ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 0 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α ΘΕΜΑ ο Η METRO WATER DISTRICT είναι μια εταιρεία η οποία λειτουργεί ως διαχειριστής του νερού σε μια μεγάλη περιφέρεια της Βόρειας Αμερικής. Η περιοχή είναι άνυδρη, και ως εκ τούτου, η METRO προμηθεύεται και στη συνέχεια μεταφέρει το νερό από τοποθεσίες εκτός της περιφέρειας. Ως προμηθευτές νερού έχουν επιλεγεί οι ποταμοί Colombo, Sacron και Calorie, ενώ οι μεγάλοι πελάτες είναι οι δήμοι στις πόλεις Berdoo, Los Devils, San Go και Hollyglass. Η μεταφορά νερού είναι δυνατή από οποιοδήποτε ποταμό προς οποιαδήποτε πόλη, με εξαίρεση τη μεταφορά του νερού από τον ποταμό Calorie στην πόλη του Hollyglass η οποία δεν είναι εφικτή. Εντούτοις, λόγω των γεωλογικών-εδαφολογικών παραμέτρων της περιοχής, το κόστος της μεταφοράς εξαρτάται τόσο από την προέλευση του νερού (ποταμός) όσο και από την πόλη για την οποία προορίζεται. Το κόστος της μεταφοράς ανά 000 μ 3 νερού δίνεται στον πίνακα που ακολουθεί για όλους τους συνδυασμούς ποταμών πόλεων (τιμές σε δολάρια). Berdoo Los Devils San Go Hollyglass Διαθέσιμη Ποσότητα Colombo 0 30 0 70 0 Sacron 0 30 0 0 0 Calorie 0 00 30 --- 0 Ελάχιστη Ποσότητα 30 70 0 0 (σε μονάδες Απαιτούμενη Ποσότητα 0 70 30 των,000,000 μ 3 ) Η METRO προσπαθεί να προγραμματίσει τη διανομή του νερού για την προσεχή καλοκαιρινή περίοδο. Στο δεξιό μέρος του πίνακα φαίνονται οι διαθέσιμες ποσότητες νερού στους τρεις ποταμούς σε μονάδες των,000,000 μ 3 ). Με εξαίρεση την πόλη του San Go η οποία διατηρεί μια ανεξάρτητη πηγή προμήθειας νερού, η METRO δεσμεύεται να προμηθεύσει κάθε μία από τις πόλεις με μία ελάχιστη ποσότητα νερού προκειμένου να καλυφθούν οι βασικές ανάγκες της, όπως αυτές αποτυπώνονται στη γραμμή Ελάχιστη Ποσότητα του πίνακα. Η γραμμή Απαιτούμενη Ποσότητα υποδηλώνει ότι η πόλη του Los Devils δεν αξιώνει μεγαλύτερη ποσότητα νερού από την ελάχιστη συμφωνημένη, αλλά η πόλη του Berdoo θα ήθελε να προμηθευτεί επιπλέον 0 εκατομμύρια μ 3 νερού, η πόλη του San Go επιπλέον 30 εκατομμύρια μ 3 νερού και η πόλη του Hollyglass όσο περισσότερο μπορεί να της διατεθεί.. Χρησιμοποιήστε το μοντέλο του προβλήματος μεταφοράς προκειμένου να προσδιορίσετε τον τρόπο διανομής όλης της διαθέσιμης ποσότητας νερού των τριών ποταμών στις τέσσερις πόλεις, σε τρόπο ώστε να ικανοποιείται τουλάχιστον η ελάχιστη ζήτηση εκάστης με το μικρότερο δυνατόν συνολικό κόστος μεταφοράς.. Η βέλτιστη λύση που υπολογίσατε παραμένει βέλτιστη στην περίπτωση κατά την οποία η μεταφορά 000 μ 3 νερού από τον ποταμό Calorie στην πόλη του San Go κοστίζει $00 κι όχι $30; (αιτιολογήστε την όποια απάντησή σας). 3. Η βέλτιστη λύση που υπολογίσατε παραμένει βέλτιστη στην περίπτωση κατά την οποία η μεταφορά 000 μ 3 νερού από τον ποταμό Sacron στην πόλη του Los Devils κοστίζει $0 κι όχι $30; (αιτιολογήστε την όποια απάντησή σας). ΘΕΜΑ ο Μια επιχείρηση χρησιμοποιεί ένα εργοστάσιο (Ε) για την παραγωγή των προϊόντων της. Τα παραγόμενα προϊόντα στη συνέχεια αποθηκεύονται σε δύο ιδιόκτητους αποθηκευτικούς χώρους (Α και Α αντίστοιχα). Κατόπιν, η ζήτηση της αγοράς καλύπτεται μέσω τεσσάρων συνεργαζόμενων εμπόρων χονδρικής οι οποίοι αποτελούν τα κέντρα διανομής των προϊόντων της (Δ, Δ, Δ3, και Δ αντίστοιχα). Η επιχείρηση χρησιμοποιεί ιδιόκτητο στόλο οχημάτων για τη μεταφορά των προϊόντων της από το εργοστάσιο στους αποθηκευτικούς χώρους και στη συνέχεια για τη μεταφορά τους από τις αποθήκες στα κέντρα διανομής. Στους παρακάτω πίνακες, καταγράφονται η μέγιστη ποσότητα που μπορεί να μεταφερθεί μηνιαία από το εργοστάσιο στις αποθήκες, και η μέγιστη ποσότητα που μπορεί να μεταφερθεί μηνιαία από τις αποθήκες στα κέντρα διανομής. Οι τιμές αφορούν πλήρη φορτία των διαθέσιμων μεταφορικών μέσων της επιχείρησης (το πλήρες φορτίο αποτελεί τη μονάδα μέτρησης). Ο μέγιστος συνολικός αριθμός μηνιαίων φορτίων που είναι δυνατό να αποσταλούν από το εργοστάσιο στα κέντρα διανομής, όπως φαίνεται και στον πίνακα, ανέρχεται σε φορτία. Οι δυναμικότητες ροής από τα κέντρα διανομής προς την αγορά προκύπτουν από το άθροισμα των εισροών από τις αποθήκες προς κάθε κέντρο διανομής. Αποθήκη Εργοστάσιο Α Α Ε 3 3 Αποθήκη Κέντρο Διανομής Δ Δ Δ3 Δ Α Α 7 Χρησιμοποιείστε κατάλληλη τεχνική της δικτυωτής ανάλυσης προκειμένου να βοηθήσετε τη διοίκηση της επιχείρησης να καταρτίσει το μηνιαίο πρόγραμμα διανομής των προϊόντων της, δηλαδή:. υπολογίστε τον μέγιστο αριθμό φορτίων που είναι δυνατό να μεταφερθούν από το χώρο παραγωγής δια μέσω των αποθηκευτικών χώρων στα κέντρα διανομής, με σκοπό την προώθησή τους στην αγορά.. δώστε ακριβή περιγραφή του τρόπου μεταφοράς του ανωτέρω υπολογισθέντος μέγιστου αριθμού φορτίων από το χώρο παραγωγής δια μέσω των αποθηκευτικών χώρων στα κέντρα διανομής, με σκοπό την προώθησή τους στην αγορά.
ΘΕΜΑ 3 ο Η Ελληνική Καρδιολογική Εταιρεία προετοιμάζει τον αποκριάτικο χορό της για τις Φεβρουαρίου σε γνωστό ξενοδοχείο της Πάτρας, με 000 και πλέον καλεσμένους. Για να καταστεί δυνατή η οργάνωση του χορού, η υπεύθυνη του ξενοδοχείου κ. Παπά προγραμματίζει την υλοποίηση των κατωτέρω δραστηριοτήτων (χρόνος σε ημέρες): Δραστηριότητα Άμεσα Αναμενόμενη Τυπική προηγούμενες Διάρκεια Απόκλιση A. Συνάντηση με τον πρόεδρο της εταιρείας --- B. Κατασκευαστικές εργασίες A 3 C. Σχεδιασμός του χορού Α D. Σχεδιασμός του menu C E. Πρόσληψη μουσικών C 7 F. Διαμόρφωση του χώρου για τον χορό B, D G. Τελικός Έλεγχος / Κοστολόγηση E, F Η κ. Παπά, από την προηγούμενη εμπειρία της, ήταν σε θέση να εκτιμήσει τη μέση τιμή (αναμενόμενη διάρκεια) και τυπική απόκλιση των δραστηριοτήτων B, C, E και F. Η εκτίμηση όμως για τις δραστηριότητες Α, D και G εξαρτάται εν πολύς από τις διευθετήσεις του προέδρου της Καρδιολογικής Εταιρείας. Η κ. Παπά, πιστεύει ότι η αρχική συνάντηση με τον πρόεδρο θα διαρκέσει τουλάχιστον ημέρες και μπορεί να φτάσει και τις 0 ημέρες, αν και πιο πιθανό θεωρεί τις 3 ημέρες. Κατά την άποψή της ο σχεδιασμός του menu θα κυμανθεί από έως 3 ημέρες, με πιο πιθανό τις ημέρες. Για τον τελικό έλεγχο / κοστολόγηση όπου και πρέπει να εμπλακούν και άλλα μέλη της Καρδιολογικής Εταιρείας η κ. Παπά θεωρεί ότι το πιο πιθανό είναι να χρειαστούν 0 ημέρες, αλλά μπορεί να συμβεί οποτεδήποτε μεταξύ και ημερών.. Να εφαρμόσετε την κατάλληλη μεθοδολογία προκειμένου να εντοπίσετε την κρίσιμη διαδρομή, τον αναμενόμενο χρόνο ολοκλήρωσης του έργου και την τυπική απόκλιση του χρόνου αυτού. (Διαμορφώστε κατάλληλο πίνακα ή διάγραμμα που να περιέχει όλες τις απαραίτητες πληροφορίες).. Ποια θα είναι η επίδραση στον αναμενόμενο χρόνο ολοκλήρωσης του έργου (i) η καθυστέρηση της δραστηριότητας Α κατά ημέρες; (ii) η καθυστέρηση της δραστηριότητας Β κατά ημέρες; (iii) η καθυστέρηση της δραστηριότητας D κατά ημέρες; (iv) η καθυστέρηση της δραστηριότητας F κατά ημέρες; (v) η καθυστέρηση των δραστηριοτήτων Β και D κατά ημέρες εκάστη; (vi) η καθυστέρηση των δραστηριοτήτων D και F κατά ημέρες εκάστη; 3. Εάν η κ. Παπά επιθυμεί να είναι % σίγουρη ότι η οργάνωση του χορού θα έχει ολοκληρωθεί στις Φεβρουαρίου, μία εβδομάδα δηλ. πριν την προγραμματισμένη ημερομηνία διεξαγωγής του, πότε πρέπει να προγραμματίσει τη συνάντηση με τον πρόεδρο της Καρδιολογικής Εταιρείας; (θεωρήστε εργάσιμη εβδομάδα 7 ημερών). Δίνεται: P(0 Z.) = 0., P(0 Z.) = 0.7, P(0 Z.) = 0.0, P(0 Z.33) = 0.0. ΘΕΜΑ ο Δύο επιχειρήσεις A και B που παράγουν υβρίδια, σπόρους και άλλα αγροτικά υλικά, δραστηριοποιούνται στην ίδια περιοχή. Οι δύο εταιρείες σχεδιάζουν την προώθηση ενός βελτιωμένου υβριδίου καλαμποκιού για την επόμενη περίοδο καλλιέργειας. Προκειμένου να αποσπάσουν μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς δύνανται να εφαρμόσουν διάφορες στρατηγικές οι οποίες μπορούν να είναι: (α) διαφήμιση σε τηλεοπτικά μέσα, (β) προσωπική ενημέρωση των αγροτών πόρτα-πόρτα, (γ) πιο ανταγωνιστική τιμή του προϊόντος και (δ) δυνατότητα χρηματοδότησης από την ΕΕ μέρους του κόστους ανάπτυξης του νέου προϊόντος. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η αύξηση του ποσοστού των πωλήσεων για την επιχείρηση Α έναντι της Β, για κάθε συνδυασμό στρατηγικών. Επιχείρηση Α Επιχείρηση Β Β Β Β3 Α - 3 Α 0 Α3 3 - Α -3 - Να εφαρμόσετε την κατάλληλη μεθοδολογία προκειμένου να προσδιορίσετε την άριστη στρατηγική για κάθε επιχείρηση καθώς και την αναμενόμενη μεταβολή του ποσοστού των πωλήσεων της επιχείρησης Α έναντι της Β. Να διατυπώσετε τα αποτελέσματά σας με σαφήνεια, αποδίδοντας ταυτόχρονα και το κατάλληλο φυσικό νόημα.
ΘΕΜΑ ο Ερώτημα Στο ζητούμενο μοντέλο του προβλήματος μεταφοράς ξεκινάμε ορίζοντας ως σταθμούς παραγωγής τους ποταμούς Colombo, Sacron και Calorie με συνολική προσφορά 0 + 0 + 0 = 0 εκατομμύρια μ 3 νερό. ως σταθμούς προορισμού τις πόλεις Berdoo, Los Devils, San Go και Hollyglass. Η ποσότητα που θα λάβει η κάθε μία εξ αυτών, με εξαίρεση το Los Devils, πρέπει να αποφασιστεί μέσα σε ένα εύρος τιμών, έχει καθοριστεί δηλαδή ένα άνω και κάτω φράγμα των τιμών που μπορεί να λάβει. Το κάτω φράγμα για κάθε πόλη αναφέρεται φυσικά στην ποσότητα με τον χαρακτηρισμό Ελάχιστη Ποσότητα. Από την άλλη μεριά, το άνω φράγμα για κάθε πόλη, ισούται με την ποσότητα νερού που έχει τον χαρακτηρισμό Απαιτούμενη Ποσότητα, εκτός βέβαια κι αν αυτή η απαίτηση υπερβαίνει τη συνολική ποσότητα νερού που παρέμεινε προς διάθεση μετά την ικανοποίηση των ελάχιστων αναγκών των υπολοίπων πόλεων. Τότε, εκ των πραγμάτων, η προς διάθεση ποσότητα γίνεται το άνω φράγμα. Συνεπώς, η αδηφάγος για νερό πόλη του Hollyglass, έχει άνω φράγμα (0+0+0) (30+70+0) = 0 εκατομμύρια μ 3 νερό. Όμως, ως γνωστόν, στο μοντέλο του προβλήματος της μεταφοράς, οι ζητούμενες ποσότητες του κάθε σταθμού προορισμού πρέπει να είναι σταθερές, κι όχι μεταβλητές με φράγματα, όπως προέκυψαν εδώ σύμφωνα με την προηγούμενη συζήτηση. Προς στιγμήν, ας θεωρήσουμε ότι δεν υπάρχει η απαίτηση της Ελάχιστης Ποσότητας κι ότι πρέπει να καλυφθεί αποκλειστικά το άνω φράγμα για κάθε πόλη. Η δυνατότητα να τροφοδοτηθούν οι πόλεις με παραπάνω από την ελάχιστη ποσότητα νερού, είναι εφικτή αφού σε σχέση με τη συνολική ελάχιστη ζήτηση, οι ποταμοί έχουν περισσότερο νερό. Το νερό όμως αυτό δεν επαρκεί για να καλυφθεί η συνολική μέγιστη ζήτηση: η συνολική προσφορά νερού ισούται μόνο με (0+0+0) = 0 εκατομμύρια μ 3 νερό ενώ η συνολική (μέγιστη) ζήτηση φτάνει τα (0+70+30+0) = 0 εκατομμύρια μ 3 νερό. Οπότε, για να κατασκευάσουμε το tableau του προβλήματος μεταφοράς, πρέπει να θεωρήσουμε την ύπαρξη ενός υποθετικού ποταμού Χ ο οποίος θα προμηθεύει τις τέσσερις πόλεις με την επιπλέον ποσότητα νερού των (0+70+30+0) - (0+0+0) = 0 εκατομμυρίων μ 3 που λείπει. Colombo Berdoo Los Devils San Go Hollyglass 0 30 0 70 0 Sacron Calorie Χ 0 30 0 0 0 00 30 Μ 0 0 0 0 0 0 0 0 70 30 0 0 Στον πίνακα αυτόν το κόστος μεταφοράς του νερού από τον υποθετικό ποταμό X προς τις πόλεις είναι μηδενικό, μιας και δεν υπάρχει στην πραγματικότητα νερό να μεταφερθεί. Από την άλλη μεριά τέθηκε ένα πολύ υψηλό κόστος μεταφοράς Μ>>>0 από τον ποταμό Calorie στην πόλη του Hollyglass προκειμένου να αποκλειστεί κάτι τέτοιο, όπως υποδεικνύεται ότι πρέπει να γίνει. Θα προσπαθήσουμε στη συνέχεια να ενσωματώσουμε στο ανωτέρω tableau τις πληροφορίες για την ελάχιστη ζήτηση της κάθε πόλης: για την πόλη του San Go δεν χρειάζεται κάποια ιδιαίτερη αναφορά αφού δεν υπάρχει ελάχιστη ζήτηση. για την πόλη του Hollyglass η μέγιστη ζήτηση των 0 εκατομμυρίων μ 3 νερού ξεπερνά την προσφορά (0 εκατομμύρια μ 3 νερό) του εικονικού ποταμού Χ κατά 0, κι επομένως, σε οποιαδήποτε εφικτή λύση,
η ποσότητα νερού που θα προμηθεύεται το Hollyglass από τους πραγματικούς ποταμούς θα είναι τουλάχιστον 0 εκατομμύρια μ 3 νερό, όσο δηλαδή η ελάχιστη ζήτηση. για την πόλη του Los Devils όπου η ελάχιστη ζήτηση είναι ίση με την μέγιστη, η μεταφορά νερού θα πρέπει να γίνει εξ ολοκλήρου από τους πραγματικούς ποταμούς. Θέτοντας κόστος μεταφοράς Μ>>>0 από τον ποταμό Χ στην πόλη του Los Devils εξασφαλίζουμε τιμή 0 για αυτή την εκχώρηση στη βέλτιστη λύση του προβλήματος. για την πόλη του Berdoo ο υποθετικός ποταμός Χ έχει (μια ανύπαρκτη) ποσότητα νερού για να καλύψει τη ζήτηση. Αφού η ελάχιστη ζητούμενη ποσότητα είναι 30 εκατομμύρια μ 3 νερό, θα πρέπει να βρεθεί ένας τρόπος προκειμένου ο ποταμός Χ να μην στείλει περισσότερα από 0 από τα 0 εκατομμύρια μ 3 νερό. Για το σκοπό αυτό διασπάμε τη ζήτηση του Berdoo στα δύο: μία με την ελάχιστη ζήτηση 30 και κόστος εκχώρησης Μ>>>0 από τον ποταμό Χ (οπότε το νερό θα προέλθει από τους πραγματικούς ποταμούς), και μία δεύτερη με ζήτηση 0 και κόστος εκχώρησης 0 από τον ποταμό Χ. Με αυτή τη συλλογιστική διαμορφώνεται η ακόλουθη δομή (tableau) προβλήματος μεταφοράς: Berdoo (min) Berdoo (extra) Los Devils San Go Hollyglass 0 0 30 0 70 Colombo 0 Sacron Calorie Χ 0 0 30 0 0 0 0 00 30 Μ M 0 M 0 0 0 0 0 30 0 70 30 0 0 Η μέθοδος Vogel για την εύρεση μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης του προβλήματος δίνει ως τέτοια την: 30 30 30 0 0 70 0 0 70 Μ-0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30 0 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30 0 0 0 00 30 Μ 0 0 0 0 0 0 0 0 M 0 M 0 30 0 0 0 0 30 0 70 30 0 30 0 70 0 30 0 70 0 30 0 0 0 30 0 0 30 0
Η λύση αυτή έχει 7 θετικές συνιστώσες και συνεπώς είναι εκφυλισμένη. Το πρόβλημα προέκυψε κατά την πέμπτη επανάληψη της μεθόδου Vogel, οπότε διαγράφηκαν ταυτόχρονα η δεύτερη γραμμή και η τρίτη στήλη. Προκειμένου να προχωρήσουμε στην εύρεση της βέλτιστης λύσης, ένα από τα κελιά με μηδενική εκχώρηση θα πρέπει να θεωρηθεί ως βασικό, προτιμάμε το (3, 3). Βρίσκοντας τα δυναμικά u i, v j και σχηματίζοντας τις διαφορές δ ij = u i j - c ij που αντιστοιχούν στις μη βασικές μεταβλητές διαπιστώνουμε ότι η λύση αυτή είναι η βέλτιστη (δ ij 0 i, j) και συνεπάγεται κόστος μεταφοράς της τάξης των 00 χρηματικών μονάδων. v 0 0 30 0 0 u -0 0-0 0 30-70 0-0 70 0 0-0 0-0 0 30-0 0 0 0 0 0 0 0 00-0 30 0-Μ Μ 70 30 0 0* -30-Μ M -30 0-0-Μ M 0 0-0 30 0 30 0 70 30 0 0 0 0 0 Συνεπώς, η βέλτιστη λύση, αυτή με το μικρότερο δυνατό κόστος δηλαδή, προβλέπει ότι στην πόλη του Berdoo πρέπει να αποσταλεί η μέγιστη ζητούμενη ποσότητα των 0 εκατομμύρια μ 3 νερό. Ολόκληρη πρέπει να σταλεί από τον ποταμό Calorie. στην πόλη του Los Devils πρέπει να αποσταλεί η ζητούμενη ποσότητα των 70 εκατομμύρια μ 3 νερό ως εξής: τα 0 εκατομμύρια πρέπει να προέλθουν από τον ποταμό Colombo και τα υπόλοιπα 0 από τον Sacron. στην πόλη του San Go δεν πρέπει να αποσταλεί νερό. στην πόλη του Hollyglass πρέπει να αποσταλούν 0 εκατομμύρια μ 3 νερό (+30 εκατομμύρια από τη ελάχιστη ζήτηση), προερχόμενα εξ ολοκλήρου από τον ποταμό Sacron. Ερώτημα Για το μη βασικό κελί (3, ) ας είναι cˆ 3 c3 ( 30 ) η νέα τιμή μοναδιαίας μεταφοράς. Τότε ˆ 3 u ˆ 3 v c3 (70 0) (30 ) 0 Η παρούσα λύση θα παραμείνει βέλτιστη εάν ˆ 3 0, δηλαδή εάν 0 0 0 c 0 Συνεπώς στην περίπτωση κατά την οποία η μεταφορά 000 μ 3 νερού από τον ποταμό Calorie στην πόλη του San Go κοστίζει $00 κι όχι $30 η βέλτιστη λύση που βρέθηκε προηγουμένως παραμένει ως έχει. Ερώτημα Επειδή το κελί (, 3) είναι βασικό, μεταβολή στην τιμή του c 3 συνεπάγεται μεταβολή των τιμών και για τα u i, v j και δ ij. Ας είναι cˆ 3 c3 ( 30 ). Τότε, ο υπολογισμός των νέων τιμών για τα u i, v j προκύπτει από τη λύση του συστήματος u ˆ ˆ = 30 3 u ˆ ˆ = 30 3 u ˆ ˆ = 0 3
u ˆ ˆ = 0 3 u ˆ ˆ = 0 3 u ˆ ˆ = 00 3 3 u ˆ ˆ = 0 u ˆ ˆ = 0 Για û = 0 έχουμε u ˆ =, u ˆ 3 = 70, u ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = -0+, v = 0, v = 0, v 3=30, v =0-, v =0-. Για να παραμείνει βέλτιστη η παρούσα λύση θα πρέπει: - c 0 0 0 0, ισχύει - c 0 0 0 0, ισχύει - c 0 0 0 0 70 - c 0 0 70 0 0 - c 0 0 0 0 - c 0 0 0 0 - c 0 0 0, ισχύει 3 3 - c3 70 0 30 0 0 3 3 - c3 70 0 M 0 0 M, ισχύει - c 0 0 M 0 M 30, ισχύει - c 0 0 0 30 3 3 - c3 0 30 M 0 M 0, ισχύει Συνεπώς για 0 0 0 cˆ 3 0 η λύση που υποδείχθηκε ως άριστη στο προηγούμενο ερώτημα δεν μεταβάλλεται. Κατά συνέπεια για ĉ3 0, η λύση του προηγούμενου ερωτήματος δεν θα είναι η βέλτιστη.
ΘΕΜΑ ο Το δίκτυο διανομής φορτίων απεικονίζεται στο σχήμα. Όπου δεν αναφέρονται ροές θεωρείται ότι είναι μηδενικές. Καθώς ο αντικειμενικός στόχος αφορά τη μεγιστοποίηση της ροής φορτίων με αφετηρία έναν κόμβο πηγή (εργοστάσιο - Ε) και προορισμό έναν κόμβο δέκτη (αγορά - καταναλωτές), πρόκειται για πρόβλημα εύρεσης της μέγιστης ροής. Σχήμα - Αρχικό δίκτυο Ξεκινάμε επιλέγοντας αυθαίρετα ένα μονοπάτι με θετική (μη μηδενική) δυναμικότητα ροής από την πηγή προς το δέκτη. Ένα τέτοιο μονοπάτι είναι για παράδειγμα το μονοπάτι Ε-Α-Δ-ΑΓΟΡΑ. Η μέγιστη δυναμικότητα ροής του μονοπατιού αυτού είναι ίση με μονάδες όπως καθορίζεται από την ακμή με την μικρότερη δυναμικότητα ροής, δηλαδή την ακμή Α-Δ (min{3,, } = ). Έτσι, στέλνουμε μονάδες μέσω του μονοπατιού αυτού από την πηγή προς το δέκτη και αναπροσαρμόζουμε κατάλληλα τις ροές των αντίστοιχων ακμών που συμμετέχουν. Στο σχήμα απεικονίζεται η πρώτη επανάληψη. Μετά τον κόμβο Ε σημειώνουμε μονοπάτι και ροή. Συνολική ροή: μονάδες. Σχήμα η επανάληψη Συνεχίζουμε (αυθαίρετα) με το μονοπάτι Ε Α Δ3 ΑΓΟΡΑ, που έχει θετική (μη μηδενική) δυναμικότητα ροής από την πηγή προς το δέκτη. Η δυναμικότητα ροής του μονοπατιού αυτού είναι ίση με μονάδες (min{3,, } = ). Έτσι, στέλνουμε μονάδες από το μονοπάτι αυτό και αναπροσαρμόζουμε τις ροές των ακμών. Στο σχήμα 3 απεικονίζεται η δεύτερη επανάληψη, ενώ έχουμε διατηρήσει και την πρώτη επανάληψη χωρίς τα βέλη αλλά με έντονες ακμές μόνο. Συνολική ροή: + = μονάδες.
Σχήμα 3 η επανάληψη Στη συνέχεια, επιλέγουμε το μονοπάτι Ε Α Δ3 ΑΓΟΡΑ. Η δυναμικότητα ροής του μονοπατιού είναι ίση με μονάδες και καθορίζεται από την ακμή Α Δ3 ή την ακμή Δ3 ΑΓΟΡΑ που έχουν την ελάχιστη δυναμικότητα ροής μέσα στο μονοπάτι. Έτσι, αποστέλλονται μονάδες από την πηγή προς το δέκτη και αναπροσαρμόζουμε τις ροές των ακμών. Στο σχήμα απεικονίζεται η τρίτη επανάληψη, ενώ έχουμε διατηρήσει τις προηγούμενες επαναλήψεις. Συνολική ροή μέχρι τώρα: + + =. Σχήμα 3 η επανάληψη Συνεχίζουμε, επιλέγοντας το μονοπάτι Ε Α Δ ΑΓΟΡΑ. Η δυναμικότητα ροής του μονοπατιού είναι ίση με μονάδες και καθορίζεται από την ακμή Α Δ που έχει την ελάχιστη δυναμικότητα ροής ανάμεσα στις ακμές του μονοπατιού. Έτσι, αποστέλλονται μονάδες από το μονοπάτι αυτό από την πηγή προς το δέκτη και αναπροσαρμόζουμε τις ροές των ακμών. Στο σχήμα απεικονίζεται η τέταρτη επανάληψη, ενώ έχουμε διατηρήσει τις προηγούμενες επαναλήψεις. Συνολική ροή μέχρι τώρα: + + + =.
Σχήμα η επανάληψη Στη συνέχεια, επιλέγουμε το μονοπάτι Ε Α Δ ΑΓΟΡΑ. Η δυναμικότητα ροής του μονοπατιού είναι ίση με μονάδες και καθορίζεται από την ακμή Α Δ που έχει την ελάχιστη δυναμικότητα ροής ανάμεσα στις ακμές του μονοπατιού. Έτσι, αποστέλλονται μονάδες από το μονοπάτι αυτό από την πηγή προς το δέκτη και αναπροσαρμόζουμε τις ροές των ακμών. Στο σχήμα απεικονίζεται η πέμπτη επανάληψη, ενώ έχουν διατηρηθεί οι προηγούμενες επαναλήψεις. Συνολική ροή μέχρι τώρα: + + + + = 33. Σχήμα η επανάληψη E A Δ - ΑΓΟΡΑ E A Δ3 - ΑΓΟΡΑ E A Δ3 - ΑΓΟΡΑ E A Δ - ΑΓΟΡΑ Δ Ε E A Δ - ΑΓΟΡΑ 0 Α 0 7 0 0 7 Α 0 Δ 7 0 Δ3 ΑΓΟΡΑ Δ Συνεχίζουμε, επιλέγοντας το μονοπάτι Ε Α Δ ΑΓΟΡΑ. Η δυναμικότητα ροής του μονοπατιού είναι ίση με μονάδες και καθορίζεται από τις ακμές Α Δ και Δ ΑΓΟΡΑ που έχουν την ελάχιστη δυναμικότητα ροής ανάμεσα στις ακμές του μονοπατιού. Έτσι, αποστέλλονται μονάδες από το μονοπάτι αυτό από την πηγή προς το δέκτη και αναπροσαρμόζουμε τις ροές των ακμών. Στο σχήμα 7 απεικονίζεται η έκτη επανάληψη, ενώ έχουν διατηρηθεί οι προηγούμενες επαναλήψεις. Συνολική ροή μέχρι τώρα: + + + + + =.
Σχήμα 7 η επανάληψη E A Δ - ΑΓΟΡΑ E A Δ3 - ΑΓΟΡΑ E A Δ3 - ΑΓΟΡΑ E A Δ - ΑΓΟΡΑ Δ 0 E A Δ - ΑΓΟΡΑ E A Δ - ΑΓΟΡΑ Ε 7 7 0 Α 0 0 0 0 7 Α 0 Δ 7 0 Δ3 3 ΑΓΟΡΑ Δ Συνεχίζουμε, επιλέγοντας το μονοπάτι Ε Α Δ ΑΓΟΡΑ. Η δυναμικότητα ροής του μονοπατιού είναι ίση με μονάδες και καθορίζεται από την ακμή Ε Α που έχει την ελάχιστη δυναμικότητα ροής ανάμεσα στις ακμές του μονοπατιού. Έτσι, αποστέλλονται μονάδες από το μονοπάτι αυτό από την πηγή προς το δέκτη και αναπροσαρμόζουμε τις ροές των ακμών. Στο σχήμα απεικονίζεται η έβδομη επανάληψη, ενώ έχουν διατηρηθεί οι προηγούμενες επαναλήψεις. Συνολική ροή μέχρι τώρα: + + + + + + = 7. Σχήμα 7 η επανάληψη
Στο σχήμα, παρατηρούμε ότι ενώ υπάρχει θετική δυναμικότητα ροής από την πηγή, ίση με 7 μονάδες στην ακμή Ε Α, η ροή αυτή δεν μπορεί να διοχετευθεί προς το δέκτη αφού δεν υπάρχει μονοπάτι από το οποίο να μπορεί να περάσει μέχρι τέλους. Ολοκληρώνοντας, διαπιστώνουμε λοιπόν ότι δεν υπάρχει άλλο μονοπάτι με θετική (μη μηδενική) δυναμικότητα ροής από την πηγή προς το δέκτη, οπότε είναι φανερό ότι η μέγιστη ροή είναι ίση με 7 πλήρη φορτία ανά μήνα. Στο σχήμα παρουσιάζεται η άριστη λύση, διατηρώντας τις ροές που είναι απαραίτητες πάνω σε κάθε ακμή που ενεργοποιείται. Σχήμα άριστη λύση E A Δ - ΑΓΟΡΑ E A Δ3 - ΑΓΟΡΑ E A Δ3 - ΑΓΟΡΑ E A Δ - ΑΓΟΡΑ Ε Α Δ Δ Δ3 E A Δ - ΑΓΟΡΑ E A Δ - ΑΓΟΡΑ E A Δ - ΑΓΟΡΑ ΑΓΟΡΑ Μέγιστη ροή = 7 Α Δ Σημείωση Από τη φύση του αλγορίθμου της μέγιστης ροής, είναι πολύ πιθανόν να μην υπάρχει μόνο μία συγκεκριμένη και μοναδική σειρά στη ροή των επαναλήψεων και στη συλλογή των μονοπατιών, αφού σε κάθε επανάληψη, το μονοπάτι με θετική (μη μηδενική) δυναμικότητα ροής από την πηγή προς το δέκτη, προσδιορίζεται αυθαίρετα. Μάλιστα, υπάρχουν εναλλακτικά μονοπάτια τα οποία επίσης επιτυγχάνουν τη μέγιστη ροή και αυτό συμβαίνει σχεδόν πάντα στα προβλήματα αυτού του τύπου. Για παράδειγμα, μετά την η επανάληψη (σχήμα 7), θα μπορούσαμε να επιλέξουμε διαδοχικά τα μονοπάτια Ε Α Δ ΑΓΟΡΑ με ροή μονάδες, και Ε Α Δ ΑΓΟΡΑ με ροή μονάδα, από την πηγή προς το δέκτη αντίστοιχα, με αποτέλεσμα να οδηγηθούμε σε εναλλακτική άριστη λύση με την ίδια μέγιστη ροή. Σε κάθε περίπτωση, στην άριστη λύση η μέγιστη ροή πρέπει να είναι ίση με 7 μονάδες (πλήρη φορτία) και αυτή πρέπει να εντοπιστεί, ταυτόχρονα με τις κατάλληλες ροές επάνω στις ακμές.
ΘΕΜΑ 3 ο ερώτημα Αρχικά πρέπει να υπολογιστεί η μέση τιμή (αναμενόμενη διάρκεια) και η διασπορά των δραστηριοτήτων A, D και G. Από τους τύπους υπολογισμούς αυτών των παραμέτρων a m b, b a προκύπτει ότι: A και, A D και D, G και G. Συνεπώς, το δίκτυο του έργου με τις μέχρι στιγμής πληροφορίες διαμορφώνεται ως ακολούθως: B 3 F START Α D G FINISH C E 7 από όπου και προκύπτει ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΕΝΩΡΙΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΒΡΑΔΥΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΧΡΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΘΩΡΙΟ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ A 0 0 0 B 7 C 0 D 3 E 0 F G 30 30 0 Κρίσιμη διαδρομή: A C E G Αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου: μ = 30 ημέρες με τυπική απόκλιση: σ = A C E G.7777.33333 ημερών. ερώτημα i) Καθυστέρηση ημερών (η Α ανήκει στην κρίσιμη διαδρομή και έχει χρονικό περιθώριο 0 ημερών). ii) iii) iv) Καμία καθυστέρηση (η Β δεν ανήκει στην κρίσιμη διαδρομή και έχει χρονικό περιθώριο ημερών). Καθυστέρηση ημερών (η D δεν ανήκει στην κρίσιμη διαδρομή και έχει χρονικό περιθώριο ημέρας). Καθυστέρηση ημερών (η F δεν ανήκει στην κρίσιμη διαδρομή και έχει χρονικό περιθώριο ημέρας). v) Καθυστέρηση ημερών (η Β και D δεν ανήκουν στην κρίσιμη διαδρομή και έχουν χρονικό περιθώριο vi) και ημερών αντίστοιχα, οπότε η καθυστέρηση οφείλεται αποκλειστικά στην D). Καθυστέρηση ημερών (η D και F δεν ανήκουν στην κρίσιμη διαδρομή και έχουν χρονικό περιθώριο
από ημέρα, οπότε οι και ημέρες καθυστέρηση εκάστης θα προκαλέσουν στο έργο συνολική καθυστέρηση +- = ημερών). ερώτημα 3 Η τ.μ. Χ = Χρόνος Ολοκλήρωσης του Έργου ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ = 30 και διακύμανση.7777.33333. Τότε: A C E G X-30 a-30 a-30 Prob X a 0. Prob 0..33 a 0..33333.33333.33333 τιμή την οποία στρογγυλοποιούμαι στις ημέρες. Συνεπώς προκειμένου κ κ. Παπά να είναι σίγουρη με πιθανότητα % ότι η οργάνωση του χορού θα έχει ολοκληρωθεί μέχρι τις /, πρέπει να προγραμματίσει τη συνάντηση ημέρες νωρίτερα, δηλαδή στις /.
ΘΕΜΑ ο Πρόκειται για ένα παίγνιο δύο παικτών μηδενικού αθροίσματος. Η εφαρμογή του κριτηρίου minimax απευθείας στον πίνακα πληρωμών του παίκτη Α χωρίς διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών, όπως βλέπουμε στoν παρακάτω πίνακα, δεν μπορεί να δώσει αμιγείς στρατηγικές και υποδεικνύει την ανυπαρξία σημείου ισορροπίας. Πράγματι, η Maximin τιμή του παίκτη Α (επιχείρηση Α) είναι ίση με 0 (τομή των στρατηγικών Α Β) και η Minimax τιμή του παίκτη Β (επιχείρηση Β) είναι ίση με (τομή των στρατηγικών Α Β). Β Β Β3 Row Min Maximin Α - 3 - Α 0 0 0 Α3 3 - - Α -3 - -3 Col Max 3 Minimax 3 0 3 Επομένως, αφού δεν υπάρχει κοινό σημείο ισορροπίας (δηλαδή δεν υπάρχουν αντίστοιχες αμιγείς στρατηγικές που θα μπορούσαν να ισορροπήσουν οι δύο παίκτες) θα προχωρήσουμε στον εντοπισμό μεικτών στρατηγικών. Συνεχίζουμε με τη διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών. Η στρατηγική Β3 διαγράφεται ως υποδεέστερη της Β, οπότε ο πίνακας πληρωμών μειώνεται στον ακόλουθο πίνακα διάστασης, όπου δεν υπάρχουν άλλες υποδεέστερες στρατηγικές. Β y Β -y Α - Α 0 Α3 3 - Α -3 Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη γραφική μέθοδο επίλυσης. Ονομάζουμε y την πιθανότητα ο παίκτης Β να ακολουθήσει τη στρατηγική Β οπότε (-y) είναι η πιθανότητα να εφαρμόσει τη στρατηγική Β3. Για τον παίκτη Β με τις δύο στρατηγικές έχουμε τις παρακάτω σχέσεις: V(B, A) = y - (-y) = y - V(B, A) = 0y + (-y) = -y + V(B, A3) = 3y - (-y) = y V(B, A) = -3y + (-y) = -y + Σύρουμε δύο παράλληλους κάθετους άξονες με ίδια κλίμακα μέτρησης που απέχουν μεταξύ τους μία μονάδα και οι οποίοι αντιπροσωπεύουν τις δύο στρατηγικές του παίκτη B. Ο οριζόντιος άξονας παριστάνει τις τιμές της πιθανότητας y. Μετά φέρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα που παριστάνουν τις πληρωμές στον παίκτη Α (δηλαδή τα V(B, Ai), i=,,3,)) ανάλογα με τη στρατηγική που εφαρμόζει ο A και την πιθανότητα εφαρμογής από τον παίκτη B είτε της B είτε της B. Για να χαράξουμε τα τέσσερα αυτά ευθύγραμμα τμήματα αρκεί να συνδέσουμε τις αντίστοιχες τιμές των δύο αξόνων από τον πίνακα πληρωμών δηλαδή για να χαράξουμε την ευθεία που αντιστοιχεί στο V(B, A) συνδέουμε το - με το, για το V(B, A) συνδέουμε το με το 0, για το V(B, A3) συνδέουμε το - με το 3, και για την ευθεία V(B, A) συνδέουμε το με το -3. Δεν έχει σημασία αν χρησιμοποιήσουμε πρώτα τον αριστερό ή το δεξιό κάθετο άξονα για τη διαδικασία της χάραξης. Στο σχήμα μας, οι τιμές της στήλης της Β είναι στον αριστερό κάθετο άξονα και της Β στον δεξιό αλλά αυτό δεν έχει καμία σημασία, θα μπορούσε να ήταν και αντίστροφα. Απλώς το σχήμα θα έβγαινε συμμετρικό.
Επειδή ο παίκτης Β επιλέγει minimax στρατηγική, αυτό σημαίνει ότι επιλέγει το ελάχιστο από τα μέγιστα. Άρα θα ακολουθήσει την τεθλασμένη γραμμή που βρίσκεται στην ανώτερη περιοχή του σχήματος και η οποία παρουσιάζεται με έντονη κόκκινη γραμμή. Επάνω σ αυτήν, θα επιλέξει το χαμηλότερο (minimax) σημείο δηλαδή το σημείο Κ, όπως σημειώνεται. Ως εκ τούτου, οι στρατηγικές A και Α από την πλευρά του παίκτη A απορρίπτονται αφού δεν συμμετέχουν στον καθορισμό του minimax σημείου Κ και η διάσταση του προβλήματος γίνεται x με τον ακόλουθο πίνακα πληρωμών: Β y Β -y Α x 0 Α3 -x 3 - Από αυτό το σημείο και μετά επιλύουμε το παίγνιο ως πρόβλημα διάστασης κάτι που ως γνωστό γίνεται ως εξής: ονομάζουμε x την πιθανότητα ο παίκτης Α να ακολουθήσει τη στρατηγική Α, οπότε (-x) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει την Α3. Έτσι, για τον παίκτη Α έχουμε ότι V(A, B) = 0x + 3(-x) = -3x + 3 V(A, B) = x - (-x) = x - Θέτοντας V(A, B) = V(A, B) έχουμε ότι: -3x + 3 = x - που δίνει x =, δηλαδή x=/ άρα -x = /. Η τιμή του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων αυτών σε οποιοδήποτε από τα V(A, B) ή V(A, B) δηλαδή είναι V = -3*(/) + 3 = / = *(/) - (,33333) (στο σχήμα καταδεικνύεται με βέλος η τιμή του παιγνίου η οποία είναι στο,33). Για τον παίκτη B έχουμε ότι V(B, A)=V(B,A3) από όπου προκύπτει ότι -y+ = y. Άρα y = / = /3, οπότε -y = /3 (στο σχήμα φαίνεται ότι το σημείο Κ που αντιστοιχεί στην τιμή της πιθανότητας y είναι στο /3 0.7). Συνοψίζοντας το αποτέλεσμα είναι το εξής : Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Α: (0, /, /, 0) Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Β: (/3, /3, 0) Τιμή του παιγνίου V,33 Το φυσικό νόημα της τιμής του παιγνίου είναι ότι, εφόσον επαναληφθεί πολλές φορές το παίγνιο με τους ίδιους όρους (δηλαδή σε πολλές επαναλήψεις της προώθησης του βελτιωμένου υβριδίου καλαμποκιού), το μέσο (αναμενόμενο) κέρδος της επιχείρησης Α σε βάρος της επιχείρησης Β ως προς το μερίδιο αγοράς είναι περίπου,33 ποσοστιαίες μονάδες που πρακτικά σημαίνει ότι μακροπρόθεσμα η εταιρεία Α κερδίζει κατά μέσο όρο,33 μονάδες και η εταιρεία Β τις χάνει. Σε κάθε επανάληψη της προώθησης του βελτιωμένου υβριδίου καλαμποκιού φυσικά πότε κερδίζει ποσοστά η επιχείρηση Α, πότε κερδίζει ποσοστά η επιχείρηση Β σύμφωνα με τον πίνακα πληρωμών. Το αποτέλεσμα που δίνει η τιμή του παιγνίου είναι η μέση τιμή.