ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς

Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή

ΣΧΕΣΗ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Οι περισσότερες μέθοδοι της τεχνικής υδρολογίας βασίζονται στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική δεδομένου ότι: Η τύχηείναι άμεσα συνδεδεμένη με τα υδρολογικά φαινόμενα (πλημμύρες, ξηρασίες) με αποτέλεσμα να περιγράφονται σε μικρό ή μεγάλο βαθμό από τη θεωρία των πιθανοτήτων Η τεχνική υδρολογία στηρίζεται σε μετρήσεις φυσικών μεταβλητώνπου η επεξεργασία τους προϋποθέτει τη χρήση στατιστικών μεθόδων(έλεγχος των σφαλμάτων των μετρήσεων, συμπλήρωση ελλείψεων ιστορικών δειγμάτων και κυρίως επέκταση χρονοσειρών) Η λήψη αποφάσεων για το σχεδιασμόκαι τη βέλτιστη λειτουργίατων υδραυλικών έργων και των υδατικών συστημάτων γενικότερα, γίνεται πάντοτε υπό καθεστώς αβεβαιότητας, η οποία μπορεί να ποσοτικοποιηθείμε την θεωρία των πιθανοτήτων Σημειώνεται ότι η χρήση των πιθανοτήτων δεν μπορεί να υποκαταστήσει την έλλειψη μετρήσεων των υδρολογικών μεταβλητώνή την έλλειψη αξιοπιστίας σε αυτές, χωρίς τις οποίες είναι αδύνατη η εφαρμογή οποιασδήποτε προσέγγισης. 2

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Σχήμα στατιστικών επεξεργασιών ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ Ν Π Δειγματοληψία ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΜΕ ΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Τι πιθανότητα έχει να εμφανιστεί μια τιμή σε συγκεκριμένο διάστημα Σε τι τιμή αντιστοιχεί κάποια πιθανότητα ΔΕΙΓΜΑ (Ν Δ < Ν Π ) Συμπύκνωση πληροφορίας ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Μέση τιμή Τυπική απόκλιση Συντελεστής διασποράς Συντελεστής ασυμμετρίας Μοντελοποίηση Εκτίμηση πιθανοτικών μεγεθών ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Συναρτήσεις κατανομής και πυκνότητας πιθανότητας Επιλογή θεωρητικής κατανομής Στατιστικές δοκιμές καταλληλότητας 3

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΜΕΓΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΑΝΩ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (Χ 0.75 ) ΔΙΑΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΑΚΟ ΕΥΡΟΣ (Χ 0.75 -Χ 0.25 ) ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΤΙΜΗ (Χ 0.5 ) ΜΕΓΕΘΟΣ 1.5*(Χ 0.75 -Χ 0.25 ) ΕΩΣ 3* (Χ 0.75 -Χ 0.25 ) ΚΑΤΩ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (Χ 0.25 ) ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ Χ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΤΙΜΗ > 3* (Χ 0.75 -Χ 0.25 ) ΜΑΚΡΙΝΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΤΙΜΗ 4

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ - ΣΧΕΣΗ n Μέση τιμή (ροπή τάξης 1) X i i= 1 = n Τυπική απόκλιση n ( X i ) 2 i= 1 s = n 1 Διασπορά (κεντρική ροπή τάξης 2) 2 s Συντελεστής διασποράς s Τρίτη ροπή Τέταρτη ροπή Συντελεστής ασυμμετρίας Συντελεστής κύρτωσης Μέγιστη τιμή Ελάχιστη τιμή C k C s = = i ( 3 ) i= 1 µ = n ( X ) n i ( 4 ) i= 1 µ = n ( X ) n ( 3 ) 2 µ n ( 2 ) 3 / 2 ( µ ) ( n 1) ( n 2 ) 3 ( 4 ) n * µ ( n 1) * ( n 2 ) * ( n 3 ) * µ n M. T. = m a{ X 1, X 2 i= 1 n 3 4,..., X E. T. = m in{ X, X,..., X } Χ 1...Χ n : Οι τιμές της μεταβλητής n :Αριθμός δεδομένων δείγματος i=1 1 2 n n } ( 2 ) 5

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ 40 ΧΡΟΝΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 12 Παροχή (m3/s) 30 20 10 0 0 5 10 15 20 25 30 Χρόνος (έτη) Απόλυτη συχνότητα 10 8 6 4 2 Συχνότητα (%) 40 30 20 10 0 ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 0 Ετήσια παροχή (m 3 /s) (Πηγή: Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων, 2012 http://users.itia.ntua.gr/nikos/hydrology/edumaterial/lecture%208%20gia%20site.pdf) Αθροιστική συχνότητα (%) 100 80 60 40 20 0 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 Ετήσια παροχή (m 3 /s) ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΟ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ 5 10 15 20 25 30 Ετήσια παροχή (m 3 /s) 6

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Αθροιστική συχνότητα (%) 100 80 60 40 20 ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 40 30 20 10 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ιστόγραμμα σχετικής συχνότητας 0 5 10 15 20 25 30 35 0 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 40 Ετήσια παροχή (m 3 /s) 100 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Αθροιστικό ιστόγραμμα Ετήσια παροχή (m 3 /s) 30 20 10 80 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100 Αθροιστική συχνότητα (%) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 (Πηγή: Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων, 2012 http://users.itia.ntua.gr/nikos/hydrology/edumaterial/lecture%208%20gia%20site.pdf) 7

Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μέσητιμή 1< Μέση τιμή 2 Τυπική απόκλιση 1= Τυπική απόκλιση 2 Συντελεστής ασυμμετρίας 1= Συντελεστής ασυμμετρίας 2=0 Συντελεστής κύρτωσης 1= Συντελεστής κύρτωσης 2 Τιμές μεταβλητής ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μέσητιμή 1= Μέση τιμή 2 Τυπική απόκλιση 1= Τυπική απόκλιση 2 Συντελεστής ασυμμετρίας 1= -Συντελεστής ασυμμετρίας 2 Συντελεστής κύρτωσης 1 = Συντελεστής κύρτωσης 2 Συντελεστής ασυμμετρίας >0 Τιμές μεταβλητής Συντελεστής ασυμμετρίας <0 Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΥΠΙΚΗΣ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ Μέσητιμή 1=Μέση τιμή 2 Τυπική απόκλιση 1 < Τυπική απόκλιση 2 Συντελεστής ασυμμετρίας 1= Συντελεστής ασυμμετρίας 2=0 Συντελεστής κύρτωσης 1 Συντελεστής κύρτωσης 2 ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΚΥΡΤΩΣΗΣ Μέσητιμή 1=Μέση τιμή 2 Τυπική απόκλιση 1= Τυπική απόκλιση 2 Σ.Α. 1 = Σ.Α. 2= 0 Συντελεστής κύρτωσης~5 Συντελεστής κύρτωσης~2 Τιμές μεταβλητής Τιμές μεταβλητής Συντελεστής κύρτωσης~3 8

Χ τυχαία μεταβλητή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Συνάρτηση κατανομής (πιθανότητα μη υπέρβασης) H πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να είναι μικρότερη ή ίση της δεδομένης τιμής F 0 X = ( ) F X = P( X ) ( ) F X ( ) F X ( + ) = 1 Πιθανότητα υπέρβασης H πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να είναι μεγαλύτερη της δεδομένης τιμής F 1X = P( X ) = 1 F X ( ) Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X ( X ) = dfx ( ) d 9

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ - ΔΙΑΚΙΝΔΥΝΕΥΣΗ = 1 > = 1 = 1 1 Η περίοδος επαναφοράς είναι το αντίστροφο της πιθανότητας υπέρβασης. Προϋποθέσεις για να ισχύει η παραπάνω σχέση είναι (α) να είναι συνεχής η τυχαία μεταβλητή και (β) να ισχύει η παραδοχή ανεξαρτησίας της προηγούμενης ενότητας, δηλαδή κάθε εμφάνιση να είναι στοχαστικά ανεξάρτητη από τις προηγούμενες και επόμενές της. Βασική σχέση, η οποία συνδέει τα τρία βασικά μεγέθη υδρολογικού σχεδιασμού ενός έργου, δηλαδή την περίοδο επαναφοράς, τη διάρκεια ζωής και τη διακινδύνευση: =1 1 1 = 1 1 1 Τέλος, δεδομένου ότι ln 1 = ln 1 =, παίρνουμε και την ακόλουθη προσεγγιστική έκφραση του R: =1 η οποία ισχύει με σφάλμα <1% για Τ 50 έτη. 10

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ - ΔΙΑΚΙΝΔΥΝΕΥΣΗ =1 1 1 Γραφική απεικόνιση της σχέσης των χαρακτηριστικών μεγεθών υδρολογικού σχεδιασμού (Πηγή: Κουτσογιάννης, 1997) 11

Παράδειγμα*: α) Διώρυγα εκτροπής σχεδιάζεται να λειτουργήσει κατά την περίοδο κατασκευής φράγματος, η οποία εκτιμάται σε 5 χρόνια. Ποια πρέπει να είναι η περίοδος επαναφοράς της πλημμύρας σχεδιασμού, ώστε η διακινδύνευση να μην υπερβαίνει το 10%; β) Πόση είναι η διακινδύνευση αν ένα έργο σχεδιαστεί με περίοδο επαναφοράς ίση με τη διάρκεια ζωής του; Λύση ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ - ΔΙΑΚΙΝΔΥΝΕΥΣΗ α) =1 1 = =. =47.9 48έτη Στρογγυλεύουμε για περίοδο επαναφοράς Τ = 50 έτη. β) Αν δεχτούμε ότι η διάρκεια ζωής του έργου είναι αρκετά μεγάλη ( 50 χρόνια),τότεαπότηνπροσεγγιστικήσχέσηπαίρνουμεr=1 e 1 =0.632 = 63.2%. Διαφορετικά η διακινδύνευση υπολογίζεται από την κανονική εξίσωση (*Πηγή: Κουτσογιάννης, 1997) 12

F ) n N ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ν: το σύνολο των στοιχείων του δείγματος X ( = n :oαριθμός των τιμών του δείγματος που δεν υπερβαίνουν την τιμή χ 1000 ΥΨΟΣ ΒΡΟΧΗΣ (mm) ΥΨΟΣ ΒΡΟΧΗΣ (mm) 800 600 400 200 0 1000 800 600 400 200 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 F (800)=18/25=0.72=72% F 1 (800)=7/25=0.28=28% Όμως: F (1000)=25/25=1=100% F 1 (1000)=0/25=0=0% F X ( ) Για αυτό: n = N + 1 13

Οι εμπειρικές συναρτήσεις κατανομής (πιθανότητες μηυπέρβασης ταξινομημένου δείγματος σε αύξουσα σειρά) Όνομα κατανομής Σχέση q i = Weibull Blom Cunnane 1 1 i n+1 ( n i+ 1) 0.375 n+ 0.25 ( n i+ 1) 0.4 n+ 0.2 Gringorten Hazen 1 ( n i+ 1) 0.44 n+ 0.12 2i 1 2n 14

Εμπειρικές κατανομές Weibull, Blom, Cunnane, Gringorten Ετήσια μέγιστα έντασης ωριαίων βροχοπτώσεων Weibull Blom Cunnane Gringorten Gumbel Ma Return period (T) f or Maimum v alues in y ears - scale: Gumbel (Ma) distribution 1 1.01 1.05 1.25 1.67 2.5 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000 85 80 75 70 65 60 55 50 mm/h 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 15

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ - ΔΙΑΚΙΝΔΥΝΕΥΣΗ Περίοδος επαναφοράς,τμιας δεδομένης τιμής της τυχαίας μεταβλητής Χ είναι ο μέσος αριθμός χρονικών διαστημάτων (εν προκειμένω υδρολογικών ετών) που μεσολαβεί μεταξύ 2 διαδοχικών εμφανίσεων της τυχαίας μεταβλητής με μέγεθος μεγαλύτερο ή ίσο της δεδομένης τιμής. Πιθανότητα υπέρβασης σε ένα έτος: Πιθανότητα μη υπέρβασης σε ένα έτος: Πιθανότητα μη υπέρβασης σε nέτη: F 1 =1/Τ F=1-F 1 =(1-1/Τ) (1-1/Τ) n Διακινδύνευση είναι ηπιθανότητα Rνα πραγματοποιηθεί μέσα σε nέτη τιμή που αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς Τ. Πιθανότητα υπέρβασης σε nέτη (Διακινδύνευση): R=1-(1-1/Τ) n Παράδειγμα Τ=50 έτη, n=10 έτη R=1-(1-1/50) 10 =0.18=18% 16

ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΗΝ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ομοιόμορφη Κατανομή Διωνυμική Κατανομή Κατανομή Poisson Κανονική Κατανομή Λογαριθμοκανονική Κατανομή Κατανομές Ακραίων Τιμών (Etreme Value distributions) Ακραίων τιμών τύπου Ι (EVI, Gumbel) Ακραίων τιμών τύπου ΙΙ Ακραίων τιμών τύπου ΙΙΙ (Weibull) Κατανομή Pearson ΙΙΙ Κατανομή Log-Pearson III 17

OMOIΟΜΟΡΦΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Θεωρούμε τηνομοιόμορφη κατανομή πιθανότητας(uniform probability distribution). Ορισμένες φορές καλείταιορθογώνια κατανομή πιθανότητας).περιγράφεται από την συνάρτηση: f ( ) = 0, < a f() f f ( ) ( ) = = 1, a b a 0, b< b a b εμβαδόν = μήκοςύψος = (b a) = 1 18

ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ p( n / N) N n N! n!( N n)! n N n n N n = p * q = p *(1 p) Η διωνυμική κατανομή δίνει την πιθανότητα να έχουμε n επιτυχίες σε Ν δοκιμές όπου pη πιθανότητα επιτυχίας κάθε δοκιμής και q=1-pη πιθανότητα αποτυχίας κάθε δοκιμής Παράδειγμα. Η πιθανότητα να εμφανιστεί η τιμή με πιθανότητα 20%, 3 φορές σε 5 χρόνια είναι: p(3/5) =(5!/(3!*2!))*0.2 3 *0.8 (5-3) =0.0512 Η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός με πιθανότητα υπέρβασης p τουλάχιστον μια φορά στα n χρόνια είναι: F ( ) = 1 (1 p) n 19

ΚΑΤΑΝΟΜΗ POISSON Τυχαία γεγονότα που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια του χρόνου tμε μέσο ρυθμό άφιξης λ Υποθέσεις: Α) Μονιμότητας Β) Μη πολλαπλασιαστικότητας Γ) Ανεξαρτησίας Για κάθε χρονικό διάστημα tο αριθμός των γεγονότων χπου θα συμβεί έχει μια πιθανότητα Poisson. F( ) = ( λt) e! λt 20

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΑΚΡΑΙΩΝ ΤΙΜΩΝ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ 1. Συνεχής και ορισμένη για όλες τις θετικές τιμές 2. Άνω κλάδος χωρίς όριο (unbounded) 3. Κάτω κλάδος με όριο μηδέν ή μια θετική τιμή 4. Ασυμπτωτική στον άξονα για μεγάλες θετικές τιμές της μεταβλητής 5. Μέγιστος αριθμός παραμέτρων = τρείς (3) (μέση τιμή, διασπορά ή τυπική απόκλιση, συντελεστής ασυμμετρίας) 21

ΠΡΑΚΤΙΚΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ (ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ) 1. Επιλογή τιμών 2. Διάταξη κατά φθίνουσα σειρά μεγέθους (για μέγιστα) και κατά αύξουσα σειρά μεγέθους (για ελάχιστα) 3. Υπολογισμός της πιθανότητας υπέρβασης και της περιόδου επαναφοράς 4. Προσαρμογή μιας θεωρητικής κατανομής με εκτίμηση των παραμέτρων της 5. Εκτίμηση μεγέθους γεγονότος για μια δεδομένη περίοδο επαναφοράς ή 6. Εκτίμηση περιόδου επαναφοράς ενός δεδομένου μεγέθους 22

ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗΣ ΜΙΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΣΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ 1. Η μέθοδος των Ροπών(method of moments) 2. H μέθοδος της μέγιστης πιθανοφάνειας(method of maimum likelihood) 3. Η μέθοδος των L-ροπών (πιθανοτικά σταθμισμένων ροπών) (method of L- moments) 4. H μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων (method of least squares) 5. Η μέθοδος του ελαχίστου 2 (minimum 2 method) 6. Η μέθοδος των έξι διαιρέσεων (method of setiles) 7. Η μέθοδος επιλογής ειδικών σημείων (method of matching selected points) 23

MEΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΡΟΠΩΝ Υπολογισμός των ροπών Μέσος ˆµ = N i= 1 i N Διακύμανση ή τυπική απόκλιση N ˆ σ = i= 1 ( ) i N 1 2 1/ 2 Συντελεστής ασυμμετρίας gˆ = N ( N 1)( N 2) N i= 1 ( i ) ˆ σ 3/ 2 3 24

Δειγματικές ροπές ως στατιστικοί δείκτες Απλές (μεροληπτικές) εκτιμήτριες των δειγματικών ροπών Στατιστικός δείκτης Μέση τιμή Τυπική απόκλιση Τρίτη κεντρική ροπή Συντελεστής ασυμμετρίας Τέταρτη κεντρική ροπή m 4, συντελεστής κύρτωσης δείγματος g 2 (μεροληπτικός) µ ( 3) µ = n i µ σ = n 1 = n Εκτιμήτρια µ C s = 3 σ 1 4 m 4 = ( i µ ) m4 g2 = 3 2 n, m 2 όπου m 2 η δειγματική μεταβλητότητα = σ 2 Για την περίπτωση της εκτίμησης παραμέτρων κατανομών με την έμμεση μέθοδο των ροπών (περίπτωση κατανομής Log-PearsonIII) θα χρησιμοποιείται η μετασχηματισμένη μεταβλητή: y i =ln i στην θέση της i 3 i µ i ( ) 3µ σ n ( 3) 2 ( ) = ( µ ) 3 1 i 2 µ 3 3 ή 25

Δειγματικές ροπές ως στατιστικοί δείκτες Συντελεστές διόρθωσης μεροληψίας -αμερόληπτες εκτιμήσεις των ροπών του πληθυσμού Στατιστικός δείκτης Μέση τιμή - Τυπική απόκλιση Τρίτη κεντρική ροπή n n 1 ( n 1)( n 2) Συντελεστής ασυμμετρίας n( n 1) Αμερόληπτη εκτιμήτρια της κύρτωσης του πληθυσμού. Συντελεστής διόρθωσης μεροληψίας n 2 n 2 ( n 1) n ( n 1)( n 2)( n 3) 4 ( i ) ( n 1) + i = 1 3 2 k n ( n 2)( 3) Όπου η μέση τιμή του δείγματος και k 2 η αμερόληπτη εκτιμήτρια για την μεταβλητότητα του πληθυσμού. Για την περίπτωση της εκτίμησης παραμέτρων κατανομών με την έμμεση μέθοδο των ροπών (περίπτωση κατανομής Log-Pearson III) θα χρησιμοποιείται η μετασχηματισμένη μεταβλητή: yi=lni στην θέση της i. n 2 2 26

ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ (ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ) ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Για πολλές κατανομές πιθανότητας μπορεί να γραφεί η ακόλουθη σχέση = + σˆ K T T όπου Κ Τ είναι ο παράγοντας συχνότητας που εξαρτάται από την περίοδο επαναφοράς Τ και τα χαρακτηριστικά της κατανομής 27

Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜH Συνάρτηση Κατανομής f µ 1 0.5*( ) σ ( ) = e σ 2π 2 1 1 ( F = 2 σ ( ) e σ 2π µ ) 2 d ( Τ) ma ( Τ) min = = ( Τ) ( Τ) Όρια εμπιστοσύνης + z(1+ α)/2st S = δ z S T (1+ α)/2 T ˆ σ Ν 1+ 2 Κ(T) δ ( T) (1 1/ T) = 2 K = Z S T η τυπική απόκλιση του T Z (1+α)/2 η μεταβλητή της τυποποιημένης κανονικής κατανομήςόταν το επίπεδο είναι α% σˆ N η τυπική απόκλιση του δείγματος ο αριθμός των παρατηρήσεων του δείγματος 28

Βήματα Προσαρμογής Κανονικής Κατανομής 1. Εύρεση στατιστικών χαρακτηριστικών δείγματος (μέση τιμή, τυπική απόκλιση). 2. Κατάταξη δείγματος σε φθίνουσα σειρά και αρίθμηση των παρατηρήσεων. 3. Προσδιορισμός Περιόδου Επαναφοράς από τον τύπο του Weibull T=(N+1)/m. 4. Υπολογισμός πιθανότητας μη υπέρβασης F = 1-1/T (εμπειρική). 5. Εύρεση τυποποιημένης μεταβλητής Ζ από πίνακα για κάθε F. 6. Εκτίμηση τιμών μεταβλητής από τα Ζ. X = + Z * 7. Σχεδίαση θεωρητικής κατανομής και δείγματος με τα Ζ στον οριζόντιο άξονα. 8. Έλεγχος 2 ή/και Kolmogorov-Smirnov για την καταλληλότητα της κατανομής. S 29

Αθροιστική συνάρτηση κατανομής F() (%) για 0 Ζ 3.09

Αθροιστική συνάρτηση κατανομής F() (%) για -3.09 Ζ -0.10

ΡΥΘΜΙΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Κανονική κατανομή Σε δείγμα τιμών Χiμε μέση τιμή μ και τυπική απόκλιση σ ηπαράμετρος z=(xi-μ)/σ ακολουθεί κανονική κατανομή με μ=0, σ=1 (τυπική κανονική κατανομή) Δείγμα έχει μ=10, σ=5 και ακολουθεί κανονική κατανομή Ποια είναι η περίοδος επαναφοράς Τ της τιμής Χi=15 z=(15-10)/5=1 Ποια είναι η τιμή Χiπου αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς Τ= 1.5έτη F=1-(1/1.5)=0,333 F=84,1% Πίνακας (0,1) z=1, F=0,8413 F=33.3% Πίνακας (0,1) Για F=1-0.333 z=0.43 Για F=0.333 z=-0.43 z=1 Τ=1/(1-0,8413) 6 έτη z=-0.43 (Xi-10)/5=-0.43 άρα Xi=7.85 33

40 ΧΑΡΤΙ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Περίοδος επαναφοράς (έτη) 1.002 1.02 1.2 2 6.2 43.5 500 Πιθανότητα υπέρβασης (%) 99.8% 97.7% 84% 50% 16% 2.3% 0.2% Ετήσια παροχή (m3/s) 30 20 10 0-4 0.2% -3 2.3% -2 16% -1 50% 0 84% 1 97.7% 2 99.8% 3 4 Ανηγμένη μεταβλητή Gauss Συνάρτηση κατανομής (%) 34

Βήματα ελέγχου 2 1. Υπολογίζονται οι παράμετροι της κατανομής που πρόκειται να προσαρμοστεί (για την κανονική κατανομή r=2, μκαι σ). 2. Χωρίζεται το δείγμα των στοιχείων σε kισοπίθανεςκλάσεις (κριτήριο συνήθως να έχω τουλάχιστον 5 στοιχεία σε κάθε κλάσηή k r+2ή καιk N/5). 3. Υπολογίζεται ο βαθμός ελευθερίας της κατανομής ν= k-r-1. 4. Υπολογίζεται η Αθροιστική Πιθανότητα οι τιμές να βρίσκονται στην τρέχουσα και τις προηγούμενες κλάσεις. 5. Προσδιορίζεται τοχπου αντιστοιχεί στην αθροιστική πιθανότητα Zκάθε κλάσης και τα όρια των κλάσεων. 6. Υπολογίζεται η πιθανότητα (p i )μίας τυχαίας τιμής της κατανομής 2 να ανήκει σε κάθε κλάση(γι αυτό χρειάζεται τουλάχιστον μία παρατήρηση σε κάθε κλάση). 7. Υπολογίζεται ο αναμενόμενος (θεωρητικός) αριθμός παρατηρήσεων για κάθε κλάση με τη συγκεκριμένη κατανομή, E i = n*p i (πολλαπλασιάζεται το p i με το μέγεθος του δείγματος n). 35

Βήματα ελέγχου 2 8. Γίνεται καταμέτρηση των πραγματικών παρατηρήσεων N i από το δείγμα που πέφτουν μέσα σε κάθε κλάση. 9. Υπολογίζεται η στατιστική παράμετρος, D(όταν η τιμή είναι πολύ μεγάλη, αναμένεται ότι η κατανομή δεν προσαρμόζεται καλά στη 2 ). D=Σ[(N i -E i ) 2 / Ε i ] 10.Συγκρίνεται η τιμή της παραμέτρου D με την τιμή που προκύπτει από τους πίνακες 2 για το συγκεκριμένο ν και συγκεκριμένες πιθανότητεςεπίπεδα σημαντικότηταςα 2 α. 11.Η μηδενική υπόθεση (ότι το δείγμα ακολουθεί τη θεωρητική κατανομή στην οποία προσαρμόστηκε (π.χ. την κανονική))γίνεται δεκτή σε κάποιο επίπεδο σημαντικότητας α, αν D< 2 α. Συνήθη επίπεδα σημαντικότητας είναι τα 1%, 5% και 10%. 36

Αριθμός παραμέτρων κανονικής κατανομής: 2 40 ΕΛΕΓΧΟΣ 2 για κανονική κατανομή Αριθμός κλάσεων (k): 5 Βαθμοί ελευθερίας Πιθανότητα κλάσης(p i ): 1/5=20% κατανομής χ 2 : 5-2-1 Θεωρητικός αριθμός σημείων κλάσης (Ν*p i ): 30*0.2=6 Ετήσια παροχή (m 3 /s) 30 20 10 0 27.7 24.0 20.8 17.1 6 Αριθμός σημείων ανά κλάση (Ν i ) 6 0 20 40 60 80 100 Αθροιστική πιθανότητα (%) 20 % 20 % 20 % 20 % 20 % 7 Κλάση 1 2 3 4 5 5 N i 6 6 7 5 6 N*p i =Ε i 6 6 6 6 6 (N i -Ε i ) 2 /Ε i 0 0 0,167 0,167 0 D=0,33 6 37

100 ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΥΠΟΘΕΣΗΣ 1. Η μεταβλητή χ 2 ακολουθεί την κατανομή χ 2 με 2 βαθμούς ελευθερίας 2. Από τα δεδομένα του δείγματος υπολογίζεται η στατιστική παράμετρος D 3. Η μηδενική υπόθεση (Η 0 ) ότι το δείγμα ακολουθεί κανονική κατανομή γίνεται δεκτή σε κάποιο επίπεδο σημαντικότητας α αν D<χ 2 α 80 Πιθανότητα (%) 60 40 20 0 D=0,33 Q 0.1 = 4.6 0 2 4 6 8 10 12 Μεταβλητή χ2 Q 0.05 = 6.0 Q 0.01 = 9.2 Το D(0.33)είναι μικρότερο από το χ 2 αγια τα συνήθη επίπεδα σημαντικότητας 1%(9.2), 5% (6.0), 10%(4.6). Άρα η μηδενική υπόθεση (Η 0 ) ότι το δείγμα ακολουθεί κανονικήκατανομή γίνεται δεκτή στα συνήθη επίπεδα σημαντικότητας. 38

39

40

41

42

F*(Χ (i) )=i/n ΕΛΕΓΧΟΣ Kolmogorov-Smirnov Βασίζεται στη διαφορά μεταξύ της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής F ()και του παρατηρημένου αθροιστικού ιστογράμματος F*() όπου είναι η iμεγαλύτερη παρατηρημένη τιμή σε δείγμα με μέγεθος n Από τα δεδομένα του δείγματος υπολογίζεται η στατιστική παράμετρος D n D= ma i= 1 [ ] n ( i) ( i) i ( i) F *( X ) F( X ) = ma F( X ) Η μηδενική υπόθεση (Η 0 ) ότι το δείγμα ακολουθεί κανονική κατανομή γίνεται δεκτή σε κάποιο επίπεδο σημαντικότητας α αν D<D c i= 1 n ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ D c Μέγεθος α=0.10 α=0.05 α=0.01 δείγματος 5 0.51 0.56 0.67 10 0.37 0.41 0.49 15 0.30 0.34 0.40 20 0.26 0.29 0.35 25 0.24 0.26 0.32 30 0.22 0.24 0.29 40 0.19 0.21 0.25 >40 1.22/n 1/2 1.36/n 1/2 1.63/n 1/2 43

ΠΙΝΑΚΑΣ ΕΛΕΓΧΟΣ KOLMOGOROV SMIRNOV [Τιμές της παραμέτρου : P( D c ) 1 -α]* 44

ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Προσαρμογή κανονικής κατανομής 45

ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Κανονική κατανομή Χ(Τ) ma 1.200 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 5% 2% 1%,5%,2%,1%,05% 1.150 1.100 (1+a)/2 1.050 1.000 950 900 850 800 750 700 (1+a)/2 650 600 550 500 450 Χ(Τ) min 400 350 300 250 200 150 Χ(2) Χ(Τ)=m + Z (1-1/T) * s 100 50 0 46

ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 95% Κανονική κατανομή 1.200 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 5% 2% 1%,5%,2%,1%,05% 1.150 1.100 1.050 1.000 950 2.5% 900 850 800 750 2.5% 700 650 600 550 500 450 400 2.5% 350 300 2.5% 250 200 150 100 50 0 47

ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ α% ( Τ) ( Τ) ma min = ( Τ) + z = ( Τ) z (1+ α ) / 2 (1+ α )/ 2 S S T T Z (1+α)/2 η μεταβλητή της τυποποιημένης κανονικής κατανομήςόταν το επίπεδο είναι α% S T η τυπική απόκλιση του T σˆ S T σ = δ ˆ Ν Η τυπική απόκλιση του δείγματος N Ο αριθμός των Ν παρατηρήσεων του δείγματος Κανονική κατανομή δ = K Κ( T ) 1+ 2 ( T ) = Z(1 1/ T ) 2 ΚατανομήGumbelμεγίστων δ = 1+ 1.1396Κ ( T) + 1.1Κ( T) k( T ) = 0.45 0.7797*ln( ln(1 1/ T )) 2 48

ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Κανονική κατανομή 1.200 1.150 1.100 1.050 1.000 950 900 850 800 750 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% Χ(2) 20% Χ(Τ) ma =X(T) + z (1+a)/2 * S T 10% 5% (1+a)/2 2% 1%,5% Χ(Τ)=m + Z (1-1/T) * s,2%,1%,05% (1+a)/2 Χ(Τ) min =X(T) -z (1+a)/2 * S T T=100, 1-1/T =99%, z 99% =2.33 a=95% (1+a)/2=97.5% z 97.5% =1.96 49

Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας f X ( ) = z ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜH 1 2πS y * e 1 ln m ( 2 S y y 2 ) F X ( ) Εκτίμηση παραμέτρων (μέθοδος ροπών) Χειρισμός της κατανομήςβάσει της μεθόδου ma πιθανοφάνειας = Συνάρτηση Κατανομής 0 s 1 2π S 2 2 2 S y = ln( 1+ S / m ) my' = lnm Sy / 2 ' my = ln ln = Z * S y + my S Z S y y + m = e * y Z η μεταβλητή της τυποποιημένης κανονικής κατανομής y * e 1 2 ln ( s m S y y 2 ) 50

Βήματα Προσαρμογής Λογαριθμοκανονικής Κατανομής 1. Εύρεση στατιστικών χαρακτηριστικών λογαρίθμων δείγματος (μέση τιμή, τυπική απόκλιση). 2. Κατάταξη λογαρίθμων δείγματος σε φθίνουσα σειρά και αρίθμηση των παρατηρήσεων. 3. Προσδιορισμός Περιόδου Επαναφοράς από τον τύπο του Weibull T=(N+1)/m. 4. Υπολογισμός πιθανότητας μη υπέρβασης F = 1-1/T (εμπειρική). 5. Εύρεση τυποποιημένης μεταβλητής Ζ από πίνακα για κάθε F. 6. Εκτίμηση τιμών από τα Ζ. Z S y + m = e * y 7. Σχεδίαση θεωρητικής κατανομής και δείγματος με τα Ζ στον οριζόντιο άξονα. 8. Έλεγχος 2 ή/και K-S για την καταλληλότητα της κατανομής. 51

ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρμογή λογαριθμοκανονικής κατανομής Weibull LogNormal Δειγματικά όρια 95% Όρια διαστήματος εμπ ιστοσύνης 95% Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίμακα: Κανονική κατανομή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 5% 2% 1%,5%,2%,1%,05% 800 750 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 52

ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΑΚΡΑΙΩΝ ΤΙΜΩΝ (EXTREME VALUE DISTRIBUTIONS, EV) ΤΥΠΟΣ Ι:Αρχική κατανομή χωρίς όριο προς την κατεύθυνση της ακραίας τιμής (EV I ή Gumbel, για μέγιστα και ελάχιστα) ΤΥΠΟΣ ΙΙ: Αρχική κατανομή χωρίς όριο προς τις δύο κατευθύνσεις (ΕV II π.χ. Cauchy δεν εφαρμόζεται στην υδρολογία) ΤΥΠΟΣ ΙΙΙ: Αρχική κατανομή με όριο προς την κατεύθυνση της ακραίας τιμής (ΕV III ή κατανομές Pearson) 53

ΚΑΤΑΝΟΜΗ EVI (GUMBEL) ΜΕΓΙΣΤΩΝ Παράμετροι (μέθοδος ροπών) c= 0, 45 a = 1,282 / S S παράμετρος θέσης παράμετρος κλίμακας Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας f X ( ) = ae a( c) e a ( c ) F X ( ) = e e ( T) + k( T) * = Συνάρτηση Κατανομής ln( lnf ) ln( ln( 1 1/ T)) a ( c) ( T) = c = c a a Όρια εμπιστοσύνης S ( T ) = S {0,45+ 0,7797 ln[ln( T ) ln( T 1)]} k( T) = 0.45 0.7797*ln( ln( 1 1/ T)) S ( T ) T n 2 ma, min = ( T ) ± Z(1 + a )/ 2 * 1+ 1.1396* k( T ) + 1.1* k( ) δ S T 54

Βήματα Προσαρμογής Κατανομής EVI (Gumbel) (μέθοδος ροπών) 1. Εύρεση στατιστικών χαρακτηριστικών δείγματος (μέση τιμή, τυπική απόκλιση). 2. Υπολογισμός παραμέτρων ακαι c. a =1,282 / S c= 0, 45S 3. Κατάταξη δείγματος σε φθίνουσα σειρά και αρίθμηση των παρατηρήσεων. 4. Προσδιορισμός Περιόδου Επαναφοράς από τον τύπο του Weibull T=(N+1)/m. 5. Υπολογισμός πιθανότητας μη υπέρβασης F = 1-1/T (εμπειρική). 6. Εύρεση για κάθε F=1-1/Τ της τιμής του απευθείας από τον τύπο της θεωρητικής κατανομής Gumbel. = S { 0,45+ 0,7797 ln[ln( T ) ln( T 1)]} 7. Σχεδίαση θεωρητικής κατανομής και δείγματος με την ποσότητα ln(lnt-ln(t-1)). 8. Έλεγχος 2 ή/και Κ-S για την καταλληλότητα της κατανομής. 55

ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ EVI (Gumbel)(μέθοδος ροπών) 1. Επιλέγεται το επίπεδο σημαντικότητας (significancelevel, α) (συνήθως α=5%) 2. Βρίσκονται η μεταβλητή Ζ 1-α/2 της τυποποιημένης κανονικής κατανομής για αθροιστική πιθανότητα μεταξύ των ορίων 1-α. 3. Υπολογίζεται η τυπική απόκλιση των τιμών της κατανομής EVI(Gumbel) από τον τύπο: ˆ σ S T = δ N σˆ όπου: είναι η τυπική απόκλιση του δείγματος μεγέθους Ν παρατηρήσεων και 2 δ = + 1.3 K + 1.1 K 4. Υπολογίζονται τα όρια εμπιστοσύνης (Confidence Limits) της Θεωρητικής κατανομής Gumbel Άνω Όριο : X T, ma = X T + Z1 α / 2 1 T T S T Κάτω Όριο: X T, min = X T Z1 α / 2 S T 56

ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρμογή κατανομής EVI ή Gumbel μεγίστων Weibull Gumbel Ma Δειγματικά όρια 95% Όρια διαστήματος εμπ ιστοσύνης 95% Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίμακα: Κανονική κατανομή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 5% 2% 1%,5%,2%,1%,05% 800 750 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 57

40 38 36 34 32 30 28 99,9% 99,5% 98% 95% 90% 80% 70% 60% ΕΛΕΓΧΟΣ 2 50% 40% 30% Πιθαν ότητα υπέρβασης (%) - κλίμακα: καταν ομή Gumbel (Ma) 20% 10% για κατανομή EVI (Gumbel) Αριθμός κλάσεων (k): 5 Πιθανότητα κλάσης (p i ): 1/5=20% Βαθμοί ελευθερίας Αριθμός παραμέτρων Θεωρητικός αριθμός σημείων κατανομής Gumbel: 2 κατανομής χ 2 : 5-2-1 κλάσης (Ν*p i ): 33*0.2=6.6 5% 2% 1%,5%,2%,1%,05% 26 24 22 Αριθμός σημείων ανά κλάση (Ν i ) 7 18.3 13.3 9.8 6.4 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 7 7 8 4 Κλάση 1 2 3 4 5 N i 7 7 8 4 7 N*p i 6.6 6.6 6.6 6.6 6.6 (N i -N*p i ) 2 /N*p i 0.02 0.02 0,30 1.02 0.02 D = 1.39 0 20% 20% 20% 20% 20%

ΜΕΣΕΣ ΕΤΗΣΙΕΣ ΠΑΡΟΧΕΣ Προσαρμογή 16 θεωρητικών κατανομών Weibull Normal LogNormal Galton Eponential Gamma PearsonIII LogPearsonIII Gumbel Ma EV2-Ma Gumbel Min Weibull GEV Ma GEV Min Pareto GEV-Ma (k spec.) GEV-Min (k spec.) Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίμακα: Κανονική κατανομή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 5% 2% 1%,5%,2%,1%,05% 44 42 40 38 36 34 32 Κανονική κατανομή (Gauss) Kατανομή Gumbel μεγίστων 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 59

ΜΕΓΙΣΤΕΣ ΗΜΕΡΗΣΙΕΣ ΠΑΡΟΧΕΣ Προσαρμογή 16 θεωρητικών κατανομών Weibull Normal LogNormal Galton Eponential Gamma PearsonIII LogPearsonIII Gumbel Ma EV2-Ma Gumbel Min Weibull GEV Ma GEV Min Pareto GEV-Ma (k spec.) GEV-Min (k spec.) Πιθαν ότητα υπέρβασης (%) - κλίμακα: Καν ον ική κατανομή 1.200 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 5% 2% 1%,5%,2%,1%,05% 1.150 1.100 1.050 1.000 950 900 Κανονική κατανομή (Gauss) Kατανομή Gumbel μεγίστων 850 800 750 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 60

ΚΑΤΑΝΟΜΗ EVI (GUMBEL) ΜΕΓΙΣΤΩΝ Εκτίμηση Παραμέτρων (Πηγή: Κουτσογιάννης, 1997) 61

ΚΑΤΑΝΟΜΗ EVI (GUMBEL) ΜΕΓΙΣΤΩΝ Συντελεστής συχνότητας K T K T = 0,7797 0,5772+ ή = 0,7797y 0,45 T ln ln T 1 F( y) = ep( ep( y)) 62

ΚΑΤΑΝΟΜΗ EVI (GUMBEL)ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ Παράμετροι (μέθοδος ροπών) c= + 0, 45 a = 1,282 / S S Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας f X ( ) = ae a( c) e a ( c ) Συνάρτηση Κατανομής F X ( ) = 1 e e a ( c ) ln( ln(1 F ) ln( ln(1/ T )) ( T ) = c+ = c+ a a 63

ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρμογή κατανομής EVI (Gumbel) ελαχίστων Weibull Gumbel Min Δειγματικά όρια 95% Όρια διαστήματος εμπ ιστοσύνης 95% Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίμακα: Κανονική κατανομή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 5% 2% 1%,5%,2%,1%,05% 800 750 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 64

ΚΑΤΑΝΟΜΗ EVI (GUMBEL) ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ Εκτίμηση Παραμέτρων (Πηγή: Κουτσογιάννης, 1997) 65

66 ΚΑΤΑΝΟΜΗ WEIBULL k c X e F ) / ( 1 ) ( = Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας Συνάρτηση Κατανομής Παράμετροι (μέθοδος ροπών) k c k X e c c k f ) / ( 1 ) *( ) ( = ) 1 (1 k c + Γ µ = 2 2 2 ) 1 (1 ) 2 (1 1 + Γ + Γ = + µ σ k k [ ] [ ] k k T c F c T 1/ 1/ ) ln(1/ * ) ln(1 * ) ( = = μ, σ μέση τιμή και τυπική απόκλιση του δείγματος c, κ παράμετροι της κατανομής Weibull Γ() συνάρτηση Γάμμα

ΚΑΤΑΝΟΜΗ WEIBULL Εκτίμηση Παραμέτρων Θέτω Υ = lnx Συνάρτηση κατανομής ελαχίστων τύπου Ι με παράμετρο θέσης lnακαι παράμετρο κλίμακας κ (Πηγή: Κουτσογιάννης, 1997) 67

ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρμογή κατανομής Weibull Weibull Weibull Δειγματικά όρια 95% Όρια διαστήματος εμπ ιστοσύνης 95% Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίμακα: Κανονική κατανομή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 5% 2% 1%,5%,2%,1%,05% 800 750 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 68

f F X X ( ) = ( ) = ΚΑΤΑΝΟΜΗ LOG PEARSON III Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας κ λ *ln( c) Γ( κ) e c κ λ Γ ( κ ) * Παράμετροι c: παράμετρος κλίμακας λ>0 παράμετρος σχήματος κ>0 παράμετρος σχήματος (ln s κ 1 e c ) λ(ln c) Συνάρτηση Κατανομής Χειρισμός της κατανομής κ 1 e λ (ln s c ) Το Ζ υπολογίζεται από πίνακες με βάσητην πιθανότητα εμφάνισης και το συντελεστή ασυμμετρίας της ln z = ln S ds ln ln = zsln ln zsln + ln ln + = e 69

Βήματα Προσαρμογής Λογαριθμικής Pearson ΙΙΙ Κατανομής 1. Εύρεση στατιστικών χαρακτηριστικών λογαρίθμων δείγματος (μέση τιμή, τυπική απόκλιση, συντελεστής ασυμμετρίας). 2. Κατάταξη λογαρίθμων δείγματος σε φθίνουσα σειρά και αρίθμηση των παρατηρήσεων. 3. Προσδιορισμός Περιόδου Επαναφοράς από τον τύπο του Weibull T=(N+1)/m. 4. Εύρεση από Πίνακα Log Pearsonτων συντελεστών συχνότητας Κ(Τ) με βάση το gτου δείγματος και τα διάφορα Τ. 5. Εκτίμηση νέων θεωρητικών τιμών από τις σχέσεις(*): 6. Γραμμική παλινδρόμηση μεταξύ λογαρίθμων δείγματος y(t) και Κ(Τ) με σκοπό την καλύτερη προσαρμογή των σημείων y(t), K(T), έτσι ώστε η ευθεία να y(t)=m+k(t)*c να προσεγγίζει κατά το δυνατόν την ευθεία. 7. Εύρεση διορθωμένου y (T) από τη σχέση y (T) = m + K(T)*C, 8. (T) = e y (T). y ( T) = και = e ln + K( T)* Sln,, ( T) 9. Χάραξη θεωρητικής κατανομής και δείγματος με τα K(T) στον οριζόντιο άξονα. 10. Έλεγχος 2 ή/και K-S για την καταλληλότητα της κατανομής. y( T ) *Μιμίκου, Μ., 2006. Τεχνολογία Υδατικών Πόρων, Εκδόσεις Παπασωτηρίου 70

ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ PEARSON III Πηγή: Μ.Α. Μιμίκου, 2006. Τεχνολογία υδατικών πόρων, Εκδόσεις Παπασωτηρίου 71

ΕΦΑΡΜΟΓΗ Προσαρμογή κατανομής Log-Pearson III Weibull LogPearsonIII Δειγματικά όρια 95% Όρια διαστήματος εμπ ιστοσύνης 95% Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίμακα: Κανονική κατανομή 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 5% 2% 1%,5%,2%,1%,05% 800 750 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 72

(Πηγή: Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων, 2012 http://users.itia.ntua.gr/nikos/hydrology/edumaterial/lecture%208%20gia%20site.pdf) 73

(Πηγή: Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων, 2012 http://users.itia.ntua.gr/nikos/hydrology/edumaterial/lecture%208%20gia%20site.pdf) 74

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ Εκτίμηση τιμών και ορίων εμπιστοσύνης 95% 1000 Παροχή (m 3 /s) 800 600 400 ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ 200 0 20000,00 1,00 2,00 3,00 4,00 Ανηγμένη μεταβλητή Ζ Παροχή (m 3 /s) 1500 1000 500 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟ- ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ 0 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 Ανηγμένη μεταβλητή Ζ (Πηγή: Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων, 2012 http://users.itia.ntua.gr/nikos/hydrology/edumaterial/lecture%208%20gia%20site.pdf) 75

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ Εκτίμηση τιμών και ορίων εμπιστοσύνης 95% ΚΑΤΑΝΟΜΗ GUMBELL ΜΕΓΙΣΤΩΝ 76

ΣΧΟΛΙΑ ΣΤΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Κανονική κατανομή μπορούμε να εφαρμόζουμε σε μεγέθη που προέρχονται από συνάθροιση (ή μέσες τιμές) πάνω σε ένα χρονικό διάστημα, για παράδειγμα ετήσιες βροχοπτώσεις Ειδικά για την κανονική κατανομή ένα κριτήριο για να ικανοποιείται η απαίτηση της κυριαρχίας των θετικών τιμών είναι ο συντελεστής μεταβλητότητας (C v =σ /μ ) να είναι C v <0.25. Αν όμως C v >0.5 θα πρέπει να αποκλείεται η κανονική κατανομή Κατανομή γάμα (ή PearsonIII ή και λογαριθμοκανονική 2-3 παραμέτρων) εφαρμόζουμε σε μεγέθη που παρουσιάζουν (θετική) ασυμμετρία. π.χ. τα δείγματα που έχουν εποχικότητα (π.χ. χρονοσειράβροχοπτώσεων συγκεκριμένου μήνα ετήσιου χρονικού βήματος) Εκθετική κατανομή για την περιγραφή υδρολογικών μεταβλητών σε μικρή χρονική κλίμακα Κατανομές ακραίων τιμών (ΑΤ) ή Log-PearsonIII για την περιγραφή ακραίων τιμών σε ένα χρονικό διάστημα (όπως χρονοσειρέςετησίων μεγίστων βροχόπτωσης ή παροχής) ΑΤ-3 ελαχίστων (Weibull) για την περιγραφή παροχών ξηρασίας Pareto για την περιγραφή μεταβλητών που ξεπερνούν ένα δεδομένο κατώφλι 77

Βιβλιογραφία Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων, Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. 2012. «Πιθανοτικήπροσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών», Διαφάνειες του μαθήματος «Τεχνική Υδρολογία» http://users.itia.ntua.gr/nikos/hydrology/ Κουτσογιάννης, Δ., και Θ. Ξανθόπουλος. «Τεχνική Υδρολογία», Έκδοση 3, 418 σελίδες, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Αθήνα, 1999. Κουτσογιάννης, Δ. «Στατιστική Υδρολογία»,Έκδοση 4, 312 σελίδες, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Αθήνα, 1997. Μιμίκου, Μ.Α. «Τεχνολογία Υδατικών Πόρων», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 3 η Έκδοση, 2006. Μιμίκου, Μ.Α. και Ε.Α. Μπαλτάς. «Τεχνική Υδρολογία», Εκδόσεις Παπασωτηρίου, 5 η Έκδοση, 2012. Παπαμιχαήλ, Δ.Μ. «Τεχνική Υδρολογία Επιφανειακών Υδάτων», Εκδόσεις Γιαχούδη-Γιαπούδη, 2001. Τσακίρης, Γ. «Υδατικοί Πόροι Ι. Τεχνική Υδρολογία», Εκδόσεις Συμμετρία, 1995. 78

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στoπλαίσιoτου εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 79