y z + t)η 4. Επομένως f(x, y, z, t) = (x + y z t)f(η ) + zf(η ) + ( x + y + z + t)f(η ) + (x y z + t)f(η 4) = ( x + y + z t, 7 x 9 y 5 z + 7 t, x y z + t). Σημειώνουμε, ότι στην ουσία, για να βρούμε τις συντεταγμένες του f(x, y, z, t) παραπάνω, υπολογίσαμε το γινόμενο πινάκων 0 4 7 0 0 (x + y z t) z ( x + y + z + t) (x y z + t) 5