ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ επιμέλεια: ΑΘΗΝΑ ΚΑΡΑΜΑΝΙΔΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Ο Δίνεται η συνάρτηση f( = α, є[,+ ) όπου αє(,) σταθερό. (i) Ν.δ.ο. η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο[,+ ) (iii) Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από την C f, τον άξονα και τις ευθείες με εξισώσεις = και =. Να βρείτε το κє(, ), ώστε η ευθεία =κ να χωρίζει το χωρίο Ω σε δύο ισεμβαδικά χωρία. ΘΕΜΑ Ο Σε ένα κυλινδρικό βαρέλι με διάμετρο 4 m και ύψος 7,5 m ξεκινάμε την χρονική p στιγμή t = και ρίχνουμε νερό με παροχή 6t+ m 3. h Να βρείτε σε πόσο χρόνο θα γεμίσει το βαρέλι ( V κυλίνδρου =πρ υ) ΘΕΜΑ 3 Ο (i) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα η συνάρτηση f με f(=l n- (>) Ν.δ.ο. για κάθε > ισχύει ³e -e ΘΕΜΑ 4 Ο (i) Να βρείτε τον μιγαδικό z αν γνωρίζουμε ότι : z - i = z - 4i και Re(z)= - Ν.δ.ο. 4z z z - - z -6 z + (iii) Αν zєc και z + 6-3i 7 να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή

2 του αριθμού z - + 3i (iv) Να βρείτε το αє ώστε ο μιγαδικός w= + +. i +. i να είναι φανταστικός ΘΕΜΑ 5 Ο p Θεωρούμε τις συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύει g(= ò + suntdt + και 4 ò f ( t) dt = - όπου f συνεχής συνάρτηση στο. (α) Ν.δ.ο. η g είναι σταθερή και να βρείτε την τιμή του αє, αν η C g διέρχεται από το σημείο Α(,). (β) Ν.δ.ο. υπάρχει μια τουλάχιστον λύση της f(=g( στο (,4). Να θεωρήσετε τη συνάρτηση g που έχει προκύψει στο (α) ερώτημα. ΘΕΜΑ 6 Ο Δίνεται η συνάρτηση f, συνεχής στο, οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί α και β με α<β lnb ln ò και η συνάρτηση g με g(=e. Ν.δ.ο. = e ( fog) d ( ) =ò b f ( d ΘΕΜΑ 7 Ο Θεωρούμε τη συνάρτηση g η οποία έχει θετικές τιμές στο και είναι παραγωγίσιμη με συνεχή πρώτη παράγωγο στο και τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς α,β με α<β. b g ( + g( Αν ò ν.δ.ο. η συνάρτηση g δεν πληρεί τις προϋποθέσεις του g( θεωρήματος Rolle στο [α,β] ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Ο (i) f συνεχής στο [,+ ) και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (,+ ) f ( =α α- και f (= α(α-) α- με

3 αφού αє(,) Þ α (α-) α- < για κάθε є(,+ ) (+) (-) άρα f (< για κάθε є(,+ ) και αφού f συνεχής στο [,+ ) η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο [,+ ) f συνεχής στο [,] και για κάθε є[,]ισχύει f(³ Άρα Ε(Ω)= ò f ( d= d = ò + é ú ù ê ë + û = = τ.μ. (iii) Ε(Ω )= ò K ò K f ( d= d = é ê ë + ù ú û K + + k = είναι το εμβαδό του χωρίου Ω + που περικλείεται από την C f, τον και τις ευθείες = και =κ, κє(,) Η ευθεία =κ, κє(,) χωρίζει το χωρίο Ω σε δύο ισεμβαδικά χωρία αν και μόνο αν ισχύει: + k Ε(Ω )= Ε(Ω) Û = + Άρα κ= Û κ α+ = α Û κ= ( ) є(,) δεκτή. ΘΕΜΑ Ο V (t)= (6t+) Άρα : V(t) = 3t + t + C V()= Û 3 ++C= Û C= Û V(t)= 3t + t t ³ Έχουμε όμως V(t)=πρ æ υ(t) = πç è ø ö p υ(t) = π p 4 υ(t) = 4υ(t) V(t)=4υ(t) Û υ(t)= 4 V(t)= 4 (3t +t)m Άρα υ(t )=7,5 Û (3 t 4 + t )=7,5 Û 3 t + t -3 = Û t =3 (δεκτή) ή t = - (απορρίπτεται) 3 Άρα το βαρέλι θα γεμίσει σε 3 h. ΘΕΜΑ 3 Ο (i) f παραγωγίσιμη στο (,+ ) με f (=(ln -( =( ln + (ln -= = ln+ -= ln- Έχουμε ln-> Û ln> lne Û >e

4 e + f ( - o + f( f min (e, -e) στο (,e], f στο [e,+ ) και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο (e, -e) Αφού το (e, -e) ολικό ελάχιστο της f f(³f(e) Û ln- ³ -e Û ln³-e Û ln ³lne -e Û ³ e -e ΘΕΜΑ 4 Ο z=+yi (i) z - i = z - 4i Û 4y+4= +y -8y+6 Û 4y= Û y=3 Re(z)=- =- Άρα z=-+3i + ( y - ) i = + ( y - 4) i Û +(y-) = +(y-4) Û +y - gz=+3i Αρκεί ν.δ.ο. 4z z z - + z +6 z + + Έχουμε : 4z z + 3 = 4z z z = = 4( z -) ( z + ) + z 4 z z + + z y (iii) z + 6-3i 7 Û z - (-6 + 3i) 7 M Το Μ βρίσκεται σε κυκλικό δίσκο Κ(-6,3) με κέντρο Κ(-6,3) και ακτίνα 7 ا ا Ο αριθμός z - + 3i = z - ( - 3i) είναι ι ι ι ι ι ι ι ι ι ι -6 ا M η απόσταση ΛΜ όπου Λ(,-3) η εικόνα ا ا -3 Λ(,-3)

5 του w=-3i. Για να γίνει ΛΜ ελάχιστο το Μ παίρνει τη θέση Μ και για να γίνει μέγιστο τη θέση του Μ ΚΛ= ( + 6) + (-3-3) = y ΛΜ = ΛΚ- Μ Κ=-7=3 και ΛΜ = ΛΚ+ΚΜ =+7=7 άρα ο αριθμός z - + 3i έχει ελάχιστη τιμή το 3 και μέγιστη το i + - i (iv) wєi Û w=-w Û = - Û + i -i (α++αi)(-αi)= -( α+-αi)(+αi) Û α++αi-α i-αi- α i = -(α+-αi+ α i+αi- α i ) Û α +α++(-α- α )i=-( α +α+)+(-α-α )i Û α +α+= -( α +α+) Û α +α+= Δ=-7< Άρα δεν έχει ρίζες στο ενώ αє. Άρα για καμιά τιμή του α wєi ΘΕΜΑ 5 Ο g( = -ò p sun dt + ò + suntdt + (α) g (=-συν+συν(+π)(+π) Û g (=-συν+συν Û g (=C άρα g(=c (σταθερά C) όμως g()= Û C= p άρα g(= Û ò + sun + = +p tdt Û [ ] hmt +α= Û ημ(+π)-ημ+α= Û ημ-ημ+α= Û α= (β) Θεωρώ h( =f(-g( h συνεχής συνάρτηση στο [,4] ò f ( t) dt = 4 - Û é ê ë ò Για = f()= = Û f()= ù f ( t) dtú =( 4 - ) Û f( )( ) =4 3 - Û f( )= û

6 Για = f(4)=4 3 - Û f(4)= 4 8 Û f(4)=7 h()=f()-g()=-=- gh() h(5)= -5 < h(4)=f(4)-g(4)=7-=5 ¾ Q. Bolzno ¾ ¾¾ υπάρχει τουλάχιστον λύση της h(= Û f(=g( στο (,4) ΘΕΜΑ 6 Ο єag є g(єa f g(є Þ A fog = (fog)(=f ( g () =f(e ), є ln ò b ln e f ( e ò b d= ò b f ( u) du = f ( d Θέτω e = u du = e d du d= e u = e lnα =α u = e lnβ =β ΘΕΜΑ 7 Ο b g ( + g( bæ g ( g( ö ò d= Û g( ò ç + d= Û è g( g( ø Û [ ng( ] b l + [ ln ] b g ò b ( ) d g( + ò b d= Û g( b ) Û lng(β)- lng(α)+ lnβ- lnα= Û ln =ln Û β g(β)=α g(α) g( ) b Έστω ότι η g πληρεί τις προϋποθέσεις του Θ. Rolle τότε g(α)=g(β) άρα β=α άτοπο. Άρα η g δεν πληρεί τις προϋποθέσεις του Θ. Rolle στο [α,β]