Oc 6 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Γεωμετρική Αναπαράσταση Σημάτων Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Παν/μίου Πειραιώς Δομή της παρουσίασης Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Αναπαράσταση Πεπερασμένου Συνόλου Σημάτων Ορθοκανονικοποίηση Gram Schmd για διανύσματα Ορθοκανονικοποίηση Gram Schmd για σήματα Γραμμικά Συστήματα & Ιδιοσυναρτήσεις
Oc 6 Αναπαράσταση Πεπερασμένου Συνόλου Σημάτων M s M M s s n M M M sm Πηγή Πληροφορίας: Γεννά Ισοπίθανα μηνύματα Γεννήτρια : Διαθέσιμο Αλφάβητο Μ Κυματομορφών ορισμένες στο [0,] Μια από τις κυματομορφές μεταδίδεται κάθε Τ secs ανάλογα με τα εισερχόμενα μηνύματα ή τις προηγούμενα μεταδοθείσες κυματομορφές 4 Αναπαράσταση Πεπερασμένου Συνόλου Σημάτων Παρατήρηση: Ένα οποιοδήποτε σύνολο από Μ κυματομορφές μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός Ν ορθογώνιων κυματομορφών s a a a s a a a s a a a M M M M M, s a m M M m m
Oc 6 5 Αναπαράσταση Πεπερασμένου Συνόλου Σημάτων, b sm am sm d sm, K K a, sm sm Για ορθοκανονική βάση επαναλαμβάνουμε ότι K, s s m m 6 Αναπαράσταση Πεπερασμένου Συνόλου Σημάτων Η ανάπτυξη των Μ σημάτων με τη βοήθεια Ν ορθογώνιων κυματομορφών δεν είναι προσεγγιστική αλλά ακριβής. Ο υποχώρος που παράγεται από τις Μ κυματομορφές έχει βάση με Ν σήματα (διάσταση υποχώρου Ν). Για μια άλλη ομάδα κυματομορφών μπορεί να προκύπτει υποχώρος διαφορετικής διάστασης, και άρα θα είναι διαφορετικός και ο αριθμός των σημάτων μιας βάσης του υποχώρου.
Oc 6 7 Αναπαράσταση Πεπερασμένου Συνόλου Σημάτων φ () s a a a m m m m a m s m () φ () a m φ () a m s a a a m m m m Ορθοκανονικοποίηση Gram Schmd 8 Ένα σύνολο Ν σημάτων αποτελεί βάση ενός χώρου όταν τα σήματα αυτά είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και παράγουν το χώρο. Ψάχνουμε για Ν γραμμικώς ανεξάρτητα σήματα ανάμεσα σε ένα σύνολο Μ σημάτων M M Από το σύνολο καταλήγουμε στα sm m s, s,, s Με δεδομένα τα Ν ανεξάρτητα σήματα μπορούμε να κατασκευάσουμε μια ορθοκανονική βάση για το χώρο χρησιμοποιώντας την τεχνική των Gram Schmd. 4
Oc 6 Ορθοκανονικοποίηση Gram Schmd 9 Θεωρούμε δύο ανεξάρτητα διανύσματα a, a από τα οποία θέλουμε να παράγουμε δύο ορθοκανονικά διανύσματα, Αρχικά θα κατασκευάσουμε δύο ορθογώνια διανύσματα και στη συνέχεια θα τα, κανονικοποιήσουμε με τη νόρμα τους και ώστε η νόρμα των, να είναι μοναδιαία Ορθοκανονικοποίηση Gram Schmd 0 Αρχικά θέτουμε a Στη συνέχεια υπολογίζουμε την προβολή στο a p του a a p δηλαδή το ο διάνυσμα βάσης, προκύπτει αν αφαιρέσω από το αρχικό διάνυσμα την προβολή του στο ο διάνυσμα a, a a p, 5
Oc 6 Ορθοκανονικοποίηση Gram Schmd Ισοδύναμα μπορούμε να πάρουμε την προβολή του a στο p a a Άρα a a a Και Αν υπήρχε και τρίτο διάνυσμα Προβολή του στο Προβολή του στο a a a a a a Ορθοκανονικοποίηση Gram Schmd Γενικεύοντας, με δεδομένα τα γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα a, κατασκευάζουμε μια ορθοκανονική βάση με τα διανύσματα, ως εξής a a j j j για j 6
Oc 6 Παράδειγμα Gram Schmd 0 a a 0 a a Παράδειγμα Gram Schmd 4 a 0 a 0 0 a a 0 7
Oc 6 Παράδειγμα Gram Schmd 5 0 4 4 4 0 0 0 0 0 4/ 0 4/ 4/ / 4 8 a a a 9 4/ / a a a a 4/ 4 / 4 4 / Επέκταση στα Σήματα 6 Σύνολο των ανεξάρτητων σημάτων s Σύνολο των ορθογώνιων σημάτων v Σύνολο των ορθοκανονικών σημάτων s v Σήμα μοναδιαίας ενέργειας v v s / v b E a v d 8
Oc 6 Επέκταση στα Σήματα 7 Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις προβολές των σημάτων στα προηγούμενα υπολογισμένα σήματα και προκύπτει, v s s j j j v για j v, s s d j j a b Παράδειγμα Gram Schmd στα Σήματα 8 v s v s s d / v s v 9
Oc 6 Παράδειγμα Gram Schmd στα Σήματα 9 v s s s s d, s d v s v 0 8 v s 8 8 Παράδειγμα Gram Schmd στα Σήματα 0,, v s s s s s d s d s d s d v s 0 Όμοια v s 0 4 4 0
Oc 6 Παράδειγμα Gram Schmd στα Σήματα Τα τέσσερα σήματα παράγουν χώρο με διάσταση Ν= 8 8 s s s s 4 s s s Σηματαστερισμός 0 0 s 8 4 8 Γραμμικά Συστήματα & Ιδιοσυναρτήσεις Γραμμικός Μετ/σμός a e a b a b Άρα αρκεί να γνωρίζουμε την επίδραση του γραμμικού μετ/σμού στη βάση του χώρου ώστε να συμπεράνουμε την επίδραση σε οποιοδήποτε διάνυσμα του χώρου. Με τον όρο ιδιοδιανύσματα ενός γραμμικού μετ/σμού αναφερόμαστε σε εκείνα τα διανύσματα, τα οποία υπό την επίδραση του μετ/σμού δεν μεταβάλλουν τη διεύθυνσή τους.
Oc 6 Ιδιοδιανύσματα & Ιδιοσυναρτήσεις Για να είναι ένα διάνυσμα ιδιοδιάνυσμα του μετ/σμού θα πρέπει a a όπου λ η ιδιοτιμή που αντιστοιχεί στο διάνυσμα a Αντίστοιχα στα σήματα, x x y x Ιδιοδιανύσματα & Ιδιοσυναρτήσεις 4 Αν τα σήματα της ορθοκανονικής βάσης είναι κατάλληλα επιλεγμένα ώστε η απόκριση του συστήματος να είναι εύκολα υπολογίσιμη, τότε και η απόκριση στο σήμα εισόδου προκύπτει εξίσου εύκολα. Πρέπει συνεπώς να επιλέξουμε ως βάση του χώρου σήματα τα οποία θα έχουν τα χαρακτηριστικά των ιδιοδιανυσμάτων του συστήματος, δηλαδή σήματα που αν εφαρμοσθούν ως είσοδος στο γραμμικό σύστημα η έξοδος θα είναι μια απλή, πιθανά μιγαδική, μετατόπιση της εισόδου. Τέτοια σήματα ονομάζουμε ιδιοσυναρτήσεις των ΓΧΑ συστημάτων και κλασσικό παράδειγμα είναι η οικογένεια των μιγαδικών εκθετικών.
Oc 6 Ιδιοδιανύσματα & Ιδιοσυναρτήσεις 5 Αν s τότε x e y H s e Όπου H s μιγαδικός παράγοντας που γενικά είναι συνάρτηση του μιγαδικού s και καλείται ιδιοτιμή του συστήματος x e s s s s y h e d e h e d Hse s s y H s h e d s Ιδιοδιανύσματα & Ιδιοσυναρτήσεις 6 Για ορθοκανονικές βάσεις υποθέτουμε s j s j e e s j y H s e H j e όπου βέβαια j x, x, e
Oc 6 7 Ευχαριστώ για την προσοχή σας Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Τηλ: +0 0 44759 e mal: kanaas@unp.gr 4