Γενικές ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 47 49

Σχετικά έγγραφα
ρυθμός μεταβολής = παράγωγος

2.0. , κ R, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από το σημείο Ρ=(1,1). Να βρεθεί η τιμή του αριθμού κ.

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

1.4. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας A ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων i) f(x) = x 2x ii) f(x) = 3 x iii) f(x) = x 2x + 4

Ασκήσεις Επανάληψης Γ Λυκείου

2.7. ր ց ց ր. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. 1. H παράγωγος µιας συνάρτησης f είναι. f (x) > 0 3(x 1 ) 3 (x 2 ) 2 (x 3) > 0

είναι τα διανύσματα θέσης της τελικής και της αρχικής του θέσης αντίστοιχα. Η αλγεβρική τιμή της μετατόπισης είναι Δx xτελ xαρχ

και είναι παραγωγισιμη στο σημειο αυτό, τότε : f ( x 0

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

= 5 2cm. 1 64, = ,6 cm

f ( x) x EΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συναρτήσεις ( ) 1. Έστω συνάρτηση f γνησίως αύξουσα στο R τέτοια ώστε να ισχύει

4 0 Κεφάλαιο Στοιχεία Διαφορικού Λογισμού

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΕΠΑΛ Κεφάλαιο ασκήσεις σε 19 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

g x είναι συνάρτηση 1 1 στο Ag = R αλλά δεν είναι γνησίως

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΕΠΑΛ Κεφάλαιο ασκήσεις σε 19 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

1 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Για αρχή 598 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

= x + στο σηµείο της που

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισµός)

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ Κατεύθυνση Κεφάλαιο 1. Kglykos.gr. 359 ασκήσεις σε 19 σελίδες. εκδόσεις.

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, να αποδείξετε ότι:

Επανάληψη Θεωρίας και Τυπολόγιο

Γενικές ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ»

Η ενέργεια ταλάντωσης του Ζ τετραπλασιάζεται όταν το κύμα από την πηγή Β συμβάλλει με αυτό της πηγής Α στο Ζ. Άρα

Παράγωγοι. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Για αρχή 598 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. lim f(x) έχουμε P(x) 2x (1 ). Επειδή. lim ( 2x )

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ- Γ ΓΕΛ 12:50

Λύσεις θεμάτων επαναληπτικών πανελληνίων εξετάσεων. Γ Λυκείου Γενικής Παιδείας. Δευτέρα, 10 Ιουνίου 2013 ΕΣΠΕΡΙΝΑ

F x h F x f x h f x g x h g x h h h. lim lim lim f x

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Κοίλα κυρτά συνάρτησης Σηµεία καµπής Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 1 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 2 Κατεύθυνση σχολικές ασκήσεις 287 ασκήσεις και τεχνικές σε 18 σελίδες. Kglykos.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

Φυσική Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΤΑΙΧΜΙΟ 1. Θέµα 1 ο

2.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 11 Ιουνίου 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ 2 : Ευθύγραµµη κίνηση

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

2x 4 0, αδύνατη. x Πανελλαδικές Εξετάσεις Μαθηματικά Κατεύθυνσης 11 Ιουνίου Θέμα Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ.99

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

Συνοπτική θεωρία - Τι να προσέχουμε Ασκήσεις Θέματα από Πανελλαδικές. γ) g( x) e 2. ln( x 1) 3. x x. ζ) ( x) ln(9 x2) ια) ( ) ln x 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

= R * ως πράξη παραγωγίσιμων συναρτήσεων με 0 x 4 2x 8x 8 x x x x x. και γνησίως αύξουσα στο (0, + ). = με τιμή ( )

g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και

4.6 Η ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Doppler Ακίνητη πηγή ομαλά κινούμενος παρατηρητής

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ- Γ ΓΕΛ 12:50

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΗ ΣΥΜΒΟΛΗ, ΜΙΑ ΣΥΝΘΗΚΗ, ΤΟ ΠΛΗΘΟΣ ΚΑΙ Η ΔΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0.

ΚΥΚΛΟ. κάθετη στη χορδή ΑΒ. τη χορδή. του κέντρου Κ από. (βλέπε σχήμα).

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

( ) ( ) ɶ = = α = + + = = z1 z2 = = Οπότε. Έχουµε. ii) γ) 1ος Τρόπος. Οπότε Ελάχιστη απόσταση είναι:

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

F είναι ίσος µε ν. i ÏÅÖÅ ( ) h 3,f 3.

Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ)

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ. Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας. ΣΟΛΩΜΟΥ 29 - ΑΘΗΝΑ

ερµηνεύσετε τα αποτελέσµατα του ερωτήµατος (α).

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

lim lim ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Tι ορίζουμε ως εφαπτομένης της C f στο σημείο της A x, f ( )); Έστω f μια συνάρτηση και A x, f ( )) ένα σημείο της C

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΥΚΛΟ. 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που περνά από τα σηµεία Α(2,0) και Β(0,0) και έχει το κέντρο του στην ευθεία 2x-3y=0

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Τεστ Θεωρίας Στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου

Φ3-4o0-0 α) ħ β) ħ γ) δ) Ι r 4. Σφαίρα µάζας κινείται µε σταθερή ταχύτητα και σγκρούεται ελαστικά µε τον κατακόρφο τοίχο το σχήµατος. Αν η γωνία πρόσπ

. Το πλάτος Α της σύνθετης αρμονικής ταλάντωσης είναι ίσο με α)

o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0

Transcript:

Γενικές ασκήσεις σχ. βιβλίο σελίδας 47 49. Αν µια σρµάτινη ράβδος είναι οµογενής, τότε η γραµµική της πκνότητα ρ ρ m και µετριέται σε χιλιόγραµµα l ορίζεται ως η µάζα της ανά µονάδα µήκος ( ) ανά µέτρο (kgr/m). Όµως αν η ράβδος δεν είναι οµογενής και η µάζα της µετρούµενη από το αριστερό άκρο της µέχρι το σηµείο πο απέχει από το άκρο ατό απόσταση µέτρα δίνεται από τη σνάρτηση m f(), τότε ορίζοµε ως γραµµική f (+ h) f () πκνότητα ρ στο σηµείο το όριο lim, δηλαδή την παράγωγο h 0 h της µάζας ως προς το µήκος. + h Αν ποθέσοµε ότι για µια ράβδο η µάζα της δίνεται από τη σνάρτηση m f(), όπο το µετριέται σε µέτρα και η µάζα της σε χιλιόγραµµα, να βρεθεί i) η µέση πκνότητα το τµήµατος της ράβδο στο διάστηµα [,,] ii) η γραµµική πκνότητα της ράβδο για i) f (, ) f (), Μέση πκνότητα ρ,, 0, 0, ii) Η γραµµική πκνότητα της ράβδο για είναι f (). Αλλά f () ( ), οπότε f () 0, 0, 0

. Το κόστος C της ηµερήσιας παραγωγής µονάδων ενός προϊόντος από µια βιοτεχνία πο απασχολεί ν εργάτες δίνεται από τον τύπο C() ν + 5ν ερώ. Το κέρδος ανά µονάδα προϊόντος είναι 6 ν ερώ. Να βρείτε πόσες µονάδες πρέπει να παράγονται ηµερησίως και από πόσος εργάτες, ώστε να έχοµε ελάχιστο κόστος και µέγιστο κέρδος. C () 6ν ( ν) C () 0 ν 0 ν C () > 0 ν > 0 > ν Το πρόσηµο της C και η µονοτονία της C φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 0 ν + C 0 + C γν. φθίν γν. αύξ Άρα η f παροσιάζει ελάχιστο για ν µονάδες προϊόντος. Εποµένως, για να έχοµε ελάχιστο κόστος πρέπει από ν εργάτες να παράγονται ηµερησίως ν µονάδες προϊόντος. Αφού το ηµερήσιο κέρδος ανά µονάδα προϊόντος είναι 6 ν, το σνολικό ηµερήσιο κέρδος για ν µονάδες προϊόντος θα είναι (6 ν) ν. Θεωρούµε τη σνάρτηση Κ (ν) (6 ν) 4(8 ν) Κ (ν) 0 8 ν 0 ν 8 Κ (ν) > 0 8 ν > 0 ν < 8 Κ(ν) (6 ν) ν Κ(ν) (6ν ν ) πο εκφράζει το ηµερήσιο κέρδος Το πρόσηµο της Κ και η µονοτονία της Κ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 0 8 + Κ + 0 Κ γν. αύξ γν. φθίν Άρα η Κ παροσιάζει µέγιστο κέρδος για ν 8 εργάτες, τότε η ηµερήσια παραγωγή είναι 8 6 µονάδες προϊόντος. Εποµένως έχοµε ελάχιστο κόστος και µέγιστο κέρδος όταν παράγονται 6 µονάδες προϊόντος από 8 εργάτες

. Σε ποιο σηµείο της γραφικής παράστασης της σνάρτησης f() η εφαπτοµένη έχει τον ελάχιστο σντελεστή διεύθνσης; Πεδίο ορισµού το. + Στο τχαίο σηµείο (, f()), o σντελεστής διεύθνσης της εφαπτοµένης είναι f () + 6. Ατής της σνάρτησης αναζητάµε το ελάχιστο. f () 6 + 6 6( + ) f () 0 + 0 f () > 0 + > 0 > Το πρόσηµο της f και η µονοτονία της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα + f 0 + f γν. φθίν γν. αύξ Άρα η f παροσιάζει ελάχιστο για Είναι f( ) ( ) + ( ) ( ) + + Άρα το ζητούµενο σηµείο είναι το (, )

4 4. Σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα δίνεται το σηµείο Α(α, β) το πρώτο τεταρτηµορίο. Μια εθεία ε διέρχεται από το Α και τέµνει το θετικούς ηµιάξονες Ο και Oy στα p και q αντιστοίχως. Να δείξετε ότι η ελάχιστη τιµή το αθροίσµατος p + q είναι ίση µε ( ) α+ β. Έστω ε : y λ + µ, όπο λ < 0 αφού η ε τέµνει τος θετικούς ηµιάξονες. Θα βρούµε όλα τα στοιχεία το προβλήµατος σναρτήσει της µεταβλητής λ και βέβαια των σταθερών α, β. Α ε β λα + µ µ β λα Άρα ε : y λ + β λα () Για y 0, η () λ + β λα 0 λ λα β O y Q(0, q) Α(α, β) P(p, 0) α β λ () p α β λ Για 0, η () y β λα q β λα () () + () p + q α β λ + β λα Θεωρούµε τη σνάρτηση σ(λ) α β + β λα πο εκφράζει το άθροισµα p + q, λ και της οποίας αναζητάµε το ελάχιστο. (Τονίζοµε, ανεξάρτητη µεταβλητή είναι ο λ) σ (λ) 0 + β λ + 0 α β λ α σ (λ) 0 β λ α 0 β αλ 0 αλ β λ β α λ β α β σ (λ) > 0. λ < α Το πρόσηµο της σ και η µονοτονία της σ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα λ β / α 0 σ 0 + σ γν. φθίν γν. αύξ

5 Άρα η σ παροσιάζει ελάχιστο για β α Το ελάχιστο είναι σ β α α β + β β α β α α α + β α β + β + β α α + β α + β + β α ( α ) + β α +( β ) ( α+ β ) 5. Ποιος κύλινδρος µε άθροισµα διαµέτρο και ύψος 0 cm έχει το µέγιστο δνατό όγκο; Έστω η ακτίνα της βάσης και y το ύψος το κλίνδρο. Τότε + y 0 y 0 Ο όγκος είναι V π y π (0 ) π( + 0 ) π( + 0 ) Θεωρούµε τη σνάρτηση V() π( + 0 ) µε 0< < 0 πο εκφράζει τον όγκο. V () π( + 0) V () 0 + 0 0 + 0 0 0 0 V () > 0.. < 0 Το πρόσηµο της V και η µονοτονία της V φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 0 0/ 0 V + 0 V γν. αύξ γν. φθίν Άρα η V παροσιάζει µέγιστο για 0 Οπότε το ύψος θα είναι y 0 0 cm ακτίνα της βάσης. 0 40 0

6 6. Ένα κλινδρικό δοχείο πρέπει να έχει χωρητικότητα lt. Να βρείτε τις διαστάσεις το, οι οποίες ελαχιστοποιούν το κόστος το µετάλλο από το οποίο θα κατασκεαστεί το δοχείο. Έστω η ακτίνα της βάσης και y το ύψος το κλίνδρο σε cm V 000 π y 000 y 000 () π Το κόστος κατασκεής το δοχείο εξαρτάται από την ολική επιφάνειά το Ε. Είναι Ε π + πy π + π 000 π π + 000 Θεωρούµε τη σνάρτηση Ε() π + 000 µε > 0, πο εκφράζει την επιφάνεια. Ε () 4π 000 Ε () 0 4π 000 0 π 000 0 π 000 0 π 000 000 0 π π Ε () > 0. > 0 π Το πρόσηµο της Ε και η µονοτονία της Ε φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 0 0/ π + Ε 0 + Ε γν. φθίν γν. αύξ Άρα η E παροσιάζει ελάχιστο για Τότε, η () y 000 δηλαδή ύψος διάµετρος βάσης 0 π π π 0 000 π ( π) 0 π ( π) 00 ( π) 0 π,

7 7. Από ένα κκλικό δίσκο ακτίνας αφαιρούµε ένα κκλικό τοµέα ΟΑΒ και ενώνοντας τις ακτίνες ΟΑ και ΟΒ κατασκεάζοµε ένα κωνικό ποτήρι. Να βρείτε τη µέγιστη χωρητικότητα το ποτηριού. Έστω η ακτίνα το κύκλο βάση το κωνικού ποτηριού. O Α Β h Ο Α Από Πθαγόρειο θα έχοµε, ύψος κώνο: h Ο όγκος το κώνο θα είναι V() π V () π ( V () 0 ) ( ( ) ) () π ( + π ( + π ( 0 0 0 0 ) ( ) ( ) ) V () > 0 < Το πρόσηµο της V και η µονοτονία της V φαίνονται στον παρακάτω πίνακα 0 V + 0 V γν. αύξ γν. φθίν Άρα η V παροσιάζει µέγιστο για ακτίνα της βάσης. Τότε, από την () θα έχοµε, µέγιστη χωρητικότητα το ποτηριού : V π 9 π 9 π π π 9

8 8. Αν C() είναι το σνολικό κόστος για την παραγωγή µονάδων ενός προϊόντος, τότε η σνάρτηση C λέγεται σνάρτηση κόστος, το πηλίκο c() C() C(+ h) C() λέγεται µέσο κόστος και το όριο lim λέγεται οριακό κόστος. h 0 h α) Να αποδείξετε ότι, αν για κάποιο το µέσο κόστος είναι ελάχιστο, τότε ισχύει οριακό κόστος µέσο κόστος β) Μια εταιρεία εκτιµά ότι το κόστος (σε δολάρια) για την παραγωγή µονάδων ενός προϊόντος είναι C() + + 600 000 i) Να βρείτε το κόστος, το µέσο κόστος και το οριακό κόστος για την παραγωγή 000 µονάδων, 000 µονάδων και 000 µονάδων. ii) Ποιο είναι το επίπεδο παραγωγής για το οποίο το µέσο κόστος είναι το χαµηλότερο και ποια είναι η ελάχιστη τιµή το µέσο κόστος. α) Επειδή η σνάρτηση c() έχει ελάχιστο για κάποιο, θα είναι C() c () 0 0 C () C() 0 C () C() 0 β) i) C(000) 000 C(000) 000 C(000) 000 C () C() C () C() C(+ h) C() lim h 0 h C() οριακό κόστος µέσο κόστος 000 + 000 + 600. 000 + 000 + 600. 000 + 000 + 600. c(000) C(000) 000 c(000) C(000) 000 c(000) C(000) 000...

9 β) ii) c() C() ( + + 600) 000 000 + + 600 c () 000 600 Το για το οποίο σµβαίνει το ελάχιστο της c, είναι εκείνο για το οποίο έχοµε c () 0 000 600 0 000 600 0 000 600 00 0 6 00 0 0 6 0 00 60

0 9. Αν µονάδες ενός προϊόντος είναι διαθέσιµες για πώληση, τότε η τιµή πώλησης p() της µονάδας το προϊόντος λέγεται σνάρτηση ζήτησης.. Από την πώληση µονάδων το προϊόντος, τα σνολικά έσοδα είναι () p(). H σνάρτηση λέγεται σνάρτηση εσόδων και η παράγωγος λέγεται οριακή σνάρτηση εσόδων. Επίσης από την πώληση µονάδων το προϊόντος το σνολικό κέρδος είναι P() () C(). Η σνάρτηση P καλείται σνάρτηση κέρδος. α) Να αποδείξετε ότι, αν το κέρδος για κάποιο είναι µέγιστο, τότε τα οριακά έσοδα είναι ίσα µε το οριακό κόστος. β) Ποιο είναι το επίπεδο παραγωγής πο µεγιστοποιεί τα κέρδη για µια εταιρεία, αν η σνάρτηση κόστος είναι C() 800 + 5 0,00 και η σνάρτηση ζήτησης p() 50 0,0. α) Επειδή η σνάρτηση το κέρδος P() έχει µέγιστο για κάποιο, θα είναι P () 0 [() C()] 0 () C () 0 () C () οριακά έσοδα οριακό κόστος β) Αναζητάµε το µέγιστο της σνάρτησης το κέρδος P() () C(). Αλλά () p() (50 0,0) 50 0,0 Άρα P() 50 0,0 ( 800 + 5 0,00 ) 50 0,0 800 5 + 0,00 0,009 + 45 800 P () 0,08 + 45 Το για το οποίο σµβαίνει το µέγιστο της P, είναι εκείνο για το οποίο έχοµε P () 0 0,08 + 45 0 0,08 45 45 0,08 45000 8 500 µονάδες προϊόντος

0. Έστω η ταχύτητα το φωτός στον αέρα και η ταχύτητά το στο νερό. Σύµφωνα µε την αρχή το Fermat, µια ακτίνα φωτός από ένα σηµείο Α το αέρα φθάνει σε ένα σηµείο Β το νερού ακολοθώντας µια πορεία ΑΓΒ, η ποία ελαχιστοποιεί τον απαιτούµενο χρόνο. Να αποδείξετε ότι i) ο χρόνος πο χρειάζεται το φως για τη διαδροµή ΑΓΒ είναι + d (d ) + d t() + ii) να πολογίσετε την t () ηµα iii) να αποδείξετε ότι ηµβ i) Έστω t χρόνος για τη διαδροµή ΑΓ και t για τη ΓΒ. Τότε t ΑΓ και t ΓΒ () Πθαγόρεια στα δύο ορθογώνια τρίγωνα : ΑΓ Οι () t + d t + t και t + d + d Θεωρούµε τη σνάρτηση t() της διαδροµής ΑΓΒ για το τχαίο. ii) t () + d + d + d ( + + d ) + + (d ) + d Α α d νερό αέρας d + d, ΓΒ (d ) + d + (d ) + d (d ) + d (d ) + d d (d ) + d iii) Ο χρόνος t() ελαχιστοποιείται όταν t () 0 + d ΑΓ d (d ) + d d ΓΒ 0 (d )( ) Γ d - β d Β (d ) + d πο εκφράζει το χρόνο [(d ) + d ]

(ΓΒ) (AΓ)(d ) 0 () Από τα δύο ορθογώνια τρίγωνα έχοµε ΑΓ Η () d ηµβ ηµα ηµαηµβ (d ) ηµα ηµα ηµβ και ΓΒ d ηµβ