11. Εισαγωγή στις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων

11. Εισαγωγή στις Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων Χειμερινό εξάμηνο 2016 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros 1

2 Θέματα Εισαγωγή Διατύπωση ΜΠΣ Βάσει Μετακινήσεων Γενική διατύπωση εξισώσεων ΠΣ Διατύπωση ΜΠΣ για δυναμική ανάλυση Υπολογισμός αγνώστων μεγεθών Τοπικά και απόλυτα συστήματα συντεταγμένων Μητρώα παρεμβολής με γενικευμένες συντεταγμένες Διατύπωση ισοπαραμετρικών ΠΣ Γραμμικά Μέλη Επιφανειακά και χωρικά στοιχεία Βασικά είδη ΠΣ ΠΣ επίπεδης παραμόρφωσης και επίπεδης έντασης Πλάκες Κελύφη Διακριτοποίηση σε ΠΣ

Εισαγωγή Κάνοντας συγκεκριμένες παραδοχές και απλοποιήσεις, ένα φυσικό πρόβλημα υπολογιστικής μηχανικής μπορεί να προσομοιωθεί με ένα κατάλληλο μαθηματικό μοντέλο, το οποίο μπορεί να επιλυθεί αριθμητικά με Μεθόδους Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ). Τα αποτελέσματα από την ανάλυση με χρήση ΠΣ πρέπει πάντα να αξιολογούνται και να ερμηνεύονται ώστε να διαπιστώνεται αν παρέχουν ικανοποιητική για το συγκεκριμένο πρόβλημα ακρίβεια. Συχνά, απαιτείται τροποποίηση της επίλυσης με χρήση ΠΣ, τροποποιώντας το μαθηματικό μοντέλο ή επαναδιατυπώνοντας το φυσικό πρόβλημα, ώστε να επιτυγχάνεται η απαιτούμενη ακρίβεια των αποτελεσμάτων με τις ελάχιστες δυνατές υπολογιστικές απαιτήσεις και κόστος. 3

Οι ΜΠΣ μπορούν να χρησιμοποιηθούν για προσεγγιστικές επιλύσεις προβλημάτων ενός μεγάλου φάσματος εφαρμογών μηχανικής, τα οποία συνήθως δεν έχουν αναλυτικές λύσεις. Η διαδικασία διατύπωσης των ΜΠΣ βάσει της ΑΔΕ είναι όμοια με τη μέθοδο άμεσης δυσκαμψίας για κατασκευές από γραμμικά μέλη. Η μέθοδος άμεσης δυσκαμψίας για γραμμικά μέλη, όπως ράβδους και δοκούς, μπορεί ουσιαστικά να θεωρηθεί σαν μια ειδική περίπτωση των ΜΠΣ όπου είναι γνωστή η ακριβής μορφή παραμόρφωσης του μέλους και μπορεί να σχηματιστεί το ακριβές μητρώο δυσκαμψίας του κάθε μέλους, κάνοντας συχνά κάποιες απλοποιητικές παραδοχές. Όπως έχουμε δει, μπορούμε να εκφράσουμε τα εντατικά μεγέθη ενός μονοδιάστατου, ραβδωτού, στοιχείου συναρτήσει των μετακινήσεων των κόμβων του. 4

Σε αυτές τις περιπτώσεις γενικά πρέπει να γίνουν κάποιες παραδοχές για τις μεταβολές των μετακινήσεων μέσα στο κάθε στοιχείο για να μπορέσει να σχηματιστεί το αντίστοιχο προσεγγιστικό μητρώο δυσκαμψίας του μέλους βάσει της ΜΠΣ. Όμως κάτι τέτοιο είναι αδύνατο για επιφανειακά και τρισδιάστατα στοιχεί αφού δεν υπάρχουν οι σχετικές λύσεις των αντίστοιχων Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (ΜΔΕ). Στις περιπτώσεις επιφανειακών και χωρικών στοιχείων μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι ΜΠΣ με τις οποίες ένα συνεχές μέσο διαχωρίζεται σε ΠΣ. Θεωρώντας συγκεκριμένη μεταβολή των μετακινήσεων σε κάθε πεπερασμένο στοιχείο επιτρέπει την επίλυση του προβλήματος βάσει ενός συστήματος αλγεβρικών εξισώσεων αντί ΜΔΕ. 5

Διατύπωση ΜΠΣ Βάσει Μετακινήσεων Η διατύπωση MΠΣ βάσει των μετακινήσεων είναι αντίστοιχη της μεθόδου των μετακινήσεων για γραμμικούς φορείς και τα κύρια βήματα της διαδικασίας, τα οποία είναι κοινά, είναι τα ακόλουθα: Μοντελοποίηση της κατασκευής από αριθμό στοιχείων τα οποία συνδέονται με κοινούς κόμβους, οι οποίοι έχουν συγκεκριμένους ΒΕ, ανάλογα με τον τύπο του προβλήματος και το είδος του στοιχείου. Καθορισμός των άγνωστων μετακινήσεων που αντιστοιχούν στους ΒΕ των κόμβων της κατασκευής. Σχηματισμός των μητρώων δυσκαμψίας όλων των μελών, τα οποία συνδέουν τις μετακινήσεις των κόμβων του κάθε μέλους με τα αντίστοιχα εντατικά μεγέθη. 6

Βάσει των κατάλληλα μετασχηματισμένων μητρώων δυσκαμψίας των μελών, κατάστρωση εξισώσεων ισορροπίας που αντιστοιχούν στους άγνωστους ΒΕ και σχηματισμός του μητρώου δυσκαμψίας της κατασκευής. Επίλυση των εξισώσεων ισορροπίας και υπολογισμός των αντίστοιχων μετακινήσεων των ΒΕ. Υπολογισμός των εσωτερικών εντατικών μεγεθών ή τάσεων στο κάθε μέλος βάσει των γνωστών μετακινήσεων των κόμβων. Υπολογισμός των αντιδράσεων στους δεσμευμένους ΒΕ. Ερμηνεία των αποτελεσμάτων που έχουν υπολογιστεί. 7

ΜΠΣ Βάσει Μετακινήσεων Το συνολικό μητρώο δυσκαμψίας, της κατασκευής σχηματίζεται με τη μέθοδο άμεσης δυσκαμψίας βάσει των κατάλληλα μετασχηματισμένων μητρώων δυσκαμψίας των επιμέρους μελών. Για την προσομοίωση γραμμικών μελών, δηλαδή ράβδων και δοκών, μπορεί να υπολογιστεί ακριβώς η σχέση εντατικών μεγεθών και μετακινήσεων στα άκρα, βάσει των διαφορικών εξισώσεων του ραβδωτού μέλους. Αντιθέτως, για γενικές αναλύσεις με ΠΣ, όπως δισδιάστατα και τρισδιάστατα στοιχεία, χρησιμοποιούνται προσεγγιστικές συναρτήσεις για τις μετακινήσεις και έτσι οι εξισώσεις ισορροπίας δεν ικανοποιούνται γενικά σε οποιοδήποτε σημείο του στοιχείου. 8

Η αδυναμία ευρέσεως ακριβής λύσης οφείλεται στις απαραίτητες παραδοχές που γίνονται για τις μετακινήσεις σημείων στο εσωτερικό των στοιχείων και τη χρήση προσεγγιστικών μητρώων δυσκαμψίας. Το σφάλμα λόγω αυτής της παραδοχής μειώνεται με την πύκνωση της διακριτοποίησης των πεπερασμένων στοιχείων. Η μεθοδολογία της ΜΠΣ βάσει των μετακινήσεων μπορεί να χρησιμοποιηθεί με τον ίδιο ακριβώς τρόπο για ισοστατικούς όσο και για υπερστατικούς φορείς. Επίσης, μπορεί να χρησιμοποιηθεί τόσο για στατική όσο και δυναμική ανάλυση ανάλογα με το αν προκύπτουν ή όχι σημαντικές αδρανειακές δυνάμεις. Τα αποτελέσματα της ανάλυσης έχουν ικανοποιητική ακρίβεια για συγκεκριμένα ζητούμενα εάν το κατάλληλο μοντέλο και διακριτοποίηση χρησιμοποιηθούν. 9

Γενική διατύπωση εξισώσεων ΠΣ Ένα τρισδιάστατο σώμα στη γενική περίπτωση έχει μια περιοχή με δεδομένες μετακινήσεις, δηλαδή δεσμευμένους ΒΕ και υπόκειται σε επιφανειακές φορτίσεις, φορτία σώματος οι οποίες είναι φορτίσεις ανά μονάδα όγκου και συγκεντρωμένα φορτία σε οποιοδήποτε σημείο και συνεπώς οποιοδήποτε αντίστοιχο ΒΕ. 10

Στη γενικότερη περίπτωση, έχουμε τα εξής εξωτερικά επιβαλλόμενα φορτία με τρεις συνιστώσες στο χώρο: φορτία σώματος φορτία επιφάνειας συγκεντρωμένα φορτία Τα συγκεντρωμένα φορτία είναι ουσιαστικά φορτία επιφανείας ασκούμενα σε πάρα πολύ μικρές επιφάνειες, τις οποίες μπορούμε να θεωρήσουμε σημειακές. Ουσιαστικά δεν υπάρχουν πραγματικά συγκεντρωμένα φορτία, αλλά είναι μια άλλη απλοποιητική εξιδανίκευση. 11

Για την επιφάνεια του σώματος ισχύει: όπου είναι η ελεύθερη επιφάνεια, στην οποία μπορούν να εφαρμοστούν επιφανειακά φορτία, και η επιφάνεια με δεσμευμένους τους ΒΕ, δηλαδή στις στηρίξεις. Είναι πρακτικά αδύνατο να έχουμε μια επιφάνεια όπου στο ίδιο σημείο και διεύθυνση, δηλαδή στον ίδιο ΒΕ, ασκούνται ταυτοχρόνως επιφανειακά φορτία και αντιδράσεις λόγω δεσμευμένων ΒΕ. Έτσι στους δεσμευμένους ΒΕ έχουμε άγνωστες τις δυνάμεις: 12

Θεωρώντας ότι η κατασκευή έχει γραμμική ελαστική συμπεριφορά, οι μετακινήσεις της μετρούνται από την αρχική αφόρτιστη θέση και γεωμετρία της κατασκευής βάσει ενός συστήματος συντεταγμένων ΧΥΖ: Οι αντίστοιχες παραμορφώσεις είναι: 13

Οι ορθές παραμορφώσεις ορίζονται ως εξής: ενώ οι διατμητικές παραμορφώσεις: Οι αντίστοιχες τάσεις δίδονται από τη σχέση τάσεων- παραμορφώσεων: Το διάνυσμα των τάσεων, περιέχει τυχόν τάσεις που προϋπάρχουν πριν από την εφαρμογή των φορτίων. 14

Το μητρώο τάσεων παραμορφώσεων, εκφράζει τον καταστατικό νόμο του υλικού. Στη γενική περίπτωση ενός τρισδιάστατου σώματος έχει την πιο κάτω μορφή: 15

Έχοντας τη γεωμετρία μιας κατασκευής, τον καταστατικό νόμο του υλικού τις αρχικές τάσεις και τις δεσμευμένες μετακινήσεις σε κάποια σημεία στήριξης του σώματος, ζητούμενο της ανάλυσης είναι ο υπολογισμός των άγνωστων μετακινήσεων και οι αντίστοιχες παραμορφώσεις ε και τάσεις τ σε κάθε απειροστό στοιχείο, και της κατασκευής. 16

Βάσει της ΑΔΕ αν σε ένα σώμα που βρίσκεται σε ισορροπία επιβληθούν οποιεσδήποτε, συμβατές με τις στηρίξεις, μικρές δυνατές μετακινήσεις το συνολικό εσωτερικό δυνατό έργο ισούται με το συνολικό εξωτερικό δυνατό έργο: όπου και είναι οι δυνατές μετακινήσεις και οι αντίστοιχες δυνατές παραμορφώσεις. 17

Οι τάσεις, είναι με ακρίβεια οι πραγματικές τάσεις που ισορροπούν τα εξωτερικά επιβαλλόμενα φορτία μόνο εφόσον η πιο πάνω εξίσωση ισχύει για οποιεσδήποτε αυθαίρετες δυνατές μετακινήσεις οι οποίες είναι συνεχείς και μηδενικές στα σημεία και διευθύνσεις που είναι δεδομένες οι μετακινήσεις, δηλαδή των δεσμευμένων ΒΕ. Οι δυνατές παραμορφώσεις, υπολογίζονται από παραγώγιση των δυνατών μετακινήσεων, για αυτό το λόγο πρέπει να είναι συνεχείς οι μετακινήσεις. Όλες οι ολοκληρώσεις γίνονται με βάση την αρχική και απαραμόρφωτη γεωμετρία του φορέα θεωρώντας ότι τόσο οι πραγματικές όσο και οι δυνατές μετακινήσεις είναι πολύ μικρές ώστε να είναι επιτρεπτή η γραμμική ελαστική ανάλυση. 18

Η ακριβής λύση, πρέπει απαραίτητα να ικανοποιεί: τις εξισώσεις ισορροπίας τη συμβιβαστότητα των παραμορφώσεων τον καταστατικό νόμο του υλικού (δηλαδή τη σχέση τάσεων-παραμορφώσεων) 19

Για να είναι σωστή μια λύση η ισορροπία πρέπει να ικανοποιείται σε όλο το σώμα, σε οποιοδήποτε τμήμα του αλλά και σε οποιοδήποτε απειροστό στοιχείο. Οι εξισώσεις ισορροπίας σε ένα απειροστό στοιχείο μπορούν να σχηματιστούν από απλή ισορροπία δυνάμεων στην κάθε διεύθυνση. 20

Εφαρμόζοντας ισορροπία δυνάμεων στη Χ-διεύθυνση βάσει των τάσεων σε αυτή τη διεύθυνση και των αντίστοιχων επιφανειών όπου ασκούνται, μπορούμε να προσδιορίσουμε την ακριβή εξίσωση ισορροπίας. 21

Παρομοίως προκύπτουν και οι υπόλοιπες εξισώσεις ισορροπίας: Αυτές οι σχέσεις μπορούν να γραφτούν σε συμπυκνωμένη μορφή χρησιμοποιώντας τένσορες: Στις ΜΠΣ οι πιο πάνω ακριβείς εξισώσεις ισορροπίας ικανοποιούνται μόνο στο επίπεδο του κάθε πεπερασμένου στοιχείου, εκτός εάν θεωρητικά το μέγεθος του κάθε πεπερασμένου στοιχείου είχε τις διαστάσεις ενός απειροστού στοιχείου, το οποίο είναι αδύνατο. 23

Στις ΜΠΣ, το σώμα διακριτοποιείται σε πεπερασμένα στοιχεία (ΠΣ) τα οποία είναι συνδεδεμένα μεταξύ τους στους κόμβους που ορίζονται στα όρια του κάθε ΠΣ. Οι μετακινήσεις σε κάθε ΠΣ εκφράζονται βάσει του τοπικού συστήματος συντεταγμένων του κάθε στοιχείου, κάνοντας την παραδοχή ότι μπορούν να εκφραστούν συναρτήσει όλων των ΒΕ, δηλαδή των μετακινήσεων όλων των κόμβων στις τρεις διευθύνσεις στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων στην περίπτωση του γενικού χωρικού στοιχείου: 24

Οι ΜΠΣ στηρίζονται στην παραδοχή ότι οι μετακινήσεις στο εσωτερικό ενός ΠΣ μπορούν να εκφραστούν συναρτήσει των μετακινήσεων των κόμβων στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων και του μητρώου παρεμβολής των μετακινήσεων, το οποίο έχει πολλά μηδενικά στοιχεία. 25

Το μητρώο παρεμβολής έχει μηδενικά όλα τα στοιχεία του εκτός αυτά που αντιστοιχούν στους ΒΕ των κόμβων του στοιχείου. Δηλαδή για ένα χωρικό ΠΣ με 8 κόμβους μόνο 24=8x3 στοιχεία μπορεί να μην είναι μηδενικά. Συνεπώς, οι μετακινήσεις ενός σημείου στο εσωτερικό ενός στοιχείου εξαρτώνται μόνο από τις μετακινήσεις των κόμβων του στοιχείου. Κάθε ΠΣ έχει το δικό του τοπικό σύστημα συντεταγμένων, με το οποίο εκφράζονται οι μετακινήσεις στο εσωτερικό του: 26

Είναι απαραίτητο οι μετακινήσεις σημείων που βρίσκονται είτε σε κοινή επιφάνεια είτε σε γραμμή μεταξύ των ορίων δύο στοιχείων να είναι ίσες ανεξάρτητα από ποιο από τα δύο ΠΣ χρησιμοποιείται για να προσδιοριστούν οι μετακινήσεις. 27

Τότε αν πρόκειται για ΠΣ επίπεδης έντασης ή επίπεδης παραμόρφωσης οι τάσεις και παραμορφώσεις, είναι και στις δύο περιπτώσεις οι εξής : 30

Αντικαθιστώντας τις σχέσεις αυτές στην ΑΔΕ: 34

Σε μητρωική μορφή οι εξισώσεις ισορροπίας παίρνουν τη γνωστή μορφή: όπου: 36

Η διαδικασία σχηματισμού του συνολικού μητρώου δυσκαμψίας της κατασκευής από τα μητρώα δυσκαμψίας των επιμέρους στοιχείων γίνεται με τη Μέθοδο Άμεσης Δυσκαμψίας. Στην πράξη μόνο τα μη μηδενικά στοιχεία του μητρώου δυσκαμψίας του κάθε στοιχείου, το οποίο είναι και συμμετρικό, προσδιορίζονται, και λαμβάνοντας υπόψη τους σχετικούς ΒΕ, προστίθενται στις αντίστοιχες θέσεις του συνολικού μητρώου δυσκαμψίας της κατασκευής για να αποφευχθεί περιττή χρήση της διαθέσιμης μνήμης του Η/Υ. 37

Μπορούν έτσι να υπολογιστούν οι άγνωστες μετακινήσεις των ενεργών ΒΕ: 39

Έχοντας υπολογίσει τις άγνωστες μετακινήσεις, στη συνέχεια μπορούν να προσδιοριστούν οι άγνωστες αντιδράσεις των δεσμευμένων ΒΕ, από τη σχέση: 40

Διατύπωση ΜΠΣ για Δυναμική Ανάλυση Αν τα φορτία ασκηθούν με τέτοιο μέγεθος και ρυθμό σε σχέση με τις ιδιοσυχνότητες του φορέα, αναπτύσσονται μη αμελητέες αδρανειακές δυνάμεις, οι οποίες πρέπει να συμπεριληφθούν στα πλαίσια δυναμικής, αντί στατικής, ανάλυσης. Χρησιμοποιώντας την Αρχή του D Alembert, μπορούν να συμπεριληφθούν οι αδρανειακές δυνάμεις σαν φορτία σώματος, θεωρώντας ότι για τις επιταχύνσεις των στοιχείων μπορεί να χρησιμοποιηθούν τα ίδια μητρώα παρεμβολής: 42

Έτσι, οι συνολικές δυνάμεις σώματος του στοιχείου m ισούνται με: Το ολοκλήρωμα στον 2 ο όρο ισούται με το μητρώο μάζας M. Έτσι το μητρώο μάζας του σώματος σχηματίζεται από το άθροισμα των επιμέρους μητρώων μάζας των ΠΣ: 43

Με αυτό τον τρόπο σχηματίζεται το σύμμορφο μητρώο μάζας (consistent mass matrix), αφού χρησιμοποιούνται οι ίδιες συναρτήσεις παρεμβολής που χρησιμοποιούνται για τον σχηματισμό του μητρώου δυσκαμψίας. Συχνά στην πράξη, αντί του σύμμορφου μητρώου μάζας, χρησιμοποιείται μητρώο με συγκεντρωμένες μάζες (lumped mass matrix), όπου απλά κατανέμεται η μάζα του στοιχείου στους κόμβους του. 44

Στην πραγματικότητα, όταν έχουμε δυναμική απόκριση υπάρχει απόσβεση ενέργειας, την οποία μπορούμε να λάβουμε υπόψη με κατάλληλες δυνάμεις απόσβεσης οι οποίες μπορούμε να θεωρήσουμε ότι εξαρτώνται από την ταχύτητα. Έτσι, οι δυνάμεις σώματος διαμορφώνονται ως εξής: Έτσι ορίζεται το μητρώο απόσβεσης : Στην πράξη όμως το μητρώο απόσβεσης C, υπολογίζεται έμμεσα συναρτήσει του μητρώου μάζας M και δυσκαμψίας K ολόκληρης της κατασκευής (Rayleigh damping). 45

Οι εξισώσεις δυναμικής ισορροπίας παίρνουν πλέον τη γνωστή μορφή: Κατά τη δυναμική ανάλυση λαμβάνονται υπόψη μόνο οι δυναμικοί ΒΕ αφού αφαιρεθούν με κατάλληλη στατική συμπύκνωση οι υπόλοιποι ΒΕ, οι οποίοι δεν υπάρχει λόγος να ληφθούν υπόψη κατά τη δυναμική ανάλυση. 46

Υπολογισμός αγνώστων μεγεθών Στη γενική περίπτωση ανάλυσης με ΠΣ, αφού προσδιοριστεί το μητρώο δυσκαμψίας Κ καθώς και τα μητρώα μάζας M και απόσβεσης C αν πρόκειται για δυναμική ανάλυση, επιλύνεται το σύστημα εξισώσεων ισορροπίας για να υπολογιστούν οι άγνωστες μετακινήσεις των αδέσμευτων ΒΕ από τα εξωτερικά επιβαλλόμενα φορτία. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις τάσεων-παραμορφώσεων και παραμορφώσεων-μετακινήσεων μπορούν να υπολογιστούν οι τάσεις: Μια λύση με ΠΣ ικανοποιεί τις εξισώσεις ισορροπίας των κόμβων στο επίπεδο, των στοιχείων και όλης της κατασκευής λαμβάνοντας υπόψη τις σχετικές ΜΔΕ ισορροπίας και τις συνοριακές συνθήκες: 47

Οι εξισώσεις ισορροπίας δεν ικανοποιούνται με την λύση που παρέχει η ανάλυση με ΠΣ στο επίπεδο ενός απειροστού στοιχείου (απειροστών διαστάσεων), αφού αντί να ληφθούν οι εξισώσεις σε απειροστό επίπεδο μετασχηματίζονται σε επίπεδο στοιχείων με πεπερασμένο αριθμό ΒΕ στους κόμβους όπου και επιλύονται. Αυτό φαίνεται από τις ασυνέχειες των τάσεων μεταξύ στοιχείων και τις μη μηδενικές τάσεις σε επιφάνειες που δεν υπάρχουν αντίστοιχα επιφανειακά φορτία. Καθώς πυκνώνει η διακριτοποίηση ΠΣ αυτές οι ασυνέχειες μειώνονται σημαντικά, γεγονός το οποίο είναι μια ένδειξη σύγκλισης της ανάλυσης. 48

Η ανάλυση με ΠΣ διασφαλίζει την ισορροπία σε κάθε κόμβο και κάθε στοιχείο καθώς και σε ολόκληρο το σώμα. 49

Τοπικά και απόλυτα συστήματα συντεταγμένων Τα περισσότερα στοιχεία των μητρώων τα οποία σχηματίζονται και χρησιμοποιούνται για το κάθε στοιχείο m είναι μηδενικά. Οι εξισώσεις ισορροπίας του σώματος του προκύπτουν είναι συναρτήσει των ΒΕ των κόμβων βάσει του απόλυτου συστήματος συντεταγμένων. Όμως είναι ευκολότερο τα μητρώα που αφορούν τα στοιχεία να σχηματίζονται χρησιμοποιώντας κατάλληλα τοπικά συστήματα xyz συντεταγμένων και μόνο τους σχετικούς ΒΕ που αντιστοιχούν στις μετακινήσεις των κόμβων των στοιχείων. 50

Συνεπώς, μπορούν να υπολογιστούν τα μητρώα δυσκαμψίας, μάζας και ισοδύναμων επικόμβιων φορτίων βάσει του τοπικού συστήματος συντεταγμένων: 51

Μετασχηματισμός από το τοπικό σύστημα στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και στο χώρο. 52

Mητρώo μετασχηματισμού Η παρεμβολή των μετακινήσεων ενός στοιχείου διαμορφώνεται σαν: 53

Έτσι, υπολογίζοντας τα μητρώα στα τοπικά συστήματα των στοιχείων μπορούν να μετασχηματιστούν κατάλληλα στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων: Αφού τα μητρώα κατασκευαστούν βάσει του τοπικού συστήματος συντεταγμένων, στη συνέχεια μετασχηματίζονται στο απόλυτο σύστημα συντεταγμένων. Ακολούθως, βάσει της συνδεσμολογίας των στοιχείων και της αντιστοιχίας τοπικών και απόλυτων ΒΕ σχηματίζονται τα συνολικά μητρώα της κατασκευής με τη μέθοδο άμεσης δυσκαμψίας. 54

Το συνολικό μητρώο δυσκαμψίας προκύπτει, αφού το θέσουμε αρχικά να έχει όλα τα στοιχεία του μηδενικά προσθέτουμε διαδοχικά τα στοιχεία δυσκαμψίας των αντίστοιχων ΒΕ του κάθε στοιχείου. Το σχηματιζόμενο μητρώο δυσκαμψίας είναι ιδιάζων και μόνο με την εφαρμογή των συνοριακών συνθηκών μετακινήσεων μπορεί να επιλυθεί το σύστημα εξισώσεων που προκύπτει το οποίο στη γενική περίπτωση έχει την πιο κάτω μορφή: Για δεσμεύσεις μετακινήσεων με διαφορετικό προσανατολισμό από ότι οι ΒΕ των αντίστοιχων κόμβων, γίνεται μετασχηματισμός των αντίστοιχων εξισώσεων με κατάλληλους πολλαπλασιασμούς των αντίστοιχων γραμμών και στηλών. 55

Οι εξισώσεις κίνησης επιλύονται αριθμητικά είτε με επαλληλία των ιδιομορφών είτε με απευθείας ολοκλήρωση του συστήματος εξισώσεων χωρίς οποιοδήποτε μετασχηματισμό. Για την αριθμητική ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης μπορούν να χρησιμοποιηθούν άμεσες αριθμητικές μέθοδοι, όπως η Μέθοδος Κεντρικής Διαφοράς (Central Difference Method) και έμμεσες μέθοδοι, όπως η Μέθοδος Newmark. Για τον υπολογισμό των ιδιοτιμών και ιδιομορφών μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι μέθοδοι επαναληπτικών διανυσμάτων (π.χ. Stodalla-Vianello) με κατάλληλη ορθογωνοποίηση (Gram-Schmidt). 56

Μητρώα παρεμβολής με γενικευμένες συντεταγμένες Χρησιμοποιώντας το τοπικό σύστημα συντεταγμένων ενός ΠΣ οι μετακινήσεις στο εσωτερικό του μπορούν να εκφραστούν συναρτήσει κάποιου πολυωνύμου: Οι μετακινήσεις σε μητρωική μορφή μπορούν να εκφραστούν ως: 57

Χρησιμοποιώντας αυτή τη σχέση για τις μετακινήσεις των κόμβων και τις αντίστοιχες δεδομένες συντεταγμένες τους μπορούν να υπολογιστούν οι γενικευμένες συντεταγμένες. Για ένα επίπεδο τετράπλευρο στοιχείο με τέσσερις κόμβους οι μετακινήσεις σε οποιοδήποτε σημείο μπορούν να εκφραστούν συναρτήσει των μετακινήσεων των κόμβων και του μητρώου παρεμβολής. 58

Έτσι, οι μετακινήσεις εκφράζονται ως: 59

Εφαρμόζοντας αυτή την παρεμβολή, μια για κάθε ένα από τους τέσσερεις κόμβους προκύπτουν δυο εξισώσεις για κάθε κόμβο. Παραδείγματος χάριν, για τον κόμβο ισχύει η σχέση: 60

Χρησιμοποιώντας τις αντίστοιχες σχέσεις για τους άλλους κόμβους με τις συντεταγμένες τους προκύπτει το πιο κάτω σύστημα: 61

Έτσι, οι μετακινήσεις σε κάθε σημείο μέσα στο ΠΣ μπορούν να εκφραστούν συναρτήσει του μητρώου παρεμβολής: 62

Διατύπωση Ισοπαραμετρικών ΠΣ Λόγω πρακτικών δυσκολιών με την προηγούμενη διαδικασία, προτιμάται ο τρόπος με τον οποίο κατασκευάζονται τα ισοπαραμετρικά ΠΣ. Η ισοπαραμετρική διατύπωση των ΠΣ βασίζεται στη χρήση συναρτήσεων παρεμβολής που ορίζονται στο φυσικό σύστημα συντεταγμένων τόσο για τις συντεταγμένες σημείων των στοιχείων όσο και για τις μετακινήσεις τους. Η χρήση των ίδιων μητρώων παρεμβολής τόσο για τις συντεταγμένες όσο και για τις μετακινήσεις διευκολύνει το σχηματισμό των απαραίτητων μητρώων. 63

Οι συντεταγμένες στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων, όπου σε αυτή την περίπτωση είναι απλά ο άξονας X, μπορούν να εκφραστούν βάσει του φυσικού συστήματος συντεταγμένων, το οποίο έχει τιμές ±1 στο όρια του στοιχείου. 64

Με τον ίδιο τρόπο μπορούν να εκφραστούν οι μετακινήσεις σε οποιοδήποτε σημείο του στοιχείου συναρτήσει των μετακινήσεων των κόμβων. Για τον υπολογισμό του μητρώου δυσκαμψίας K πρέπει να προσδιορίσουμε το μητρώο παραμορφώσεων-μετακινήσεων βάσει της σχέσεως των παραμορφώσεων και μετακινήσεων. Η αξονική παραμόρφωση του μονοδιάστατου ισούται εξ ορισμού με: 65

Έτσι το μητρώο παραμορφώσεων-μετακινήσεων ισούται με: Εφόσον το μητρώο αυτό είναι γενικά συναρτήσει των φυσικών συντεταγμένων r, η ολοκλήρωση για να υπολογιστεί το μητρώο δυσκαμψίας, όπου σε αυτή την περίπτωση είναι ένα στοιχείο μόνο, πρέπει επίσης να γίνει βάσει των φυσικών συντεταγμένων: Το Ιακωβιανό (Jacobian) μητρώο, που σε αυτή την περίπτωση είναι διαστάσεων 1x1, συνδέει μια μονάδα μήκους του τοπικού ή απόλυτου συστήματος συντεταγμένων με μια μονάδα μήκους του φυσικού συστήματος συντεταγμένων. 66

Επιφανειακά και χωρικά στοιχεία Το πρώτο βήμα για την ισοπαραμετρική διατύπωση των ΠΣ είναι η έκφραση των τοπικών συντεταγμένων και των μετακινήσεων σε ένα στοιχείο συναρτήσει του φυσικού συστήματος συντεταγμένων του στοιχείου. Στη γενική περίπτωση ενός χωρικού στοιχείου οι παρεμβολές των συντεταγμένων βασίζονται στις σχέσεις: 67

Αντίστοιχα στις περιπτώσεις επιπέδου δηλαδή δισδιάστατου, στοιχείου οι συντεταγμένες στο φυσικό σύστημα μπορούν να εκφραστούν συναρτήσει των συντεταγμένων στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων ως ακολούθως: 68

Απαραίτητη συνθήκη είναι το άθροισμα των συναρτήσεων παρεμβολών να είναι παντού ίσο με 1.0: 69

Για ένα τετράπλευρο στοιχείο με 4 κόμβους οι συναρτήσεις παρεμβολής ισούνται με: 1 h1 1 r 1 s 4 1 h2 1 r 1 s 4 1 h3 1 r 1 s 4 1 h4 1 r 1 s 4 70

Αντίστοιχα, οι συναρτήσεις παρεμβολής για την περίπτωση ενός χωρικό εξαεδρικού στοιχείου με 8 κόμβους είναι οι εξής: 1 h1 1 r 1 s 1 t 8 1 h2 1 r 1 s 1 t 8 1 h3 1 r 1 s 1 t 8 1 h4 1 r 1 s 1 t 8 1 h5 1 r 1 s 1 t 8 1 h6 1 r 1 s 1 t 8 1 h7 1 r 1 s 1t 8 1 h8 1 r 1 s 1 t 8 71

Κατά την ισοπαραμετρική διατύπωση των ΠΣ, τόσο η γεωμετρία του στοιχείου όσο και οι μετακινήσεις των κόμβων εκφράζονται χρησιμοποιώντας τις ίδιες συναρτήσεις παρεμβολών και τις συντεταγμένες και μετακινήσεις των κόμβων αντίστοιχα: n x h x i1 i i n y h y i1 i i n z h z i1 i i u n i1 h u i i n v h v i1 i i n w h w i1 i i 73

n x h x i1 i i n y h y i1 i i n z h z i1 i i u n i1 h u i i n v h v i1 i i n w h w i1 i i Έτσι το μητρώο παρεμβολής-μετακινήσεων προκύπτει άμεσα από τις συναρτήσεις παρεμβολής. Για το τετράπλευρο επίπεδο στοιχείο με 4 κόμβους το μητρώο παρεμβολής ορίζεται ως: H h 0 h 0 h 0 h 0 0 h1 0 h2 0 h3 0 h 4 m 1 2 3 4 To μητρώο παρεμβολής, έχει τη συγκεκριμένη μορφή εφόσον το διάνυσμα μετακινήσεων των κόμβων του στοιχείου έχει την πιο κάτω μορφή: 74

αντίστοιχα: 76

Σε ορισμένες περιπτώσεις τα στοιχεία του Ιακωβιανού μητρώου μπορούν να προσδιοριστούν πολύ εύκολα. Παραδείγματος χάριν, για το ορθογωνικό ΠΣ που παρουσιάζεται στο πιο κάτω σχήμα, το Ιακωβιανό μητρώο προκύπτει απευθείας ως: 77

Οι προηγούμενες συναρτήσεις μπορούν να υπολογιστούν βάσει των συναρτήσεων παρεμβολής, για το τετράπλευρο ΠΣ και αντίστοιχα για οποιοδήποτε άλλο ΠΣ: r r n x h i n i1 i i i1 n x hi x h x s s i1 x x i i r r n y h i n i1 i i i1 n y hi y h y s s i1 y y i i 78

αντίστοιχα για τις μετακινήσεις: u r r n u h i n i1 hi ui i1 n u hi s s i1 u u i i r r n v h i n i1 i i i1 n v hi v h v s s i1 v v i i 79

Στη γενική χωρική περίπτωση οι παράγωγοι για τις παραμορφώσεις ορίζονται, αντίστοιχα, ως ακολούθως: x y z x r r r r r x y z 1 J y s s s s s x y z z t t t t t 1 80

1.0 1.0 1.0 T m m m m m K B E B J dr ds dt 1.0 1.0 1.0 m m m m m T K B E B J w i j k r,s,t i j k ijk 82

Βασικά είδη Πεπερασμένων Στοιχείων Οι γενικές εξισώσεις των ΜΠΣ που έχουν αναπτυχθεί για ένα γενικά τρισδιάστατο σώμα μπορούν να εξειδικευτούν σε συγκεκριμένα κοινά είδη πρακτικών προβλημάτων και αντίστοιχων στοιχείων. Τα πιο συνηθισμένα είδη στοιχείων είναι τα δικτυώματα (truss elements), δοκοί (beam elements), στοιχεία επίπεδης ένστασης (plane stress), στοιχεία επίπεδης παραμόρφωσης (plane strain), στοιχεία πλακών, στοιχεία κελυφών (shell) και γενικά τρισδιάστατα στοιχεία (solid elements). Ανάλογα με το είδος, τη φόρτιση και τη συμπεριφορά ενός στοιχείου ή γενικά ενός φορέα ορίζονται οι αντίστοιχοι ΒΕ των κόμβων. Η κοινή διαδικασία για τη διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας για στατική και δυναμική ανάλυση ανεξάρτητα, από το είδος των ΠΣ επιτρέπει το συνδυασμό ΠΣ διαφορετικών τύπων κατά τη διακριτοποίηση και ανάλυση μιας κατασκευής. Έτσι μπορεί μια κατασκευή να αναλυθεί με ΜΠΣ χρησιμοποιώντας μαζί ράβδους με δοκούς και στοιχεία πλακών ή κελυφών. 85

ΠΣ επίπεδης παραμόρφωσης και επίπεδης έντασης 86

Πλάκες Στην περίπτωση μιας πλάκας, η μετακίνηση που μας ενδιαφέρει είναι η βύθιση w, οι παραμορφώσεις και τα εντατικά μεγέθη (καμπτικές ροπές) που αντιστοιχούν στις τάσεις είναι οι εξής: Το μητρώο ελαστικότητας πλάκας πάχους h έχει την πιο κάτω μορφή: 90

Διακριτοποίηση σε ΠΣ Ανάλογα με το είδος της κατασκευής, της φόρτισης και της συμπεριφοράς καθώς και την απαιτούμενη ακρίβεια της ανάλυσης χρησιμοποιούνται διαφορετικά είδη και αριθμός ΠΣ. Η επίλυση με ΠΣ πρέπει να ελέγχεται για την ορθότητα της πυκνώνοντας τον κάναβο ΠΣ και ελέγχοντας εάν τα αποτελέσματα συγκλίνουν σε κάποια λύση. Η ακρίβεια της επίλυσης εκφράζεται από το είδος των ΠΣ, την πυκνότητα του κανάβου αλλά και το σχήμα των ΠΣ. Ο λόγος των διαστάσεων των πλευρών και εδρών ενός στοιχείου πρέπει να είναι κοντά στο 1.0 και οι γωνίες κοντά στις 90 o. Η χρήση ικανοποιητικού αριθμού ΠΣ ελέγχεται με διαδοχικές αναλύσεις με πυκνότερους κανάβους των οποίων τα αποτελέσματα πρέπει να συγκλίνουν σε κάποια λύση όταν είναι ικανοποιητικά μικρές οι διαστάσεις των ΠΣ. 93

Σε πολλές περιπτώσεις όπως σε σημεία εφαρμογής συγκεντρωμένων φορτίων ή ασυνεχειών απαιτείται πύκνωση του κανάβου ΠΣ. Οι περιοχές όπου απαιτείται ενδεχομένως πύκνωση του κανάβου των ΠΣ είναι εκεί όπου από την ανάλυση με ΠΣ προκύπτουν μεγάλες ασυνέχειες στις τάσεις στις διεπιφάνειες μεταξύ γειτονικών ΠΣ. 94