ΟΜΟΣΠΟΝ Ι ΕΚΠΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ 17 ΦΣΗ Ε_.ΜλΘ(α) ΤΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΝΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΘΗΜ: ΜΘΗΜΤΙΚ Ηµεροµηνία: Σάββατο 7 Ιανουαρίου 17 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜ ΠΝΤΗΣΕΙΣ 1. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελίδα.. α) Σωστό. β) Σωστό. γ) Λάθος. δ) Λάθος. ε) Σωστό. ΘΕΜ Β Τα µήκη των δεικτών των ρολογιών είναι τα µέτρα των αντίστοιχων διανυσµάτων. Έτσι έχουµε λ=, ω = και λλ= 8. 1 Β1. i) Στις 6: π.µ. τα διανύσµατα λ, ω είναι προφανώς αντίρροπα. Εποµένως η µεταξύ του γωνία είναι 18. Άρα: λ ω = λ ω συν18 = 1 = 1 ( ) ii) α τρόπος Σε οποιαδήποτε από αυτές τις χρονικές στιγµές το τρίγωνο που έχει κορυφές το κέντρο του ρολογιού και τα πέρατα των διανυσµάτων λ, ω, έχει µήκη πλευρών,, 5. Παρατηρούµε πως αληθεύει η ισότητα 5 = +. Εποµένως, σύµφωνα µε το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήµατος, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο µε κάθετες πλευρές του δείκτες του ρολογιού. Έτσι η µεταξύ τους γωνία είναι 9. λ = Ο 6 ω = λ ω 5 Τ ΘΕΜΤ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΙ ΓΙ ΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΚΗΣ ΜΟΝ Σ ΣΕΛΙ : 1 ΠΟ 8
ΟΜΟΣΠΟΝ Ι ΕΚΠΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ 17 ΦΣΗ Ε_.ΜλΘ(α) Άρα λ ω = λ ω συν9 = = β τρόπος Με χρήση του νόµου των συνηµιτόνων. Έχουµε: 5 = λ + ω λ ω συν( λ ɵ,ω ) 5 = + λ ω λ ω = λ ω = Β. πό το δεδοµένο του προβλήµατος προκύπτει ότι όταν η ώρα στην θήνα είναι : π.µ., στο Λονδίνο είναι : π.µ.. Το τόξο από το 1 έως το είναι το 1 του κύκλου. Εποµένως ( λ ɵ,ω ) = 6 :=1. 1 Το τόξο από το 1 έως το είναι το του κύκλου. Εποµένως 6 ( λ ɵ Λ,ω Λ) = 6 :6= 6 λλ ω Λ πό την υπόθεση έχουµε =. λ ω Άρα 1 λλ ω 8 ω Λ συν6 Λ ωλ = = = ω Λ = 6 λ 1 6 ω συν1 Συνεπώς το µήκος του ωροδείκτη του ρολογιού που βρίσκεται στο Λονδίνο είναι 6cm. λ λ Λ ω Λ ω ΘΗΝ ΛΟΝ ΙΝΟ Τ ΘΕΜΤ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΙ ΓΙ ΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΚΗΣ ΜΟΝ Σ ΣΕΛΙ : ΠΟ 8
ΟΜΟΣΠΟΝ Ι ΕΚΠΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ 17 ΦΣΗ Ε_.ΜλΘ(α) ΘΕΜ Γ Γ1. i) Επειδή η ευθεία (ε) διέρχεται από το σηµείο οι συντεταγµένες του σηµείου θα επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας. Εποµένως: κ +1 κ = κ = κ +1 κ - κ +1= ( κ 1 ) = = κ =1 1 +1 Άρα οι συντεταγµένες του σηµείου είναι, 1 δηλαδή ( 1, ). ii) Ισχύει ότι: ΟΒ = 5 ( µ ) + µ = 5 µ + µ = 5 5 5 > µ = 5 µ = 5 µ = µ = Άρα το Β έχει συντεταγµένες 1 Β, Β,1. δηλαδή ( ) Γ. i) Έχουµε: συνω = συν ( α, β α β 1+1 ) = = ɵ = = α β 1 + +1 5 5 ii) α' τρόπος Επειδή α γ έχουµε: α γ = 1x + y = x = y (1) β' τρόπος Επειδή α γ y y έχουµε: λ = 1 = 1 = 1 x = y α γ 1 x x α' τρόπος Έχουµε : β δ = y + x = y y = Εποµένως β δ β' τρόπος Έχουµε : 1 x y λ = και λ = = = β δ y y 1 Άρα: λ λ = β δ (-) = -1 άρα β δ. Τ ΘΕΜΤ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΙ ΓΙ ΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΚΗΣ ΜΟΝ Σ ΣΕΛΙ : ΠΟ 8
ΟΜΟΣΠΟΝ Ι ΕΚΠΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ 17 ΦΣΗ Ε_.ΜλΘ(α) iii) πό xy είναι x και y. Τότε έχουµε: ( x, y)( y, x) xy + yx xy συνφ ˆ = συν( γ, ɵ δ ) = = = = x + y y + x x + y y + x x + y (1) xy ( y)y y y = = = = = x + y + y y + y 5y 5 ( y ) Οι γωνίες ω και φ ως γωνίες διανυσµάτων ανήκουν στο διάστηµα [, π]. Ιδιαιτέρως έχουµε π συνω = < ω < και συνφ = < φ < π και αφού 5 5 συνω = συνφ έπεται ότι ω + φ =. Γ. i) α τρόπος: Έστω ότι τα διανύσµατα γ και δ είναι παράλληλα. Τότε από τη συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων έχουµε y = = = = ή x= y x πό την υπόθεση έχουµε ότι xy. Για x=y από την (1) έχουµε 1 = Ψευδής, ενώ για x = y έχουµε 1 = Ψευδής. Έτσι σε κάθε περίπτωση η υπόθεσή µας οδηγεί σε άτοπο, εποµένως τα διανύσµατα γ και δ δεν είναι παράλληλα. β τρόπος: πό την υπόθεση έχουµε ότι xy. Εποµένως τα διανύσµατα γ και δ έχουν συντελεστές διεύθυνσης = και = αντιστοίχως. Έστω ότι τα διανύσµατα γ και δ είναι παράλληλα. Τότε = = = = ή = ολοκληρώνεται όπως και στον α τρόπο. και η απόδειξη γ τρόπος: Έστω ότι τα διανύσµατα γ και δ είναι παράλληλα. Τότε =, κ R (x,y) = κ(y,x) x=κy και y=κx. Η πρώτη εξίσωση, λόγω της δεύτερης, δίνει = και αφού x είναι τελικά = Άρα κ = 1 ή κ = 1. Για κ = 1 είναι x = y, ενώ για κ = 1 είναι x = y και η απόδειξη ολοκληρώνεται όπως και στον α τρόπο. Τ ΘΕΜΤ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΙ ΓΙ ΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΚΗΣ ΜΟΝ Σ ΣΕΛΙ : ΠΟ 8
ΟΜΟΣΠΟΝ Ι ΕΚΠΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ 17 ΦΣΗ Ε_.ΜλΘ(α) ii) α' τρόπος: Τα διανύσµατα γ και δ δεν είναι συγγραµµικά, συνεπώς κατασκευάζεται παραλληλόγραµµο από αυτά. Έστω ΚΛΜΝ το παραλληλόγραµµο αυτό, τότε: ΚΜ = γ+δ και ΝΛ = γ δ Εποµένως: ΚΜ = ( x, y ) + ( y, x ) ΚΜ = ( x + y, y + x) και ΝΛ = ( x, y) ( y, x ) ΝΛ = ( x y, y x) πό Γ i έχουµε x y και x y. Παρατηρούµε ότι: y+ x y x λ λ = x+ y x y ( y+ x) ( y x) = ( x+ y) ( x y) ( x y) = = ( x y) Άρα λ λ = 1 ηλαδή στο παραλληλόγραµµο ΚΛΜΝ οι διαγώνιοι τέµνονται κάθετα, άρα αυτό είναι ρόµβος. Κ δ Ν γ Λ Μ β' τρόπος Παρατηρούµε ότι: ΚΛ= γ= x + y ΚΝ= δ= x + y Άρα το παραλληλόγραµµο ΚΛΜΝ έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες, συνεπώς είναι ρόµβος. ΘΕΜ ίνεται η ευθεία (ζ): y = x 17. 1. i) Έστω (ε) y = λx +β η ζητούµενη ευθεία. Έχουµε: (ε) / /(ζ) λ ε = λζ λ ε =. Η ευθεία (ε) τέµνει τον y y στο σηµείο (,), εποµένως οι συντεταγµένες του σηµείου θα επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας (ε). Έχουµε: Τ ΘΕΜΤ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΙ ΓΙ ΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΚΗΣ ΜΟΝ Σ ΣΕΛΙ : 5 ΠΟ 8
ΟΜΟΣΠΟΝ Ι ΕΚΠΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ 17 ΦΣΗ Ε_.ΜλΘ(α) = +β β = Άρα η εξίσωση της ευθείας (ε) είναι: y = x +. ii) Για να βρούµε το σηµείο τοµής Β της ευθείας (ε) µε τον άξονα x x θέτουµε y=. Έχουµε: = x + x = Άρα Β(,). i) α τρόπος: ν (x,y) τότε = x, y = x, y ( ) ( ) και Β = (, ) = (, ) ντικαθιστούµε στη σχέση: 9 9 = Β ( x, y ) = (, ) 5 5 6 7 6 7 ( x, y ) =, x και y 5 5 = = 5 5 6 7 6 75 7 x = και y= x = και y= 5 5 5 5 6 8 x = και y= 5 5 6 8 Άρα οι συντεταγµένες του σηµείου είναι, 5 5 β τρόπος: Με σηµείο αναφοράς την αρχή των αξόνων Ο(,) έχουµε: 9 9 9 = Β Ο Ο= Β Ο = Β+ Ο 5 5 5 9 6 7 Ο = (, ) + (, ) Ο =, 5 + 5 5 6 8 Ο =, 5 5 6 8 Άρα οι συντεταγµένες του σηµείου είναι, 5 5 ii) α τρόπος: Το τρίγωνο ΟΒ είναι ορθογώνιο µε ΟΒ = 9. Ο συντελεστής διεύθυνσης της Ο είναι: 8 8 5 5 8 λο = = = = 6 6 6 5 5 Τ ΘΕΜΤ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΙ ΓΙ ΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΚΗΣ ΜΟΝ Σ ΣΕΛΙ : 6 ΠΟ 8
ΟΜΟΣΠΟΝ Ι ΕΚΠΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ 17 ΦΣΗ Ε_.ΜλΘ(α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της Β είναι: λβ= = Επειδή λο λβ = 1 Ο Β = Άρα το ευθύγραµµο τµήµα Ο είναι το ύψος του ΟΒ τριγώνου προς την υποτείνουσα Β. 8 8 β τρόπος: Έχουµε λ 5 Ο = = = 6 6 και λ Β =. Άρα: 5 λ λ = 1 Ο Β Ο Β =. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΒ ορθή είναι η γωνία Ο των αξόνων και Β η υποτείνουσα. Άρα το ευθύγραµµο τµήµα Ο είναι κάθετο στην υποτείνουσα Β.. Έστω Μ(x,y) τυχαίο σηµείο του Γ. Έχουµε ότι ΟΜ= ( x, y), Ο= (, ) ΟΓ= (, ) όπου Ο(,) η αρχή των αξόνων. ΟΜ Ο = ( x, y)(, ) = x + y = y ΟΜ ΟΓ = ( x, y)(, ) = x + y = x ΟΜ= x + y ( ΟΜ Ο) ( ΟΜ ΟΓ) = ( ΟΜ) ( ) ( ) y + = x + y 9y + 9 = 9 x + y ( ) 9y + 9 = 9 + 9y = +, β τρόπος: ρχικά έχουµε: Ο= ΟΓ=. ΟΜ Ο = ΟΜ Ο συνω 1 (1) ΟΜ ΟΓ = ΟΜ ΟΓ συνω () Για οποιαδήποτε θέση του Μ στο Γ έχουµε ω 1 +ω =π/. Εποµένως συνω =ηµω 1. Έτσι η σχέση () γράφεται: ΟΜ ΟΓ = ΟΜ ΟΓ ηµω 1 () (,) Ο ω 1 ω Μ Γ(,) Τ ΘΕΜΤ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΙ ΓΙ ΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΚΗΣ ΜΟΝ Σ ΣΕΛΙ : 7 ΠΟ 8
ΟΜΟΣΠΟΝ Ι ΕΚΠΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ 17 ΦΣΗ Ε_.ΜλΘ(α) πό (1) και () έχουµε: ( ΟΜ Ο) + ( ΟΜ ΟΓ) = ΟΜ Ο συν ω1+ ΟΜ ΟΓ ηµ ω1= = 9 ΟΜ συν ω+ 9 ΟΜ ηµ ω= 9 ΟΜ συν ω+ ηµ ω = ( ) = 9 ΟΜ = ΟΜ ( ) 1 1 1 1 Τ ΘΕΜΤ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΙ ΓΙ ΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΚΗΣ ΜΟΝ Σ ΣΕΛΙ : 8 ΠΟ 8