r Έστω κβαντικός περιστροφέας ολικής στροφορμής J, που περιγράφεται από Jx J y J τη Χαμιλτονιανή H = z, όπου I x, I y, I z είναι οι ροπές αδράνειας I x I y I z του περιστροφέα ως προς τους άξονες x,y,z, αντίστοιχα. i Δείξτε ότι ο κβαντικός αριθμός που χαρακτηρίζει το μέτρο, ή το τετράγωνο, της στροφορμής του περιστροφέα διατηρείται, με την έννοια ότι αν η αρχική κατάσταση του περιστροφέα είναι μια κατάσταση με σταθερό, αν δηλαδή είναι γραμμικός συνδυασμός των καταστάσεων,,, -,...,, -, τότε η χρονική εξέλιξη δεν αλλάζει το μέτρο ούτε το τετράγωνο της στροφορμής. ii Υπολογίστε τον μεταθέτη é H, J z ù και δείξτε ότι μηδενίζεται αν και μόνο αν = Iy. iii Τι μπορείτε να πείτε, γενικά, για τις ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας του περιστροφέα; iv Αν I x = I y, πώς γράφεται η Χαμιλτονιανή H ; Ποιες είναι τότε οι ενέργειες του περιστροφέα; Τι παρατηρείτε; Λύση i Έστω ότι η αρχική κατάσταση y 0 του περιστροφέα είναι μια κατάσταση σταθερού, είναι δηλαδή γραμμικός συνδυασμός των καταστάσεων που έχουν το ίδιο, δηλαδή y 0 = åc m =- m, m, όπου cm οι μιγαδικοί συντελεστές του αναπτύγματος. Η δράση του τετραγώνου της στροφορμής στην κατάσταση y 0 μάς δίνει æ ö J y 0 = J ç å cm, m = å cm è m=- ø m=- = h åc J, m = å cm h, m = 44 m=- h, m, m = h y 0 m =- 44 m y 0 J y 0 = h y 0
Η αρχική κατάσταση y 0 είναι επομένως κι αυτή ιδιοκατάσταση του τετραγώνου της στροφορμής με την ίδια ιδιοτιμή με κάθε κατάσταση, m, κάτι αναμενόμενο, αφού η y 0 είναι γραμμικός συνδυασμός καταστάσεων που έχουν το ίδιο εκφυλισμένων καταστάσεων. Εξάλλου, επειδή το τετράγωνο της στροφορμής μετατίθεται και με τις τρεις συνιστώσες της, άρα και με τα τετράγωνα των τριών συνιστωσών της, η Jx J y Jz Χαμιλτονιανή H = του περιστροφέα μετατίθεται με το τετράγωνο I x I y I z της στροφορμής, δηλαδή é H, J ù = 0. Επομένως, η Χαμιλτονιανή και το τετράγωνο ê ú της στροφορμής έχουν κοινές ιδιοκαταστάσεις. Η αρχική κατάσταση y 0 είναι ιδιοκατάσταση του τετραγώνου της στροφορμής, άρα είναι και ιδιοκατάσταση της Χαμιλτονιανής, η οποία είναι χρονοανεξάρτητη, επομένως æ iet ö y 0, è h ø y t = exp ç - όπου E είναι η ενέργεια της ιδιοκατάστασης y 0. Με τη βοήθεια της, η δράση του τετραγώνου της στροφορμής στην κατάσταση y t είναι æ iet ö æ iet ö J y t = exp ç J y 0 = h exp ç y 0 = h y t 4 4 è h ø è 4h444 ø 44 h y 0 y t J y t = h y t 4 Από την 4 βλέπουμε ότι η y t είναι ιδιοκατάσταση του τετραγώνου της στροφορμής, ίδιας ιδιοτιμής με την y 0. Έτσι, η χρονική εξέλιξη δεν αλλάζει το μέτρο ούτε το τετράγωνο της στροφορμής του περιστροφέα. ii Είναι é J J J ù é H, J z ù = ê x y z, J z ú = é J x, J z ù é J y, Jz ù é Jz, J z ù 5 I I ê I x I y I z ú I x y z Όμως é Jx, Jz ù = Jx é Jx, J z ù é J x, Jz ù Jx = Jx -ihj y -ihj y Jx = -ih Jx J y J y J x και
é J y, Jz ù = J y é J y, Jz ù é J y, J z ù J y = J y ihjx ihjx J y = ih J y Jx Jx J y = = ih J x J y J y J x = - é J x, J z ù é J y, Jz ù = - é J x, J z ù ¹ 0 6 Επίσης é Jz, Jz ù = 0 7 Με τη βοήθεια της 6 και της 7, από την 5 παίρνουμε é H, J z ù = éjx, Jz ù é J x, J z ù = ç - é Jx, J z ù I I ç I x y è x Iy ø é H, Jz ù = ç - é Jx, Jz ù 8 ç I è x Iy ø Επειδή é Jx, Jz ù ¹ 0, από την 8 βλέπουμε ότι ο μεταθέτης é H, J z ù μηδενίζεται αν και μόνο αν - = 0, δηλαδή αν και μόνο αν I x = I y. Iy J J J iii Γενικά, η Χαμιλτονιανή H = x y z του περιστροφέα μετατίθεται με το I x I y I z τετράγωνο της στροφορμής. Έτσι, στη γενική περίπτωση, οι ιδιοκαταστάσεις του τετραγώνου της στροφορμής, δηλαδή οι καταστάσεις σταθερού, είναι και ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας του περιστροφέα. Επειδή η Χαμιλτονιανή του περιστροφέα δεν έχει άλλους βαθμούς ελευθερίας εκτός από τις τρεις συνιστώσες της στροφορμής, δεν έχει άλλες ιδιοκαταστάσεις. Επομένως, στη γενική περίπτωση, οι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας του περιστροφέα είναι οι καταστάσεις σταθερού. Ξέρουμε ότι για κάθε τιμή του, υπάρχουν ορθοκανονικές καταστάσεις, αφού m = -, -,...,, οι οποίες αποτελούν βάση στον χώρο των καταστάσεων του περιστροφέα. Στη γενική περίπτωση, οι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας του περιστροφέα είναι, λοιπόν, γραμμικοί συνδυασμοί των καταστάσεων {, m } m =-, για κάθε τιμή του. Αν οι ροπές αδράνειας του περιστροφέα ως προς τους άξονες x και y είναι ίσες, δηλαδή αν I x = I y, τότε, όπως δείξαμε στο προηγούμενο ερώτημα, η Χαμιλτονιανή του περιστροφέα μετατίθεται ΚΑΙ με τη z συνιστώσα της στροφορμής του, οπότε έχει κοινές ιδιοκαταστάσεις και με τη z συνιστώσα της στροφορμής του. Στην ειδική αυτή περίπτωση, οι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας του περιστροφέα είναι οι καταστάσεις σταθερού ΚΑΙ σταθερού m, είναι δηλαδή οι καταστάσεις, m.
Σε κάθε άλλη περίπτωση, όπου I x ¹ I y, η Χαμιλτονιανή του περιστροφέα δεν μετατίθεται με τη z συνιστώσα της στροφορμής του, και οι καταστάσεις, m δεν είναι, γενικά, ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας του περιστροφέα. iv Αν I x = I y, η Χαμιλτονιανή του περιστροφέα γράφεται Jx J y J z 9 H= I x Iz Όμως J = Jx ex J y ey Jz ez Þ J = Jx J y Jz Þ Jx J y = J - Jz 0 Με τη βοήθεια της 0, η 9 γράφεται J - Jz Jz æ ö H= = J ç - Jz I x I z I x è Iz ø æ ö H = J ç - J z I x è Iz ø Βλέπουμε ότι η Χαμιλτονιανή μετατίθεται με το τετράγωνο και με τη z συνιστώσα της στροφορμής, επομένως οι καταστάσεις, m είναι ιδιοκαταστάσεις της Χαμιλτονιανής, η οποία, επειδή δεν έχει άλλους βαθμούς ελευθερίας, δεν έχει άλλες ιδιοκαταστάσεις. Αν δράσουμε με τη Χαμιλτονιανή σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση, m, θα πάρουμε æ æ ö ö H, m = çç J ç - J z, m = è Iz ø è I x ø J, m ç - Jz, m = 44 è I z I x ø 44 h, m h, m ç - m h, m = I x è Iz ø h æ æ ö ö h æ - m m ö = çç ç - m, m = ç, m è è è Iz I x ø ø = h æ - m m ö H, m = ç, m è Επομένως, η ενέργεια της ιδιοκατάστασης, m είναι E,m h æ - m m ö = ç è mh,m
Παρατηρήστε ότι E,- m = E,m, δηλαδή οι καταστάσεις, - m και, m είναι εκφυλισμένες, αν m ¹ 0. Από τη βλέπουμε ότι αν I x = I z, δηλαδή αν και οι τρεις ροπές αδράνειας είναι h ίσες I x = I y = I z º I, τότε οι ενέργειες του περιστροφέα είναι E =, I δηλαδή οι καταστάσεις, m με το ίδιο έχουν την ίδια ενέργεια, είναι δηλαδή εκφυλισμένες. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skonstan@hotmail.com