γ λυκειου ` κεφαλαιο1 οριο - συνεχεια συναρτησης επιμελεια : τακης τσακαλακος T Ш τ 1 017
... πραγματικοι αριθμοι... συναρτησεις... μονοτονες συναρτησεις - αντιστροφη συναρτηση... οριο συναρτησης στο χ 0... ιδιοτητες οριων... μη πεπερασμενο οριο στο χ 0... οριο συναρτησης στο απειρο... συνεχεια συναρτησης T Ш τ
ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ χ 0
Θ Ε Ω Ρ Ι Α... ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Αν Αν lim f(x)> 0, τότε f(x)>0 κοντά στο χ 0 (σχήμα 1) lim f(x)< 0, τότε f(x)<0 κοντά στο χ 0 (σχήμα ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Το αντίστροφο του θεω- ρήματος 1 δεν ισχύει, αφού, αν f(x)>0 για κάθε χ x 0 τότε lim f(x) 0 (αν υπάρχει το όριο) παράδειγμα αν f(x)=χ >0 για κάθε χ x 0 ενώ lim f(x)= lim χ 0 x x x x 0 0 (σχήμα) f(x)<0 για κάθε χ x 0 τότε lim f(x) 0 (αν υπάρχει το όριο) παράδειγμα Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017 160
αν f(x)=-χ <0 για κάθε χ (σχημα) x 0 ενω lim f(x)= lim (-χ ) 0 x x x x 0 0 Αν f(x) 0, τότε lim (αν υπάρχει το όριο) f(x) 0, κοντά στο χ 0 Αν f(x) 0, τότε lim f(x) 0, κοντά στο χ 0 (αν υπάρχει το όριο) Άμεσα από το θεώρημα 1 Αν lim f(x) 0, τότε f(x) 0 κοντά στο χ 0 Αν lim f(x) 0, τότε f(x)>0 ή f(x)=0 ή f(x)<0 κοντά στο χ 0 Αν χ 0 Α f, τότε x lim f(x) f(x ) x0 0 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο χ 0 και ισχύει f(x) g(x) κοντά στο χ 0 τότε lim f(x) x x x x 0 0 lim g(x) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο χ 0 και ισχύει f(x)<g(x) κοντά στο χ 0, Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017 161
Σ Τ Η Π Ρ Α Ξ Η... ΟΡIΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ χ 0 (ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ) Δ ο σ μ έ ν α Ο τύπος της συνάρτησης f ή σχέση ορίων Α ν τ ι μ ε τ ώ π ι σ η Στη περίπτωση " εύρεσης ορίου - πράξεις... " Ελέγχουμε αν για x = x 0 ορίζεται η συνάρτηση f(x) Eφαρμόζουμε τις ιδιότητες των ορίων των πράξεων Στη περίπτωση " βοηθητικής συνάρτησης... " Θέτουμε h 1(x), h (x) τις αλγεβρικές παραστάσεις των ορίων (γνωστά τα όρια: και ) Λύνουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν ως προς f(x), g(x) (σε συνάρτηση με τις h 1(x), h (x)) Βρίσκουμε τα όρια και με τη βοήθεια των ορίων και που είναι γνωστά. Στη περίπτωση " ρητής συνάρτησης, με... 0 : 0..." Παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή (συνήθως με Horner, μια ρίζα είναι πάντα η x 0) Απαλείφουμε τον όρο της μορφής x - x 0 Στη συνέχεια βρίσκουμε το όριο πηλίκου. Στη περίπτωση " άρρητης συνάρτησης με... 0 : 0... " Παραγοντοποι ούμε αριθμητή και παρονομαστή (μέθοδος συζυγούς παράστασης) συνεχίζουμε όπως παραπάνω Στη περίπτωση " άρρητου παρονομαστή(αριθμητή)... απροσδιοριστία... " Αν ο αριθμητής είναι πολύ πιο απλός του παρονομαστή, βρίσκουμε το όριο του αντίστροφου κλάσματος. Αντιστρέφουμε το κλάσμα και το σπάμε σε αλγεβρικό άθροισμα απλούστερων κλασμάτων (με απροσδιοριστία 0 : 0). Αν ο παρονομαστής είναι πολύ πιο απλός του αριθμητή, "σπάμε το κλάσμα σε αλγεβρικό άθροισμα... Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017 171
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1. ΟΡIΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ) Να υπολογίσετε τα όρια α) β) γ) lim (-x +x ) x - 1 lim (συν x +x) x 0 x lim ln(1+e -e ) x 0 δ) x +5 lim x x-1 α) Κοντά στο χ 0=-1 ορίζεται η συνάρτηση f με τύπο f(χ)=-χ+χ και lim (- x +x )= x - 1 = -(- 1)+(- 1) = ++1= 6 β) Κοντά στο χ 0=0 ορίζεται η συνάρτηση g με τυπο g(χ)=συν χ+χ και lim(συν x +x)= συν 0 +0 x 0 γ) = 1+0= Κοντά στο χ 0=0 ορίζεται η συνάρτηση h με τύπο h(χ)=1+e+e x και x 0 limln(1+e -e )=ln(1 +e-e ) =ln(1 +e-1)=lne=1 x 0 δ) Για χ 0= ορίζεται η συνάρτηση q με τύπο q(χ)= και x +5 +5 4 +5 9 lim = = = = = 1 x x-1-1 4-1 x +5 x-1 Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017 17
Γ Ι Α Π Ρ Ο Π Ο Ν Η Σ Η... 1. Να αποδειχθεί ότι εφαρμόζεται το θεώρημα του Bolzano για την συνάρτηση f(x)= x +x+1, - x 0 x -x+1, 0< x 1. Να δειχθεί ότι η εξίσωση τουλάχιστον λύση στο διάστημα π ημ( συνx) +συν(πημx)= 0, έχει μία π 0,.. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x)= -χ, -1 x< 0 χ+, 0 x 1 Να εξετάσετε αν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρή - ματος Bolzano για τη f στο διάστημα [-1, 1] 4. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο β x +αx+1 - x< 0 f(x)= β-α x 0 x -βx+1 0 < x 1 Να προσδιοριστούν οι παράμετροι α και β, ώστε να εφαρμό - ζεται το θεώρημα Bolzano στο διάστημα [ -, 1]. 5. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α) υπάρχει γ f(γ) f(α)+f(β) = γ-α β-α (α, β) ώστε να ισχύει 0, να δειχτεί ότι Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017 5
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
6. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: με f v (x)=χ 6ν για κάθε χ και ν * α) Να λύσετε την εξίσωση f(x)=0 β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα ( -, 0) και (0, + ) γ) Αν f(-017)>0 και f(181)<0, να αποδείξετε ότι f(x)=-x δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να ορίσετε την f - 1 ε) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφημάτων της συνάρ - τησης f και της αντίστροφης της. α) Είναι f(x)= 0 f (x)= 0 6 x = 0 x= 0 β) Η f είναι συνεχής στο (-, 0) και δεν μηδενίζεται σε αυτό. Άρα διατηρεί πρόσημο στο (-, 0) Η f είναι συνεχής στο (0, + ) και δεν μηδενίζεται σε αυτό. Άρα διατηρεί πρόσημο στο (0, + ) συνεπώς η συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα (-, 0) και (0, + ) γ) Η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-, 0) και f(-017)>0, άρα, f(x)>0, x (-, 0) Έτσι f v (x)=χ 6ν ~ f(x)=-χ, για κάθε χ (-, 0] (f(0)=0 και χ<0) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017 44
Η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (0, + ) και f(-181)<0, άρα, f(x)<0, x (0, + ) Έτσι f v (x)=χ 6ν ~ f(x)=-χ, για κάθε χ [0, + ) (f(0)=0 και χ>0) Τελικά f(x)=-χ, για κάθε χ δ) Για κάθε x 1, x f(x 1) = f(x ) ~ με f(x 1) = f(x ) ισχύει: - x =- x x = x x = x 1 1 1 δηλαδή η συνάρτηση f είναι "1-1" στο Έχουμε, οπότε αντιστρέφεται. y= f(x) y=- x (- x) = y - x= - - y, y< 0 y, y 0-1 - y, y< 0 x = f (y) - y, y< 0-1 x= f (y)= - y, y 0 - y, y 0 y = x f -1 (x)= - x, x< 0 - x, x 0 ε) Είναι y= f(x) y= f(x) y= f(x) y=- x - 1-1 y= f (x) f(y)= f(f (x)) f(y)= x x=- y y=- x y=- x x+y=- x -y x +y +x+y= 0 y=- x (x+y)(x -xy+y +1)= 0 0 y=- x x+y= 0 y=- x x - x= 0 x(x+ 1)(x- 1)= 0 y=- x y=- x y=- x (x, y)=(0, 0), (- 1, 1), (1, - 1) Έτσι, τα κοινά σημεία των γραφημάτων της συνάρτησης f και της αντίστροφης της είναι Ο(0, 0), Α(-1, 1) και Β(1, -1) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 017 45
` κεφαλαιο1 017 τακης τσακαλακος T Ш τ