ολοκληρωτικος λογισμος

γ λυκειου ` κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο ολοκληρωτικος λογισμος επιμελει : τκης τσκλκος 7

... ρχικη συνρτηση... ορισμενο ολοκληρωμ... η συνρτηση F()= f()d... εμδον επιπεδου χωριου

γιτι... μι εικον, χιλιες λεξεις...

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Ολοκληρωτικός Λογισμός 6 Θ Ε Ω Ρ Ι Α... ΕΜΒΑΔΟΝ ΧΩΡΙΟΥ - ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ [, ], με f() γι κάθε [, ] κι Ω το χωρίο που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, τον άξον των κι τις ευθείες,. Γι ν ορίσουμε το εμδόν του χωρίου Ω Χωρίζουμε το διάστημ [, ] σε ν ισομήκη υποδι - στήμτ, μήκους, με τ σημεί.... Σε κάθε υποδιάστημ [, ] επιλέγουμε υθί- κ- κ ρετ έν σημείο κι σχη- μτίζουμε τ ορθογώνι που έχουν άση κι ύψη τ κ f(ξ ). Το άθροισμ των εμδών των ορθογωνίων υτών είνι S = f(ξ )Δ+f(ξ )Δ+...+f(ξ )Δ=[f(ξ ) +...+f(ξ )]Δ` ν ν ν v ν S =Δ f(ξ )= Δ f(ξ ) ν i κ i = κ= Yπολογίζουμε το lim S. Αποδεικνύετι ότι το lim S υπάρχει στο κι είνι νε- ξάρτητο πό την επιλογή των σημείων. ΟΡΙΣΜΟΣ Σύμφων με τ πρπάνω ονομάζετι εμδόν του επίπεδου χωρίου Ω χωρίο που ο- ρίζετι πό τη γρφική πράστση της f, τον άξον των κι τις ευθείες χ=, χ=, το ν lim ν κ= συμολίζετι με Ε(Ω) με Ε(Ω) f(ξ )Δ κ Τκης Τσκλκος Κερκυρ 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Ολοκληρωτικός Λογισμός 7 κι ΟΡΙΣΜΟΣ Σύμφων με τ πρπάνω ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ της συνεχούς συνάρτησης f πό το στο, το συμολίζετι με ν f()d κι lim ν κ= f(ξ )Δ διάζετι ολοκλήρωμ της f πό το στο. Δηλδή, f()d= ν lim ν κ= f(ξ )Δ κ κ Ερμηνεί (Γεωμετρί) Αν f() γι κάθε [, ], τότε το ολοκλήρωμ f()d δίνει το εμδόν E(Ω) του χωρίου Ω που περικλείετι - πό τη γρφική πράστση της f τον άξον των χ κι τις ευθείες κι (σχήμ ). Δηλδή, f()d= E(Ω) ΣΧΟΛΙΟ Γι κάθε [, ], τότε Αν f() (f()>) : f()d ( f()d ) (σχήμ ) Αν f() (f()<) : f()d ( f()d ) (σχήμ ) Τκης Τσκλκος Κερκυρ 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Ολοκληρωτικός Λογισμός 8 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Τ κι του ορισμένου ολοκληρώμτος f() d λέγοντι ά κ ρ ο λ ο κ λ ή ρ ω σ η ς ενώ το χ λέγετι μ ε τ λ η - τ ή ο λ ο κ λ ή ρ ω σ η ς. Το σύμολο d στο ορισμένο ολοκλήρωμ ότι η μετλητή ολοκλήρωσης είνι το χ. f() d δηλώνει Το ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνάρτησης f είνι πργμτικός ριθμός. Συνέπει: f() d ' Κάθε συνάρτηση f είνι ολοκληρώσιμη σ'έν διάστημ [, ] ν είνι σ υ ν ε χ ή ς στο διάστημ υτό. (ν δεν είνι συνεχής, τότε δ ε ν είνι ολοκληρώσιμη) ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ λf() d= λ f() d, λ (f() +g()) d= f() d+ g() d (λf() +μg()) d= λ f() d+μ g() d γ f() d= f() d+ f() d γ Αν f() κι (διπλνό σχήμ), η πρπά- νω ιδιότητ, γεωμετρικά εκ- φράζειτο άθροισμ διδοχι- κών εμδών χωρίων που περικλείοντι πό τη γρφική πράστση της f, τον άξον των χ κι τις ευθείες, χ=γ κι, δηλδή ( ) ( ) ( ) φού ( ) f()d, ( ) f()d κι ( ) f()d Τκης Τσκλκος Κερκυρ 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Ολοκληρωτικός Λογισμός. Τ ο ε μ δ ό ν χ ω ρ ί ο υ ο ρ ί ζ ο υ ν ο ι : C f, ο άξονς χ χ κι οι ευθείες =, = Σ κ ο π ό ς : Ν ρούμε το πρόσημο της f στ διστήμτ που σχημτίζοντι π τις ρίζες της εξίσωσης της κι τ,. A ν τ ι μ ε τ ώ π ι σ η : Γενικά ισχύει στο [, ] με προυπόθεση η f είνι συνεχής: Ε(Ω) =, ν f() > Ε(Ω) = -, ν f() <. Bρίσκουμε τις ρίζες της εξίσωσης f() =. Aν έχει δύο ρίζες, έστω ρ, ρ με ρ < ρ κι ρ [, ]. Βρίσκουμε το πρόσημο της f στ διστήμτ: [, ρ ], [ ρ, ] 4. Βρίσκουμε τ: 5. Ε(Ω) = νάλογ με πρόσημο της f στ ντίστοιχ διστήμτ. Τκης Τσκλκος Κερκυρ 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Ολοκληρωτικός Λογισμός Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο f()= -4+. N ρείτε το εμδόν του χωρίου, που πε ρικλείετι πό τη C f, τον άξον χ χ κι τις ευθείες χ=, χ=. Η f είνι συνεχής στο διάστημ [, ] σν πολυωνυμική. Οι ρίζες της f()=` -4+= είνι ρ = κι ρ = ρ [,] Η f είνι ρνητική γι <χ< κι θετική γι χ< ή χ> δηλδή f()> στο διάστημ [, ] κι f() d = ( - 4+) d= ( - +)' d 4 = [ - +] = -+-= f()< στο διάστημ [, ] κι f() d= ( -4+) d= ( - +)' d= =[ - +] = - + -( -+)=- Άρ Ε(Ω) = f() d- f() d 4 4 = -(- )= + = τ.μ. Τκης Τσκλκος Κερκυρ 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Ολοκληρωτικός Λογισμός 96 Δίνετι η συνάρτηση με τύπο f()=e -. ) Ν δείξετε ότι η συνάρτηση f ντιστρέφετι. ) Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου, που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f -, τον ά- ξον χ χ κι την ευθεί χ= e. ) Η f()=e -: συνεχής κι πργωγίσι - μη στο με: f'()=e >, χ, οπότε η f είνι γνησίως ύξου- σ στο, άρ κι "-", δηλδή ντιστρέφετι. ) Η - f είνι γνησίως ύ- ξουσ (όπως η f) κι γι - = f()= f ()= Έτσι γι - f - - - > f ()> f () f ()> κι το ζητούμενο εμδόν είνι Ε - e f () = u = f(u) κι d = f'(u)du - = f () d = u, e u ln(e+) u u ( = e f(u) = e e - = e e = e+ u = ln(e+)) ln(e+) ln(e+) u = u f'(u) du= u e du= ln(e+) u u ln(e+) ln(e+) u = u (e )' du=[u e ] - e du= u ln(e+) = ln(e+) (e+)-[e ] = = ln(e+) (e+)-(e+)+ e = ln(e+) +ln(e+)-e-+ = = ln(e+) e +ln(e+)-e τ.μ. Τκης Τσκλκος Κερκυρ 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Ολοκληρωτικός Λογισμός 97 Ε ν λ λ κ τ ι κ ά Η f()=e -: συνεχής κι πργωγίσι - μη στο με: f'()=e >, χ Η f είνι γνησίως ύξου- σ κι γι = f()= Έτσι γι f > f()>f()= Σημείο τομής y=e: C κι f y= e y= e y= e y= e - e= e - e+= e y= e ln(e+)= B(ln(e+), e) Το ζητούμενο εμδόν είνι: Ε=(ΟΑΒΓ)- ln(e+) f() d ln(e+) =(OA)(OΓ)- (e -) d= ln(e+) ln(e+) = e ln(e+)- e d+ d= e ln ln(e+) = ln(e+) -[e ] + ln(e+) e ln(e+) = ln(e+) -e + +ln(e+) e = ln(e+) -e + + ln(e+) e = ln(e+) -e+ln(e+) τ.μ. Τκης Τσκλκος Κερκυρ 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Ολοκληρωτικός Λογισμός Γ Ι Α Π Ρ Ο Π Ο Ν Η Σ Η.... Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο f()= -6+8. N ρείτε το εμδόν του χωρίου, που περικλείετι πό τη C f, τον άξον χ χ κι τις ευθείες χ=, χ= 5.. Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο f()= -8+. N ρείτε το εμδόν του χωρίου, που περικλείετι πό τη C f, τον άξον χ χ κι τις ευθείες χ=, χ= 4.. Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο f()= -8+5. N ρείτε το εμδόν του χωρίου, που περικλείετι πό τη C f, τον άξον χ χ κι τις ευθείες χ= 4, χ=6. 4. Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο f()= -6+9. N ρείτε το εμδόν του χωρίου, που περικλεί ετι πό τη C f, τον άξον χ χ κι τις ευθείες χ=, χ= 5. 5. Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο f()=συν. N ρείτε το εμδόν του χωρίου, που περικλείετι πό τη C f, τον άξον χ χ κι τις ευθείες χ= π π, χ=. 6. Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο f()= ημ. N ρείτε το εμδόν του χωρίου, που περικλείετι πό τη C f, τον άξον χ χ κι τις ευθείες χ= π π, χ= 4. Τκης Τσκλκος Κερκυρ 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Ολοκληρωτικός Λογισμός. ΕΠΙΛΟΓΗ Δίνετι η πολυωνυμική συνάρτηση f:(, ) με τύπο : ν+ f()=, >, κι τ σημεί Α(, f( )) κι Β(, ) ) Υπάρχει συνάρτηση f γι την οποί η γρφική πρά - στση C f της συνάρτησης f χωρίζει το τρίγωνο ΟΑΒ σε δύο ισεμδικά χωρί; ) Ν μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονί (η ρυθμό μετολής) γ) Αν (ε) είνι η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της πργώγου της συνάρτησης f στο σημείο της Γ(, ) κι Ε το εμδόν που ορίζετι πό την C f', την (ε) κι τον άξον ', ν ρείτε την τιμή του, ώστε δ) Αν 4 Ε. είνι το εμδόν που οριζετι π τις C f', την ευθεί =, ν ποδείξετε ότι Ε ( ), όπου Z(, ) κι Δ το σημείο τομής της ευθείς (ε) κι του άξον '. C f κι ) Είνι (OAB) = (OB) (AB) = f( ) = ν+ = Αφού >, f ν+ τότε Το εμδόν του χωρίου που ορίζετι πό τη γρφική πρά - στση C της συνάρτησης f, τον άξον χ'χ κι τις ευθείες f = κι = είνι E(Ω) ν+ ν+ ν+ = f()d= d= = v+ ν+ Τκης Τσκλκος Κερκυρ 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Ολοκληρωτικός Λογισμός Ετσι ν+ ν+ E= (OAB) = v+= 4 v= v+ Άρ η ζητούμενη συνάρτηση είνι η f()=, >, ) Έχουμε f'() >, φού > άρ η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο πεδίο ορισμού της. γ) f''() = 6 f'( )= `(ε): y-= 6(-)`(ε): y= 6- () f''( )= 6 Γι y η () δίνει 6 Το σημείο Δ, 6 είνι το σημείο τομής της (ε) κι του άξον χ'χ. Το δοσμένο εμδόν Ε εί - νι το εμδόν του κμπυ - λογρμμου τριγωνου ΟΓΔ (ΟΓ τμήμ της κμπύλης C γι ΓΔ τμήμ της (ε )). f' Έτσι Ε= f'()d ε()d= 4 4 d (6 )d= 4 = / 4 ( ) = 4 4 Τκης Τσκλκος Κερκυρ 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Ολοκληρωτικός Λογισμός = 4 = 4 4 φού, πό σχήμ Horner 4 = = ( )(4 4 ) > ( )( ) + > δ) Είνι γι a= f, κι f'(), f'()-f()= - γι [,] κι Γ(, ) Έτσι = (-)> Ε f'() f() d Είνι = ( )d 4 = 4 4 4 (ΔΖ)=(ΟΖ)-(ΟΔ)= - = (ΓΖ)= οπότε (ΓΔΖ)= (ΔΖ) (ΓΖ)= = 4 Άρ Ε =(ΓΔΖ) Τκης Τσκλκος Κερκυρ 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ - Ολοκληρωτικός Λογισμός 65 Γ Ι Α Π Ρ Ο Π Ο Ν Η Σ Η.... Δίνετι η γνησίως μονότονη συνάρτηση f:[,] κι η h: γι τις οποίες ισχύει : -f()+f() lim = - f(h ()+h())-f()=-h ()-h(),γι κάθε ) N ρείτε το είδος της μονοτονίς της f ) Ν ρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης - g()=f (-)-f () γ) Ν ποδείξετε ότι η h ()+h()= γι κάθε συνέχει ότι είνι γνησίως ύξουσ κι ότι h( )= Επίσης ν ρείτε το πρόσημο της h. κι στη δ) Ν ποδείξετε ότι η h είνι συνεχής κι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της κι στην συνέχει ν ρείτε το σημείο κμπής της. ε) N υπολογίσετετο εμδόν που σχημτίζετι πό την γρφική πράστση της h την εξίσωση της εφπτομέ - νης στο σημείο κμπής της κι τις ευθείες χ=- κι χ= με την προυπόθεση ότι η h - είνι συνεχής στο.. Θεωρούμε πργωγίσιμη συνάρτηση f: με την ιδιότητ (f'()) >-6ημ(f'()) γι κάθε ) Ν ποδείξετε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ στο ) Αν επιπλέον ισχύουν : f()+f(-)=- γι κάθε Η ευθεί με εξίσωση πτωτη της C στο - f ) Ν λύσετε την εξίσωση + f() = e ) Ν ρείτε το ημf() f() e -e lim ημ(f())-f() + y= f()d είνι οριζόντι σύμ - - Τκης Τσκλκος Κερκυρ 7

κεφλιο κεφλιο κεφλιο 7 τκης τσκλκος κεφλιο κεφλιο κεφλιο