Γενικές ασκήσεις σχ. βιβλίο σελίδας 47 49. Αν µια σρµάτινη ράβδος είναι οµογενής, τότε η γραµµική της πκνότητα ρ ρ m και µετριέται σε χιλιόγραµµα l ορίζεται ως η µάζα της ανά µονάδα µήκος ( ) ανά µέτρο (kgr/m). Όµως αν η ράβδος δεν είναι οµογενής και η µάζα της µετρούµενη από το αριστερό άκρο της µέχρι το σηµείο πο απέχει από το άκρο ατό απόσταση µέτρα δίνεται από τη σνάρτηση m f(), τότε ορίζοµε ως γραµµική f (+ h) f () πκνότητα ρ στο σηµείο το όριο lim, δηλαδή την παράγωγο h 0 h της µάζας ως προς το µήκος. + h Αν ποθέσοµε ότι για µια ράβδο η µάζα της δίνεται από τη σνάρτηση m f(), όπο το µετριέται σε µέτρα και η µάζα της σε χιλιόγραµµα, να βρεθεί i) η µέση πκνότητα το τµήµατος της ράβδο στο διάστηµα [,,] ii) η γραµµική πκνότητα της ράβδο για i) f (, ) f (), Μέση πκνότητα ρ,, 0, 0, ii) Η γραµµική πκνότητα της ράβδο για είναι f (). Αλλά f () ( ), οπότε f () 0, 0, 0
. Το κόστος C της ηµερήσιας παραγωγής µονάδων ενός προϊόντος από µια βιοτεχνία πο απασχολεί ν εργάτες δίνεται από τον τύπο C() ν + 5ν ερώ. Το κέρδος ανά µονάδα προϊόντος είναι 6 ν ερώ. Να βρείτε πόσες µονάδες πρέπει να παράγονται ηµερησίως και από πόσος εργάτες, ώστε να έχοµε ελάχιστο κόστος και µέγιστο κέρδος. C () 6ν ( ν) C () 0 ν 0 ν C () > 0 ν > 0 > ν Το πρόσηµο της C και η µονοτονία της C φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 0 ν + C 0 + C γν. φθίν γν. αύξ Άρα η f παροσιάζει ελάχιστο για ν µονάδες προϊόντος. Εποµένως, για να έχοµε ελάχιστο κόστος πρέπει από ν εργάτες να παράγονται ηµερησίως ν µονάδες προϊόντος. Αφού το ηµερήσιο κέρδος ανά µονάδα προϊόντος είναι 6 ν, το σνολικό ηµερήσιο κέρδος για ν µονάδες προϊόντος θα είναι (6 ν) ν. Θεωρούµε τη σνάρτηση Κ (ν) (6 ν) 4(8 ν) Κ (ν) 0 8 ν 0 ν 8 Κ (ν) > 0 8 ν > 0 ν < 8 Κ(ν) (6 ν) ν Κ(ν) (6ν ν ) πο εκφράζει το ηµερήσιο κέρδος Το πρόσηµο της Κ και η µονοτονία της Κ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 0 8 + Κ + 0 Κ γν. αύξ γν. φθίν Άρα η Κ παροσιάζει µέγιστο κέρδος για ν 8 εργάτες, τότε η ηµερήσια παραγωγή είναι 8 6 µονάδες προϊόντος. Εποµένως έχοµε ελάχιστο κόστος και µέγιστο κέρδος όταν παράγονται 6 µονάδες προϊόντος από 8 εργάτες
. Σε ποιο σηµείο της γραφικής παράστασης της σνάρτησης f() η εφαπτοµένη έχει τον ελάχιστο σντελεστή διεύθνσης; Πεδίο ορισµού το. + Στο τχαίο σηµείο (, f()), o σντελεστής διεύθνσης της εφαπτοµένης είναι f () + 6. Ατής της σνάρτησης αναζητάµε το ελάχιστο. f () 6 + 6 6( + ) f () 0 + 0 f () > 0 + > 0 > Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα + f 0 + f γν. φθίν γν. αύξ Άρα η f παροσιάζει ελάχιστο για Είναι f( ) ( ) + ( ) ( ) + + Άρα το ζητούµενο σηµείο είναι το (, )
4 4. Σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα δίνεται το σηµείο Α(α, β) το πρώτο τεταρτηµορίο. Μια εθεία ε διέρχεται από το Α και τέµνει το θετικούς ηµιάξονες Ο και Oy στα p και q αντιστοίχως. Να δείξετε ότι η ελάχιστη τιµή το αθροίσµατος p + q είναι ίση µε ( ) α+ β. Έστω ε : y λ + µ, όπο λ < 0 αφού η ε τέµνει τος θετικούς ηµιάξονες. Θα βρούµε όλα τα στοιχεία το προβλήµατος σναρτήσει της µεταβλητής λ και βέβαια των σταθερών α, β. Α ε β λα + µ µ β λα Άρα ε : y λ + β λα () Για y 0, η () λ + β λα 0 λ λα β O y Q(0, q) Α(α, β) P(p, 0) α β λ () p α β λ Για 0, η () y β λα q β λα () () + () p + q α β λ + β λα Θεωρούµε τη σνάρτηση σ(λ) α β + β λα πο εκφράζει το άθροισµα p + q, λ και της οποίας αναζητάµε το ελάχιστο. (Τονίζοµε, ανεξάρτητη µεταβλητή είναι ο λ) σ (λ) 0 + β λ + 0 α β λ α σ (λ) 0 β λ α 0 β αλ 0 αλ β λ β α λ β α β σ (λ) > 0. λ < α Το πρόσηµο της σ και η µονοτονία της σ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα λ β / α 0 σ 0 + σ γν. φθίν γν. αύξ
5 Άρα η σ παροσιάζει ελάχιστο για β α Το ελάχιστο είναι σ β α α β + β β α β α α α + β α β + β + β α α + β α + β + β α ( α ) + β α +( β ) ( α+ β ) 5. Ποιος κύλινδρος µε άθροισµα διαµέτρο και ύψος 0 cm έχει το µέγιστο δνατό όγκο; Έστω η ακτίνα της βάσης και y το ύψος το κλίνδρο. Τότε + y 0 y 0 Ο όγκος είναι V π y π (0 ) π( + 0 ) π( + 0 ) Θεωρούµε τη σνάρτηση V() π( + 0 ) µε 0< < 0 πο εκφράζει τον όγκο. V () π( + 0) V () 0 + 0 0 + 0 0 0 0 V () > 0.. < 0 Το πρόσηµο της V και η µονοτονία της V φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 0 0/ 0 V + 0 V γν. αύξ γν. φθίν Άρα η V παροσιάζει µέγιστο για 0 Οπότε το ύψος θα είναι y 0 0 cm ακτίνα της βάσης. 0 40 0
6 6. Ένα κλινδρικό δοχείο πρέπει να έχει χωρητικότητα lt. Να βρείτε τις διαστάσεις το, οι οποίες ελαχιστοποιούν το κόστος το µετάλλο από το οποίο θα κατασκεαστεί το δοχείο. Έστω η ακτίνα της βάσης και y το ύψος το κλίνδρο σε cm V 000 π y 000 y 000 () π Το κόστος κατασκεής το δοχείο εξαρτάται από την ολική επιφάνειά το Ε. Είναι Ε π + πy π + π 000 π π + 000 Θεωρούµε τη σνάρτηση Ε() π + 000 µε > 0, πο εκφράζει την επιφάνεια. Ε () 4π 000 Ε () 0 4π 000 0 π 000 0 π 000 0 π 000 000 0 π π Ε () > 0. > 0 π Το πρόσηµο της Ε και η µονοτονία της Ε φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 0 0/ π + Ε 0 + Ε γν. φθίν γν. αύξ Άρα η E παροσιάζει ελάχιστο για Τότε, η () y 000 δηλαδή ύψος διάµετρος βάσης 0 π π π 0 000 π ( π) 0 π ( π) 00 ( π) 0 π,
7 7. Από ένα κκλικό δίσκο ακτίνας αφαιρούµε ένα κκλικό τοµέα ΟΑΒ και ενώνοντας τις ακτίνες ΟΑ και ΟΒ κατασκεάζοµε ένα κωνικό ποτήρι. Να βρείτε τη µέγιστη χωρητικότητα το ποτηριού. Έστω η ακτίνα το κύκλο βάση το κωνικού ποτηριού. O Α Β h Ο Α Από Πθαγόρειο θα έχοµε, ύψος κώνο: h Ο όγκος το κώνο θα είναι V() π V () π ( V () 0 ) ( ( ) ) () π ( + π ( + π ( 0 0 0 0 ) ( ) ( ) ) V () > 0 < Το πρόσηµο της V και η µονοτονία της V φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 0 V + 0 V γν. αύξ γν. φθίν Άρα η V παροσιάζει µέγιστο για ακτίνα της βάσης. Τότε, από την () θα έχοµε, µέγιστη χωρητικότητα το ποτηριού : V π 9 π 9 π π π 9
8 8. Αν C() είναι το σνολικό κόστος για την παραγωγή µονάδων ενός προϊόντος, τότε η σνάρτηση C λέγεται σνάρτηση κόστος, το πηλίκο c() C() C(+ h) C() λέγεται µέσο κόστος και το όριο lim λέγεται οριακό κόστος. h 0 h α) Να αποδείξετε ότι, αν για κάποιο το µέσο κόστος είναι ελάχιστο, τότε ισχύει οριακό κόστος µέσο κόστος β) Μια εταιρεία εκτιµά ότι το κόστος (σε δολάρια) για την παραγωγή µονάδων ενός προϊόντος είναι C() + + 600 000 i) Να βρείτε το κόστος, το µέσο κόστος και το οριακό κόστος για την παραγωγή 000 µονάδων, 000 µονάδων και 000 µονάδων. ii) Ποιο είναι το επίπεδο παραγωγής για το οποίο το µέσο κόστος είναι το χαµηλότερο και ποια είναι η ελάχιστη τιµή το µέσο κόστος. α) Επειδή η σνάρτηση c() έχει ελάχιστο για κάποιο, θα είναι C() c () 0 0 C () C() 0 C () C() 0 β) i) C(000) 000 C(000) 000 C(000) 000 C () C() C () C() C(+ h) C() lim h 0 h C() οριακό κόστος µέσο κόστος 000 + 000 + 600. 000 + 000 + 600. 000 + 000 + 600. c(000) C(000) 000 c(000) C(000) 000 c(000) C(000) 000...
9 β) ii) c() C() ( + + 600) 000 000 + + 600 c () 000 600 Το για το οποίο σµβαίνει το ελάχιστο της c, είναι εκείνο για το οποίο έχοµε c () 0 000 600 0 000 600 0 000 600 00 0 6 00 0 0 6 0 00 60
0 9. Αν µονάδες ενός προϊόντος είναι διαθέσιµες για πώληση, τότε η τιµή πώλησης p() της µονάδας το προϊόντος λέγεται σνάρτηση ζήτησης.. Από την πώληση µονάδων το προϊόντος, τα σνολικά έσοδα είναι () p(). H σνάρτηση λέγεται σνάρτηση εσόδων και η παράγωγος λέγεται οριακή σνάρτηση εσόδων. Επίσης από την πώληση µονάδων το προϊόντος το σνολικό κέρδος είναι P() () C(). Η σνάρτηση P καλείται σνάρτηση κέρδος. α) Να αποδείξετε ότι, αν το κέρδος για κάποιο είναι µέγιστο, τότε τα οριακά έσοδα είναι ίσα µε το οριακό κόστος. β) Ποιο είναι το επίπεδο παραγωγής πο µεγιστοποιεί τα κέρδη για µια εταιρεία, αν η σνάρτηση κόστος είναι C() 800 + 5 0,00 και η σνάρτηση ζήτησης p() 50 0,0. α) Επειδή η σνάρτηση το κέρδος P() έχει µέγιστο για κάποιο, θα είναι P () 0 [() C()] 0 () C () 0 () C () οριακά έσοδα οριακό κόστος β) Αναζητάµε το µέγιστο της σνάρτησης το κέρδος P() () C(). Αλλά () p() (50 0,0) 50 0,0 Άρα P() 50 0,0 ( 800 + 5 0,00 ) 50 0,0 800 5 + 0,00 0,009 + 45 800 P () 0,08 + 45 Το για το οποίο σµβαίνει το µέγιστο της P, είναι εκείνο για το οποίο έχοµε P () 0 0,08 + 45 0 0,08 45 45 0,08 45000 8 500 µονάδες προϊόντος
0. Έστω η ταχύτητα το φωτός στον αέρα και η ταχύτητά το στο νερό. Σύµφωνα µε την αρχή το Fermat, µια ακτίνα φωτός από ένα σηµείο Α το αέρα φθάνει σε ένα σηµείο Β το νερού ακολοθώντας µια πορεία ΑΓΒ, η ποία ελαχιστοποιεί τον απαιτούµενο χρόνο. Να αποδείξετε ότι i) ο χρόνος πο χρειάζεται το φως για τη διαδροµή ΑΓΒ είναι + d (d ) + d t() + ii) να πολογίσετε την t () ηµα iii) να αποδείξετε ότι ηµβ i) Έστω t χρόνος για τη διαδροµή ΑΓ και t για τη ΓΒ. Τότε t ΑΓ και t ΓΒ () Πθαγόρεια στα δύο ορθογώνια τρίγωνα : ΑΓ Οι () t + d t + t και t + d + d Θεωρούµε τη σνάρτηση t() της διαδροµής ΑΓΒ για το τχαίο. ii) t () + d + d + d ( + + d ) + + (d ) + d Α α d νερό αέρας d + d, ΓΒ (d ) + d + (d ) + d (d ) + d (d ) + d d (d ) + d iii) Ο χρόνος t() ελαχιστοποιείται όταν t () 0 + d ΑΓ d (d ) + d d ΓΒ 0 (d )( ) Γ d - β d Β (d ) + d πο εκφράζει το χρόνο [(d ) + d ]
(ΓΒ) (AΓ)(d ) 0 () Από τα δύο ορθογώνια τρίγωνα έχοµε ΑΓ Η () d ηµβ ηµα ηµαηµβ (d ) ηµα ηµα ηµβ και ΓΒ d ηµβ