ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρηµα Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση ότι: z 3i z 3i () Όµως z 3i z 3i z 3 i () Οπότε από τις () και () προκύπτει ότι: z 3i z 3i z 3i z 3i (3) Αν z yi η (3) γράφεται: y i y ( 3) ( 3) Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των z είναι κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ (, 3) και ακτίνα ρ Β Από το ερώτηµα Β έχουµε: z 3i Οπότε ( ) z 3i ( z 3 i) ( z 3 i) ( z 3 i) z 3i z 3i z 3i Β3 Σύµφωνα µε την προηγούµενη ισότητα ο w γράφεται w z 3 i 3 3 R( ) 3 z i z i z i z z z R Όµως από τον γεωµετρικό τόπο των εικόνων των z έχουµε ότι: Και επειδή R(z) προκύπτει ότι: R(z) Οπότε: R(z) Άρα w B4 Είναι: z w z z 3i 3i 3i z 3i z z z 3i z 3i Τεχνική Επεξεργασία: Kyston 3
ΘΕΜΑ Γ Γ Η δοσµένη σχέση γράφεται: ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( f ( )) ( f ( ) ) ( f ( )) f ( ) f ( ) c, c R Για προκύπτει: f () f () c και λόγω των δεδοµένων αρχικών συνθηκών είναι c Η τελευταία σχέση έτσι γράφεται: (*) f ( ) f ( ) f ( )( ) f ( ) f ( ) ln( ) f ( ) ln( ) c Για προκύπτει c Έτσι f ( ) ln( ) (*) Αν θέσουµε h( ),, είναι: h ( ), Γ Είναι ( ) h ( ) h > > > > ( ) h < < < < h h Έτσι η h έχει ολικό ελάχιστο στη θέση την τιµή ηλαδή h( ) >, για κάθε f ( ) ln( ) h () Λόγω της παρατήρησης (*) του ερωτήµατος Γ οι ρίζες και το πρόσηµο, συνεπώς ο πίνακας µεταβολών της f εξαρτάται µόνον από τις ρίζες και το πρόσηµο του αριθµητού h ( ) Συνεπώς f ( ) f ( ) > > f ( ) < < Τεχνική Επεξεργασία: Kyston 4
Άρα η f είναι: γνησίως φθίνουσα στο (, ], γνησίως αύξουσα στο [, ) και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στη θέση την τιµή f () ln( ) ln Γ3 Είναι: ( ) ( ) ( )( ) ( ) f ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Θέτουµε ϕ ( ) ( ), Είναι: φ () ( ) ( ) φ () φ () > < φ () < > Φ Φ - Προκύπτει ότι η φ είναι γνησίως αύξουσα στο (, ], γνησίως φθίνουσα στο [, ) και έχει ολικό µέγιστο φ () > Βρίσκουµε τώρα τα όρια της φ στα, : ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) Έτσι ϕ( ) ( ) Τεχνική Επεξεργασία: Kyston 5
Λόγω της συνέχειας και της µονοτονίας της φ είναι ϕ (( ]) ( ϕ( ) ϕ( ) ( ],,, ([ )) ( ϕ( ) ϕ( ) ( ] ϕ,,, Παρατηρούµε ότι: ϕ( (,]) άρα υπάρχει (,] ώστε ϕ ( ) Εν τω µεταξύ η φ είναι γνησίως αύξουσα, άρα εκατέρωθεν του αλλάζει πρόσηµο ιότι µε < είναι φ () < φ ( ) φ ( ) < Ενώ µε > > είναι φ () > φ ( ) φ () > Έτσι ισοδύναµα (επειδή > για κάθε ) η f έχει µία µόνο ( ) ρίζα στο (,], εκατέρωθεν της οποίας αλλάζει πρόσηµο Όµοια τώρα ϕ( [, ]) άρα υπάρχει [, ), ώστε φ ( ) Εν τω µεταξύ η φ είναι γνησίως φθίνουσα άρα εκατέρωθεν του αλλάζει πρόσηµο ιότι µε < < είναι φ () > φ ( ) φ () > Ενώ µε > είναι φ () < φ ( ) φ () < Έτσι η f έχει επίσης µία µόνο ρίζα στο [, ), εκατέρωθεν της οποίας αλλάζει πρόσηµο Άρα τελικά, η f έχει ακριβώς δύο σηµεία καµπής στις θέσεις, Γ4 Θέτουµε g( ) ln( ) συν f ( ) συν, Ύπαρξη : Η g είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών στο, άρα και στο, Είναι g() f () συν() < g π f π συν π f π π π π Όµως f στο [, ), άρα είναι > f > f () f > Τεχνική Επεξεργασία: Kyston 6
ΘΕΜΑ Έτσι g() g π <, οπότε λόγω του Θ Bolzano η g έχει µία ρίζα στο π διάστηµα, Μοναδικότητα: Θα δείξουµε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο,, οπότε η ρίζα θα είναι µοναδική Έστω,, µε < τότε f( ) < f( ) διότι f στο [, ) συν > συν διότι συν στο, Άρα συν< συν Έτσι όµως f ( ) συν < f ( ) συν, άρα g( ) < g( ) Άρα g γνησίως αύξουσα στο, Παρατήρηση ( ος τρόπος για τη µονοτονία): Η µονοτονία της g στο [, π / ] µπορεί να προκύψει και ως εξής: g () f () ηµ Όµως f () >, για κάθε (, ) άρα και για κάθε (, π / ), ενώ επίσης ηµ > για κάθε (, π / ) Άρα g () > για κάθε (, π / ) και εποµένως g γνησίως αύξουσα στο [, π / ] Έχουµε ότι: t f ( ) dt g( t) Θέτουµε: t u t u Οπότε: dt du Ακόµη για t έχουµε u και για t έχουµε u Εποµένως: Τεχνική Επεξεργασία: Kyston 7
u u u f ( ) du du du ( ) ( ) ( ) u u ( ) d ( ) d f u f u g( u) g( u) Άρα u f ( ) d u () g( u) Με ανάλογο τρόπο προκύπτει ότι: u g( ) d u () f ( u) Επειδή οι συναρτήσεις συµπεραίνουµε ότι οι συναρτήσεις u u και ( ) f( u) είναι συνεχείς στο [, ] µε u u du και du g( u) f ( u) είναι παραγωγίσιµες στο, εποµένως και οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο f ( ) και g ( ) g( ) f ( ) οπότε f ( ) g( ) και g ( ) f ( ) άρα ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) > f g g f f g g f ( ) g f ( ) g( ) g ( ) f ( ) f ( ) g ( ) g( ) Από την τελευταία προκύπτει ότι: και επειδή Άρα f( ) g( ) ()&() f( ) c g( ) f () g(), θα είναι c Τεχνική Επεξεργασία: Kyston 8
Επειδή είναι: f ( ) (Ερώτηµα ) f( ) 3 Είναι ( ) ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Σύµφωνα µε γνωστό θεώρηµα (συνέπεια του ΘΜΤ) έχουµε: f ( ) c Όµως f (), οπότε c Άρα [ ] f ( ) f( ) f( ) Και επειδή f ( ) >, προκύπτει ότι f( ) ln f ( ) ln ( D L' Hospital) (*) f (*): Θέτουµε y οπότε το y : y y 4 Είναι F ( ) f ( ) > Άρα η F στο [, ] Άρα για θα είναι F( ) F() και επειδή F (), προκύπτει ότι F( ) [,] Εποµένως [,], θα είναι: [ ] E F( )d F( )d F( ) F ( )d F() f ( t ) d f ( )d d d ( ) d ( ) τµ Τεχνική Επεξεργασία: Kyston 9