ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών σελίδα 9 σχολικού βιβλίου η απόδειξη του θεωρήματος Α. Ορισμός σελίδα 88 σχολικού βιβλίου Α. Ορισμός σελίδα 59 σχολικού βιβλίου Α. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β. 6 Άρα ο γ. τ. των εικόνων των μιγαδικών είναι ο κύκλος κέντρου Ο(,) κι ακτίνας ρ= Β. α. Για τους μιγαδικούς, ισχύει =, = άρα ισοδύναμα ισχύει: και Είναι w w, άρα w R β. Θέλω να δείξω ότι wr w w. Πράγματι: w ( ) τριγωνική ανισότητα Άρα w. []
Β. Αν w τότε Άρα: : (AB) (BΓ) i ( i) i i 5 (ΓΑ) i ( i) i 5 Άρα (ΒΓ)=(ΓΑ)= 5, άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. ΘΕΜΑ Γ Συνάρτηση f(), R Γ. Η f είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη (άρα και συνεχής) στο R με Αφού R ( ) () f'(), R ( ) ισχύει,, όπου f'() f' f + + Η f είναι γνήσια αύξουσα στο R Η f είναι συνεχής και στο R, άρα έχει σύνολο τιμών το f(r) lim f(), lim f(), lim f() lim lim lim, lim lim, άρα lim Αφού lim f() lim lim D.L.H D.L.H lim lim []
Γ. Εξίσωση f, R 5 f αφού f f f() f() Ο πραγματικός αριθμός ανήκει στο σύνολο τιμών f(r)=, της f, και αφού f -, υπάρχει μοναδική ρίζα στο R για την εξίσωση Γ. Για κάθε > θα δείξω ότι ισχύει f(t)dt f() f(t)dt f(t)dt f() f(t)dt f(t)dt f() f() Θεωρώ τη συνάρτηση K() f(t)dt, (, ) Αφού η συνάρτηση f(t) είναι συνεχής στο, ισχύει ότι η συνάρτηση Κ() είναι παραγωγίσιμη στο, με Κ () = f(). ισχύει < < <, άρα ορίζεται το διάστημα [, ] στο οποίο η συνάρτηση Κ() είναι παραγωγίσιμη (άρα και συνεχής), άρα από Θ.Μ.Τ υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,) ώστε K() K() K'(ξ) f(t)dt f(t)dt f(t)dt f(ξ) f(ξ) Αφού f ξ f(ξ) f() f(t)dt f() f(t)dt f() []
Γ. f(t)dt K() K() g(),, K() K() Για κάθε (, ) είναι g() άρα g() είναι παραγωγίσιμη στο, ως πράξεις μεταξύ των παραγωγίσιμων συναρτήσεων Κ(), K() (σύνθεση των παραγωγίσιμων, K() και, K()) και. Ισχύει K '() K '() K() K() g'() f() f() f(t)dt f() f() f() f(t)dt f() f(t)dt f( f(), (, ) Επειδή ισχύει και f f() f() κι από Γ. έχουμε f() f() f() f(), f() f(t)dt Είναι f συνεχής K() K() lim g() lim D.L.H K '() K '() lim lim f() f() f() f() g() άρα η g είναι συνεχής στο o = Κ(), K() είναι συνεχείς συναρτήσεις (ως παραγωγίσιμες) άρα lim K() K() f(t)dt lim K() K() f(t)dt άρα lim(k() K()) K() K() Η g είναι συνεχής στο o = και g συνεχής στο άρα g συνεχής στο, κι αφού g'(),, ως παραγωγίσιμη,, (, ) ισχύει g στο []
ΘΕΜΑ. f() f() R ισχύει f'() f'() f() f() f '() f '() f() f() ' ' f() f() c, f() f() Όπου για = είναι c c c f() f() Άρα, R f() f() f() f() f() f(), R () f() Θεωρώ τη συνάρτηση g(), R Λόγω της () ισχύει g(), R Άρα g(), R κι αφού η g() είναι συνεχής στο R ως πράξεις μεταξύ των συνεχών (πολυωνυμική), (εκθετική) και f() (ως παραγωγίσιμη) ισχύει ότι η g() διατηρεί στο R σταθερό πρόσημο. Αφού επιπλέον είναι f() o g(), ισχύει g(), R Άρα από g () g() f() f() f() ln( ), R. α. f'(), R άρα f στο R. f''() ', R όπου, R f''() και f ''() [5]
f '' f + Σ.Κ f()= Η f είναι κυρτή στο διάστημα,. Το μοναδικό Σ.Κ. της C f είναι το σημείο Ο(,) επειδή μόνο στο σημείο αυτό αλλάζει η κυρτότητα της f και υπάρχει η αντίστοιχη εφαπτομένη της C f, αφού f παραγωγίσιμη στο R. β. Οι συναρτήσεις f() και g()= είναι συνεχείς στο R (ως παραγωγίσιμη και πολυωνυμική αντίστοιχα) Η συνάρτηση () f() g() f() είναι παραγωγίσιμη στο R (άρα και συνεχής) και '() f '(), R όπου '() Άρα στο R, άρα () () Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι E () d f() d d f()d f() f() ln d ' ln d ln d ln ln ln τ.μ. α τρόπος L lim ln f() lim ln f() Η συνάρτηση f (t) είναι συνεχής στο R άρα η συνάρτηση h() είναι παραγωγίσιμη στο R με h'() f (), άρα είναι και συνεχής στο R, άρα lim h() h(). Άρα lim lim f () f () D.L.H [6]
f'() ln f() f() f'() lim ln f() lim lim lim D.L.H f() f'() f '() f '() lim lim, επειδή f() f() f'() f() f() f() f'() lim lim αφού f'(), R άρα f'() f συνεχής στο R (ως παραγωγίσιμη) άρα lim f '() f '() f (t)dt L lim ln f() Άρα β τρόπος f (t)dt L lim ln f() lim ln f() u u L lim lim lim u D.L.Hu u L lim f ( ) ; (t)dt ln f() lim D.L.H f () ln f() f () lim f'() f() f'() lim αφού lim f '() lim f '() f'συνεχής [7]
και lim f () D.L.H f () lim f () f'() f () f'() lim ' Άρα L LL. Θεωρώ τη συνάρτηση H() ( ) f(t )dt 8 f (t)dt, όπου, Η συνάρτηση f(t) είναι συνεχής στο R, άρα και οι συναρτήσεις f (t) και f(t ) είναι συνεχής στο R (σύνθεση των συνεχών f(t), t και t, f(t) αντίστοιχα), άρα οι συναρτήσεις f(t )dt και είναι παραγωγίσιμες στο R, άρα και συνεχείς στο R. Επίσης οι συναρτήσεις -, - είναι συνεχείς στο R ως πολυωνυμικές άρα και η συνάρτηση Η() είναι συνεχής στο R, ως πράξεις συνεχών. H() f (t)dt 8 H() f(t )dt t, έχω από (.β) ότι f(t) t κι αφού f στο R με f()= ισχύει f(t), t άρα είναι f(t) t, t, f (t) t άρα t f (t), t, όπου η συνάρτηση t f (t) είναι συνεχής στο [,] χωρίς να είναι σε όλο το [,] (για t= είναι f () ln, άρα t 8 t f (t) dt t dt 8 H() Για κάθε t ισχύει f(t) t. Θέτω όπου t το t άρα ισχύει f(t ) t, t [8]
Επομένως t [,] η συνάρτηση t f(t ) είναι συνεχής (ως πράξεις συνεχών) και t f(t ), χωρίς να είναι σε όλο το [,], f() ln( ). Άρα ισχύει t f(t ) dt f(t )dt t dt t f(t )dt f(t )dt f(t )dt H() f(t )dt Επομένως H() H(), άρα από Θεώρημα Bolano υπάρχει στο διάστημα (,) τουλάχιστον μια ρίζα για την εξίσωση H() f(t )dt 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΜΑΡΚΑΤΟΣ ΙΟΝΥΣΗΣ ΜΑΣΤΟΡΑΚΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ [9]