Προαπαιτούµενη γνώση. Οµοµορφισµοί οµάδων, σχέση ισοδυναµίας και µετα- ϑέσεις. Το Θεώρηµα Lagrange, καθώς και το 1ο Θεώρηµα ισοµορφισµών.

Κεφάλαιο 5 ράση οµάδων Σύνοψη. Μελετάται η (αριστερή) δράση οµάδας σε σύνολο. Εισάγεται η έννοια µετάθεση-αναπαράσταση µιας οµάδας. Αποδεικνύεται το Λήµµα τροχιάςσταθεροποιητή και το Λήµµα Burnside. Επίσης, µελετάται η (αριστερή) δράση οµάδας σε οµάδα. Με τη ϐοήθειά της, κατασκευάζεται το ηµιευθύ γινόµενο δύο οµάδων. ίνονται εφαρµογές των εννοιών που αναπτύσσονται. Προαπαιτούµενη γνώση. Οµοµορφισµοί οµάδων, σχέση ισοδυναµίας και µετα- ϑέσεις. Το Θεώρηµα Lagrange, καθώς και το 1ο Θεώρηµα ισοµορφισµών. 5.1 ράση οµάδας σε σύνολο Εστω G µία οµάδα και X ένα µη κενό σύνολο. Θα λέµε ότι η G δρα από αριστερά στο X (ή ότι η G µεταθέτει τα στοχεία του X) αν σε κάθε στοιχείο g G και σε κάθε στοιχείο x X αντιστοιχεί ένα µοναδικό στοιχείο gx X τέτοιο, ώστε για όλα τα x X και g 1, g 2 G, ισχύουν οι συνθήκες : 1. (g 1 g 2 )x = g 1 (g 2 x) και 2. 1 G x = x. Ουσιαστικά, έχουµε µία απεικόνιση από το G X στο X που στέλνει το (g, x) στο gx για όλα τα g G και x X. υικά µπορούµε να ορίσουµε την έννοια της δεξιάς δράσης της G στο X. Από εδώ και στο εξής, όταν αναφερόµαστε σε δράση οµάδας σε σύνολο ϑα εννοούµε αριστερή δράση διαφορετικά, ϑα λέµε σαφώς ποια δράση χρησιµοποιούµε. Παραδείγµατα 5.1 1. Εστω X ένα µη κενό σύνολο και G µία υποοµάδα της Sym(X). Τότε, η G δρα στο X. Στην περίπτωση αυτή gx = g(x), όπου g(x) είναι η εικόνα του x µέσω της απεικόνισης g, για κάθε g G και x X. Η δράση αυτή ονοµάζεται ϕυσική δράση της G στο X. 2. Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος πάνω από το σώµα F. Τότε, η οµάδα των αντιστρέψιµων στοιχείων U(F) δρα στο σύνολο V µε ϕυσικό τρόπο, κ v = κv για όλα τα κ U(F) και v V. Ενώ, η προσθετική οµάδα (F, +) δεν δρα στο V µε κ v = κv για όλα τα κ F και v V, αφού 0 v = 0 για όλα τα v V. 93

94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ Εστω ότι η οµάδα G δρα στο X. Τότε, µπορούµε να πάρουµε µία δεξιά δράση της G στο X ορίζοντας xg = g 1 x για όλα τα g G και x X. Πράγµατι, x1 G = 1 1 G x = 1 Gx = x για όλα τα x G. Εστω g 1, g 2 G. Τότε, x(g 1 g 2 ) = (g 1 g 2 ) 1 x = (g 1 2 g 1 1 )x = g 1 2 (g 1 1 x) = (xg 1 )g 2. Θεώρηµα 5.1 Εστω G µία οµάδα και X ένα µη κενό σύνολο. 1. Εστω ότι η G δρα (από αριστερά) στο X. Τότε, σε κάθε στοιχείο g G αντιστοιχεί µία απεικόνιση ρ g : X X µε τύπο ρ g (x) = gx. Η ρ g είναι µετάθεση για κάθε g G. Η απεικόνιση ρ : G Sym(X) που στέλνει το g στο ρ g είναι οµοµορφισµός. Ο οµοµορφισµός ρ ονοµάζεται µετάθεσηαναπαράσταση της G που αντιστοιχεί στην δράση της G στο X. 2. Εστω σ ένας οµοµορφισµός από τη G στη Sym(X). Τότε, η G δρα (από αριστερά) στο X, gx = σ(g)(x) για κάθε g G και x X. Η µετάθεσηαναπαράσταση της G που αντιστοιχεί σε αυτή τη δράση είναι η σ. Απόδειξη. 1. Εστω ρ g (x) = ρ g (y). Τότε, gx = gy. Πολλαπλασιάζοντας από αριστερά µε g 1, έχουµε ότι g 1 (gx) = g 1 (gy) = (g 1 g)x = (g 1 g)y = 1 G x = 1 G y = x = y. Άρα, ρ g είναι 1 1. Επειδή ρ g (g 1 y) = g(g 1 y) = 1 G y = y για κάθε y G, έχουµε ότι η ρ g είναι επί και άρα, ρ g Sym(X). Εστω g, h G. Λόγω του ότι ρ gh (x) = (gh)x = g(hx) = ρ g (ρ h (x)) για κάθε x X, συµπεραίνουµε ότι ρ gh = ρ g ρ h για όλα τα g, h G. Με άλλα λόγια, η ρ είναι οµοµορφισµός. 2. Εστω σ ένας οµοµορφισµός από την G στην Sym(X). Ορίζουµε gx = σ(g)(x) για κάθε g G.

5.1. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΑΣ ΣΕ ΣΥΝΟΛΟ 95 Ισχυριζόµαστε ότι η παραπάνω «πράξη» είναι δράση της G στο X. Πράγµατι, 1 G x = σ(1 G )(x) = Id X (x) = x για κάθε x X. Εστω g, h G. Τότε, (gh)x = σ(gh)(x) = (σ(g)σ(h))(x) = σ(g)(σ(h)(x)) = σ(g)(hx) = g(hx). Εποµένως, ο οµοµορφισµός σ ορίζει µια (αριστερή) δράση της G στο X. Επειδή ρ g (x) = gx = σ(g)(x) για κάθε x, έχουµε ότι ρ g = σ(g) για όλα τα g G. Συνεπώς, ρ = σ. Από το Θεώρηµα 5.1, καταλαβαίνουµε ότι όταν ϑεωρούµε δράση οµάδων σε µη κενό σύνολο X, δεν περιοριζόµαστε µόνο στις υποοµάδες της Sym(X), αλλά, και στους οµοµορφισµούς των οµάδων στη Sym(X). Στην περίπτωση που ο οµο- µορφισµός ρ του Θεωρήµατος 5.1 είναι µονοµορφισµός, λέµε ότι η G δρα πιστά στο X. Παράδειγµα 5.1 Εστω V πραγµατικός διανυσµατικός χώρος διάστασης 2 και έστω {e 1, e 2 } µία ϐάση του V. Γράφουµε G = GL 2 (R) και έστω g = (g ij ) G. Θέτουµε v 1 = g 11 e 1 + g 21 e 2 και v 2 = g 12 e 1 + g 22 e 2. Τότε, υπάρχει µοναδική γραµµική απεικόνιση f g : V V που ικανοποιεί τις συνθήκες f g (e i ) = v i, i = 1, 2. Επειδή g G, η f g είναι αυτοµορφισµός του V. Ετσι, ορίζεται µια απεικόνιση f : G Sym(V ) µε f(g) = f g για κάθε g G. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι η f είναι οµοµορφισµός οµάδων. Άρα, σύµφωνα µε το Θεώρηµα 5.1 (2), η G δρα (από αριστερά) στο V ως εξής : gv = f g (v) για όλα τα g G και v V. Υποθέτουµε ότι η G δρα στο X. Ορίζουµε µία σχέση στο X ως εξής : αν x, y X, τότε x y αν και µόνο αν υπάρχει g G έτσι, ώστε gx = y. Από τον ορισµό της δράσης και το γεγονός ότι η G είναι οµάδα, είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η είναι σχέση ισοδυναµίας. Οι κλάσεις ισοδυναµίας [x], όπου x G, ονοµάζονται τροχιές και συµβολίζονται µε orb(x). Ετσι, η τροχιά του x G είναι orb(x) = {gx : g G}. Στην περίπτωση που έχουµε µόνο µία τροχιά, λέµε ότι η G δρα µεταβατικά (ή η δράση είναι µεταβατική) στο X. Παρατηρήστε ότι orb(x) = X για x X. Θέτουµε Stab G (x) = {g G : gx = x}. Επειδή 1 G Stab G (x) και, για κάθε g, h Stab G (x), gh 1 Stab G (x), έχουµε ότι Stab G (x) είναι υποοµάδα της G και ονοµάζεται σταθεροποιητής του x στην οµάδα G. Η σχέση που συνδέει την µετάθεση-αναπαράσταση ρ της οµάδας G µε τους σταθεροποιητές προκύπτει από το Θεώρηµα 5.1 και είναι Kerρ = Stab G (x). x X

96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ Παράδειγµα 5.2 ( εξιά (αριστερά) σύµπλοκα) Εστω H G. Στο παρόν πα- ϱάδειγµα ϑα κατασκευάσουµε τα δεξιά (αντιστ. αριστερά) σύµπλοκα Hg (αντιστ. gh) της H στην G χρησιµοποιώντας την έννοια της αριστερής (αντιστ. δεξιάς) δράσης. Η υποοµάδα H δρα στο G µε αριστερό πολλαπλασιασµό, δηλαδή, σε κάθε h H και G G αντιστοιχούµε το hg G. Χρησιµοποιώντας την προσεταιριστική ιδιότητα και την ιδιότητα του ουδετέρου στοιχείου, εύκολα προκύπτει ότι η παραπάνω ορισθείσα αντιστοιχία ορίζει δράση της H στο G. Για g G, Stab H (g) = {h H : hg = g} = {1 G }. Με άλλα λόγια, η δράση είναι πιστή. Η τροχιά του g είναι το σύνολο orb H (g) = {hg : h H} = Hg, δηλαδή, το δεξιό σύµπλοκο της H στην G που περιέχει το g. Εποµένως, τα διαφορετικά δεξιά σύµπλοκα της H στην G είναι ξένα µεταξύ τους. Κάνοντας χρήση του δεξιού πολλαπλασιασµού, παίρνουµε δεξιά δράση της H στην G και άρα, την κατασκευή των αριστερών συµπλόκων. Αποδεικνύοντας ότι Hg = gh = H για κάθε g G, µπορούµε να συµπεράνουµε µία γενίκευση του Θεωρήµατος Lagrange. Στην ειδική περίπτωση που H = G, έχουµε το Θεώρηµα Cayley. Το επόµενο ενδιαφέρον αποτέλεσµα συνδέει τον πληθικό αριθµό της τροχιάς ενός στοιχείου στην G µε το δείκτη του σταθεροποιητή του στοιχείου. Λήµµα 5.1 Εστω ότι η G δρα στο µη κενό σύνολο X και έστω x X. orb(x) = G : Stab G (x). Τότε, Απόδειξη. Γράφουµε X 1 = orb(x), H = Stab G (x) και Y το σύνολο των αριστερών συµπλόκων της H στη G. Ισχυριζόµαστε ότι X 1 = Y. Ορίζουµε την απεικόνιση µ : X 1 Y µε τύπο µ(gx) = gh. Θα δείξουµε ότι η µ είναι 1 1 και επί. Πρώτα από όλα, ϑα δείξουµε ότι η µ είναι καλά ορισµένη. Εστω g 1, g 2 G. Πρέπει να δείξουµε ότι αν g 1 x = g 2 x, τότε g 1 H = g 2 H. Χρησιµοποιώντας τα αξιώµατα του ορισµού της δράσης ϐλέπουµε ότι αν g 1 x = g 2 x, τότε (g2 1 g 1)x = g2 1 (g 1x) = g2 1 (g 2x) = (g2 1 g 2)x = 1 G x = x. Ετσι, g2 1 g 1 Stab G (x) = H. Συνεπώς, g 1 H = g 2 H. Αν g 1 H = g 2 H, τότε g2 1 g 1 H, εποµένως, (g2 1 g 1)x = x και έτσι, g 1 x = (g 2 (g2 1 g 1))x = g 2 x. Άρα, η µ είναι 1 1. Επειδή µ(yx) = yh, η µ είναι επί. Συνεπώς, X 1 = Y και από εδώ παίρνουµε το Ϲητούµενο αποτέλεσµα. Ως άµεση συνέπεια του Λήµµατος 5.1 και του Θεωρήµατος Lagrange, παίρνουµε το παρακάτω αποτέλεσµα, που είναι γνωστό στην ϐιβλιογραφία ως Λήµµα τροχιάς-σταθεροποιητή. Πόρισµα 5.1 (Λήµµα Τροχιάς-Σταθεροποιητή) Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα που δρα στο µη κενό πεπερασµένο σύνολο V και έστω v V. Τότε, Stab G (v) orb(v) = G.

5.1. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΑΣ ΣΕ ΣΥΝΟΛΟ 97 Το επόµενο αποτέλεσµα µάς δίνει τη σχέση που υπάρχει µεταξύ των σταθεροποιητών δύο στοιχείων της ίδιας τροχιάς. Λήµµα 5.2 Εστω G µία οµάδα που δρα στο µη κενό σύνολο V και έστω v V. Αν g G, τότε gstab G (v)g 1 = Stab G (gv). Απόδειξη. Εστω h Stab G (gv). Τότε, (hg)v = gv και συνεπώς, g 1 hg Stab G (v), δηλαδή, h gstab G (v)g 1. Αντίστροφα, έστω h gstab G (v)g 1. Τότε, h = gh g 1 µε h Stab G (v). Ετσι, h = g 1 hg Stab G (v) και εποµένως, (g 1 hg)v = v. Άρα, h Stab G (gv). Εστω ότι η G δρα στο µη κενό σύνολο V. Για κάθε g G, ορίζουµε fix(g) να είναι το σύνολο των v V που είναι σταθερά κάτω από την δράση του g, δηλαδή, fix(g) = {v V : gv = v}. Πρόταση 5.1 (Λήµµα Burnside) Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα που δρα στο µη κενό πεπερασµένο σύνολο V. Τότε, ο αριθµός t των τροχιών της G στο V ισούται µε 1 G σ G fix(σ). Απόδειξη. Εστω T = {(σ, v) G V : σv = v}. Μετράµε µε δύο τρόπους τα στοιχεία του T. παίρνουµε όλα τα σ τέτοια, ώστε σv = v. Τότε, T = v V Stab G (v). Σταθεροποιούµε το v V και Για κάθε τέτοιο σ, ο αριθµός των v για τα οποία σv = v είναι ίσος µε το fix(σ). Ετσι, αθροίζοντας πάνω από όλα τα σ έχουµε ότι T = σ G fix(σ). Εποµένως, Stab G (v) = fix(σ). v V σ G ιαµελίζουµε το V, µε την ϐοήθεια της δράσης, σε τροχιές V = orb(v 1 )... orb(v t ). Τότε, t Stab G (s) = fix(σ). i=1 s orb(v i ) σ G Από το Λήµµα 5.2, αν s orb(v i ), τότε Stab G (s) = σstab G (v i )σ 1, όπου σv i = s. Συνεπώς, Stab G (v i ) = Stab G (s),

98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ όπου s orb(v i ). Ετσι, t orb(v i ) Stab G (v i ) = fix(σ). σ G i=1 Από το Πόρισµα 5.1, t G = σ G fix(σ) και έτσι, παίρνουµε το Ϲητούµενο αποτέλεσµα. Σχόλιο 5.1 Η Πρόταση 5.1 αποδείχθηκε από τον Frobenius (1887), όπως έγραψε ο ίδιος ο Burnside στην πρώτη έκδοση του ϐιβλίου του. Πόρισµα 5.2 Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα που δρα στο πεπερασµένο σύνολο V µε V 2. Αν η δράση είναι µεταβατική, τότε υπάρχει g G τέτοιο, ώστε fix(g) =. Απόδειξη. Αφού η G δρα µεταβατικά στο V, ο αριθµός των τροχιών στο V είναι 1. Ετσι, από την Πρόταση 5.1, 1 = 1 G fix(g). g G Να παρατηρήσουµε ότι fix(1 G ) = V. Αν fix(g) > 0 για κάθε g G, τότε, προφανώς, g G fix(g) > G, που είναι άτοπο. Άρα, υπάρχει g G µε fix(g) =. Παράδειγµα 5.3 Εστω A = {a, b} και ϑεωρούµε την απεικόνιση : A 3 S 3 A 3 µε (c 1, c 2, c 3 ) σ = (c σ(1), c σ(2), c σ(3) ). Η απεικόνιση είναι (δεξιά) δράση της S 3 στο A 3 (γνωστή στη ϐιβλιογραφία ως "place replacent"). Το Λήµµα Burnside, στην περίπτωση αυτή, µάς λέει ότι ο αριθµός των τροχιών είναι 4. Πράγµατι, orb S3 ((a, a, a)) = {(a, a, a)} orb S3 ((b, b, b)) = {(b, b, b)} orb S3 ((a, a, b)) = {(a, a, b), (b, a, a), (a, b, a)} orb S3 ((a, b, b)) = {(a, b, b), (b, a, b), (b, b, a)}. 5.2 ύο εφαρµογές Στην παράγραφο αυτή, ϑα δώσουµε δύο ενδιαφέρουσες εφαρµογές των εννοιών που αναπτύχθηκαν παραπάνω. Εφαρµογή 5.1 (Ασυµµετρικά γραφήµατα) Εστω V ένα µη κενό πεπερασµένο σύνολο µε V = n και έστω G Sym(V ). Η G δρα στο V ως εξής : gv = g(v)

5.2. ΥΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 99 για όλα τα v V. Η δράση της G στο V επάγει µία δράση στα υποσύνολα του V ως εξής : αν S είναι ένα υποσύνολο του V, τότε gs = {gs : s S} είναι πάλι ένα υποσύνολο του V. Ετσι, κάθε στοιχείο της G καθορίζει µία µετάθεση των υποσυνόλων του V και συνεπώς, έχουµε µία δράση της G στο δυναµοσύνολο P(V ) του V. Παρατηρούµε ότι gs = S. Ετσι, για σταθερό k η δράση της G στο V επάγει µία δράση της G στα k-υποσύνολα (δηλαδή, υποσύνολα του V µε k στοιχεία) του V. Οµοια, η δράση της G στο V επάγει µία δράση της G στις διατεταγµένες k-άδες στοιχείων του V. Αν Γ είναι ένα γράφηµα µε σύνολο κορυφών το V, τότε µπορούµε να ϑεωρήσουµε κάθε αυτοµορφισµό του ως µία µετάθεση του V και έτσι, η Aut(Γ) είναι οµάδα συµµετριών. είτε το Παράδειγµα 5.4 για περισσότερες λεπτοµέρειες σχετικά µε τα γραφήµατα. Εστω F V το σύνολο των διαφορετικών γραφηµάτων µε σύνολο κορυφών το V και έστω K V το πλήρες γράφηµα µε σύνολο κορυφών το V. Τότε, υπάρχει 1 1 αντιστοιχία µεταξύ των γραφηµάτων µε σύνολο κορυφών το V και των υποσυνόλων του E(K V ). Αφού το K ( n V έχει 2) ακµές, ο αριθµός των διαφορετικών γραφηµάτων είναι 2 ( n 2). ο- ϑέντος ενός γραφήµατος Γ, το σύνολο των γραφηµάτων που είναι ισόµορφο µε το Γ ονοµάζεται η ισοµορφική κλάση του Γ. Οι ισοµορφικές κλάσεις διαµελίζουν το σύνολο των γραφηµάτων µε σύνολο κορυφών το V. ύο τέτοια γραφήµατα Γ 1 και Γ 2 είναι ισόµορφα αν υπάρχει µία µετάθεση του Sym(V ) που να στέλνει το σύνολο των ακµών του Γ 1 στο σύνολο των ακµών του Γ 2. Συνεπώς, µία ισοµορφική κλάση δεν είναι τίποτα άλλο παρά µία τροχιά της δράσης της Sym(V ) πάνω στο δυναµοσύνολο του E(K V ). Εφαρµόζοντας το Πόρισµα 5.1, παίρνουµε το α- κόλουθο ενδιαφέρον αποτέλεσµα. Ο πληθικός αριθµός της ισοµορφικής κλάσης n! που περιέχει το δοθέν γράφηµα Γ είναι Aut(Γ). Εφαρµογή 5.2 (Μεταβατική δράση) Εστω ότι η οµάδα G δρα στο µη κενό σύνολο X. Θυµίζουµε ότι η G δρα µεταβατικά (ή η δράση λέγεται µεταβατική) στο X, αν έχουµε µόνο µία τροχιά. Για παράδειγµα, έστω n ϑετικός ακέραιος αριθµός και έστω X = {1,..., n}. Τότε, η κανονική δράση της S n στο X είναι µεταβατική. Εστω G οµάδα και X, Y µη κενά σύνολα. Υποθέτουµε ότι η G δρα (από αριστερά) στα X και Y. Θα λέµε ότι οι δράσεις της G στα X και Y είναι ισοδύναµες αν υπάρχει µία 1 1 και επί απεικόνιση f : X Y έτσι, ώστε f(gx) = gf(x) για κάθε g G και x X. Εστω H G και έστω X το σύνολο των αριστερών συµπλόκων της H στην G. Τότε, είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η G δρα πάνω στο X µε αριστερό πολλαπλασιασµό : σε κάθε g G και κάθε xh X αντιστοιχούµε το σύµπλοκο gxh. Επίσης, η δράση είναι µεταβατική. Πράγµατι, αν x 1 H και x 2 H είναι δύο δεξιά σύµπλοκα, τότε (x 1 x 1 2 )x 2H = x 1 H. Παρατηρούµε ότι stab G (xh) = xhx 1. Από το Λήµµα 5.1, G : xhx 1 = X = G : H. Ασφαλώς το συµπέρασµα αυτό έπεται από το Θεώρηµα Lagrange, αν η G είναι πεπερασµένη. Εστω ρ H η µετάθεση-αναπαράσταση της G που αντιστοιχεί στην ανωτέρω δράση. Τότε, Kerρ H = x G xhx 1 = H G.

100 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ ηλαδή, ο core της H στην G. Οταν G : H <, µπορούµε να ταυτίσουµε την Sym(X) µε την S G:H. Τότε, ο ρ H είναι οµοµορφισµός της G στην S G:H. Από το 1ο Θεώρηµα ισοµορφισµών, αποδεικνύουµε το παρακάτω αποτέλεσµα. Πρόταση 5.2 Αν H είναι υποοµάδα της G µε πεπερασµένο δείκτη, τότε η G/H G µπορεί να εµφυτευθεί στην S G:H. ύο συνέπειες της Πρότασης 5.2 είναι τα παρακάτω ενδιαφέροντα αποτελέσµατα. Πόρισµα 5.3 Εστω G µία άπειρη οµάδα και έστω H µία υποοµάδα της µε πεπε- ϱασµένο δείκτη 2. Τότε, υπάρχει γνήσια κανονική υποοµάδα K της G τέτοια, ώστε K H και η G/K είναι πεπερασµένη. Απόδειξη. Θέτουµε G : H = n 2 και K = H G H. Από την απόδειξη της Πρότασης 5.2, έχουµε ότι K G και, λόγω του ότι S n = n!, G : K < n!. Επειδή n 2, έχουµε ότι K G. Αν K = {1 G }, τότε G <, άτοπο. Συνεπώς, υπάρχει γνήσια κανονική υποοµάδα K της G τέτοια, ώστε K H και η G/K είναι πεπερασµένη. Πόρισµα 5.4 Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα και p ο µικρότερος πρώτος διαι- ϱέτης της τάξης της G. Αν H είναι µία υποοµάδα της G µε δείκτη p, τότε H G. Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι H G µε G : H = p. Τότε, G/H G = G : H G = G : H H : H G = p H : H G. Ισχυριζόµαστε ότι H : H G = 1. Εστω ότι H : H G > 1 και q ένας πρώτος διαιρέτης του H : H G. Τότε, από το Θεώρηµα Lagrange, το q διαρεί την τάξη της G. Από την υπόθεσή µας το q p. Από την άλλη πλευρά, από την Πρόταση 5.2, G/H G διαιρεί το p!. Εποµένως, pq διαιρεί (p 1)!p και έτσι, το q διαιρεί το (p 1)!. Αλλά, ο q είναι πρώτος, εποµένως, q < p, που είναι άτοπο. Άρα, H : H G = 1 και έτσι, παίρνουµε το επιθυµητό αποτέλεσµα. Η δράση της οµάδας G πάνω σε µη κενό σύνολο X λέγεται κανονική (regular) αν αυτή είναι µεταβατική και Stab G (x) = {1 G } για κάθε x X. Προφανώς, µία κανονική δράση είναι πιστή. Αν στην Εφαρµογή 5.2 πάρουµε H = {1 G }, τότε λαµβάνουµε µία κανονική δράση της G, µε X = G και η G δρα στον εαυτόν της µε αριστερό πολλαπλασιασµό. Η αντίστοιχη µετάθεση-αναπαράσταση ρ {1G } = ρ 1 της G ονοµάζεται η αριστερή κανονική αναπαράσταση της G: η ρ 1 απεικονίζει κάθε στοιχείο g G στη µετάθεση της G που λαµβάνεται πολλαπλασιάζοντας τα στοιχεία της G από αριστερά µε το g. ( ηλαδή, ρ 1 (g) = ρ 1,g : x gx. ες απόδειξη του Θεωρήµατος Cayley.) Παραδείγµατα 5.2 1. ( ράση οµάδας στον εαυτόν της µε συζυγία) Εστω G µία οµάδα. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι η G δρα στον εαυτόν της ως εξής : gx = gxg 1

5.2. ΥΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 101 για κάθε x, g G. Η δράση αυτή της G στον εαυτόν της καλείται δράση µε συζυγία. Η τροχιά του x είναι το σύνολο των συζυγών του x. Συνήθως, η τροχιά του x ονοµάζεται η κλάση συζυγίας του x. Επίσης, Stab G (x) = C G (x), δηλαδή, ο κεντροποιητής του x στην G. Η αντίστοιχη µετάθεση-αναπαράσταση είναι η απεικόνιση τ : G Sym(G) µε τύπο τ(g) = τ g : x gxg 1. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι Kerτ = C G (x) = Z(G). x G Εφαρµόζοντας το Λήµµα 5.1, orb(x) = G : C G (x) για κάθε x G. Ενα ενδιαφέρον αποτέλεσµα είναι η εξίσωση κλάσεων : Εστω G µία πεπερασµένη οµάδα µε s διαφορετικές κλάσεις συζυγίας. Αν x 1,..., x s είναι στοιχεία της G, ένα από κάθε κλάση συζυγίας, τότε G = s G : C G (x i ). i=1 2. ( ράση οµάδας στο δυναµοσύνολο της µε συζυγία) Εστω G µία οµάδα και P(G) το δυναµοσύνολο του συνόλου G. Για κάθε g G και για κάθε µη κενό υποσύνολο U του G, ορίζουµε το σύνολο gu = gug 1 = {gug 1 : u U}, που ονοµάζεται συζυγές του U. Για g G, ορίζουµε g =. Είναι απλό να αποδειχθεί ότι η G δρα πάνω στο P(G). Επίσης, είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι η δράση αυτή αποτελεί γενίκευση της δράσης του Παραδείγµατος 5.2(1). (Αρκεί να περιοριστούµε στα υποσύνολα του G που αποτελούνται από ένα στοιχείο.) Για κάθε U P(G) \ { }, η τροχιά του U είναι το σύνολο των συζυγών του U, δηλαδή, orb(u) = {gug 1 : g G}, που ονοµάζεται η κλάση συζυγίας του U στην G. Ο σταθεροποιητής Stab G (U) = {g G : gug 1 = U}, που ονοµάζεται ο κανονικοποιητής του U στη G και συµβολίζεται µε N G (U). Μερικές ϕορές χρησιµοποιούµε τον όρο η H κανονικοποιεί το U και εννοούµε H N G (U). Στην περίπτωση αυτή, το Λήµµα 5.1 γράφεται Πόρισµα 5.5 Για κάθε µη κενό υποσύνολο U της G, orb(u) = G : N G (U). Με άλλα λόγια, G : N G (U) είναι ο αριθµός των διαφορετικών συζυγών του U στην G.

102 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ Θυµίζουµε ότι για H G, η N G (H) είναι η µέγιστη υποοµάδα της G στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοµάδα (ϐλ. Πρόταση 4.5). Για κάθε µη κενό υποσύνολο U της G, ορίζουµε τον κεντροποιητή του U στην G να είναι C G (U) = C G (u) G. u U Παρατηρήστε ότι C G (U) = G αν και µόνο αν U Z(G). Μερικές ϕορές λέµε ότι η H κεντροποιεί το U και εννούµε ότι H C G (U). Γενικά, C G (U) N G (U). Λήµµα 5.3 Για κάθε H G ισχύει C G (H) N G (H) και η N G (H)/C G (H) µπορεί να εµφυτευθεί στην Aut(H). Απόδειξη. Αφού H N G (H), gh H για κάθε h H και g N G (H). Τότε, είναι προφανές ότι ο N G (H) δρα πάνω στο H µε συζυγία. Εστω σ η µετάθεσηαναπαράσταση του N G (H). Τότε, για κάθε g N G (H), σ(g)(h) = gh για όλα τα h H. Επίσης, Kerσ = C G (H) (αφού C G (H) N G (H)). Από το 1ο Θεώρηµα ισοµορφισµών, C G (H) N G (H) και Imσ = N G (H)/C G (H). Για κάθε g N G (H), η σ(g) είναι µετάθεση του H. Επιπλέον, η σ(g) είναι αυτοµορφισµός της H. Εποµένως, η Imσ είναι υποοµάδα της Aut(H) και έτσι, η N G (H)/C G (H) µπορεί να εµφυτευθεί στην Aut(H). Αν η H είναι πεπερασµένη οµάδα τότε, προφανώς, Aut(H) είναι πεπερασµένη οµάδα. Από το Λήµµα 5.3, έχουµε το παρακάτω ενδιαφέρον αποτέλεσµα. Πόρισµα 5.6 Εστω G µία άπειρη οµάδα. Τότε, για κάθε πεπερασµένη κανονική υποοµάδα H της G, η G/C G (H) είναι πεπερασµένη. Συγκεκριµένα, αν η G δεν έχει µη τετριµµένα πεπερασµένα πηλίκα, τότε κάθε πεπερασµένη κανονική υποοµάδα της G είναι αβελιανή και περιέχεται στο κέντρο της G. Παράδειγµα 5.4 (Γράφηµα Cayley) Ενα γράφηµα Γ είναι µία 5-άδα Γ = (V (Γ), E(Γ), α, ω, ) αποτελούµενη από δύο ξένα µεταξύ τους σύνολα, το µη κενό σύνολο V (Γ) των κορυφών του, το σύνολο E(Γ) των ακµών του, και τρεις απεικονίσεις α, ω, (αρχή) α : E(Γ) V (Γ), (τέλος) ω : E(Γ) V (Γ) και (αντιστροφή) : E(Γ) E(Γ) έτσι, ώστε e = e, e e και α(e) = ω(e) για κάθε e E(Γ). Για e E(Γ), το α(e) ονοµάζεται η αρχική κορυφή της e, το ω(e) ονοµάζεται η τελική κορυφή της e και η ακµή e ονοµάζεται η αντίστροφη της e. Να σηµειώσουµε ότι ορίζεται µία απεικόνιση ρ : E(Γ) V (Γ) V (Γ) µε ρ(e) = (α(e), ω(e)) για όλα τα e E(Γ). Ενας προσανατολισµός του Γ είναι ένα υποσύνολο E + (Γ) του E(Γ) έτσι, ώστε το E(Γ) είναι η ξένη ένωση του E + (Γ) µε το E + (Γ). Προφανώς, ένας προσανατολισµός ενός γραφήµατος πάντα υπάρχει. Μορφισµός από το γράφηµα Γ 1 στο γράφηµα Γ 2 είναι µία απεικόνιση f : V (Γ 1 ) E(Γ 1 ) V (Γ 2 ) E(Γ 2 ) που στέλνει κορυφές σε κορυφές, ακµές σε ακµές και ικανοποιεί τις συνθήκες f(α(e)) = α(f(e)), f(ω(e)) = ω(f(e)) και f(e) = f(e)

5.2. ΥΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 103 για κάθε e E(Γ 1 ). Ενας µορφισµός f των γραφηµάτων Γ 1 και Γ 2 συµβολίζεται ως f : Γ 1 Γ 2. Ενας µορφισµός f : Γ 1 Γ 2, που οι περιορισµοί του πάνω στο V (Γ 1 ) και στο E(Γ 1 ) είναι 1 1 και επί απεικονίσεις, ονοµάζεται ισοµορφισµός. Στην ειδική περίπτωση, που έχουµε ισοµορφισµό f ενός γραφήµατος Γ στον εαυτόν του, ο f ονοµάζεται αυτοµορφισµός του γραφήµατος. Ενα προσανατολισµένο γράφηµα Γ ορίζεται, µέχρι ισοµορφίας, δίνοντας τα σύνολα V (Γ) και E + (Γ) και µία απεικόνιση ρ + : E + (Γ) V (Γ) V (Γ). Το σύνολο των ακµών ορίζεται να είναι η ξένη ένωση του E + (Γ) µε ένα αντίγραφο E + (Γ) του E + (Γ). Εστω G µία οµάδα. Λέµε ότι η G δρα (από αριστερά) στο γράφηµα Γ αν (αριστερές) δράσεις της G έχουν ορισθεί πάνω στα σύνολα V (Γ) και E(Γ) έτσι, ώστε gα(e) = α(ge) και ge = ge για όλα τα e E(Γ). Για οποιοδήποτε υποσύνολο S της G, έστω Γ(G, S) το προσανατολισµένο γράφηµα µε V (Γ(G, S)) = G, E + (Γ(G, S)) = G S και ρ + : G S G G µε ρ + ((g, s)) = (α(g, s), ω(g, s)), όπου α((g, s)) = s και ω((g, s)) = gs για κάθε (g, s) G S. Για να ϐρούµε το E + (Γ) δουλεύουµε ως εξής : Συµβολίζουµε µε E + (Γ) = G S {+1} και ορίζουµε E + (Γ) = G S { 1}. Θέτουµε E(Γ(G, S)) την ξένη ένωση των E + (Γ) και E + (Γ). Η απεικόνιση ρ : E(Γ(G, S)) G G ορίζεται να είναι ρ((g, s, +1)) = ρ + ((g, s)) = (g, gs) και ρ((g, s, 1)) = (gs, s) για όλα τα g G και s S. Ο αριστερός πολλαπλασιασµός µε τα στοιχεία της G ορίζει µία δράση της G πάνω στο Γ(G, S) που διατηρεί τον προσανατολισµό. Πράγµατι, το g G στέλνει την κορυφή g στην κορυφή gg και την ακµή (g, s) στην ακµή (gg, s). Με άλλα λόγια, η G δρα µε αριστερό πολλαπλασιασµό στο Γ(G, S). Μία πεπερασµένη ακολουθία (e n ) n 1 : e 1,..., e n ακµών έτσι, ώστε ω(e i ) = α(e i+1 ), i = 1,..., n 1, ονοµάζεται µονοπάτι µήκους n. Λέµε ότι το µονοπάτι (e n ) n 1 ξεκινά από την κορυφή α(e 1 ) και τελειώνει στην κορυφή ω(e n ). Ενα γράφηµα Γ λέγεται συνεκτικό αν για κάθε u, v V (Γ), υπάρχει µονοπάτι στο Γ από την u στην v. Αποδεινκύεται ότι το Γ(G, S) είναι συνεκτικό αν και µόνο αν η G πα- ϱάγεται από το S. Ονοµάζουµε το Γ(G, S), µε S ένα σύνολο γεννητόρων της G, το γράφηµα Cayley της G ως προς το S. Για περισσότερες πληροφορίες για τα γραφήµατα Cayley, παραπέµπουµε τον αναγνώστη στα [2, 3, 4]. Θεώρηµα 5.2 Εστω G µία πεπερασµένα παραγόµενη άπειρη οµάδα. 1. Για κάθε ϑετικό ακέραιο n, η G περιέχει πεπερασµένο πλήθος υποοµάδων µε δείκτη n. 2. Εστω H G µε πεπερασµένο δείκτη. Τότε, υπάρχει χαρακτηριστική υποο- µάδα K της G τέτοια, ώστε K H και G/K είναι πεπερασµένη. 3. Εστω H G µε πεπερασµένο δείκτη. Τότε, η H είναι πεπερασµένα παραγόµενη. 4. Εστω N G. Αν η G/N είναι άπειρη κυκλική και C G (N) N, τότε η N είναι πεπερασµένα παραγόµενη. Απόδειξη. Εστω G µία πεπερασµένα παραγόµενη οµάδα. 1. Εστω n N και ορίζουµε F n = {H G : G : H = n}. Θέλουµε να δείξουµε ότι F n <. Θυµίζουµε ότι αν H F n, τότε υπάρχει ο- µοµορφισµός α από την G στην S n µε Kerα = H G H. Εστω ότι η

104 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ G = x 1,..., x m, όπου m N. Οποιοσδήποτε οµοµορφισµός φ από την G στην S n καθορίζεται πλήρως από τις τιµές φ(x 1 ),..., φ(x m ). Αφού η S n είναι πεπερασµένη οµάδα, οι επιλογές για την m-άδα (φ(x 1 ),..., φ(x m )) ε- ίναι το πολύ m S n. Συνεπώς, υπάρχουν N 1,..., N κ, κ N, (πεπερασµένο πλήθος) κανονικές υποοµάδες της G που µπορούν να αναγνωρισθούν ως cores στην G από υποοµάδες H F n. Για K {N 1,..., N κ }, ορίζουµε G n,k = {H F n : K = H G } και ισχυριζόµαστε ότι G n,k <. Πρώτα από όλα, παρατηρούµε ότι αν H 1, H 2 G n,k και H 1 /K = H 2 /K, τότε H 1 = H 2. Εστω H G n,k. Θυµίζουµε ότι G : K = G : H H : K. Επειδή G/K <, η G/K περιέχει πεπερασµένο πλήθος υποοµάδων µε τάξη H/K. Ετσι, κάθε Λ G n,k ορίζει µία υποοµάδα Λ/K της G/K µε τάξη H/K. Εποµένως, G n,k < για κάθε K {N 1,..., N κ } και έτσι, F n <. 2. Εστω G : H = n. Από το Θεώρηµα 5.2(1), η G έχει µόνο πεπερασµένο πλήθος υποοοµάδων µε δείκτη n. Εστω H = H 1,..., H s οι υποοµάδες µε δείκτη n. Θέτουµε K = s i=1 H i. Ενας αυτοµορφισµός της G απεικονίζει µία υποοµάδα µε δείκτη n σε µία υποοµάδα µε δείκτη n. Συνεπώς, µεταθέτει τις H 1,..., H s. Άρα, η K είναι χαρακτηριστική υποοµάδα της G. Από το Θεώρηµα Poincaré, έχουµε ότι η G/K είναι πεπερασµένη οµάδα. 3. Εστω X = {x 1,..., x n } ένα πεπερασµένο σύνολο γεννητόρων της G και έστω {t 1 = 1 G,..., t m } ένα πλήρες σύνολο δεξιών αντιπροσώπων για την H. Θέτουµε X = {Ht 1,..., Ht m }. Εστω g G και έστω π g : X X µε π g (Ht j ) = Ht j g, j = 1,..., m. Η απεικόνιση π g είναι καλά ορισµένη. Πράγµατι, έστω Ht j = Hx. Τότε, xt 1 j H και (xg)(t j g) 1 H. Με άλλα λόγια, Hxg = Ht j g. Εύκολα αποδεικνύεται ότι η π g είναι 1 1. Επειδή X <, έχουµε ότι η π g Sym(X ). Επειδή X = m, η π g ορίζει µία µετάθεση σ g S m τέτοια, ώστε Ht j g = Ht σg(j), j = 1,..., m. Αν g G, τότε Ht j g = Ht σg(j) και t j g = h(j, g)t σg(j), όπου h(j, g) H. Εστω h H. Τότε, µε y i X X 1 = {x ±1 r h = t 1 h = (t 1 y 1 )y 2... y k h = y 1... y k : r = 1,..., n}. Τότε, = (h(1, y 1 )t σy1 (1))y 2 y 3... y k = h(1, y 1 )(t σy1 (1)y 2 )y 3... y k = h(1, y 1 )h(σ y1 (1), y 2 )t σy2 σ y1 (1)y 3... y k. = h(1, y 1 )... h(σ yk 1... σ y1 (1), y k )t σyk...σ y1 (1).

5.3. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΑΣ ΣΕ ΟΜΑ Α 105 Αλλά, Ht σyk...σ y1 (1) = Ht 1 h = H και έτσι, t σyk...σ y1 (1) = 1 G. Εποµένως, H = h(j, y) : j = 1,..., m, y X, δηλαδή, η H είναι πεπερασµένα παραγόµενη. 4. Εστω C = C G (N). Από την υπόθεσή µας, υπάρχει x C µε x / N. Εποµένως, H = x, N N. Επειδή η G/N είναι άπειρη κυκλική, έχουµε ότι η H έχει πεπερασµένο δείκτη στη G. Από το Θεώρηµα 5.2(3), έχουµε ότι η H είναι πεπερασµένα παραγόµενη. Αφού η H/N είναι ελεύθερη στρέψης, x N = {1 G } και H = x N. Άρα, η N είναι πεπερασµένα παραγόµενη. 5.3 ράση οµάδας σε οµάδα Μία οµάδα µπορεί να δρα πάνω και σε άλλα µαθηµατικά αντικείµενα. Οταν αυτό συµβαίνει ϑα πρέπει στα αξιώµατα της δράσης πάνω στο σύνολο να προσθέσουµε επιπλέον αξιώµατα τέτοια, ώστε η δράση να διατηρεί τη δοµή του συγκεκριµένου µαθηµατικού αντικειµένου. Παραδείγµατος χάρη, η δράση οµάδας πάνω σε διανυσµατικό χώρο µάς οδηγεί στη ϑεωρία αναπαραστάσεων οµάδων. Η ϑεωρία αυτή είναι ένα πολύ ισχυρό εργαλείο για να αποδεικνύουµε αποτελέσµατα για τις ο- µάδες. Εδώ δεν ϑα ασχοληθούµε µε την δράση οµάδας πάνω σε διανυσµατικό χώρο, αλλά µε τη δράση οµάδας σε οµάδα. Εστω G και H οµάδες. Λέµε ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην οµάδα H αν 1. η G δρα πάνω στο σύνολο H (από αριστερά) και 2. g(h 1 h 2 ) = (gh 1 )(gh 2 ) για όλα τα g G και h 1, h 2 H. Οµοια µπορούµε να ορίσουµε δεξιά δράση οµάδας πάνω σε οµάδα. Παραδείγµατα 5.3 1. Εστω R δακτύλιος µε µονάδα 1 R, U(R) η οµάδα των αντιστρέψιµων στοιχείων του R και R + = (R, +) η προσθετική οµάδα του R. Τότε, η U(R) δρα πάνω στην R + ως εξής : Για κάθε g U(R), α R +, g α = gα. 2. Εστω G Aut(H). Τότε, η G δρα ϕυσικά πάνω στην H ως εξής : Για φ G και h H, φ h = φ(h). 3. Εστω K G. Τότε, η G δρα πάνω στην K µε συζυγία. ηλαδή, g k = gkg 1 για κάθε g G, k K. 4. Υποθέτουµε ότι η οµάδα G δρα στην οµάδα H. Τότε, g 1 H = 1 H για όλα τα g G. Πράγµατι, g 1 H = g (1 H 1 H ) = (g 1 H )(g 1 H ) για όλα τα g G. Επειδή η H είναι οµάδα, έχουµε ότι g 1 H = 1 H για όλα τα g G.

106 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ Θεώρηµα 5.3 Εστω η οµάδα G δρα (από αριστερά) πάνω στην οµάδα H. Τότε, για κάθε g G, η απεικόνιση φ g : H H, µε φ g (h) = g h για κάθε h H, είναι αυτοµορφισµός της H. Επιπλέον, η απεικόνιση φ : G Aut(H), µε φ(g) = φ g για κάθε g G, είναι οµοµορφισµός οµάδων. Αντίστροφα, έστω φ : G Aut(H) οµοµορφισµός οµάδων. Τότε, η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H ως εξής : Για κάθε g G, h H, g h = φ(g)(h). Απόδειξη. Αφού η G δρα πάνω στην H, έχουµε ότι η G δρα πάνω στο σύνολο H και έτσι, η φ g είναι µετάθεση του H για όλα τα g G. Αλλά, για h 1, h 2 H, φ g (h 1 h 2 ) = g(h 1 h 2 ) = (g h 1 )(g h 2 ) = φ g (h 1 )φ g (h 2 ). Εποµένως, φ g Aut(H). Αντίστροφα, αφού Aut(H) Sym(H) και φ : G Aut(H) είναι οµοµορφισµός, η G δρα πάνω στο σύνολο H. Επιπλέον, g (h 1 h 2 ) = φ g (h 1 h 2 ) = φ g (h 1 )φ g (h 2 ) = (g h 1 )(g h 2 ) για όλα τα g G, h 1, h 2 H. Εποµένως, η G δρα πάνω στην H. 5.4 Ηµιευθύ γινόµενο Εστω G και H οµάδες. Υποθέτουµε ότι η G δρα πάνω στην H. Με την ϐοήθεια της δράσης και επειδή G και H είναι οµάδες, µπορούµε να κατασκευάσουµε µία νέα οµάδα. Η νέα οµάδα που ϑα κατασκευασθεί περιέχει υποοµάδες οι οποίες είναι ισόµορφες µε τις G και H, αντίστοιχα, κατά τέτοιο τρόπο ώστε η δράση να διατηρείται στη νέα δοµή. Πρόταση 5.3 Εστω η οµάδα G δρα (απο αριστερά) στην οµάδα H. Τότε, το σύνολο H G των διατεταγµένων Ϲευγών (h, g) µε g G και h H δοµείται σε οµάδα µε την εξής πράξη : (h 1, g 1 )(h 2, g 2 ) = (h 1 (g 1 h 2 ), g 1 g 2 ) για κάθε g 1, g 2 G και h 1, h 2 H, όπου συµβολίζει τη δράση της G στην H. Απόδειξη. Πρώτα από όλα, ϑα δείξουµε ότι το H G είναι ηµιοµάδα. (h 1, g 1 ), (h 2, g 2 ), (h 3, g 3 ) G H. Τότε, Εστω [(h 1, g 1 )(h 2, g 2 )](h 3, g 3 ) = (h 1 (g 1 h 2 ), g 1 g 2 )(h 3, g 3 ) = ((h 1 (g 1 h 2 ))((g 1 g 2 ) h 3 ), (g 1 g 2 )g 3 ) = ((h 1 (g 1 h 2 ))(g 1 (g 2 h 3 )), g 1 (g 2 g 3 )) = (h 1 (g 1 (h 2 (g 2 h 3 ))), g 1 (g 2 g 3 )) = (h 1, g 1 )[(h 2, g 2 )(h 3, g 3 )].

5.4. ΗΜΙΕΥΘΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟ 107 Ετσι, η H G είναι ηµιοµάδα. Ισχυριζόµαστε ότι το (1 H, 1 G ) είναι το ουδέτερο στοιχείο. Πράγµατι, για όλα τα (h, g) H G, (h, g)(1 H, 1 G ) = (h(g 1 H ), g1 G ) = (h1 H, g) = (h, g) = (1 H (1 G h), 1 G g) = (1 H, 1 G )(h, g). Τέλος, ϑα δείξουµε ότι κάθε στοιχείο (h, g) H G έχει αντίστροφο. (h, g) H G. Ψάχνουµε να ϐρούµε a H και b G έτσι, ώστε Εστω (h, g)(a, b) = (1 H, 1 G ) (h(g a), gb) = (1 H, 1 G ) h(g a) = 1 H και gb = 1 G. Επειδή η G είναι οµάδα, έχουµε ότι b = g 1. Από την άλλη πλευρά, (a, b)(h, g) = (1 H, 1 G ) (a, g 1 ) = (1 H, 1 G ) (a(g 1 h), 1 G ) = (1 H, 1 G ). Ετσι, a(g 1 h) = 1 H και εποµένως, a = (g 1 h) 1. Συνεπώς, (h, g) 1 = ((g 1 h) 1, g 1 ). Άρα, η H G είναι οµάδα. Η οµάδα που κατασκευάζεται στη Πρόταση 5.3 ονοµάζεται ηµιευθύ γινόµενο των G και H και συµβολίζεται µε H φ G, όπου φ είναι η δράση της G πάνω στην H. Στην περίπτωση που η G δρα τετριµµένα πάνω στην H, τότε έχουµε την ειδική περίπτωση του ευθέος γινοµένου των H και G. Υποθέτουµε ότι η G δρα στην H µε δράση φ και έστω Γ φ = H φ G. Για κάθε g G, ταυτίζουµε το g µε το στοιχείο (1 H, g) και, για κάθε h H, ταυτίζουµε το h µε το στοιχείο (h, 1 G ). Εστω G φ = {(1 H, g) : g G} και H φ = {(h, 1 G ) : h H}. Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι G φ και H φ είναι υποοµάδες της Γ φ. Επιπλέον, H φ Γ φ, Γ φ /H φ = Gφ, Γ φ = H φ G φ και G φ H φ = {1 Γφ }. Οι τελευταίες αυτές παρατηρήσεις µάς οδηγούν στον ορισµό του ηµιευθέος γινοµένου υποοµάδων µιας οµάδας G. Εστω G οµάδα και H, K υποοµάδες της. Θα λέµε ότι η G είναι το ηµιευθύ γινόµενο των H και K, συµβολίζεται µε G = H K, αν ισχύουν 1. H G 2. H K = {1 G } και 3. G = HK. Να παρατηρήσουµε ότι αν G = H K, τότε κάθε στοιχείο g G γράφεται µοναδικά g = hk, όπου h H και k K.

108 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ 5.4.1 ιεδρική οµάδα Για ϕυσικό αριθµό n, µε n 3, συµβολίζουµε µε D n την οµάδα που παράγεται από τα στοιχεία a και b τα οποία ικανοποιούν τις συνθήκες a 2 = b n = (ab) 2 = 1 Dn. Αποδεικνύεται ότι τα στοιχεία της D n είναι τα εξής : 1 Dn, b,..., b n 1, a, ba, b 2 a,..., b n 1 a. Ετσι, η D n έχει τάξη 2n. Η οµάδα D n είναι η διεδρική οµάδα τάξης 2n. Η διεδρική οµάδα D n γεωµετρικά παριστάνει την οµάδα των συµµετριών ενός κανονικού πολυγώνου µε n πλευρές. Οι συµµετρίες προσδιορίζονται πλήρως µε τον τρόπο που οι κορυφές του πολυγώνου απεικονίζονται στον εαυτόν τους. Για περισσότερες λεπτοµέρειες για τις διεδρικές οµάδες, παραπέµπουµε τον αναγνώστη στο [1]. Εστω H = b και K = a. Από το Θεώρηµα Lagrange προκύπτει ότι η H έχει δείκτη 2 στην D n και έτσι, η H είναι κανονική στην D n. Από την περιγραφή των στοιχείων της D n, παρατηρούµε ότι H K = {1 Dn } και D n = H K. Με άλλα λόγια, D n = H K. Από τις συνθήκες (ab) 2 = 1 Dn και b n = 1 Dn προκύπτει ότι ab = b n 1 a. Εύκολα αποδεικνύεται ότι ab s = b n s a για κάθε s {0,..., n 1}. Ετσι, ab s a = b n s για όλα τα s {0,..., n 1}. Η τελευταία συνθήκη µάς ϐοηθάει να πολλαπλασιάζουµε δύο στοιχεία της D n. Για παράδειγµα, έστω b r 1 a, b r 2 a D n, µε r 1, r 2 {0,..., n 1} και r 2 < r 1. Τότε, (b r 1 a)(b r 2 a) = b r 1 (ab r 2 a 1 )a 2 = b r 1 (ab r 2 a) = b r 1 (b n r 2 a) = b n+r 1 r 2 a = b r 1 r 2 a. Επειδή η H είναι κανονική στην D n, η K δρα στην H µε συζυγία. Εστω ρ η µετάθεση-αναπαράσταση της K. ηλαδή, η ρ είναι ο οµοµορφισµός από την K στην Aut(H) µε ρ a (b) = aba 1 = b n 1. Σχηµατίζουµε το ηµιευθύ γινόµενο H ρ K. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι H ρ K = D n. 5.4.2 Ολόµορφο Εστω G µία οµάδα. Για κάθε a G, ϑεωρούµε την απεικόνιση λ a : G G, όπου λ a (g) = ag για κάθε g G. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι λ a Sym(G). Εχουµε ότι λ ab (g) = (ab)g = a(bg) = λ a (bg) = λ a λ b (g) και λ a λ a 1(g) = g για όλα τα g G. Εποµένως, λ ab = λ a λ b και λ a 1 = λ 1 a για όλα τα a, b G. Εστω λ(g) = {λ a : a G}. Λόγω των παραπάνω σχέσεων, το λ(g) είναι υποοµάδα της Sym(G). Θεωρούµε την απεικόνιση λ : G Sym(G) µε τύπο λ(a) = λ a για κάθε a G. Είναι απλό να διαπιστώσουµε ότι η λ είναι µονοµορφισµός και έτσι, η G δρα από αριστερά στο σύνολο G. Η λ ονοµάζεται αριστερή κανονική αναπαράσταση της G. Θεωρώντας την απεικόνιση r a : G

5.4. ΗΜΙΕΥΘΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟ 109 G, όπου r a (g) = ga 1 για κάθε g G, είναι εύκολο να δειχθεί ότι r a Sym(G) και ότι η r a είναι ενδοµορφισµός της G. Εστω r(g) = {r a : a G}. Οµοια επιχειρήµατα όπως προηγουµένως, αποδεικνύεται ότι η r(g) Sym(G) και η απεικόνιση r : G Sym(G), µε r(a) = r a για κάθε a G, είναι µονοµορφισµός. Ετσι, η G δρα από αριστερά στο σύνολο G. Η αναπαράσταση r της G ονοµάζεται δεξιά κανονική αναπαράσταση της G. Επειδή (r a λ a )(x) = r a (λ a (x)) = r a (ax) = axa 1 = τ a (x) για κάθε x G και Aut(G) Sym(G), έχουµε ότι λ(g), Aut(G) = r(g), Aut(G). Η προαναφερθείσα υποοµάδα της Sym(G) ονοµάζεται ολόµορφο της G και συµ- ϐολίζεται µε Hol(G). Στη συνέχεια, ϑα ερευνήσουµε τη δοµή της Hol(G). Εστω φ Aut(G) και g G. Τότε, φr a φ 1 = r φ(a) 1 και φλ a φ 1 = λ φ(a) και έτσι, r(g) και λ(g) είναι κανονικές υποοµάδες της Hol(G) και Hol(G) = r(g)aut(g) = λ(g)aut(g). Εύκολα προκύπτει ότι r(g) Aut(G) = λ(g) Aut(G) = {Id G }. Συνεπώς, το ολόµορφο είναι ένα ηµιευθύ γινόµενο Hol(G) = r(g) Aut(G) = λ(g) Aut(G), όπου ένας αυτοµορφισµός φ της G επάγει στην r(g) (αντιστ. λ(g)) τον αυτο- µορφισµό φ(r a ) = r φ(a) 1 (αντιστ. φ(λ a ) = λ φ(a) ). Ετσι, αν φ Aut(G), τότε η απεικόνιση λ a λ φ(a), για κάθε a G, είναι ένας αυτοµορφισµός της λ(g) και αντίστροφα, λόγω του ισοµορφισµού λ : G λ(g), κάθε αυτοµορφισµός της λ(g) είναι αυτής της µορφής. Συνεπώς, κάθε αυτοµορφισµός της λ(g) επάγεται από έναν εσωτερικό αυτοµορφισµό της Hol(G). Από την παραπάνω διαδικασία, συµπεραίνουµε ότι Μπορούµε να εµφυτεύσουµε µια δοθείσα οµάδα G σε µία κατάλληλη οµάδα H, που εξαρτάται από την G, έτσι, ώστε όλοι οι αυτοµορφισµοί της G να λαµβάνονται από τους εσωτερικούς αυτοµορφισµούς της H. Αλλά, ποια σχέση συνδέει τις υποοµάδες r(g) και λ(g); Οι δύο υποοµάδες συνδέονται µε την έννοια του κεντροποιητή και η σχέση τους περιγράφεται στην επόµενη πρόταση. Πρόταση 5.4 Οι ισότητες C Hol(G) (r(g)) = λ(g) και C Hol(G) (λ(g)) = r(g) ι- σχύουν σε οποιαδήποτε οµάδα G.

110 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ Απόδειξη. Εστω C = C Hol(G) (r(g)) και ζ C. Τότε, r a ζ = ζr a για κάθε a G. Υποθέτουµε ότι ζ(1) = s. Τότε, r a (ζ(1)) = r a (s) = sa 1 και ζ(r a (1)) = ζ(a 1 ). Εποµένως, ζ(a 1 ) = sa 1 για κάθε a G, και έτσι, ζ(a) = sa για κάθε a G. Άρα, ζ = λ s λ(g). Αντίστροφα, έστω λ s λ(g). Τότε, και r a (λ s (g)) = r a (sg) = (sg)a 1 λ s r a (g) = λ s (ga 1 ) = s(ga 1 ). Εποµένως, r a λ s = λ s r a για κάθε a G και έτσι λ s C. Συνεπώς, C Hol(G) (r(g)) = λ(g). Εφαρµόζοντας ανάλογα επιχειρήµατα, αποδεικνύουµε ότι C Hol(G) (λ(g)) = r(g). 5.5 Ασκήσεις 1. Εστω ότι η G δρα από αριστερά πάνω στο µη κενό σύνολο X. Για κάθε g G και x X, ορίζουµε xg = g 1 x. είξτε ότι η ανωτέρω πράξη είναι δεξιά δράση της G πάνω στο X. 2. είξτε ότι αν η H είναι υποοµάδα της G µε πεπερασµένο δείκτη n, τότε ο G : H G διαιρεί το n!. 3. Εστω G µία πεπερασµένα παραγόµενη άπειρη οµάδα και έστω H G µε πεπερασµένο δείκτη. Να δείξετε ότι υπάρχουν x 1,..., x s G έτσι, ώστε H G = s i=1 x ihx 1 i. 4. Εστω G µια άπειρη απλή οµάδα. είξτε ότι η G δεν µπορεί να έχει γνήσια υποοµάδα µε πεπερασµένο δείκτη. (Μία οµάδα λέγεται απλή αν δεν υπάρχουν γνήσιες κανονικές υποοµάδες. ) 5. Εστω G µία οµάδα και X ένα µη κενό σύνολο. Το σύνολο X ονοµάζεται G-σύνολο, αν η G δρα στο X. Αν X είναι ένα G-σύνολο και Y X, τότε το Y είναι G-υποσύνολο αν gy Y για κάθε g G και y Y. Το κενό σύνολο ϑεωρείται G-υποσύνολο για κάθε G-σύνολο. Ενα µη κενό G-σύνολο καλείται ανάγωγο (irreducible) αν τα µόνα G-υποσύνολα του X είναι και X. Μία απεικόνιση φ από ένα G-σύνολο X σε άλλο G-σύνολο Y ονοµάζεται G-απεικόνιση αν φ(gx) = gφ(x) για κάθε g G και x X. (αʹ) Εστω X ένα µη κενό G-σύνολο. Τότε, οι τροχιές της δράσης της G στο X είναι ανάγωγα G-υποσύνολα του X και είναι τα µόνα ανάγωγα G-υποσύνολα του X. Συγκεκριµένα, το X είναι ανάγωγο αν και µόνο αν η δράση της G πάνω στο X είναι µεταβατική. (ϐʹ) Εστω X ένα µη κενό G-σύνολο και έστω {X r : r R} το σύνολο των ανάγωγων G-υποσυνόλων του X. είξτε ότι, για κάθε µη κενό G-υποσύνολο Y του X, υπάρχει µη κενό υποσύνολο S του R τέτοιο, ώστε Y = s S X s.

5.5. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 111 (γʹ) Εστω µία G-απεικόνιση φ από ένα G-σύνολο X σε ένα άλλο G-σύνολο Y. Τότε, Imφ είναι ένα G-υποσύνολο του Y. Επιπλέον, για κάθε G- υποσύνολο W του Y, το {x X : φ(x) W } είναι ένα G-υποσύνολο του X. (δʹ) Εστω φ µία G-απεικόνιση από ένα ανάγωγο G-σύνολο X σε ένα G- σύνολο Y. Τότε, για κάθε G-υποσύνολο W του Y, ή Imφ W ή W Imφ =. (εʹ) Αν X είναι ένα µη κενό G-σύνολο, τότε το σύνολο που αποτελείται από όλες τις G-απεικονίσεις X X που είναι 1 1 και επί είναι υποοµάδα Sym G (X) της Sym(X). Αν X είναι ανάγωγο G-σύνολο, τότε Sym G (X) X. (ϛʹ) Αν H G και X είναι το σύνολο των αριστερών συµπλόκων της H στην G µε δράση της G πάνω στο X τον αριστερό πολλαπλασιασµό, τότε το X είναι ανάγωγο G-σύνολο και Sym G (X) = N G (H)/H. 6. Εστω G µία οµάδα και x, y G. είξτε ότι τα xy και yx είναι συζυγή. Επιπλέον, να δείξετε ότι συζυγή στοιχεία έχουν την ίδια τάξη. 7. Εστω G µία οµάδα τέτοια, ώστε κάθε υποοµάδα της έχει πεπερασµένο α- ϱιθµό συζυγών στην G. (αʹ) είξτε ότι, για κάθε υποοµάδα H της G, η H x 1 Hx έχει πεπερασµένο δείκτη στην H για κάθε x G. (ϐʹ) είξτε ότι κάθε υποοµάδα H της G περιέχει µία κανονική υποοµάδα N της G τέτοια, ώστε η N έχει πεπερασµένο δείκτη στην H. 8. Εστω G µία οµάδα και H και K συζυγείς υποοµάδες της G. είξτε ότι N G (H) και N G (K) είναι συζυγείς στην G. 9. είξτε ότι δύο µεταθέσεις στην S n είναι συζυγείς, αν στην παράσταση τους, ως γινόµενο κύκλων ξένων µεταξύ τους ανά δύο, έχουν το ίδιο πλήθος k- κύκλων για κάθε k. 10. είξτε ότι το κέντρο της S n, µε n 3, είναι τετριµµένο. 11. είξτε ότι η µόνη πεπερασµένη κλάση συζυγίας σε µια άπειρη απλή οµάδα είναι η {1 G }. 12. Εστω H υποοµάδα της G και έστω ρ : G H οµοµορφισµός τέτοιος, ώστε ρ(h) = h για κάθε h H. Να δείξετε ότι G = (Kerρ)H και Kerρ H = {1 G }. 13. Για ϑετικό ακέραιο n, µε n 2, έστω V n = Z 2... Z 2 το εξωτερικό ευθύ γινόµενο της προσθετικής οµάδας (Z 2, +) n ϕορές. Για π S n, ορίζουµε Να δειχθεί ότι (x 1,..., x n )π = (x π(1),..., x π(n) ). (αʹ) Η S n δρα από δεξιά πάνω στην οµάδα V n.

112 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ (ϐʹ) Η S n είναι ισόµορφη µε µία υποοµάδα της Aut(V n ). (γʹ) Η Aut(V n ) = GL n (Z 2 ). (δʹ) Η Aut(V n ) δρα µεταβατικά πάνω στην οµάδα V n. 14. Εστω G κ, µε κ 3, η υποοµάδα της GL 3 (C) που παράγεται από τα x = ( 0 1 1 0 ) και y = ( ξ 0 0 ξ 1 όπου ξ = e 2πi κ. Να δειχθεί ότι η G κ έχει τάξη 2κ. Επιπλέον, να ϐρεθούν οι κλάσεις συζυγίας της G κ. 15. Εστω H και K οµάδες. Υποθέτουµε ότι υπάρχει οµοµορφισµός φ : K Aut(H) µε φ(κ) = φ κ για όλα τα κ K. Εστω G = H φ K το ηµιευθύ γινόµενο των H και K. Να δειχθεί ότι (φ κ (h), 1 K ) = (1 H, κ)(h, 1 K )(1 H, κ) 1 για όλα τα κ K και h H. 16. Εστω G µία οµάδα και λ : G Sym(G) η αριστερή κανονική αναπαράσταση της G. Να δείξετε ότι, για κάθε φ Aut(G), η χ φ : λ(g) λ(g), µε χ φ (λ a ) = λ φ(a) για κάθε a G, είναι αυτοµορφισµός της λ(g). Επιπλέον, να δείξετε ότι η απεικόνιση χ : Aut(G) Aut(λ(G)), µε χ(φ) = χ φ για κάθε φ Aut(G), είναι ισοµορφισµός οµάδων. ), 17. είξτε ότι το ολόµορφο της οµάδας Klein είναι η οµάδα S 4. 18. Εστω G µία οµάδα και H µία υποοµάδα της µε πεπερασµένη δείκτη. Να δείξετε ότι αν η H είναι πεπερασµένα παραγόµενη, τότε η G είναι πεπερασµένα παραγόµενη. 19. Υποθέτουµε ότι µία οµάδα G έχει µία πεπερασµένη κανονική υποοµάδα N έτσι, ώστε G/N = Z. Να δείξετε ότι η G έχει µία άπειρη κυκλική κανονική υποοµάδα µε πεπερασµένο δείκτη. 5.6 Οδηγός για περαιτέρω µελέτη Alperin, J.L. & Bell, R.B. (1995). Groups and Representations. Springer- Verlag, New York. Ανδρεαδάκης, Σ. (1976). Μαθήµατα επί της Θεωρίας Οµάδων. Αθήνα. Armstrong, M.A. (2002). Οµάδες και Συµµετρία. Leaders Books, Αθήνα. Bogopolski, O. (2008). Introduction to Group Theory. EMS. Biggs, N. (1993). Algebraic Graph Theory. Cambridge University Press, Second edition, Cambridge. Cohen, D.E. (1989). Combinatorial Group Theory: a topological approach. Cambridge University Press, LMS Student Texts 14, Cambridge.

5.6. Ο ΗΓΟΣ ΓΙΑ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΜΕΛΕΤΗ 113 Curtis, C.W. & Reiner, I. (1962). Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras. Wiley, New York. Holz, M. (2015). Επανάληψη στην Αλγεβρα. Εκδόσεις Συµµετρία, Αθήνα. Robinson, D.J.S. (1982). A Course in the Theory of Groups. Graduate Texts in Mathematics 80, Springer-Verlag, New York-Berlin. Rose, J.S. (1978). A Course on Group Theory, Cambridge University Press, London. Segal, D. (1983). Polycyclic groups. Cambridge University Press, Cambridge. Serre, J.-P. (1980). Trees. Springer-Verlag, Berlin.

114 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΡΑΣΗ ΟΜΑ ΩΝ

Βιβλιογραφία [1] Armstrong, M.A. (2002). Οµάδες και Συµµετρία. Leaders Books, Αθήνα. [2] Bogopolski, O. (2008). Introduction to Group Theory. EMS. [3] Segal, D. (1983). Polycyclic groups. Cambridge University Press, Cambridge. [4] Serre, J.-P. (1980). Trees. Springer-Verlag, Berlin. 115