ΗΜΥ 210 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Χειµερινό Εξάµηνο 2016 ΔΙΑΛΕΞΗ 4: Ελαχιστοποίηση και Λογικές Πύλες ΧΑΡΗΣ ΘΕΟΧΑΡΙΔΗΣ Επίκουρος Καθηγητής, ΗΜΜΥ (ttheocharides@ucy.ac.cy)
Περίληψη q Βελτιστοποίηση κυκλωµάτων πολλαπλών επιπέδων (µετασχηµατισµοί) q Λογικές Πύλες q NAND και NOR πύλες Κυκλώµατα µε NAND και NOR Υλοποίηση 2 επιπέδων Υλοποίηση πολλαπλών επιπέδων q Exclusive-OR (XOR) πύλες Περιττή Συνάρτηση (Odd Function) Παραγωγή και έλεγχος ισοτιµίας (Parity) ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.2
Βελτιστοποίηση κυκλωµάτων Πολλαπλών Επιπέδων (Multiple-level circuit optimization) q Μπορεί να προσφέρει µεγαλύτερη εξοικονόµηση στο κόστος ενός κυκλώµατος q Θεωρήστε: G = abc + abe + d + ac + ae κόστος = 5 πύλες + 15 διασυνδέσεις a b c d e abc abe ac ae G q G = ab(c+e) + d + a(c+e) κόστος = 5 πύλες + 12 διασυνδέσεις a b c d e ab(c+e) G a(c+e) ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.3
Βελτιστοποίηση κυκλωµάτων Πολλαπλών Επιπέδων (Multiple-level circuit optimization) q G = ab(c+e) + d + a(c+e) κόστος = 5 πύλες + 12 διασυνδέσεις a b c d ab(c+e) G e a(c+e) q G = (ab+a)(c+e) + d κόστος = 5 πύλες + 9 διασυνδέσεις a b c a+ab G e d c+e q G = a(c+e) + d κόστος = 3 πύλες + 6 διασυνδέσεις a c e d a(c+e) G ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.4
Βελτιστοποίηση κυκλωµάτων Πολλαπλών Επιπέδων (συν.) q Δεν υπάρχει συστηµατική µέθοδος/αλγόριθµος (όπως χάρτες-karnaugh ή Queen-McCluskey για διεπίπεδη ελαχιστοποίηση) για πολλαπλά επίπεδα. q Βασιζόµαστε σε ένα σύνολο βασικών λειτουργιών µετασχηµατισµών, για να βρούµε µια καλή λύση, αλλά όχι απαραίτητα βέλτιστη (sub-optimal solution). q Μετασχηµατισµοί: Παραγοντοποίηση (Factoring) Αποσύνθεση (Decomposition) Εξαγωγή (Extraction) Αντικατάσταση (Substitution) Απαλοιφή (Elimination ή Flattening ή Collapsing) ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.5
Αλγεβρικοί Μετασχηµατισµοί q Παραγοντοποίηση (Factoring) Εξεύρεση κοινών παραγόντων από SOP ή POS εκφράσεις, π.χ.: - F = A C D + A BC + ABC + ACD (G = 16) - Παραγ. F = A (C D + BC ) + A(BC + CD ) (G = 16) - Ξανά παραγ. F = A C (D + B) + AC( B + D ) (G = 12) - Ξανά παραγ. F = (A C + AC)( B + D ) (G = 10) G = αρ. εισόδων για το σύνολο των πυλών = αρ. διασυνδέσεων (εκτός ΝΟΤ) ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.6
Αλγεβρικοί Μετασχηµατισµοί (συν.) q Αποσύνθεση (Decomposition) Μια συνάρτηση εκφράζεται από ένα σύνολο νέων συναρτήσεων, π.χ.: - Θεωρήστε την F = (A C + AC)( B + D ) (το αποτέλεσµα της προηγούµενης παραγοντοποίησης) - Αποσύνθεση: Ορίζουµε 2 νέες συναρτήσεις: Ε = Α C +AC και H = B + D à F = E H Άλλο παράδειγµα: - F = Α(C +D )(E+F) + BCDE F (G=14) - Αποσύνθεση: Χ 1 = CD, X 2 = E+F - F = A(C +D )X 2 +BΧ 1 E F = AΧ 1 X 2 + BΧ 1 X 2 (G=9) ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.7
Αλγεβρικοί Μετασχηµατισµοί (συν.) q Εξαγωγή (Extraction) Πολλαπλές συναρτήσεις εκφράζονται από ένα σύνολο νέων συναρτήσεων, π.χ. : - F = A B D + A BD = A (B D + BD) και H = B CD + BCD = C(B D + BD) - Ορίζουµε E = B D + BD - à F = A E H = CE - Οι 2 συναρτήσεις (F και Η) έχουν κοινό υλικό (Ε) A B D B D E F H ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.8
Αλγεβρικοί Μετασχηµατισµοί (συν.) q Αντικατάσταση (Substitution) Αντικατάσταση µιας συνάρτησης G σε µια συνάρτηση F à η F εκφράζεται ως συνάρτηση της G και κάποιων άλλων µεταβλητών. Αυτό το έχουµε ήδη δει να γίνεται στο τέλος της αποσύνθεσης, π.χ.: - F = Α(C +D )(E+F) + BCDE F - Αποσύνθεση: Χ 1 = CD, X 2 = E+F - F = A(C +D )X 2 +BΧ 1 E F = AΧ 1 X 2 + BΧ 1 X 2 ß Αντικατάσταση ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.9
Αλγεβρικοί Μετασχηµατισµοί (συν.) q Απαλοιφή (Elimination/Flattening/Collapsing) Το αντίθετο της αντικατάστασης à η συνάρτηση G (µέρος της F) αναπτύσσεται στην F, π.χ. - Έχουµε τις πιο κάτω συναρτήσεις: X = B + C Y = A + B Z = A X + CY - Απαλοιφή των X και Υ από την Ζ: Ζ = Α (B + C) + C(A + B) ß Elimination = A B + A C +AC +BC ß Flattening - Συχνά αυξάνει το κόστος, αλλά παρέχει µια νέα SOP µορφή για ελαχιστοποίηση 2 επιπέδων ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.10
Λογικές Πύλες: AND, OR και NOT q Μπορούµε να κατασκευάσουµε οποιοδήποτε συνδυαστικό κύκλωµα µε τις πύλες AND, OR, και NOT. q Επιπρόσθετες λογικές πύλες µπορούν να χρησιµοποιηθούν για πρακτικούς λόγους. ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.11
BUFFER, NAND και NOR ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.12
XOR και XNOR XOR: πύλη µη-ισοτιµίας X F Y X Y F = X Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 XNOR: πύλη ισοτιµίας X F Y X Y F = X Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.13
Πύλη NAND q Είναι γνωστή ως «οικουµενική» ( universal ) πύλη γιατί µπορούµε να υλοποιήσουµε οποιοδήποτε ψηφιακό κύκλωµα µόνο µε αυτές τις πύλες. q Για να αποδείξουµε το πιο πάνω χρειάζεται να δείξουµε ότι οι πύλες AND, OR και NOT µπορούν να εκφραστούν χρησιµοποιώντας µόνο πύλες NAND. ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.14
Εξοµοίωση πύλης NAND X F = (X X) = X +X = X X F = X X Y X Y F = ((X Y) ) = (X +Y ) = X Y = X Y X Y X F = (X Y ) = X +Y Y = X+Y F = X Y F = X+Y ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.15
Κυκλώµατα NAND q Για να βρείτε µια υλοποίηση ενός κυκλώµατος χρησιµοποιώντας µόνο πύλες NAND ακολουθήστε τα πιο κάτω βήµατα: Βρέστε ένα απλοποιηµένο SOP Το SOP είναι ένα AND-OR κύκλωµα Αλλάξτε το AND-OR κύκλωµα σε ένα NAND κύκλωµα Χρησιµοποιήστε τα πιο κάτω εναλλακτικά σύµβολα: ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.16
Εξοµοίωση SOP µε NAND Υλοποίηση 2 επιπέδων a) Αρχικό SOP (AND-OR κύκλωµα) b) Υλοποίηση χρησιµοποιώντας πύλες NAND ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.17
Εξοµοίωση SOP µε NAND (συν.) Επαλήθευση: (a) G = WXY + YZ (b) G = ( (WXY) (YZ) ) = (WXY) + (YZ) = WXY + YZ ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.18
SOP µε NAND (ξανά!) (a) (b) (c) Αρχικό SOP Διπλή αντιστροφή (NOT) και οµαδοποίηση Αντικατάσταση µε πύλες NAND AND-NOT NOT-OR ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.19
Υλοποίηση 2-επιπέδων µε NAND - Παράδειγµα F (X,Y,Z) = Σm(0,6) 1. Εκφράστε την F σε SOP µορφή F = X Y Z + XYZ 2. Βρείτε την SOP υλοποίηση για την F 3. Αντικατάσταση: AND à AND-NOT µορφή της NAND OR à NOT-OR µορφή της NAND ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.20
Παράδειγµα (συν.) Δυεπίπεδη υλοποίηση µε πύλες NAND F = X Y Z + XYZ ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.21
Κυκλώµατα πολλαπλών επιπέδων NAND Ξεκινά από ένα κύκλωµα πολλαπλών επιπέδων: 1. Μετατροπή όλων των πυλών AND σε NAND µε σύµβολα AND-NOT. 2. Μετατροπή όλων των πυλών OR σε NAND µε σύµβολα NOT-OR. 3. Έλεγχος όλων των αντιστροφέων (bubbles) στο διάγραµµα. Για κάθε bubble που δεν εξουδετερώνεται µε άλλο bubble πάνω στην ίδια γραµµή, προσθέτουµε µια πύλη NOT ή συµπληρώνουµε την είσοδο. ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.22
Παράδειγµα 1 3 Χρησιµοποιήστε πύλες NAND και πύλες NOT για την υλοποίηση της: Z=E F(AB+C +D )+GH 2 4 AB (1) AB+C +D (2) E F(AB+C +D ) (3) E F(AB+C +D )+GH (4) ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.23
Ακόµα ένα Παράδειγµα ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.24
Πιο απλός τρόπος! 1. Αντικατάσταση πυλών τύπου AND και OR:.... 2. Πύλες NOT:.. ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.25
Παράδειγµα ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.26
Πύλη NOR q Επίσης «οικουµενική» πύλη αφού οποιοδήποτε ψηφιακό κύκλωµα µπορεί να υλοποιηθεί µόνο µε πύλες NOR. q Μπορούµε να το αποδείξουµε µε τον ίδιο τρόπο που έχουµε αποδείξει την πύλη NAND (διαφάνεια 7). ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.27
Κυκλώµατα NOR q Για την υλοποίηση µιας συνάρτησης µε πύλες NOR : Βρείτε ένα απλοποιηµένο POS Το POS είναι ένα κύκλωµα OR-AND Αλλάξτε το OR-AND κύκλωµα σε NOR κύκλωµα Χρησιµοποιήστε τα πιο κάτω σύµβολα ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.28
Υλοποίηση 2-επιπέδων µε NOR Παράδειγµα F(X,Y,Z) = Σm(0,6) 1. Εκφράστε την F ( ) σε SOP µορφή: 1. F = Σm(1,2,3,4,5,7) = X Y Z + X YZ + X YZ + XY Z + XY Z + XYZ 2. F = XY + X Y + Z 2. Πάρτε το συµπλήρωµα της F για να υπολογίσετε την F σε µορφή POS: F = (F ) = (X'+Y)(X+Y')(Z ) 3. Βρείτε την OR-AND υλοποίηση της F 4. Προσθέστε bubbles και αντιστροφείς για την µετατροπή µιας OR-AND υλοποίησης σε µια NOR-NOR υλοποίηση. ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.29
Παράδειγµα (συν.) Υλοποίηση 2 επιπέδων µε πύλες NOR F = (F )' = (X'+Y)(X+Y')Z' ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.30
Κυκλώµατα πολλαπλών επιπέδων NOR Ξεκινά από ένα κύκλωµα πολλαπλών επιπέδων: 1. Μετατροπή όλων των πυλών OR σε NOR µε σύµβολα OR-NOT. 2. Μετατροπή όλων των πυλών AND σε NOR µε σύµβολα NOT-AND. 3. Έλεγχος όλων των αντιστροφέων (bubbles) στο διάγραµµα. Για κάθε bubble που δεν εξουδετερώνεται µε άλλο bubble πάνω στην ίδια γραµµή, προσθέτουµε µια πύλη NOT ή συµπληρώνουµε την είσοδο. ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.31
Πιο απλός τρόπος! 1. Αντικατάσταση πυλών τύπου AND και OR:.... 2. Πύλες NOT:.. ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.32
Παράδειγµα A B A B C F C 1 X 3 2 F D E (a) A D E (b) B C F D E (c) ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.33
Ενα παράδειγµα καθηµερινό! q Δυο διακόπτες, ένα φωτιστικό. Ένας διακόπτης πάνω, και ένας κάτω. Το φωτιστικό φωτίζει την σκάλα. q Αν είναι και οι δύο διακόπτες στην θέση off, τί γίνεται? q Τί γίνεται αν ανάψουµε τον ένα διακόπτη (π.χ. τον κάτω)? q Τί γίνεται όταν ανεβούµε τις σκάλες και ανάψουµε τον άλλο διακόπτη (όταν είναι αναµµένο το φώς)? q q ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.34
Συνάρτηση Exclusive-OR (XOR) q XOR (συµβολίζεται µε ) : η συνάρτηση µη-ισοτιµίας q XOR(X,Y) = X! Y = X Y + XY q Ταυτότητες: X! 0 = X X! 1 = X X! X = 0 X! X = 1 q Ιδιότητες: X! Y = Y! X -- Αντιµεταθετική (X! Y)! W = X! ( Y! W) -- Προσεταιριστική ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.35
Υλοποίηση XOR συνάρτησης q XOR(a,b) = ab + a b q Άµεσος τρόπος: 5 πύλες 2 αντιστροφείς, δύο AND 2-εισόδων, µια OR 2-εισόδων ή 2 αντιστροφείς & 3 NAND 2- εισόδων q Έµµεσος τρόπος: 4 πύλες NAND ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.36
Κύκλωµα XOR µε 4 NAND ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.37
Συνάρτηση Exclusive-NOR (XNOR) q XNOR: η συνάρτηση ισοτιµίας q XNOR(a,b) = ab + a b q Παρατηρήστε ότι XNOR(a,b) = ( XOR(a,b) ) ( a!b ) = ( a b + ab ) = (a b) (ab ) = (a + b ) (a +b) = ab + a b q a! b = ( a! b ) = a! b ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.38
Περιττή Συνάρτηση (Odd Function) q x y = x y + xy q x y z = xy z + x yz + x y z +xyz q x y z w = x yzw + xy zw + xyz w + xyzw + x y z w + x yz w + x y zw +xy z w q Παρατηρείτε κάτι που επαναλαµβάνεται εδώ; ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.39
Περιττή Συνάρτηση (Odd Function) q x y = x y + xy q x y z = xy z + x yz + x y z +xyz q X y z w = x yzw + xy zw + xyz w + xyzw + x y z w + x yz w + x y zw +xy z w q Παρατηρείτε κάτι που επαναλαµβάνεται εδώ; q Μια συνάρτηση XOR n-εισόδων είναι αληθής (=1) για όλους τους ελαχιστόρους που έχουν περιττό αριθµό από 1. q Γι αυτό το XOR είναι γνωστό ως «η περιττή συνάρτηση» ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.40
Περιττή Συνάρτηση (συν.) Οι ελαχιστόροι απέχουν 2 τετράγωνα ο ένας από τον άλλον ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.41
Περιττή Συνάρτηση (συν.) Υλοποίηση µε XOR 2-εισόδων ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.42
Άρτια Συνάρτηση q Πως θα υλοποιούσατε µια άρτια συνάρτηση; Από το συµπλήρωµα του XOR à XNOR ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.43
Παραγωγή ισοτιµίας και έλεγχος q Οι περιττές και άρτιες συναρτήσεις µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την υλοποίηση κυκλωµάτων ελέγχου ισοτιµίας (parity check) που χρησιµοποιούνται για εξεύρεση λαθών και τη διόρθωσή τους. q Γεννήτρια Ισοτιµίας (Parity Generator): το κύκλωµα που παράγει το bit ισοτιµίας, πριν τη µετάδοση από τον αποστολέα. q Έλεγχος Ισοτιµίας (Parity Check): το κύκλωµα που ελέγχει την ισοτιµία στον παραλήπτη, για εξεύρεση λαθών. ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.44
Παραγωγή Άρτιας Ισοτιµίας: Παράδειγµα n Η P(X,Y,Z) πρέπει να παράγει 1 για κάθε συνδυασµό εισόδων που περιέχει περιττό αριθµό από 1 n Είναι µια περιττή συνάρτηση 3 ων -εισόδων P = X Y Z ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.45
Έλεγχος Άρτιας Ισοτιµίας: Παράδειγµα (συν.) Πως θα υλοποιούσατε τον έλεγχο ισοτιµίας για το προηγούµενο παράδειγµα; α) Χρησιµοποιήστε ένα κύκλωµα XOR 4 ων -εισόδων (περιττή συνάρτηση) C = X Y Z P à 1 υποδεικνύει ένα λάθος ή β) Χρησιµοποιήστε ένα XNOR κύκλωµα 4 ων -εισόδων (άρτια συνάρτηση) C = (X Y Z P) à 1 υποδεικνύει ορθή ισοτιµία ΗΜΥ210 Δ04 ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ & ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ.46