Α. ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ. Η γραφική παράσταση της συνάρ τησης f είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να βρεθούν τα παρακάτω όρια: α) γ) ε) ζ) + - + f () β) f () - - - f () δ) f () f () στ) f () f () + B. 0 - f() με g 0 g() 0 y 4 - -. Να βρειτε τα ορια : Ι) + 5 ιι) ( 5 ( + ) 4 ) ιιι) + + + + + 4 ιv) v) 4 + + + 5 6 Γ. ΜΟΡΦΗ 0 0 Ι. ΟΡΙΟ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ -. Βρειτε τα ορια : i) - + ii) ( ) iii) 4 iv) (α + ) + α α α 4. Να βρεθούν τα όρια α ) - -+ β) 4 + -5-4 + 5
ΙΙ. ΟΡΙΟ ΑΡΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5. Να βρειτε τα ορια: i) 4 ii) + 5 + iii) 5 + 4 + 0 6. Να βρειτε τα ορια: i) 4 ii) 7+ + iii) f() f() f() όταν f() = iv) - + - -. 7. Να βρεθούν τα όρια a) +7- -- -- β) - 4 - ΙΙΙ. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ 8. Να βρειτε τα ορια: Ι) 4 ιι) + + 5 + 4 Ιιι) 9 6 + 9 f () 4 + f() 5 ιv), αν f() =, f () + 9. Να βρειτε τα ορια: ι) + 5 5+ + Ιιι) 0 ιι) + + + Δ. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ 0. Δινεται η συναρτηση ι) f(), αν < + f() =, αν [,) (, ) +, αν [, ) 7 ιι) f() ιιι) f() Να υπολογισετε τα ορια ιv) f() 6
. Να βρεθει το όριο f () - αν χ < - α) f ( ) = 7 αν χ = χ +- αν χ > -. Να βρεθούν τα α και β ώστε η συνάρτηση +α + β 0, f = +, ( ( α - β,4 να έχει όριο στο χ= και στο χ= Ε. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ. Αν f () 4f() 5 να βρεθει το f() 4. Αν 5f() 6, R βρειτε το f() 0 5. Αν για τη συναρτηση f : R R υπολογισετε τα ορια i) 6. Αν + + + ισχυει η σχεση + f() + +,να f() ιι) f() ιιι) f () + f() k, R και το διαγραμμα της f περναει από το f() f() σημειο Α(,) να βρεθει το 7. Αν + 5 9 ( 4)f() 4 να βρεθουν τα ορια f(), f() f() 8. Αν για τη συναρτηση f : R R ισχυει f(f()) f(), R 9. Αν ν+ (f f) () (ν + )f() + ν να βρεθει το, ν N ( ) f()= g f()- g() - βρείτε το 0. Α) Αν είναι f ()= 0 α, τότε: βρείτε τα f ( ),g α α f()= 0 α Β) Αν f +g = 0 α 7
. Αν (Βασική άσκηση μην νομίσετε εξαρχής ότι ξεχωριστά τα όρια υπάρχουν) ( α ) ( α ) f = 0 g = 0 f >0,g >0 βρείτε το g ΣΤ. ΟΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Να βρείτε τα όρια ημ5χ εφχ ημ( χ -) εφχ i) ii) iii) iv) 0 χ 0 χ 0 χ - 0 ημχ ημχ ημχ v) vi) 0 χ +5 0 χ+4-. Να υπολογισετε τα ορια ι) ημ( κ) + ημ(ν) 0 + ιι) 0 - ημ - συν + 5 5 ιιι) 0 ημ ιv) 4 4 ημ συν εφ π 4 v) 0 + εφ εφ ημ 4. Να βρείτε το θετικό ακέραιο ν ώστε: 5. Να βρείτε το θετικό ακέραιο ν ώστε: 0 0 ημ + ημ +... + ημν ημ ημ... ημν ν = 8. = 0 6. Να υπολογισετε τα ορια ι) ν ημ 0 ιι) ν ημ.συν 0 7. Αν f () 8 ημ να βρεθει το π 8. Αν f() ημ.ημ, R 9. Αν f() 0. Να βρεθει το f() 0 f() f() + f( ).ημ(a) =, να βρεθει ο α R, ωστε = 7 0 0 4 ημ 0. Αν f() ημχ συν, R και f() = a, να βρειτε τον α. 0 8
Ζ.ΟΡΙΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Θ.Λ.Λ. ι) Αν ιι) Αν (f() + 5) = 7,να βρεθει το = g() ( )f() 5 και = 4, + f() να υπολογισετε το f()g(). ι) Αν = + =, Ιι) Ιιι) [f() g()] και [f() g()] 6 υπολογιστε τα f(), g() f = 0ημ 6 f βρείτε τα,f g 0 g 0 ( + -) g ( ) =0 0 f ημ - g = 5 0 4 βρείτε τα f ημ + g f ( ),g ( ) 0 0 = 7 0 4. Αν f() g() = και = 5 0 + 0 + 4 βρειτε το f() 0 g() 4. Αν f()+f(-α)=0, a 0. Αν f() =, τοτε βρειτε το f() α 0 5. Αν f συναρτηση ορισμενη στο R, f(α+β) = f( α)+f(β) για κάθε α,β R Και f() = 4 0 f() f(ξ) να βρειτε το, ξ R ξ ξ 6. Αν f () + g () = 0 0, τοτε να δεχθει ότι f() = g() = 0 0 0 7. Εστω το πολυωνυμο π(χ)= α + β + γ, γ 0 αν να βρεθει το (f π f)() 0 f() = και f() = 0 0 0 8. Αν f () f() + συν 0 για κάθε χ R, να αποδειχθει ότι f() = 0 Η. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ 9. Αν + a + β 5 f() = να βρεθουν οι α,β R ώστε f() = 40. Να βρειτε τους πραγματικους αριθμους α,β ώστε α + β = 5 9
4. Αν k + (λ + ) + 4 = L R ( ), να βρεθουν τα κ,λ, L. R. 4. Δίνεται η συνάρτηση f = α + 8 + - -β f διέρχεται από το Α(0,/ ) και f = λ.αν η γραφική παράσταση της να βρεθούν τα α,β και λ 4. Αν + 5+α +β- =5 -, να βρείτε τα α,β R f() 44. Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο R με =. Να βρεθεί 0 ημ ( ημ)f()+μ ο μ R : = - 4 0 ημ -f() ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ χ0 Ι. ΜΟΡΦΗ 0 α 45. Να βρειτε αν υπαρχουν τα ορια Ι) + ιι) ιιι) 0 46. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν τα παρακάτω όρια α) της f () = - ( - ) ( + ) στο 0 = - β) της f () = + + στο 0 = - 47. Να βρειτε αν υπαρχουν τα ορια i) - -4 - ii) - 0 ημ ΙΙ. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ 48. Για τις διαφορες τιμες των παραμετρων να βρειτε τα ορια 0
Ι) 0 c ++d -β- -α ιι) α -α Ιιι) +(b + ) -6-4 49. Να βρειτε τα α, β R ώστε 50. Να βρειτε τα α, β, γ R ώστε iv) c - c -, c 0 0 α + + + β = 4 α + (β + ) + γ + = 6 ΙΙΙ. ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θ.Λ.Λ 5. Αν + = Να βρειτε το f() f() 5. Αν f() ημ (π) = + Να βρειτε το ( + α) f() 5. Αν η συναρτηση f είναι ορισμενη στο R και ισχυει f() = να υπολογισετε τον αριθμο m ώστε (m )f () f () mf () f () + + =. + + 54. Αν η συναρτηση f είναι ορισμενη στο R και ισχυει f() f() + bf(b) + f = + να υπολογισετε το, 0 55. Οι συναρτησεις f και g είναι ορισμενες στο R με f() > 0 και g() > 0 για κάθε R. Αν ισχυουν και 0 (f() + g()) = 0 f() = + να υπολογισετε τα ορια f() g() 0 και g(). 0 56. Εστω μια πολυωνυμικη συναρτηση Ρ βαθμου ν = g (e ) με g() = e. Αν η C p διερχεται από το Ο(0,0) και ισχυουν P() = 0 και P() =, τοτε Ι) Να βρειτε τον τυπο της Ρ
ΙΙ) Να βρειτε το P(συν) + 0 + ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Ι. ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ 57. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. α)να βρείτε τα όρια: f (), - f (), + f (), f (). + β) Τι συμπεραίνετε για το y 0 ; f () y 58. Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f. Β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f. Β. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια
α) f β) f γ) f 5 δ) f 7 ε) f 9. Μονάδες 4 Για τα όρια που δεν υπάρχουν να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 7 B. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια. α) β) f ( ) γ) f 6 f ( ) ( f ) 8 Μονάδες 9 B4. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η f δεν είναι συνεχής. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες B5. Να βρείτε τα σημεία 0 του πεδίου ορισμού της f για τα οποία ισχύει f = 0. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Μονάδες 0 ΙΙ. ΟΡΙΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ 59. Να βρεθουν τα ορια στο + των παρακατω συναρτησεων. Ι) f()= - 4 + 5 + ιι) ( 4 - + ) + ιιι) ( + 4 + +) - 60. Να βρεθουν τα ορια στο + και στο - των παρακατω συναρτησεων. Ι) f() (α ) ( α ) = + + f()=( α α ) + 6 7 6. Να βρεθούν τα όρια α ) III. ΟΡΙΟ ΡΗΤΗΣ 4 + - - 5 β) + 5 + + - 5 6. Να βρεθουν τα ορια στο + και στο - των παρακατω συναρτησεων. 5 i) f() = ii) f() = + 6. Να υπολογίσετε το όριο για τις διάφορες του μ 64. Αν - 4 + +4 f = -α +β f = - + + 4 + μ - + - - μ - + να βρείτε τις τιμές των α και β ώστε το όριο 65. Για τις διαφορες τιμες του α R να υπολογισετε τα ορια στο παρακατω συναρτησεων. Ι) 5 4 (α +4) +α -5 f()= (α +) 4-7 + ± των
ΙΙ) +6 - f()= ( +α -) - ΙΙΙ) f()= (α -α-) -(α -) + -9 (α -) + -7 ΙΙΙ. ΟΡΙΑ ΑΡΡΗΤΩΝ 66. Να βρεθούν τα όρια Ι) 4 + 5 - - +, ΙΙ) + 4 + + - 67. Να βρεθουν τα ορια ι) + 5 5 + -5 + - 4 + 7 7 6-8 + +6 - ιι) - 4 + +6 +7-6 -4+9+-7 68. Να βρειτε τα ορια ι) iv) ( +- -) + ιι) ( 9 5 7 ) + + v) [( ) + iii) ( + + 5 + ) + + + + + + 7 5 4 69. Να υπολογισετε τα ορια ι) ( 4 5 6 5 5 + ιιι) 4 4 + + + + + ιι) ( + 6 4 + 4+ 9 + ) f() ( 4 α) = + + iv) ± f() = ( + 4 + + α) 70. Αν 4 + 5 f() 4 + 6, να βρεθει το f () + 7. Να βρεθουν τα α, β R ώστε ( + + a + β ) = + 7. Αν για κάθε χ > 0ισχυει 4 4 (+ )f () +, να δειξετε ότι f () = f () + 7. Δινεται η συναρηση f : (0, + ) R, mε = 6 να βρειτε το + + 4 f () + f() 74. Αν =, ( )g() = 5. Να βρεθει το [f ()g()] + + + + + IV. OΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ 75. Να υπολογισετε τα ορια ι) ( ηm ) + ιι) ( ν ηm ) + 6 4
ηm 5 ηm + 6 ιιι) ιv) 6 4 + 5 ηm + 4 76. Να βρειτε το ( 6 + 4) ηm ± ημχ Ι ) και ΙΙ) +ημχ + χ + 77. Να βρεθούν τα όρια 78. Να βρεθούν τα όρια συνχ Ι) ΙΙ) χ - + χ + συνχ χ -συνχ 79. Να βρεθούν τα όρια Ι) ημ, ).συν, ).ημ + χ ΙΙ - χ ΙΙΙ + χ 80. Βρείτε τα παρακάτω όρια:.ημ Ι) + + ΙΙ) ημ - + + + + - +006 V. ΟΡΙΑ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ 8. Να υπολογισετε τα ορια 4 + α ι) ιι) ± + ± 64 ιιι) α α α + α + + 4 + + + α ιv) + + +, α > 0 v) + 4 4 + - 8. Αν f () = ln, να βρείτε: α) το πεδίο ορισμού της f β) τα όρια f (), + 8. Δίνεται η συνάρτηση f () = n f (), f (), 0 f (). + κ, κ > 0. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να βρείτε τα όρια f (), f (). γ ) Να δείξετε ότι 0 + η f () ln > 0 και να βρείτε το όριο (f () - n). + ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΙΑ 5
84. Το ποσοστό της ανεργίας σε μια χώρα είναι % και εκτιμάται ότι σε έτη από 6 + 6 τώρα θα δίνεται από τον τύπο f () =. α) Να αποδείξετε ότι: + f () = 8 +. β) Να εξηγήσετε γιατί η ανεργία δεν θα πέσει ποτέ κάτω από + το 8%. γ) Μετά από αρκετά χρόνια, ποιο θα είναι περίπου το ποσοστό ανεργίας; 85. Έστω Ρ(χ) = χ ν + αν-χ ν- + αν-χ ν- + + αχ + α0 και Q(χ) = χ ν + βν-χ ν- + βν-χ ν- + + βχ + β0 και έστω ακόμη H = ν Ρ( χ) ν Q, i) Να αποδείξετε ότι το πεδίο ορισμού της Η περιέχει αν- -βν- ένα διάστημα της μορφής (α,+ ). Να αποδείξετε ότι: H()=. + ν 86. Έστω πολυώνυμο f() τέτοιο ώστε f(0) = -4, f f =, και =, όπου α,β R με β 0. Να βρείτε το + + α + α πολυώνυμο f() και τις σταθερές α,β. (University of New York). 87. Α) Δίνεται η συνάρτηση f: R R με τύπο f(t)= t +( + y )t + - t +4yt +, όπου (χ,y) είναι οι συντεταγμένες σημείου Μ του επιπέδου. Να αποδείξετε ότι αν ισχύει f( t ) = 0, τότε το σημείο Μ ανήκει σε κύκλο. t Β) Δίνεται η συνάρτηση f: R R με τύπο f(t)= t +t + - t -yt +5y, όπου (χ,y) είναι οι συντεταγμένες σημείου Μ του επιπέδου. Να αποδείξετε ότι αν ισχύει f( t ) =, τότε το σημείο Μ ανήκει σε ευθεία. Γ) Να βρείτε τα t κοινά σημεία της ευθείας και του κύκλου. 88. Να βρεθεί το πολυώνυμο Ρ(χ) αν ισχύει ότι P(χ) =, για κάθε χ0 R. 0 χ -χ + P(χ) = χ -χ + και 89. Δίνεται η συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει: f ()+f()= για κάθε R Ι) Να δειχθεί ότι η f είναι -. ii)να λυθεί η εξίσωση f() = 0. f f iii) Για > 0 να δείξετε ότι f<. Να βρείτε τα όρια: και + + 6
90. Δίνεται η συνάρτηση g με τύπο οποία f ν +a +β g()= ν Ν και α,β R για την - g = και η συνάρτηση f: R R για την οποία = l και f f 4 α f + 8β ηm = 0 0 για κάθε. α) Να βρείτε τα α, β ως συνάρτηση του ν. β) Αν α, β αρνητικοί, να βρείτε τον λ R. 9. Έστω η συνάρτηση f : (,0) R 7 4 με f() = + + 5 + ηµ + συν () f() Να βρείτε τα όρια (α) f() (β) 9. Δίνονται οι συναρτήσεις,g : R R g() και = + f() f για τις οποίες ισχύει: = + +. Να βρείτε τον R ( α + )f() + g() + συν α ώστε = 6 + f() + g() + ηm. 7
8
9