ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΘΕΜΑ A A. Αοδεικνύουμε το θεώρημα στην ερίτωση ου είναι f () >. Έστω, με. Θα δείξουμε ότι f ( ) f ( ). Πράγματι, στο διάστημα [, ] η f ικανοοιεί τις ροϋοθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής. f ( ) f ( ) Εομένως υάρχει (, ) τέτοιο ώστε f '( ) Οότε έχουμε f ( ) f ( ) f '( )( ). Εειδή f (ξ) > και, έχουμε f ( ) f ( ), οότε f ( ) f ( ). Μονάδες 7 A. α. Ψ (ψευδές) Μονάδα β. Έστω η συνάρτηση f αφού f f lim lim, ενώ. Η f είναι συνεχής στο, αλλά δεν είναι αραγωγίσιμη σ αυτό, f f lim lim. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι μια συνάρτηση f μορεί να είναι συνεχής σ ένα σημείο χωρίς να είναι αραγωγίσιμη σ αυτό. Μονάδες Α. Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β], όταν είναι συνεχής σε κάθε lim σημείο του (α,β) και ειλέον f()=f(α) και lim f()=f(β). α Μονάδες Α. α. Λάθος β. Σωστό γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Σωστό Μονάδες
ΘΕΜΑ Β Β. Έχουμε D f (, ) και Dg {} D { D / g() D } / { / } (,) Οότε fog f f αφού, άρα ( ) - + + - + + - (-) - + - (fog)() f g() f ln Άρα με (,) Μονάδες 5 Β. Ά τρόος: () ( ) ( ) Έχουμε h () ln ( ) ( ) ( ) ( ) για κάθε (,), άρα η h είναι γνησίως αύξουσα, οότε αντιστρέφεται. Β τρόος: Για, (,) με ln h( ) h( ) ln ln ( ) ( ), άρα η h είναι -, οότε αντιστρέφεται. Θέτω h() ln ( ), άρα h ()
Περιορισμός: άρα ισχύει για κάθε και ισχύει για κάθε Εομένως h () με Μονάδες 6 Β. Η φ συνεχής στο ως ράξεις συνεχών Η φ αραγωγίσιμη με ( ) ( ) ( ) ( ) φ () ( ) ( ) ( ) ( ), άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα στο, οότε δεν έχει ακρότατα. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) φ () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) φ () ( ) φ () ( ) ( ) φ () + - φ () σ.κ. Η φ είναι κυρτή στο (,], η φ κοίλη στο [, ). Η φ αρουσιάζει σ.κ. το Α(, φ()), δηλαδή το A, Μονάδες 7
Β. Στο : lim φ() lim, οότε η ευθεία είναι οριζόντια ασύμτωτη της φ στο. Στο : lim φ() lim lim, DLH οότε η ευθεία είναι οριζόντια ασύμτωτη της φ στο. Σημεία τομής με τους άξονες: Για τον : φ(), αδύνατη άρα δεν τέμνει τον Για τον : φ(),άρα τέμνει τον στο σημείο A, Πίνακας μεταβολών: φ () + + φ () + - φ() 5 6 σ.κ. = Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ Γ. f f f A, Άρα Έστω g Παρατηρώ ότι και g g g ή ή ή, ημ + + - + g - + g t τ. ε. Το στο, και εειδή είναι είναι μοναδική.
Το στο, και εειδή είναι θα είναι μοναδική. Άρα θα έχει δύο ακριβώς ρίζες. Οι εφατομένες θα είναι: και : ε : ε Γ. Β - Α Αφού f είναι f στο [,], άρα E f d d Ε = (ΑΟΒ) Ε όου Ο(,) και Β(,) όου β =(ΟΒ) =
8 8 Εομένως: 8 8 Γ. f lim lim lim f lim α τρόος Θέτω h() = ημ, [,] Τότε h () = -συν = -(συν + ) < για κάθε (,), άρα h στο [,] Εομένως για ισχύει h() h() h() h() Άρα lim h() με h()> για β τρόος ημ = ημ = ημ( ) όμως,, Άρα ημ( ) ημ( ) Εομένως lim Γ. Έχουμε f () = ημ> στο (,) Άρα fκυρτή στο [,], οότε η C f είναι άνω αό τις ε, ε. Εομένως f() και η ισότητα ισχύει μόνο για = (το σημείο εαφής). Για (,) έχω >, άρα f () f () και δεν είναι αντού μηδέν, οότε f f f d d d d ln f f d ln ln d
ΘΕΜΑ Δ, [,), [,) f () ( ), [,) ημ, [, ] ημ, [, ] ημ, [, ] Δ. Η f συνεχής στο [-,) ως σύνθεση συνεχών, ολυωνυμικής και ρίζας Η f συνεχής στο [,] ως γινόμενο συνεχών, εκθετικής και τριγωνομετρικής lim f () lim lim f () lim ημ ημ limf () f () f () ημ Οότε η fσυνεχής στο [-,] H f αραγωγίσιμη στο [-,) ως σύνθεση αραγωγισίμων, ολυωνιμικής και ρίζας με f () ( ) ( ) ( ) ( ) H f αραγωγίσιμη στο (, ως σύνθεση αραγωγισίμων, εκθετικής και τριγωνομετρικής με f () ( ημ) ημ συν ημ συν f () f () ( ) ( ) lim lim lim lim ( ) f () f () ημ ημ lim lim lim, ημ γιατί lim και lim οότε η f δεν είναι αραγωγίσιμη στο, [,) Τελικά f () ] (ημσυν), (, ] Αν [,) : Αν (, ] : f () o, δηλαδή το = κρίσιμο σημείο της f. αορ. f () (ημ συν) ημ συν ημ συν Αν συν, τότε ημ άτοο γιατί ημ συν Άρα συν, οότε: ημ εφ εφ εφ συν Άρα κ, κ 5 5 Όμως (, ] δηλαδή κ κ κ, κ, οότε κ =
Άρα για κ=: δεκτή Εομένως το κρίσιμο σημείο της f. Δ. Αν [-,) f [,) και αφού f συνεχής στο [-,], η f στο [-,]. Αν (,] f () = (ημ+συν) θέτω g() = ημ+συν g() = ημ+συν = = στο (,] αό Δ. οότε - 5 6 5 g( ) g g 6 + g 5 5 5 g 6 6 6 6 6 6 6 η g συνεχής στο, ως άθροισμα τριγωνομετρικών οότε η g διατηρεί σταθερό ρόσημο και αφού g έεται ότι g(), η g συνεχής στο, ως άθροισμα τριγωνομετρικών οότε η g διατηρεί σταθερό ρόσημο και αφού 5 g 6 έεται ότι g(),
Συγκεντρωτικά: - - - (ημ συν) + - + f - + - f Η f στο, και στο Η f στο, στο στο, η f αρουσιάζει Τ.Μ. το η f αρουσιάζει Τ.Ε. το f f στο η f αρουσιάζει Τ.Μ. το f στο η f αρουσιάζει Τ.Ε. το f η f συν στο, οότε αό ΟΜΕΤ. f,, Το γιατί ( Τ.Μ. Τ.Ε. Τ.Μ. Τ.Ε. ου ισχύει) 5 Δ. Για, έχουμε: f g ημ ημ ΑΔΥΝΑΤΗ γιατί ημ και αφού Είσης για : ημ και Άρα ημ οότε 5 ημ ημ Εομένως 5 5 E f g d ημ d ημ d 5 d ημd I I
5 5 5 5 I d 5 5 5 5 κο I ημd ημ συνd κο ημ ημ συν ημ d συν συν ημd I I Ι. Άρα Ε Ι Ι 5 Δ. 6 f 8 6f 8 6f 8 6f 6 8 f f f f Παρατηρούμε ότι το είναι ροφανής λύση αφού f f f όμως f f αφού f OM. της f αό ΘΜΕΤ. και σύνολο τιμών. Άρα Άρα f f.
Β τρόος f f. Προφανής λύση Για, ισχύει ότι και f f f f () Άρα η εξίσωση δεν έχει άλλες ρίζες.