Άσκηση 1 Για τις περιοχές A : x < 0, B : x > 0 η εξίσωση Schroediger θα έχει τη μορφή της ελεύθερης εξίσωσης, αφού Vx = 0: Ψ A + κ Ψ A = 0 Ψ B + κ Ψ B = 0 Για το σημείο x = 0 η εξίσωση Schroediger θα είναι: όπου: Ψ + m h E Vx Ψ = 0 Ψ + κ Ψ = λδxψ Οι λύσεις της Ψ θα είναι της μορφής: κ = me h, λ = mg h Ψ A = e iκx + Ae iκx Ψ B = Be iκx Σημείωση: Η συνάρτηση Ψ = Ae iκx είναι ιδιοσυνάρτηση του τελεστή της ορμής ˆp = ih d hk dx, με ιδιοτιμή hκ, και περιγράφει κίνηση προς τα δεξιά όταν k > 0, με ταχύτητα m. Αντίστοιχα, περιγράφει κίνηση προς τα αριστερά όταν k < 0. Ψ A 0 = Ψ B 0 1 + A = B +a a Ψ dx + +a a κ Ψdx = +a a λδxψdx Για lim a 0 +a Ψ +a Ψ a + κ Ψdx = λψ0 a Ψ B0 Ψ A0 = λψ0 iκb iκ iκa = λ1 + A iκ1 + A iκ iκa = λ1 + A λ A = λ + iκ iκ B = 1 + A = λ + ik 1
Οι συντελεστές ανάκλασης R-Reflectio και μετάδοσης T-Trasmissio θα είναι: R = A = T = B = λ λ + 4κ 4κ λ + 4κ Παρατηρούμε ότι επιβεβαίωνεται η σχέση R + T = 1. Άσκηση Η κυματοσυνάρτηση ενός συστήματος είναι Ψθ, ϕ = 3 8π si ϕ si θ + i cos θ. Να δειχτεί ότι η Ψ είναι ιδιοσυνάρτηση του ˆL. Ποια είναι η ιδιοτιμή; Ποια είναι τα δυνατά αποτελέσματα μιας μέτρησης του τελεστή L z και με ποια πιθανότητα; Γνωρίζω ότι si ϕ = eiϕ e iϕ i. Επομένως: 3 Ψθ, ϕ = 8π = 1 i [ si θ e iϕ e iϕ i 3 8π si θeiϕ 1 i = i Y 11 + i Y 1 1 + i Y 10 ] + i cos θ 3 3 8π si θe iϕ + i 8π cos θ Pm = 1 = C 1 = 1/4 Pm = 1 = C = 1/4 Pm = 0 = C 3 = 1/ Άσκηση 3 Αν ο τελεστής Ĥ ενός κβαντομηχανικού συστήματος είναι άθροισμα τελεστών H = k 1 H i, όπου ο κάθε ένας αποτελείται από μία μόνο συντεταγμένη, τότε η ανεξάρτητη του χρόνου εξίσωση του Schroediger έχει λύση το γινόμενο των λύσεων των εξισώσεων ψ = k 1 ψ k, η δε ενέργεια του συστήματος θα δίνεται από τη σχέση: E = k 1 E i Αρκεί να αποδείξουμε ότι ο τελεστής H = k 1 H i και η κυματοσυνάρτηση ψ = k 1 ψ k
ικανοποιούν την χρονοανεξάρτητη εξίσωση του Schroediger: k k k k k k k k H i ψ i = H i ψ j = H i ψ j = E i ψ j = i=1 } {{ } H Άσκηση 4 i=1 } {{ } ψ i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 k i=1 E i } {{ } E k j=1 ψ j } {{ } ψ Έστω τελεστής που δεν εξαρτάται από το χρόνο Ĝ. Να δειχτεί ότι: Γνωρίζουμε εξ ορισμού ότι ισχύει: d dt Ĝ = 1 [Ĝ, Ĥ] ih G = Ψ GΨdx Οπότε: d dt Ĝ = d Ψ GΨdx dt = Ψ GΨ + Ψ G Ψ + Ψ GΨ dx = Ψ GΨ + Ψ GΨ dx Οπότε με αντικατάσταση: d dt G = 1 1 = = 1 ih HΨ = ih Ψ t Ψ t = 1 ih HΨ ih HΨ GΨ + Ψ G 1 ih HΨ dx ih Ψ GHΨ HΨ GΨ dx Ψ GH HG Ψdx = 1 [G, H] ih 3
Σημείωση: Αν ο τελεστής Ĝ δεν είναι ανεξάρτητος του χρόνου, τότε θα ισχύει: d dt G = 1 [G, H] + G ih t G Από τη σχέση αυτή φαίνεται πως αν ο Ĝ είναι ανεξάρτητος του χρόνου, δηλαδή t = 0, και αν ο τελεστής μετατίθεται με τον χαμιλτονιανό τελεστή, δηλαδή [G, H] = 0, τότε η μέση d G τιμή του φυσικού μεγέθους που περιγράφεται από τον Ĝ είναι σταθερή, δηλαδή dt = 0. ηλαδή το μέγεθος που περιγράφεται από τον τελεστή Ĝ θα είναι διατηρήσιμο και συνεπώς θα αποτελεί σταθερά της κίνησης. Άσκηση 5 Για σωματίδιο που κινείται σε δυναμικό Vx, να αποδειχτεί ότι: d dt x = 1 m [ xp x + p x x ] Εφαρμόζουμε την προηγούμενη σχέση, για G = x : d dt x = 1 ih [x, H] = i h [ H, x ] H = p m + Vx = 1 p m x + p y + p z + Vx Εφαρμόζουμε την ταυτότητα [A, BC] = [A, B]C + B[A, C] εδώ είναι A = H, B = C = x: [H, x ] = [H, xx] = [H, x]x + x[h, x] Όμως: [ ] p [H, x] = x m + p y m + p z m + Vx, x = 1 m [p x, x] [p x, x] = [x, p x] = [x, p x p x ] = [x, p x ]p x p x [x, p x ] = ihp x p x ih = ihp x 4
[H, x ] = 1 m [ ihp xx + x ihp x ] = ih m p xx + xp x d dt x = i h [H, x ] = i [ h ih ] m p xx + xp x = 1 m p xx + xp x = 1 m [ p xx + xp x ] Άσκηση 6 α. Να βρεθούν οι ιδιοσυναρτήσεις και οι ιδιοτιμές του τελεστή x + d dx. β. Ποιες τιμές πρέπει να έχουν τα α, β, ώστε οι τελεστές Â = αx και ˆB = β d dx να είναι ερμιτιανοί; α. Εξ ορισμού ένας τελεστής Â έχει ιδιοσυνάρτησεις Ψ και ιδιοτιμές λ, όταν ισχύει η σχέση: ÂΨ = λψ Επομένως, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση ιδιοτιμών: x + d Ψ = λψ dx xψ + Ψ = λψ Ψ = λ xψ Ψ Ψ = λ x l Ψ = λ x l Ψ = λx x + C x λx Ψ = Ce β. Εξ ορισμού ένας τελεστής Â λέγεται ερμιτιανός όταν ισχύει η σχέση: ψ Aϕdx = Aψ ϕdx Επομένως, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση: 5
ψ αxϕdx = αxψ ϕdx α = α α R ψ Bϕdx = Bψ ϕdx ψ β dϕ dx dx = β dψ ϕdx dx Άσκηση 7 Έστω yr = Fr exp γr, όπου ισχύει: F γf + r F = 0. Να κατασκευαστούν οι πρώτες τρεις κανονικοποιημένες σφαιρικά συμμετρικές ιδιοσυναρτήσεις του ατόμου του υδρογόνου σε ατομικές μονάδες. 1r γr 1 + r r = 0 1r + γ + r 1 = 0 γ + r 1 = 0 γ = 1 Είναι y0 = 0 F0 = 0. Άρα το πολύωνυμο Fr πρέπει να είναι βαθμού μεγαλύτερο ή ίσου του ένα. yr = rψr, γ = 1, = 1, ψr = Fre γr ψr = Ne r Άσκηση 8 α. Να δειχτεί ότι το γινόμενο δύο ερμιτιανών τελεστών είναι ερμιτιανός, μόνο αν οι τελεστές μετατίθενται. β. Πότε λέγεται πως ένα τελεστής είναι θετικά ορισμένος; γ. Να δειχτεί ότι υπάρχει ερμιτιανός τελεστής της μορφής A A και θετικά ορισμένος. δ. Να δειχτεί ότι αν Α,Β είναι δύο τυχόντες τελεστές, τότε οι παρακάτω συνδυασμοί είναι ερμιτιανοί τελεστές: AB + BA iab BA 6
α Έστω δύο ερμιτιανοί τελεστές Â, ˆB, οπότε εξ ορισμού ισχύει: ψ Aϕdx = Aψ ϕdx ψ Bϕdx = Bψ ϕdx Για να είναι το γινόμενό τους ερμιτιανός τελεστής πρέπει και αρκεί: ψ ABϕdx = ABψ ϕdx ψ ABϕdx = Aψ Bϕdx = BAψ ϕdx Απ όπου προκύπτει ότι η παραπάνω ισότητα θα ισχύει μόνο όταν: Δηλαδή, μόνο όταν οι Â, ˆB μετατίθενται. AB = BA [A, B] = 0 β Ένας τελεστής λέγεται θετικά ορισμένος όταν έχει πάντα θετική μέση τιμή. γ Για να είναι ο A A ερμιτιανός τελεστής πρέπει και αρκεί: ψ, A Aϕ = A Aψ, ϕ Είναι εξ ορισμού: ψ, A Aϕ = A A ψ, ϕ = A A ψ, ϕ = A Aψ, ϕ ορ. δ Για να είναι ένας τελεστής ερμιτιανός, αρκεί να είναι ίσος με τον συζυγή του: AB + BA = AB + BA = B A + A B = BA + AB = AB + BA [iab BA] = i AB BA = i[ab BA ] = ib A A B = iba AB = iab BA Όπου μεταξύ άλλων ιδιοτήτων κάναμε χρήση ότι οι κβαντομηχανικοί τελεστές είναι ερμιτιανοί, δηλαδή ότι A = A, B = B. Άσκηση 9 Να δεχτεί η γενικευμένη έκφραση της απροσδιοριστίας για φυσικά μεγέθη Α, Β: A B 1 [A, B] 7
A = A A = A B = B B = B Από ανισότητα Schwartz ισχύει: A = ψ, A ψ = Aψ, Aψ = Aψ B = ψ, B ψ = Bψ, Bψ = Bψ A B = Aψ Bψ Aψ, Bψ Προσθέτωντας κατά μέλη παίρνουμε: Aψ, Bψ = ψ, ABψ Aψ, Bψ = BAψ, ψ Aψ, Bψ = ψ, ABψ + BAψ, ψ = ψ, ABψ ψ, BAψ + BAψ, ψ + ψ, BAψ = ψ, [A, B]ψ + ψ, AB + BAψ [A, B] AB + BA Aψ, Bψ = ψ, ψ + ψ, ψ [A, B] AB + BA = ψ, i ψ + ψ, ψ i [ ] [A, B] AB + BA = ψ, i + ψ i [A, B] AB + BA = i + i [A, B] AB + BA = i + i Οι τελεστές [A,B] i και AB+BA είναι ερμιτιανοί, επομένως η μέση τιμή τους είναι πραγματικός αριθμός, άρα το εσωτερικό γινόμενο είναι μιγαδικός αριθμός. Γνωρίζουμε ότι z C : z Rez, z Imz. Επομένως: Aψ, Bψ [A, B] = 1 [A, B] i 8
Εφαρμογή για θέση x και ορμή p ενός σωματιδίου: A x, B p : x p 1 [x, p] = 1 ih = h Άσκηση 10 α Έστω ˆΠ ο τελεστής της ομοτιμίας parity. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του. β Έστω ˆT α ο τελεστής μετατόπισης. Να βρεθεί το αποτέλεσμα της δράσης του TΠ 3 TΠ 3 σε μια συνάρτηση. γ Να δειχτεί ότι ˆT α = e i h apˆ x. α Για να βρούμε τις ιδιοτιμές του τελεστή ˆΠ, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση ιδιοτιμών: Πfx = λfx Εφαρμόζουμε τον τελεστή ˆΠ και στα δύο μέλη της εξίσωσης: β Είναι ˆ Tα fx = fx + α. Επομένως: γ Είναι: ΠΠfx = Πλfx Πf x = λπfx fx = λ fx λ = ±1 T α Π 3 T α Π 3 = T α Π 3 T α f x = T α Π 3 f x + α = T α fx α = fx e i h αp x fx = e i h α ih d dx fx = e α d dx fx Στη συνέχεια θα αναπτύξουμε τον τελεστή e α d dx σε μία σειρά McLauri: e α d dx fx = 1 + α d 1! dx + α d! dx +... fx = fx + α df 1! dx + α d f! dx +... = fx + α = T α fx 9
Το άθροισμα που εμφανίζεται είναι ουσιαστικά το ανάπτυγμα McLauri της συνάρτησης fα + x, γύρω από το σημείο a = 0. Θυμίζουμε ότι: Άσκηση 11 fα = f0 + αf 0 + a! f 0 + a3 3! f3 0 +... Κβαντομηχανική Ι, Τραχανάς, Κεφ. 7, σελ. 319 α Με αφετηρία τη βασική μεταθετική σχέση [x, p] = i, δείξτε ότι οι τελεστές α, α ικανοποιούν τη σχέση: [α, α ] = 1 όπου: α = 1 x + ip, α = 1 x ip [α, α ] = αα α α = 1 x ixp + ipx i p 1 x + ixp ipx i p = 1 ipx ixp = i[x, p] = i = 1 β Δείξτε ότι η χαμιλτονιανή γράφεται συναρτήσει των τελεστών α, α, ως: H = α α + 1 όπου: H = 1 p + x α α = 1 x + ixp ipx i p = 1 [ x + p + ixp px ] = 1 x + p + 1 i[x, p] = H 1 H = α α + 1 10
γ Αποδείξτε ότι οι τελεστές α, α ικανοποιούν -με τη χαμιλτονιανή- τις ακόλουθες μεταθετικές σχέσεις: [H, α] = α, [H, α ] = a Χρησιμοποιούμε για την χαμιλτονιανή τη σχέση που την εκφράζει συναρτήσει των τελεστών α, α, όπως δείξαμε στο β : [H, α] = Hα αh = α α + 1 α α α α + 1 = α α αα α = αα α α α = [α, α ]α = α Ομοίως αποδεικνύεται ότι [H, α ] = α. δ Βάσει των μεταθετικών σχέσεων του γ, αποδείξτε ότι οι τελεστές α, α έχουν την ακόλουθη ιδιότητα: Όταν δρουν πάνω σε μια ιδιοσυνάρτηση, ψ E, της χαμιλτονιανής Ĥ με ιδιοτιμή E, ο μεν ˆα ανεβάζει την ιδιοτιμή κατά μονάδα, ο δε ˆα την κατεβάζει επίσης κατά μονάδα. Αρκεί να δείξουμε ότι οι κυματοσυναρτήσεις α ψ E και αψ E, έχουν ιδιοτιμές E + 1 και E 1 αντίστοιχα. [H, α ] = α Hα α H = α Hα ψ E α Hψ E = α ψ E Εφόσον όμως η ψ E είναι ιδιοσυνάρτηση του τελεστή Ĥ με ιδιοτιμή E, ισχύει εξ ορισμού ότι: Hψ E = Eψ E. Οπότε: Hα ψ E = α ψ E + α Eψ E Hα ψ E = α ψ E + Eα ψ E Hα ψ E = E + 1 α ψ E Οπότε πράγματι δείξαμε ότι η κυματοσυνάρτηση α ψ E είναι ιδιοσυνάρτηση του τελεστή Ĥ με ιδιοτιμή E + 1. Ομοίως αποδεικνύεται ότι Hαψ E = E 1ψ E. 11
Σχόλιο: εφόσον για τυχούσα ιδιοτιμή E, οι E ± 1 είναι επίσης ιδιοτιμές, αυτό συνεπάγεται ότι η χαμιλτονιανή έχει ισαπέχουσες ιδιοτιμές με σταθερή απόσταση μεταξύ τους ίση με ένα. Έτσι, E = E 0 +, όπου E 0 η χαμηλότερη ιδιοτιμή που αντιστοιχεί στη θεμελιώδη κατάσταση. ε Δείξτε ότι E 0 = 1, χρησιμοποιώντας την H = α α + 1. Εφόσον η E 0 είναι ιδιοτιμή της χαμιλτονιανής, και έστω ότι η αντίστοιχη ιδιοσυνάρτηση είναι η ψ 0, τότε εξ ορισμού ισχύει: α α + 1 Hψ 0 = E 0 ψ 0 ψ 0 = E 0 ψ 0 α αψ 0 = E 0 1 ψ 0 E 0 = 1 στ Επικαλεστείτε την ιδιότητα της ψ 0 που αναφέραμε πριν, για να γράψετε πρωτοτάξια διαφορική εξίσωση βάσει της οποίας η ψ 0 μπορεί να υπολογιστεί αμέσως. Με γνωστή την ψ 0, τι θα κάνατε για να υπολογίσετε τις ανώτερες ιδιοσυναρτήσεις; Κάντε το τουλάχιστον για τις δύο πρώτες από αυτές. αψ 0 x = 0 1 x + d ψ 0 x = 0 dx Η λύση της οποίας είναι: xψ 0 x + dψ 0 dx = 0 ψ 0 x = Ce x Η σταθερά C υπολογίζεται από τη συνθήκη κανονικοποίησης: ψ 0xψ 0 xdx = 1 C e x dx = 1 C π = 1 C = 4 1 π Επομένως η ιδιοσυνάρτηση της θεμελιώδους κατάστασης του αρμονικού ταλαντωντή είναι η: ψ 0 x = 4 1 e x π 1
Οι ανώτερες ιδιοσυναρτήσεις υπολογίζονται εφαρμόζοντας τον τελεστή αναβίβασης a : ψ 1 x = α ψ 0 x ψ 1 x = 1 x d 1 dx ψ 1 x = 1 4 4π x d dx ψ 1 x = 4 1 xe x 4π 4 ψ 1 x = 4 x xe π 4 π e x e x Ομοίως υπολογίζεται και η ψ x. ζ Αν ψ είναι οι κανονικοποιημένες ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή, δείξτε ότι η δράση των α, α πάνω σε αυτές δίνει: αψ = ψ 1, α ψ = + 1ψ +1 Έχουμε ήδη δείξει στο ζ ότι: Hαψ = E 1αψ Η ιδιοσυνάρτηση αψ όμως δεν είναι ακόμη κανονικοποιημένη: αψ, αψ = ψ, α αψ = ψ, H 1 ψ = ψ, Hψ ψ, 1 ψ = E ψ, ψ 1 ψ, ψ Εφόσον όμως δίνεται ότι οι συναρτήσεις ψ είναι κανονικοποιημένες, ισχύει ότι ψ, ψ = 1, οπότε: Επομένως: αψ, αψ = E 1 1 = + 1 = αψ = ψ 1 αψ = ψ 1 13
Ομοίως αποδεικνύεται ότι α ψ = + 1ψ +1. η Χρησιμοποιείστε τις αναδρομικές σχέσεις από το ζ για να υπολογίσετε με έναν καθαρά αλγεβρικό τρόπο -δηλαδή χωρίς χρήση της εκπεφρασμένης μορφής των ιδιοσυναρτήσεωντις μέσες τιμές: x ψ, x ψ, p ψ, p ψ, x 4 ψ, x 4 ψ Γνωρίζουμε ότι: α = 1 x + ip α = 1 x ip Θα λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων ως προς x, p: Επομένως: α + α = x α α = ip x = ψ, x ψ = ψ, α + αα + α α + α ψ = ψ, α ψ + ψ, αα ψ + ψ, α αψ + ψ, α ψ Εφόσον όμως τα ψ είναι ορθοκανονικά ισχύει ψ, ψ m = δ m, όπου δ m ο τελεστής του Kroecker. Οπότε: x = ψ, αα ψ + ψ, α αψ αα ψ = α + 1ψ +1 = + 1αψ +1 = + 1ψ α αψ = α ψ 1 = α ψ 1 = ψ x = + 1 + x = + 1 14
Ομοίως αποδεικνύεται ότι p = + 1. Εναλλακτικά, μπορούμε πιο σύντομα να γράψουμε: H = 1 x + p H = 1 x + 1 p p = H x p = E x p = + 1 1 = + 1 4 x 4 = ψ, 4x 4 ψ = ψ, α + α 4 ψ α + α 4 = α + αα + α α + α Αν αναπτύξουμε την παραπάνω ταυτότητα θα προκύψει ένα άθροισμα με 16 όρους. Επειδή όπως είπαμε οι ψ είναι ορθοκανονικές, ψ, ψ m = δ m. Επομένως θα κρατήσουμε εκείνους τους όρους για τους οποίους = m. Για να ικανοποιείται αυτή η συνθήκη, πρέπει και αρκεί σε κάθε έναν από αυτούς τους όρους, ο αριθμός των τελεστών αναβίβασης και καταβίβασης να είναι ίσος μεταξύ τους, ανεξάρτητα από τη σειρά με την οποία οι τελεστές αυτοί δρουν στην ψ. Τελικά, γράφουμε: 4 x 4 = ψ, α α + α α + αα + α α + αα α + α α α ψ α α ψ = + 1α α ψ +1 = + 1 + α ψ + = + 1 + αψ +1 = + 1 + ψ α α ψ = α αψ 1 = 1α ψ = 1α ψ 1 = 1ψ αα ψ = αα αα ψ = + 1αα αψ +1 = + 1αα ψ = + 1 ψ 15
α α ψ = α αα αψ = α αα ψ 1 = α αψ = ψ αα αψ = αα ψ 1 = αα ψ = + 1ψ α α α ψ = + 1α α ψ +1 = + 1α αψ = + 1ψ Επομένως: 4 x 4 = + 3 + + + + + 1 + + + = 6 + 6 + 3 x 4 = 3 + + 1 4 θ Να αποδειχθεί ότι η μέση κινητική ενέργεια είναι ίση με τη μέση δυναμική θεώρημα του Virial Εργαζόμαστε κατά τα γνωστά στο σύστημα μονάδων h = m = ω = 1: T = p = + 1 V = x = + 1 Σημείωση: Στην κλασική μηχανή το θέωρημα του Virial παίρνει τη μορφή: T = V Άσκηση 1 Να υπολογιστεί η αβεβαιότητα στη θέση x του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή στη θεμελιώδη κατάστασή του. Εξ ορισμού είναι: x = ψ 0xx ψ 0 xdx 16
Η αδιάστατη ιδιοσυνάρτηση δηλαδή για h = m = ω = 1 της θεμελιώδους κατάστασης του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή είναι: Επομένως: ψ 0 x = 4 1 e x π x = 1 x e x dx π = 1 π 1 π = 1 Τελικά: x = x x = 1 x = 1 Άσκηση 13 Δίνεται ο μισός κβαντικός αρμονικός ταλαντωτής: { 1 Vx = kx, x > 0 +, x 0 α Να βρεθούν οι επιτρεπτές τιμές ενέργειάς του. β Να υπολογιστεί η μέση τιμή x στη θεμελιώδη κατάστασή του, και να συγκριθεί με την αντίστοιχη του πλήρους κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Η θεμελιώδης κατάσταση του μισού κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή είναι για = 1, δηλαδή αντιστοιχεί στην ιδιοσυνάρτηση ψ 1 x και ιδιοτιμή E 1 = 3. Οπότε: Γνωρίζουμε ότι: x = = 0 0 ψ 1xxψ 1 xdx x ψ 1 x dx 4 ψ 1 x = 4 x xe π Ωστόσο η ψ 1 x δεν είναι κανονικοποιημένη πλέον, διότι στον πλήρη κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή το σωματίδιο κινείται στο διάστημα, +, ενώ στο μισό στο διάστημα 0, +. Για το λόγο αυτό πρέπει να πολλαπλασιάσουμε την ψ 1 x επί έναν παράγοντα, ώστε όταν λάβουμε το ολοκλήρωμα 0 ψ 1 x αυτό να είναι ίσο με 1. 17
Οπότε: x = 4 x 3 e x dx π 0 = 4 π 1 = π Άσκηση 14 Εάν τα πολυώνυμα Hermite παράγονται από τη γεννήτρια: Gx, s = exp s + xs = H x s! α να υπολογιστεί το H x ως συνάρτηση της Gx, s. β να δειχθεί ότι ικανοποιούν την εξής διαφορική εξίσωση: H x xh x + H x = 0 { } H x = H 0 x, H 1 x, H x, H 3x...!! 3! Gx, s = H 0 x + H 1 xs + H x! G s = H 1x + H x! Γενικά θα είναι: Ξεκινώντας από τη σχέση: s + 3 H 3x 3! H x = Gx, s s s + H 3x s 3 +... 3! s... G s s=0 Gx, s = exp s + xs = H x s! = H 1 x s=0 Παραγωγίζω κατά μέλη ως προς x: sgx, s = s H x s =! H x s +1 =! H x s! H x s! H x s! 18
Για να είναι δύο πολυώνυμα ίσα μεταξύ τους πρέπει και αρκεί οι συντελεστές των ισοβάθμιων δυνάμεων να είναι ίσοι μεταξύ τους. H x s +1 =! H +1x! + 1 s+1 Ή ισοδύναμα: + 1H x = H +1x H x = H 1 x, = 1,,... Επιστρέφουμε στην αρχική σχέση: Gx, s = exp s + xs = H x s! Παραγωγίζω κατά μέλη ως προς s: x sgx, s = x s H x s =! xh x s H x s +1 =!! xh x s! H 1 x s =! H x s 1! H x s 1! H x s 1! H +1 x s! Οπότε τελικά: H +1 x xh x + H 1 x = 0, = 1,,... H x xh x + H +1 x = 0 H x H x xh x + H +1x = 0 H x xh x + H +1x H x = 0 H x xh x + + 1H x H x = 0 H x xh x + H x = 0 γ Να αποδείξετε τον τύπο του Rodriguez: H x = 1 e x d dx e x 19
Έχουμε ήδη δείξει, στο προηγούμενο ερώτημα, ότι: H +1 x = xh x H x = xh x + H x [ ] = e x e x H x + e x H x = e x d dx e x H x H x = e x d dx e x H 1 x Οπότε, τελικά: H +1 x = e x [e x e x d d dx dx = 1 d x e dx e x H 1 x H +1 x = 1 +1 e x Η κάνοντας την αντικατάσταση + 1 : H x = 1 e x ] e x H 1 x d+1 e x dx+1 d dx e x δ Να δειχτεί ότι το πολυώνυμο Hermite βαθμού είναι άρτια ή περιττή συνάρτηση, αν το είναι άρτιος ή περιττός αριθμός αντίστοιχα. H x = 1 e x d d x e x = 1 d x e d x e x = 1 H x Οπότε: H x = { 1 k 1 k+1 H x = H x H x = H x ε Να δειχτεί ότι στον κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή είναι x = 0, p = 0. 0
Οι ιδιοσυνάρτησεις του αρμονικού ταλαντωτή έχουν την εξής μορφή: ψ x = NH xe x όπου N R η σταθερά κανονικοποίησης και H x το πολυώνυμο Hermite βαθμού. Εξ ορισμού ισχύει για τη μέση τιμή ενός κβαντικού μεγέθους: x = ψ, xψ = x ψ x dx = N xh x e x dx Η συνάρτηση όμως gx = xh x e x είναι περιττή. Επομένως το ολοκλήρωμα της στο, + θα είναι μηδέν. Οπότε δείξαμε ότι: x = 0 Ομοίως εργαζόμαστε για τη μέση τιμή της ορμής p: p = ψ, pψ = ψ p = ihn ih dψ dx dx dψ [ ] dx = N H xe x xh xe x H xe x H xe x xh xe x dx = ihn H xh xe x dx + ihn xh x e x dx g 1 x = H xh xe x = H x H 1x e x = H xh 1 xe x Όπως έχουμε δείξει παραπάνω τα πολυώνυμα Hermite είναι άρτια ή περιττά, ανάλογα με το αν ο βαθμός τους είναι άρτιος ή περιττός. Οπότε το γινόμενο H xh 1 x, θα είναι πάντα το γινόμενο μιας άρτιας επί μια περιττή συνάρτηση, δηλαδή περιττή συνάρτηση. Τελικά η g 1 x θα είναι μια περιττή συνάρτηση, αφού η e x είναι άρτια. Μπορούμε επίσης να επικαλεστούμε την ορθογωνιότητα των ιδιοσυναρτήσεων και να γράψουμε: NH xe x NH 1 xe x dx = ψ ψ 1 dx = 0 g x = xh x e x Ομοίως η g x είναι περιττή συνάρτηση. Οπότε τελικά: p = 0 1
Άσκηση 15 θεωρώ γραμμικό αρμονικό ταλαντωτή και ψ 0, ψ 1 έστω ότι το σύστημα περιγράφεται από την κατάσταση Ψ = Aψ 0 + Bψ 1. α Να δειχτεί ότι x = 0. β Να βρεθεί πότε το x γίνεται ελάχιστο ή μέγιστο. A Ψ, Ψ = 1 ψ 0 + B ψ 1 + ABψ 0 ψ 1 dx = 1 A ψ 0dx + B ψ 1 + AB ψ 0 ψ 1 dx = 1 Γνωρίζουμε ωστόσο ότι οι ιδιοκαταστάσεις ψ 0, ψ 1 είναι ορθοκανονικές οπότε: ψ 0 = 1, ψ 1 = 1, ψ 0, ψ 1 = 0 A + B = 1, A, B 0 x = Ψ, xψ = xψ dx = x A ψ 0 + B ψ 1 + ABψ 0 ψ 1 dx = A xψ 0dx + B xψ 1 + AB xψ 0 ψ 1 dx = AB ψ 0 x ψ 1 Που γενικά είναι διάφορο του μηδενός. AB = A 1 A = ga g A = 1 A + A A 1 A = 0 1 A A = 0 A = 1 A = ± 1 1 g = ± 1 1 1 = ± 1
Άσκηση 16 Τη χρονική στιγμή t = 0 ένα σωμάτιο είναι σε Vx = 1 mω x και περιγράφεται από κυματοσυνάρτηση: Ψx, 0 = A 1 ψ x α Να υπολογιστεί η σταθερά κανονικοποίησης A. Ψ x, 0Ψx, 0dx = 1 [ + 1 A ψ x ] 1 ψ x = 1 A +m 1 + ψ xψ m xdx = 1,m } {{ } δ m A 1 = 1 A 1 = 1 A = 1 β Να βρεθεί η Ψx για t > 0. Ψx, t = 1 1 ψ xe ie t h = 1 +1 ψ xe iωt+ 1 γ Να δειχθεί ότι η Ψx, t είναι περιοδική συνάρτηση, να βρεθεί η περίοδός της καθώς επίσης και πότε αυτή γίνεται μέγιστη. 3
Ψx, t = Ψ x, t Ψx, t = +1 1 ψ xe iωt+ 1 1 =,m +m +1 e iωt m ψ xψ m x +1 1 ψ xe iωt+ 1 Επομένως η Ψx, t είναι περιοδική συνάρτηση διότι έχει τον περιοδικό παράγοντα: Με περίοδο: T = e iωt m π ω m T max = π ω, m = 1 δ Να υπολογιστεί η μέση τιμή E της ενέργειας, τη χρονική στιγμή t = 0. E 0 = Ψx, 0, HΨx, 0 = Ψ x, 0HΨx, 0dx = +m 1 +1 ψ mhψ dx,m Γνωρίζουμε ωστόσο ότι οι ιδιοσυναρτήσεις ψ ικανοποιούν την εξίσωση ιδιοτιμών Hψ = E ψ, όπου E = + 1 hω. Οπότε: E 0 = +m 1 +1 E ψ mψ dx,m } {{ } Άσκηση 17 = +1 1 + 1 hω δ m Να βρεθεί ποια είναι η εξάρτηση από το χρόνο της παρακάτω ποσότητας: I = Ψ x, tψx, tdx 4
Θα υπολογίσουμε την παράγωγο di dt : di dt = d Ψ x, tψx, tdx dt Ψ x, t = Ψx, t + Ψ Ψx, t x, t dx t t Γνωρίζουμε ωστόσο ότι η χρονική εξέλιξη ενός κβαντομηχανικού συστήματος περιγράφεται από την χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schroediger: ih Ψ t = HΨ Ψ t = 1 ih HΨ Ψ t = 1 ih HΨ Αντικαθιστώντας τις μερικές παραγώγους: di + dt = 1 ih HΨ Ψ + Ψ 1 ih HΨ dx = 1 Ψ HΨdx HΨ Ψdx ih Επειδή όμως ο τελεστής της χαμιλτονιανής είναι ερμιτιανός, ισχύει εξ ορισμού ότι: Επομένως: Ψ, HΨ = HΨ, Ψ di dt = 0 Δηλαδή η ποσότητα I είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Γι αυτό άλλωστε αν κανονικοποιήσουμε την κυματοσυνάρτηση Ψ σε μια χρονική στιγμή t = 0, θα συνεχίσει να είναι κανονικοποιημένη για οποιαδήποτε άλλη χρονική στιγμή. Σημείωση: Η Ψx, t σαφώς και μεταβάλλεται με το χρόνο με τρόπο που διέπεται από την χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schroediger. Αυτό που παραμένει σταθερό με το χρόνο είναι το Ψx, t dx, δηλαδή η ολική πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο σε κάποιο σημείο του χώρου. Άσκηση 18 Ποια είναι η ουσιώδης διαφορά ανάμεσα στον κλασσικό και τον κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή; Στον κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή: 5
Η ενέργεια είναι κβαντισμένη μπορεί να πάρει μόνο συγκεκριμένες διακριτές τιμές, συγκεκριμένα τις: E = + 1 hω Διείσδυση σε κλασικά απαγορευμένες περιοχές. Στη θεμελιώδη κατάσταση το κβαντικό σωματίδιο είναι πολύ πιθανότερο να βρεθεί στη γειτονιά της αρχής παρά στα όρια της κλασικής ταλάντωσης. Άσκηση 19 Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας: α Έστω σωμάτιο στην πρώτη διεγερμένη στάθμη ενός αρμονικού ταλαντωτή Α.Τ.. Ποια η πιθανότητα να βρεθεί στον θετικό ημιάξονα; β Μπορεί η κυματοσυνάρτηση της δεύτερης διεγερμένης στάθμης ενός Α.Τ. να δίνεται από τη σχέση ψ x = Nx + 1e x a ; γ Εάν σας ζητηθεί να βρείτε τη μέση τιμή ενέργειας Α.Τ. με k = m = ω = 1 για δεδομένη κυματοσυνάρτηση, και βρείτε E = 1 4, είναι σωστό; δ Έστω Α.Τ. σε κατάσταση επαλληλίας Ψ = 1 3 ψ 0 + 3 ψ 1, μπορεί η αβεβαιότητα ενέργειας στην κατάσταση αυτή να είναι E = 3; α Η πιθανότητα είναι P[x > 0] = 0.5. Λόγω του ότι το δυναμικό του Α.Τ. παρουσιάζει συμμετρία ανάμεσα στα θετικά x και στα αρνητικά V x = 1 k x = Vx, το ίδιο θα συμβαίνει και για την πυκνότητα πιθανότητας. Εξάλλου η ιδιοσυνάρτηση στην 1η διεγερμένη στάθμη είναι περιττή, οπότε το τετράγωνό της, που εκφράζει την πυκνότητα πιθανότητας, θα είναι άρτια. Δηλαδή: P x = Px. β Δε μπορεί. Στη η διεγερμένη στάθμη η κυματοσυνάρτηση έχει κόμβους, ωστόσο το πολυώνυμο x + 1 δεν έχει πραγματικές ρίζες. γ Είναι λάθος. Οι ενεργειακές στάθμες του Α.Τ. δίνονται από τον τύπο E = + 1 στην αδιάστατη περίπτωση, δηλ. όταν k = m = ω = 1. Οπότε η ελάχιστη ενέργεια που μπορεί να έχει ο Α.Τ., αντιστοιχεί στην θεμελιώδη του κατάσταση, = 0, και είναι ίση με: E mi = E 0 = 1. Οπότε θα είναι πάντα E E 0 = 1. δ Δε μπορεί. Οι δυνατές ενεργειακές τιμές που μπορεί να έχει ο Α.Τ. είναι E 0 = 1, E 1 = 3, που απέχουν μεταξύ τους κατά 1. Επομένως η διασπορά E δε μπορεί να είναι μεγαλύτερη από της διαφορά των ακραίων τιμών. 6
Άσκηση 0 α Ποια είναι η φυσική σημασία και τα χαρακτηριστικά της κυματοσυνάρτησης κ.σ.; β Ποια είναι τα χαρακτηριστικά της στα μονοδιάστατα προβλήματα; γ Να δοθεί ο ορισμός του ερμιτιανού τελεστή. Να αναφέρετε και να αποδείξετε τις κυριότερες ιδιότητές του. α Ένα κβαντομηχανικό σύστημα περιγράφεται από την κυματοσυνάρτηση κ.σ. Ψ r, t. Η κ.σ. είναι μιγαδική συνάρτηση και αυτή καθεαυτή στερείται φυσικής σημασίας υπό την έννοια ότι δεν αντιστοιχεί σε μετρήσιμη φυσική ποσότητα. Ωστόσο το τετράγωνο της απόλυτης τιμής της εκφράζει την πυκνότητα πιθανότητας. P r, t = Ψ r, t γ Ερμιτιανός ονομάζεται ένας τελεστής Â για τον οποίο ισχύει ισοδύναμοι ορισμοί: ψ Âϕdx = Âψ ϕdx ψ, Âϕ = Âψ, ϕ ψ Âϕ = Âψ ϕ Άσκηση 0 Το θεώρημα Helliger-Toeplitz αναφέρει ότι ένας παντού ορισμένος συμμετρικός τελεστής A σ ένα χώρο Hilbert H είναι φραγμένος. Εξ ορισμού ο Â είναι συμμετρικός όταν για κάθε ψ, ϕ στο πεδίο ορισμού του Â ισχύει: Aψ, ϕ = ψ, Aϕ Δηλαδή συμμετρικός είναι ο τελεστής που είναι ερμιτιανός. Οπότε το θεώρημα μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως ένας παντού ορισμένος ερμιτιανός τελεστής A σ ένα χώρο Hilbert είναι φραγμένος. Απόδειξη: Έστω ότι δεν ισχύει η πρόταση αυτή, δηλαδή ότι ο H περιέχει μια ακολουθία y, τέτοια ώστε y = 1 και Ay. Θεωρούμε τότε τη γραμμική συνάρτηση f ορισμένη σε όλο τον H ως: f x = Ax, y = x, Ay, = 1,,... Η f είναι φραγμένη για κάθε αφού λόγω της ανισότητας Cauchy-Schwartz: f x = x, Ay Ay x 7
Επιπλέον η ακολουθία f x είναι φραγμένη αφού: f x = Ax, y Ax Λόγω ομοιόμορφης σύγκλισης? έχουμε ότι f, f k,. Οπότε για x = Ay : Ay = f Ay k Ay Επομένως Ay k που έρχεται σε αντίφαση με την αρχική μας υπόθεση ότι Ay. Άσκηση 1 Να διερευνηθεί εάν το θεώρημα Helliger-Toeplitz μπορεί να εφαρμοστεί στην περίπτωση του χαμιλτονιανού τελεστή για τον αδιάστατο κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή και να σχολιασθούν οι συνέπειες. Γνωρίζουμε ότι ο χαμιλτονιανός τελεστής είναι ερμιτιανός, όπως άλλωστε όλοι οι κβαντομηχανικοί τελεστές διαφορετικά οι μέσες τιμές των αντίστοιχων φυσικών μεγεθών που εκφράζουν οι τελεστές, δεν θα είχαν πραγματικές τιμές!. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε αν ο χώρος στον οποίο ορίζεται ο Ĥ είναι ένας χώρος Hilbert. Ο χώρος των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, δηλαδή των συναρτήσεων για τις οποίες ισχύει: fx dx < συνιστά ένα χώρο όπου ορίζεται το εσωτερικό γινόμενο, ως: f, g = fxg xdx Αποδεικνύεται ότι ο χώρος αυτός των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων συνιστά ένα πλήρη μετρικό χώρο. Επιπλέον, εφόσον ο χώρος αυτός είναι εφοδιασμένος με την πράξη του εσωτερικού γινομένου, είναι ένας χώρος Hilbert και κατά σύμβαση συμβολίζεται ως L. Θεωρούμε την περίπτωση του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Ο χαμιλτονιανός τελεστής Ĥ για την αδιάστατη περίπτωση h = m = ω = 1 είναι: d H = 1 dx + 1 x Ο τελεστής αυτός είναι ερμιτιανός άρα συμμετρικός καίτοι μη φραγμένος, αφού οι ιδιοτιμές της ενέργειας είναι: E = + 1, = 0, 1,,... 8
Επομένως ο χαμιλτονιανός τελεστής δεν μπορεί να είναι ορισμένος σε όλο τον L. Διότι αν ήταν, τότε βάση του θεωρήματος Helliger-Toeplitz θα ήταν φραγμένος. Ωστόσο μπορεί να οριστεί σε ένα πυκνό υποσύνολο του L. Άσκηση Να διερευνηθεί ποιοτικά γιατί ο τελεστής της χαμιλτονιανής δεν μπορεί να οριστεί σε όλο τον L. Η χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schroediger για την αδιάστατη περίπτωση h = 1 γράφεται ως εξής: ψ = ihψ Που θυμίζει τη διαφορική εξίσωση ut = Aut, η οποία έχει ως λύση την: ut = e ta u0. Κατ αντιστοιχία λοιπόν οι λύσεις της εξίσωσης Schroediger μπορούν να δοθούν ως: ψx, t = e t ih ψx, 0 Οπότε εύλογα προκύπτει ο προβληματισμός για το πώς μπορούμε να υψώσουμε στην e τον τελεστή Ĥ. Για πεπερασμένους πίνακες γνωρίζουμε ότι ισχύει: 1 expa = k! Ak k=0 Η απόδειξη του οποίου στηρίζεται στο γεγονός ότι ο πίνακας A είναι φραγμένος, διότι μόνο τότε το παραπάνω άθροισμα συγκλίνει βλ. επόμενη άσκηση. Ωστόσο στην περίπτωση του τελεστή Ĥ που δεν είναι φραγμένος, μια τέτοια έκφραση δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Δηλαδή, δεν μπορούμε να ισχυριστούμε ότι ισχύει πάντα: 1 exp ith = k! ithk k=0 Ισχύει ωστόσο για τις συναρτήσεις C που οι παράγωγοι τους είναι αρκούντως φθίνουσες. Βλέπε επίσης και Helliger-Toeplitz, θεώρημα κλειστού γράφου και θεώρημα ανοικτής αντιστοίχισης. Άσκηση 1 Να δειχθεί ότι η παρακάτω ακολουθία συγκλίνει: expa =0 1! A όπου A ένας τετραγωνικός πίνακας με πραγματικά στοιχεία. 9
Έστω M ένας πραγματικός αριθμός, τέτοιος ώστε A ij < M για όλα τα στοιχεία A ij του πίνακα A. Τότε θα είναι A ij < MM } + MM {{ +.. }. = M. Γενικά μπορούμε να πούμε ότι θα ισχύει A k ij < k M k+1. Εφόσον δε το k=0 k k! Mk+1 συγκλίνει, θα συγκλίνει και η σειρά σε κάποιο τετραγωνικό πίνακα με πραγματικά στοιχεία. Σημείωση: Η σειρά k=0 k k! Mk+1 συγκλίνει γιατί: L = lim α k+1 k α k = lim k = lim M k k + 1 = 0 < 1 Άσκηση k+1 M k+ k+1! k M k+1 k! Δίνεται η κυματοσυνάρτηση Ψx, t = Ae λ x e iωt, A, λ, ω R +. α Να κανονικοποιηθεί η συνάρτηση. β Να υπολογιστούν οι ποσότητες x, x. γ Να υπολογιστεί η αβεβαιότητα x. δ Να υπολογιστεί το διάστημα x σ, x + σ. ε Να υπολογιστεί η πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο εκτός της περιοχής αυτής. στ Να υπολογιστεί η πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο εντός της περιοχής αυτής. α Για να κανονικοποιήσουμε την κυματοσυνάρτηση, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση: Ψx, tψ x, tdx = 1 Ae λ x e iωt Ae λ x e +iωt dx = 1 A λ 0 A e λ x dx = 1 A e λx dx = 1 0 λx e λx dx = 1 A λ A λ [ e λx ] + 0 = 1 [ e λx ] 0 + = 1 A = λ A = λ β Με βάση τον ορισμό για ένα φυσικό μέγεθος που περιγράφεται από τον τελεστή Â, η 30
μέση τιμή του είναι ίση με: A = Ψ ÂΨdx Επομένως: x = Ψ xψdx = xψ Ψdx = x Ψ dx = A xe λ x dx = λxe λ x dx Για τη συνάρτηση gx = λxe λx, ισχύει: g x = λ xe λ x = λxe λ x = gx Επομένως είναι περιττή και έπεται ότι το ολοκλήρωμα της στο, + θα είναι μηδέν. Έτσι: x = 0 Ομοίως εργαζόμαστε για την ποσότητα x : x = Ψ x Ψdx = x Ψ Ψdx = x Ψ dx = A x e λ x dx = λx e λ x dx = λ x e λx dx 0 Το τελευταίο ολοκλήρωμα υπολογίζεται από τον τύπο: x e λx =! 0 λ +1 Είναι λοιπόν: x = λ! λ 3 = 1 λ γ Η αβεβαιότητα για τη θέση x του σωματιδίου υπολογίζεται κατά τα γνωστά: x = x x = 1 λ x = 1 λ δ Το διάστημα x σ, x + σ, είναι το διάστημα σ, +σ. ε Η πιθανότητα να βρεθεί εκτός της περιοχής σ, +σ: Px σ = = σ σ = 1 Ψx dx = σ λe λx dx = 1 [ e λx ] + σ = 1 A e λ x dx σ λx e λx dx [ e λx ] σ + = 1 e λσ = 1 e 1 = 1 e 31
Τελικά, λόγω συμμετρίας του προβλήματος, θα είναι: P [x σ x σ] = Px σ = e στ Η πιθανότητα να βρεθεί εντός της περιοχής σ, +σ: P σ x σ + P [x σ x σ] = 1 P σ x σ = 1 e Άσκηση 3 Δίνεται ότι για σωματίδιο ισχύει: Ψx = 3ψ 1 x + 10 8 ψ x + 10 8 ψ 3x. Να γραφεί η χρονοεξαρτώμενη κυματοσυνάρτηση Ψx, t. Είναι: Ψx, t = 3ψ 1 xe ie 1t/h + Άσκηση 4 Να δειχθεί ότι ο τελεστής της ορμής pˆ x είναι ερμιτιανός. 10 10 8 ψ xe iet/h + 8 ψ 3xe ie 3t/h Εξ ορισμού ένας τελεστής Â λέγεται ερμιτιανός όταν ισχύει η σχέση: ψ Aϕdx = Aψ ϕdx Ο τελεστής της ορμής pˆ x ορίζεται ως εξής: ˆ p x = ih d dx Αναλύοντας το πρώτο μέλος της συνθήκης της ερμιτιανότητας θα καταλήξουμε στο δεύτερο: I = ψ p x ϕdx = ψ ih dϕ dx = ih ψ ϕ dx dx Εφαρμόζουμε ολοκλήρωση κατά παράγοντες: I = ih [ψ ϕ] + ψ ϕdx = ih ψ ϕdx = ihψ ϕdx = ih d dx ψ ϕdx = p x ψ ϕdx 3
Για τον υπολογισμό της ποσότητας [ψ ϕ] + κάναμε χρήση της ιδιότητας των κβαντομηχανικών κυματοσυναρτήσεων να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμες, που σημαίνει ότι για τυχούσα κυματοσυνάρτηση ψ ισχύει: ψ± = 0, καθώς επίσης και της πρότασης: ψ = ψ, η οποία αποδεικνύεται εύκολα ως εξής: ψx = ax + ibx ψ x = a x + ib x ψ x = a x ib x ψx = ax + ibx ψ x = ax ibx ψ x = a x ib x Άσκηση 5 Να δειχτεί ότι οι ιδιοσυναρτήσεις ενός ερμιτιανού τελεστή είναι ορθογώνιες μεταξύ τους. Θεωρούμε ερμιτιανό τελεστή Â και έστω ψ 1, ψ δύο τυχούσες ιδιοσυναρτήσεις του. Εξ ορισμού θα ικανοποιούν την εξίσωση ιδιοτιμών: Aψ 1 = a 1 ψ 1 Aψ = a ψ Επιπλέον εφόσον ο Â είναι ερμιτιανός θα ικανοποιεί την εξίσωση ερμιτιανότητας: ψ Aϕdx = Aψ ϕdx Για ψ = ψ 1, ϕ = ψ, η παραπάνω σχέση γίνεται: ψ 1Aψ dx = Aψ 1 ψ dx ψ 1a ψ dx = a 1 ψ 1 ψ dx a ψ 1ψ dx = a 1 ψ 1ψ dx a 1 a ψ 1ψ dx = 0 Εφόσον οι ιδιοτιμές είναι μοναδικές, έπεται ότι θα είναι: ψ 1ψ dx = 0 ψ 1 ψ Άσκηση 6 Να δειχτεί ότι δύο τελεστές αντιμετατίθενται όταν ο μεταθέτης τους είναι μηδέν. Aψ = a ψ BAψ = Ba ψ = a Bψ = a b ψ Bψ m = b m ψ m ABψ m = Ab m ψ m = b m Aψ m = b a ψ 33
Άσκηση 6 Να δειχτεί ότι για τους τελεστές Â, ˆB είναι: [A, B ] = B 1 [A, B], όταν ο ˆB μετατίθεται με τον μετάθετη των Â, ˆB, δηλαδή όταν ισχύει η σχέση: [B, [A, B]] = 0. Θα χρησιμοποιήσω επαγωγή πάνω στο. Για = 1, η σχέση γίνεται: [A, B 1 ] = 1 B 1 1 [A, B] που ισχύει. Έστω ότι ισχύει η σχέση για k =, δηλαδή έστω ότι ισχύει: [A, B k ] = kb k 1 [A, B]. Θα δείξω ότι ισχύει και για k + 1, δηλαδή ότι ισχύει: [A, B k ] = kb k 1 [A, B] [A, B k+1 ] = k + 1B k [A, B]. [A, B k ] = kb k 1 [A, B] B[A, B k ] = B kb k 1 [A, B] B[A, B k ] = kbb k 1 [A, B] B[A, B k ] = kb k [A, B] B[A, B k ] + B k [A, B] = kb k [A, B] + B k [A, B] B[A, B k ] + B k [A, B] = k + 1B k [A, B] B[A, B k ] + [A, B]B k = k + 1B k [A, B] [A, B]B k + B[A, B k ] = k + 1B k [A, B] [A, BB k ] = k + 1B k [A, B] [A, B k+1 ] = k + 1B k [A, B] Ο.ε.δ. Σημείωση: B k [A, B] = B k 1 B[A, B] = B k 1 [A, B]B =... = [A, B]B k Άσκηση 7 Δίνεται ο τελεστής Â = d /dx x και η συνάρτηση ψx = e x /. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές του. Αρκεί να λύσουμε την εξίσωση ιδιοτιμών του τελεστή: Aψ = aψ: d /dx x e x / = ae x / 34
Είναι: ψ x = e x / = e x / x / = xψx ψ x = ψ x = xψx = ψx xψ x = ψx x xψx = ψxx 1 Οπότε η εξίσωση ιδιοτιμών γίνεται: ψxx 1 x ψx = aψx 1 = a Άσκηση 7 Για t = 0 είναι ψr, 0 = 1 10 ψ100 + ψ 10 + ψ 11 + 3ψ 1 1. α Να βρεθεί η μέση τιμή της ενέργειας E συναρτήσει της ενέργειας της βασικής κατάστασης β Να γραφεί η χρονοεξαρτώμενη ψr, t γ Την πιθανότητα το σύστημα να είναι στην κατάσταση l = 1, m = 1 συναρτήσει του χρόνου. δ Υποθέστε ότι γίνεται μια μέτρηση όπου L = 1, L z = 1. Περιγράψτε την κυματοσυνάρτηση αμέσως μετά μια τέτοια μέτρηση με βάση τα ψ l m hit: χρησιμοποιήστε τα L + και L. α Η μέση τιμή της ενέργειας Ε είναι: E = c E = 1 3 E 1 + E + E + E 10 10 10 10 = 4 10 E 1 + 6 10 E Είναι όμως E = E 1 /4, E 1 = 13.6, επομένως: E = 40 E 1 β Η χρονοεξαρτώμενη ψr, t γράφεται ως εξής: ψr, t = γ Για l = 1, m = 1 το σύστημα περιγράφεται από την ψ 11, οπότε η πιθανότητα είναι: ψ 11 = c 11 = 1 5 δ L + 1 =, L z = 1 ψr, 0 = 1 ψ 10 + ψ 11 + 3ψ 1 1 10 35
Άσκηση 7 Να δειχθεί ότι [L, L x ] = 0. Θα χρησιμοποιήσουμε τις εξής απλές ιδιότητες των μεταθετών: [A + B + C, D] = [A, D] + [B, D] + [C, D], [A, B] = [B, A] και [A, BC] = [A, B]C + B[A, C] η άσκηση μπορεί να λυθεί και πιο σύντομα εάν χρησιμοποιήσουμε περισσότερες ιδιότητες. Επί τω έργω. Είναι L = L x + L y + L z. Άρα: Είναι: [L, L x ] = [L x + L y + L z, L x ] = [L x, L x ] + [L y, L x ] + [L z, L x ] [L x, L x ] = [L x, L x] = [L x, Lx L x ] = [L x, L x ]L x L x [L x, L x ] = 0 [L y, L x ] = [L x, L y] = [L x, L y L y ] = [L x, L y ]L y L y [L x, L y ] Γνωρίζουμε ωστόσο ότι [L x, L y ] = ihl z. Οπότε: Ομοίως είναι: [L y, L x ] = ihl z L y L y ihl z = ihl z L y + L y L z [L z, L x ] = [L x, L z] = [L x, L z L z ] = [L x, L z ]L z L z [L x, L z ] Από τη γνωστή σχέση [L x, L y ] = ihl z μπορούμε με κυκλική μετάθεση να πάρουμε τις αντίστοιχες εκφράσεις για τους υπόλοιπους μεταθέτες. Π.χ. x y, y z, z x. Άρα: Επομένως: [L z, L x ] = ihl y [L x, L z ] = ihl y [L z, L x ] = ihl y L z L z ihl y = 36