Αριθμητική Ολοκλήρωση με τις μεθόδους Τραπεζίου/Smpso Φίλιππος Δογάνης Δρ. Χημικός Μηχανικός ΕΜΠ
Μια πρώτη προσέγγιση Ο χώρος χωρίζεται σε διαστήματα: {... } Prtto P O r ίz o u µe : { } { } m m : M m : å E l άc s t o L, P m å M έg s t o U, P M
Μια πρώτη προσέγγιση å E l άc s t o L, P m å M έg s t o U, P M L U Εκτίμηση του ολοκληρώματος U L S j άl µ
Παράδειγμα d ì ü T µ ήµ t Pí,,,,ý î þ τέσσερα ίσα διαστήματα 9 m, m, m, m 6 6 9 M, M, M, M 6 6 g,,,
Παράδειγμα å E l άc s t o L, P m é 9 ù L, P ê ë 6 6ú û 6 å M έg s t o U, P M é 9 ù U, P ê ë 6 6 ú û 6 æ ö Εκτίμηση του ολοκληρώματος ç è 6 6 ø æ ö S j άl µ < ç è 6 6 ø 8 5
Αριθμητική ολοκλήρωση Γενικά : å d» Μέθοδοι Newto-Cotes Ισαπέχοντα σημεία στην περιοχή ολοκλήρωσης Χρήση πολυωνύμων παρεμβολής Μέθοδοι Guss Μη ισαπέχοντα σημεία στην περιοχή ολοκλήρωσης α - Ολοκλήρωση κατά τμήματα Προσαρμοζόμενη ολοκλήρωση
7 Μέθοδοι Newto- Cotes Μέθοδος Τραπεζίου Πολυώνυμο πρώτης τάξης Μέθοδος Smpso Πολυώνυμο δεύτερης τάξης»» d d d d
Αριθμητική ολοκλήρωση Μέθοδοι Newto- Cotes Πολυώνυμα παρεμβολής Lgrge d L, Õ ¹ k k k k L,, å å d L d P, Οπότε: με: å L P,
Αριθμητική ολοκλήρωση Μέθοδος Τραπεζίου Πολυώνυμο παρεμβολής Lgrge P P [ ] [ ] d d d d º ú û ù ê ë é» º º Οπότε: α
d I d I ø ö ç è æ ø ö ç è æ» Μέθοδος Τραπεζίου Για ένα διάστημα
Μέθοδος Τραπεζίου Για πολλά διαστήματα E µ d ό Το διάστημα [,] επιμερίζεται σε τμήματα... d άθροισμα των εμβαδών των τραπεζίων
Μέθοδος Τραπεζίου Γενική και ειδική μορφή Αν το διάστημα επιμερίζεται σε τμήματα όχι απαραίτητα ίσα... d» å Ειδική περίπτωση ίσα διαστήματα or ll é d» ê [ ] å ë ù ú û
Παράδειγμα Δίνεται πίνακας με την ταχύτητα ενός αντικειμένου. Tme s.... Velocty m/s. Εκτιμήστε την απόσταση που διανύθηκε το χρονικό διάστημα [,]. Απόσταση ολοκλήρωμα της ταχύτητας Απόσταση V t dt
Παράδειγμα Το διάστημα επιμερίζεται σε υποδιαστήματα Τα σημεία είναι:,,, M έq o d o V t r p e z ίo u { } Χρόνος s.... Ταχύτητα m/s é T ê å ë é ù Απόσταση ê 9 ë ú û. ù ú û
Υπολογισμός του σφάλματος Μέθοδος Τραπεζίου Πόσα ίσα διαστήματα απαιτούνται ώστε να υπολογιστεί το s d με ακρίβεια 5ου δεκαδικού ψηφίου; p 5
Υπολογισμός του σφάλματος Μέθοδος Τραπεζίου Θεωρητικά Υπόθεση: '' συνεχής στο [,] ίσα διαστήματα πλάτους Θεώρημα: Εάν η τραπεζοειδής μέθοδος χρησιμοποιηθεί για την προσέγγιση του d τότε: '' Error ό p o u Î [,] Error m '' Î [, ] 6
Παράδειγμα p s d, να βρεθεί ώστε error Error m '' Î [, ] p ; ; ' cos ; '' s p '' Þ Error 5 5 6 Þ p 5 7
Παράδειγμα..5..5.....8.7 Χρησιμοποιήστε την μέθοδο τραπεζίου για να υπολογίσετε το: d T, P å Ειδική περίπτωση: για κάθε, é T, P ê å ë ù ú û 8
Παράδειγμα..5..5.....8.7 é d» ê å ê ë.5 5.9 é ê ë...8 ù ú ú û..7 ù ú û 9
Αριθμητική ολοκλήρωση Μέθοδος Smpso Πολυώνυμο παρεμβολής Lgrge P P [ ] d d d d» Οπότε: α τα πολυώνυμα είναι ης τάξης Η προσέγγιση βασίζεται στην χρήση μιας παραβολής ανάμεσα σε διαστήματα. Επομένως η μέθοδος Smpso / χρησιμοποιείται μόνο με άρτιο αριθμό διαστημάτων και περιττό αριθμό σημείων. Γενικός τύπος:
Μέθοδος Smpso / Προσέγγιση της συνάρτησης με παραβολή [ ] c c c c d» å L
Μέθοδος Smpso /8 Προσέγγιση της συνάρτησης με πολυώνυμο d» å c 8 c [ ] c c c L
Παράδειγμα :Μέθοδοι Smpso Υπολογίστε το ολοκλήρωμα: Μέθοδοι Smpso / e d Μέθοδοι Smpso /8 [ ] I e d» 8 é e e ù 8. ë û 56.96 8. e 57.96% 56.96 é 8 ù I e d» 8 ê ë ú û / [ 9.89 55.9 9.8 ] 689.9 8 56.96 689.9 e.7% 56.96
Κανόνας Τραπεζίου με διαφορετικό αριθμό διαστημάτων Δυο διαστήματα Τρία διαστήματα 7 7 6 6 5 5 5 7 9 5 7 Τέσσερα διαστήματα 5 7 9 5 7 Πολλά διαστήματα 6 6 5 5 5 7 9 5 5 7 9 5
Μέθοδος τραπεζίου με πολλά διαστήματα d d d [ ] [ ]! [ ] [!! ]!! d
Μέθοδος τραπεζίου με πολλά και άνισα διαστήματα Υπολογισμός του ολοκληρώματος,,.5,.5 I e d I d d d [ ] [ ].5.5 [.5] [.5 ] [ ] [ ] [ e.5 ] 6 6 7 e e e e.5 [ ] 7 8.5e e 597.58 Þ e.5%.5 d
Μέθοδος Smpso με πολλά διαστήματα... - -
Μέθοδος Smpso με πολλά διαστήματα Υπολογίστε το ολοκλήρωμα: αρ. σημείων :, πλάτος: I e d I [ ] [ ] 8 e e 8. Þ e 57.96% αρ. σημείων : 5, πλάτος: I 567.975 [ ] [ e e e e ] 6 8 Þ e 8.7%
Μέθοδος Smpso με πολλά και άνισα διαστήματα Υπολογίστε το ολοκλήρωμα: αρ. σημείων:, πλάτος:.5,.5 I d.5 5. I d [.5 ] e [.5 ].5 Þ e.76% d [.5 ] [.5 ] 6 6 7 8 e e e e e
Συγκρίνοντας το σφάλμα ανά μέθοδο και αριθμό σημείων Αριθμός σημείων % σφάλμα Smpso / με πλάτος 57.96 Smpso /8 με πλάτος /.7 Τραπεζίου με άνισα διαστήματα 5,,.5,.5.5 Smpso / 5 με πλάτος 8.7 Smpso / με άνισα διαστήματα με πλάτος.5 με πλάτος.5.76
Εφαρμογή στην Χημική Μηχανική Καθώς μελετήθηκε μια κυψέλη καυσίμου, καταστρώθηκε ένα ηλεκτροχημικό μοντέλο για το ρεύμα οξυγόνου- μεθανόλης. Μια απλοποιημένη μορφή του μηχανισμού κατανάλωσης του οξυγόνου δίνεται παρακάτω: T # 6.7.5 7 & % d $.6 '. Ζητείται να υπολογιστεί ο χρόνος που απαιτείται για την κατανάλωση του 5% της αρχικής ποσότητας. 6 m με την μέθοδο Smpso σε διαστήματα.. Βρείτε το πραγματικό σφάλμα για το ερώτημα. Εισαγωγικά για τις κυψέλες καυσίμου εδώ: ttps://www.youtue.com/wtc?vikswd6n6c
Εφαρμογή στην Χημική Μηχανική é ù T ê ú ê å å ú ê ë odd eve ú û 6. 6.6 6 6.6..55 é 6.7.5 ê ë.6 7 ù ú û 6
Εφαρμογή στην Χημική Μηχανική 6. 6 7 6 é 6.7..5 ù..58 ê 6 ú ë.6. û 6 6 6..55.675 6 7 6 é 6.7.675.5 ù.675 ê.799 6 ú ë.6.675 û 6 6 6.675.55.95 6 7 6 é 6.7.95.5 ù.95 ê 6 ú.89 ë.6.95 û 6 6 6.95.55.765 6 7 6 é 6.7.765.5 ù.765 ê.95 6 ú.6.765 6.6 ë 6 7 6 é 6.7.6.5 ù.6. ê ë.6.6 6 ú û û
Εφαρμογή στην Χημική Μηχανική é T å ê ë odd 6 ê ú ê å.6 ú eve ù ú û. 6 [..6 ] 6 6.6.6.6 6 6 é ê ê ë é ê ê ë 6 6..675 ú ú ù 6 6 6.765.95.6 û.58.799 ú ú ù.95.89. û 6 é ê ê ê ê ê ê ë 6. å å eve odd ú ú ú ú ú ú û 6.6 96.987 sec ù
Εφαρμογή στην Χημική Μηχανική Υπολογίζοντας επακριβώς το ολοκλήρωμα έχουμε: T.6 6 æ 6.7.5 ç ç è.6 6. 7 ö d ø 95 sec οπότε το σφάλμα είναι: e Αναλυτική λύση Αριθμητική λύση 95-96.987 -.988
Εφαρμογή στην Χημική Μηχανική Πιο μεγάλη αξία έχει τις περισσότερες φορές να κρίνουμε το ολοκλήρωμα ως ποσοστό της ακριβούς τιμής του ολοκληρώματος, για να μπορούμε να δούμε την σχετική απόσταση. Για την συγκεκριμένη περίπτωση είναι: Error &'.** ','-..%
Αριθμητική ολοκλήρωση Υπολογισμός σφαλμάτων Ποσοστιαίο σφάλμα Μεθ. Τραπεζίου Πραγματικό σφάλμα Εκτιμώμενο σφάλμα Μεθ. Smpso Αριθμός Υποδιαστημάτων