Kάθε γνήσιο ντίτυπο φέρει την υπογρφή του συγγρφέ Με το συγγρφέ επικοινωνείτε: Tηλ. 30.348.086, e-mail: thanasisenos@yahoo.gr ISBN 978-960-456-459-0 Copyright, 06, Eκδόσεις ZHTH, Θνάσης Ξένος Tο πρόν έργο πνευμτικής ιδιοκτησίς προσττεύετι κτά τις διτάξεις του ελληνικού νόμου (N./993 όπως έχει τροποποιηθεί κι ισχύει σήμερ) κι τις διεθνείς συμάσεις περί πνευμτικής ιδιοκτησίς. Aπγορεύετι πολύτως η άνευ γρπτής άδεις του εκδότη κτά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο ντιγρφή, φωτοντύπωση κι εν γένει νπργωγή, εκμίσθωση ή δνεισμός, μετάφρση, δισκευή, νμετάδοση στο κοινό σε οποιδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχνική ή άλλη) κι η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Φωτοστοιχειοθεσί Eκτύπωση Βιλιοδεσί Π. ZHTH & Σι OE 8ο χλμ Θεσ/νίκης-Περίς T.Θ. 47 Περί Θεσσλονίκης T.K. 570 9 Tηλ.: 39.07. - Fa: 39.07.9 e-mail: info@ziti.gr www.ziti.gr BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου 7, 546 35 Θεσσλονίκη Tηλ.: 30.03.70, Fa: 30..305 e-mail: sales@ziti.gr AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH: Xριλάου Τρικούπη, 06 79 Aθήν Tηλ.-Fa: 0.386.650 e-mail: athina@ziti.gr ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ: www.ziti.gr
Πρόλογος Το ιλίο υτό ποτελεί τον δεύτερο τόμο των Μθημτικών Γʹ Λυκείου γι τις ομάδες προσντολισμού: ç Θετικών σπουδών ç Οικονομίς κι Πληροφορικής Ανπτύσσοντι διεξοδικά τ κεφάλι: ç Μελέτη συνάρτησης ç Ολοκληρωτικός λογισμός Η δομή του ιλίου, σε γενικές γρμμές, είνι η εξής: 3 Σε κάθε ενότητ προυσιάζετι η θεωρί σύντομ κι ελκυστικά. Ακολουθούν πρτηρήσεις κι σχόλι γι ν ποσφηνιστούν όλες οι έννοιες. 3 Στη συνέχει, προυσιάζοντι χρκτηριστικές εφρμογές με τις πρίτητες μεθοδολογικές οδηγίες. 3 Κάθε πράγρφος κλείνει με έν μεγάλο ριθμό σκήσεων, που κλύπτουν την ύλη με κάθε λεπτομέρει. Γι τις εύκολες σκήσεις ή γι υτές που υπάρχουν ντίστοιχες εφρμογές, δίνοντι οι πντήσεις στο τέλος του ιλίου. Γι τις σκήσεις μέτρις δυσκολίς, δίνοντι ικνοποιητικές υποδείξεις, ενώ γι τις δύσκολες σκήσεις, που σημειώνοντι με στερίσκο (*), δίνοντι σύντομες λύσεις. 3 Το ιλίο περιέχει διάσπρτ πέντε διγωνίσμτ των τεσσάρων θεμάτων, που είνι νάλογ με τις πιτήσεις των πνελλδικών εξετάσεων. 3 Κάθε κεφάλιο κλείνει με επνληπτικές σκήσεις. Επίσης, στο τέλος δίνετι ένς μεγάλος ριθμών γενικών επνληπτικών θεμάτων κι η ενσχόληση του μθητή με υτά, θ τον οηθήσει σημντικά στην εμάθυνση της ύλης της Μθημτικής Ανάλυσης. Με ευχρίστηση θ δεχθώ οποιδήποτε υπόδειξη που θ μπορούσε ν συμάλλει στη ελτίωση υτού του ιλίου. Δεκέμριος 05 Θνάσης Ξένος
Περιεχόμεν ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Πράγωγος συνάρτησης (Mελέτη Συνάρτησης).5. Το θεώρημ μέσης τιμής....5.. Το θεώρημ Rolle....5.. Το θεώρημ μέσης τιμής (Lagrange)... 3 Ασκήσεις... 30.6. Συνέπειες του θεωρήμτος μέσης τιμής... 37.6.. Στθερή συνάρτηση Ισότητ πργώγων... 37.6.. Κριτήριο μονοτονίς... 43 Ασκήσεις... 5 6 ο Διγώνισμ (Θεώρημ μέσης τιμής Μονοτονί συνάρτησης)... 58.7. Τοπικά κρόττ συνάρτησης... 60.7.. Ορισμοί των τοπικών κροτάτων... 60.7.. Το Θεώρημ Fermat... 6.7.3. Κριτήριο τοπικών κροτάτων... 65 Ασκήσεις... 83.8. Κυρτότητ Σημεί κμπής συνάρτησης... 89.8.. Ορισμός κυρτής κι κοίλης συνάρτησης... 89.8.. Κριτήριο κυρτότητς... 90.8.3. Σημείο κμπής... 90 Ασκήσεις... 95.9. Ασύμπτωτες Κνόνες De L Hospital... 00.9.. Ασύμπτωτες... 00.9.. Κνόνες De L Hospital... 0 Ασκήσεις... 0.0. Μελέτη συνάρτησης... 4 Ασκήσεις... 8 7 ο Διγώνισμ (Ακρόττ Κυριότητ Ασύμπτωτες Απροσδιόριστες μορφές Μελέτη συνάρτησης)... 9 Περιεχόμεν 7
Επνάληψη κεφλίου... Ερωτήσεις θεωρίς... Ασκήσεις επνάληψης... 3 8 ο Διγώνισμ (Κεφάλιο )... 35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Ολοκληρωτικός λογισμός 3.. Πράγουσ συνάρτησης... 39 Ιδιότητες... 39 Πίνκς πργουσών... 40 Ασκήσεις... 48 3.. Ορισμένο ολοκλήρωμ... 5 Γεωμετρική σημσί του ορισμένου ολοκληρώμτος... 5 Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώμτος... 53 Ασκήσεις... 60 3.3. Υπολογισμός του ορισμένου ολοκληρώμτος... 64 3.3.. Η συνάρτηση F() f(t)dt... 64 3.3.. Θεμελιώδες θεώρημ του Ολοκληρωτικού Λογισμού... 66 3.3.3. Ολοκλήρωση κτά πράγοντες... 7 3.3.4. Ολοκλήρωση ρητών συνρτήσεων... 75 3.3.5. Ολοκλήρωση με ντικτάστση... 79 3.3.6. Ολοκλήρωση τριγωνομετρικών συνρτήσεων... 87 3.3.7. Διάφορ θεωρητικά θέμτ... 95 Ασκήσεις... 04 3.4. Εμδόν επίπεδου χωρίου... 5 3.4.. Εμδόν χωρίου που ορίζετι πό μι γρφική πράστση κι τον άξον ʹ... 5 3.4.. Εμδόν χωρίου που ορίζετι πό δύο γρφικές πρστάσεις... 6 Ασκήσεις... 4 9 ο Διγώνισμ (Ολοκληρωτικός Λογισμός)... 8 ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ... 30 0 ο Διγώνισμ (Επνληπτικό)... 7 Απντήσεις - υποδείξεις ή σύντομες λύσεις των σκήσεων... 73 8 Θ. Ξένος: Μθημτικά Κτεύθυνσης Γʹ Λυκείου Περιεχόμεν (Μελέτη συνάρτησης)
Πράγωγος συνάρτησης (Μελέτη συνάρτησης)
.6 Μη πεπερσμένο όριο συνάρτησης.5 Το θεώρημ στο Rμέσης τιμής.5. Το θεώρημ Rolle Αν γι μι συνάρτηση fγνωρίζουμε ότι ) είνι συνεχής στο διάστημ [, ] ) είνι πργωγίσιμη στο διάστημ (, )κι γ) f() f(), τότε υπάρχει σημείο ξ (,) με f(ξ) 0. Το θεώρημ υτό γεωμετρικά σημίνει ότι σε έν τουλάχιστον σημείο Mξ, ( f(ξ) ) η εφπτομένη της C είνι πράλληλη στον άξον. f y f()=f() ε ε O ξ ξ Στην ειδική περίπτωση f() f() 0 έχουμε το συμπέρσμ: y Μετξύ δύο διδοχικών ριζών της f υπάρχει τουλάχιστον μι ρίζ της f. O ξ w Eφρμογή (Έλεγχος των υποθέσεων του θεωρήμτος Rolle) Ν εξετσθεί ν ικνοποιούντι οι υποθέσεις του Θεωρήμτος Rolle γι τη συνάρτηση 3 f() ( ) στο διάστημ [0, ]. Λύση: Γι κάθε o ισχύει 3 3 3 3 f() ( ),. ( ),.5. Το θεώρημ μέσης τιμής
ç H fείνι συνεχής στο o, άρ κι στο διάστημ [0, ]. ç Γι κι γι η fείνι πργωγίσιμη. Δεν είνι όμως πργωγίσιμη στο 0 (0,), επειδή 3 lim lim lim ( ) 3 lim 3 f() f() ( ). ç Ισχύει f(0) f() 0. Άρ, δεν ικνοποιούντι όλες οι υποθέσεις του Θεωρήμτος Rolle γι την fστο διάστημ [0, ]. w Eφρμογή (Εύρεση πρμέτρων ώστε ν εφρμόζετι το θεώρημ Rolle) Ν ρεθούν οι ριθμοί,, γώστε ν ικνοποιούντι όλες οι υποθέσεις του Θεωρήμτος Rolle γι τη συνάρτηση, 0 f(). 3 γ, 0 Στη συνέχει, ν ρεθεί σημείο ξ (, ) με f (ξ) 0. Λύση: ç Η fείνι συνεχής στ διστήμτ [,0) κι (0,], ως πολυωνυμική σε κθέν πό υτά. Γι ν είνι συνεχής κι στο 0,ρκεί ν ισχύει lim f() lim f() f(0), δηλδή γ. 0 0 ç Η fείνι πργωγίσιμη στ διστήμτ (,0) κι (0,). Θ πρέπει ν είνι πργωγίσιμη κι στο σημείο 0 0. Έχουμε: f() f(0) lim lim lim ( ) κι 0 0 0 0 3 f() f(0) lim lim lim 0 0 0 0 (φού γ ). Επομένως, η fείνι πργωγίσιμη στο 0,ότν ισχύει. ç Τέλος, πρέπει ν ικνοποιείτι η ισότητ f( ) f(), δηλδή ν ισχύει ή 4 ή 4. Άρ, έχουμε, 4 κι γ. Θ. Ξένος: Μθημτικά Κτεύθυνσης Γʹ Λυκείου - T. Κεφ.. Πράγωγος συνάρτησης (Μελέτη συνάρτησης)
Γι τις τιμές υτές των,, γισχύει, 0 f(). 3 8, 0 Αν ξ (,0], η ισότητ f(ξ) 0 γράφετι ξ 0, οπότε ξ που δεν νήκει στο διάστημ (,0]. Αν ξ (0,), η ισότητ f(ξ) 0 γράφετι το σημείο ξ 4 0. 3 w Eφρμογή 3 (Συμπεράσμτ πό την υπόθεση f() 0) 3ξ 8ξ 0 κι ρίσκουμε Έστω μι συνάρτηση f:δo, πργωγίσιμη στο διάστημ Δ με f() 0. Ν ποδειχθεί ότι: ) Αν Δ=[,],τότε f() f(). ) Η εξίσωση f()=0 έχει το πολύ μι ρίζ στο Δ. γ) Η f είνι ντιστρέψιμη κι η f f() f f() γι κάθε Δ. είνι πργωγίσιμη με Λύση: ) Η f είνι συνεχής κι πργωγίσιμη στο διάστημ Δ=[,]. Αν ισχύει f()=f(), σύμφων με το θεώρημ Rolle, υπάρχει ξ (,) με f(ξ) 0, που είνι άτοπο, φού f() 0γι κάθε Δ. ) Αν η εξίσωση f()=0 έχει δύο ρίζες, Δμε, τότε f( ) f( ) 0 κι σύμφων με το θεώρημ Rolle, υπάρχει 0 (, ) με f() 0 0, που είνι άτοπο. Άρ, η εξίσωση f()=0 έχει το πολύ μι ρίζ στο Δ. Μεθοδολογί Γι ν ποδείξουμε ότι μι εξίσωση f()=0έχει το πολύ μί ρίζ, συνήθως εργζόμστε με ένν πό τους πρκάτω τρόπους. ος τρόπος: Αποδεικνύουμε ότι η f είνι γνησίως μονότονη. ος τρόπος: Υποθέτουμε ότι η εξίσωση f()=0έχει δύο ρίζες κι με το θεώρημ Rolle κτλήγουμε σε άτοπο..5. Το θεώρημ μέσης τιμής 3
γ) ç Αν η fδεν είνι, τότε υπάρχουν, Δμε κι f( ) f( ). Σύμφων πάλι με το θεώρημ Rolle, υπάρχει 0 (, ) με f() 0 0, που είνι άτoπο. Άρ, η f είνι κι επομένως είνι ντιστρέψιμη. ç Γι κάθε y0 f(δ) υπάρχει 0 Δ με f( 0) y0. Γι y f() y0 κι Δ έχουμε 0 κι Επομένως, f (y) f (y 0) 0. y y0 f() f( 0) f() f( 0) 0 f (y) f (y 0) lim lim yy0 0 0 f() f( 0 ) 0 0 y y f ( ) που σημίνει ότι η f είνι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο y0 f( 0) με (f ) ( f( 0) ), που ποδεικνύει το ζητούμενο. f() 0 Σχόλιο Αν η f είνι πργωγίσιμη στο κι η f είνι πργωγίσιμη στο f(), τότε πό την ισότητ f f(), με πργώγιση των μελών της, προκύπτει ότι (f ) f() f () () Έχοντς f() 0, προκύπτει η ισότητ (f ) ( f() ), f() που ποδείξμε πρπάνω., Προσοχή Αυτή η πόδειξη που νφέρουμε στο σχόλιο, γίνετι με την υπόθεση ότι οι f κι είνι πργωγίσιμες. f Αν γι έν σημείο 0 Δ ισχύει f() 0 0, τότε η δεν είνι πργωγίσιμη στο f( 0) y0, διότι, ν συνέινε υτό, πό την () θ είχμε 0 0 δηλδή (f ) f( ) f ( ), (f ) f( ) 0, άτοπο. 0 f 4 Θ. Ξένος: Μθημτικά Κτεύθυνσης Γʹ Λυκείου - T. Κεφ.. Πράγωγος συνάρτησης (Μελέτη συνάρτησης)
. ) Αν μι συνάρτηση fείνι δύο φορές πργωγίσιμη σε έν διάστημ Δμε f () 0 γι κάθε Δ, ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση f() 0 δεν μπορεί ν έχει περισσότερες πό δύο ρίζες στο Δ. ) Ν ποδειχθεί ότι οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων g() e e κι h() 3 έχουν το πολύ δύο κοινά σημεί. 3. ) Αν η εξίσωση γ δ 0 έχει τρεις άνισες πργμτικές, ρίζες, ν ποδειχθεί ότι 3γ. 5 3 ) Αν η εξίσωση γ δ 0 έχει πέντε άνισες πργμτικές ρίζες, ν ποδειχθεί ότι 0,γ 0 κι 0 γ. 9 3. Δύο συνρτήσεις f, gείνι συνεχείς στο διάστημ [, ]κι πργωγίσιμες f() f() στο (, )με g() 0, g () 0 κι. g() g() f ( 0) f( 0) Ν ποδειχθεί ότι υπάρχει 0 (,) με. g ( ) g( ) 0 0 4. Μι συνάρτηση fείνι συνεχής στο διάστημ [, ]κι πργωγίσιμη στο (, )με f() f() 0. Ν ποδειχθεί ότι: f() ) Η γρφική πράστση της συνάρτησης g() c, όπου c [,], έχει τουλάχιστον μί οριζόντι εφπτομένη. ) Υπάρχει 0 (,) γι το οποίο η εφπτομένη της C f στο σημείο M(,f( ) διέρχετι πό το σημείο Α(c, 0). 0 0 f() 5. Αν g() ( )( ) e, όπου η συνάρτηση fείνι συνεχής στο διάστημ [, ] κι πργωγίσιμη στο (, ),ν ποδειχθεί ότι υπάρχει 0 (,) με f() 0. 0 0 f() f() f() 6. Αν g(), όπου η συνάρτηση fείνι συνεχής στο διάστημ f() f() [, ], πργωγίσιμη στο (, ) κι ισχύει, όπου, o, ν - f() f() f(ξ) ποδειχθεί ότι υπάρχει ξ (,) με f(ξ). ξ 3 Θ. Ξένος: Μθημτικά Κτεύθυνσης Γʹ Λυκείου - T. Κεφ.. Πράγωγος συνάρτησης (Μελέτη συνάρτησης)
8 ο Διγώνισμ Διδκτική ενότητ Κεφάλιο Θέμ Α Α. Μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν διάστημ (, ), με εξίρεση ίσως έν σημείο 0 (,), στο οποίο η f είνι συνεχής. Αν f() 0 στο (, 0) κι f() 0 στο ( 0,), ν ποδειχθεί ότι το f( ) είνι τοπικό μέγιστο της f. 0 Α. Τι ονομάζουμε κρίσιμ σημεί μις συνάρτησης; Α3. Πότε μι συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σ έν σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α4. Χρκτηρίστε με «Σωστό» ή «Λάθος» κθεμιά πό τις πρκάτω προτάσεις: ) Μι γνησίως μονότονη συνάρτηση f :(,) o δεν έχει τοπικά κρόττ. ) Η γρφική πράστση μις πολυωνυμικής συνάρτησης δεν έχει κμί σύμπτωτη. γ) Η συνάρτηση f(), [0, ), 0 δεν είνι πργωγίσιμη στο 0. δ) Αν γι κάθε σε έν σύνολο Δ ισχύει f() g (), τότε f() = g()+c γι κάθε Δ. ε) Αν μι συνάρτηση f προυσιάζει τοπικό κρόττο σε έν εσωτερικό σημείο 0 του πεδίου ορισμού της, τότε λλάζει η μονοτονί της f εκτέρωθεν του 0. Θέμ Β Δίνετι η συνάρτηση f() ln, 0 B. Ν ποδειχθεί ότι f() f( f () f () 5ln 4 γι κάθε > 0. B. Ν ρεθεί το σύνολο τιμών της f. Κεφ.. Πράγωγος συνάρτησης 8 ο Διγώνισμ: Kεφάλιο 35
B3. Ν ρεθεί η εφπτομένη της C f που διέρχετι πό την ρχή των ξόνων. B4. Ν γίνει η γρφική πράστση της f. Θέμ Γ Έστω συνεχής συνάρτηση f:[0, Γ. Ν ποδειχθεί ότι f(0) = 0. ) o με f() (e ) ln γι κάθε > 0. Γ. Ν εξετσθεί ν η f είνι πργωγίσιμη στο 0. Γ3. Ν μελετηθεί η f ως προς την κυρτότητ στο διάστημ [, ). Γ4. Ν ποδειχθεί ότι γι κάθε > ισχύει e. e ln g() f ( ) έχει κριώς έν τοπικό ελάχι- * Γ5. Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση στο κι έν τοπικό μέγιστο. Θέμ Δ Μι συνάρτηση f : o o είνι δύο φορές πργωγίσιμη με f(0) f(0) e, f() 0 κι f() f() f () f() ( f() ) ( ) f ( )f() (f γι κάθε o. Δ. Ν ποδειχθεί ότι Δ. Ν ποδειχθεί ότι f() e f( ) γι κάθε o. e f() e, o. Δ3. Ν ρεθούν i) το σύνολο τιμών της f κι ii) οι σύμπτωτες της C f. * Δ4. Ν ρεθεί το όριο της κολουθίς με γενικό όρο ν lnf ν lnf(ν). 36 Θ. Ξένος: Μθημτικά Κτεύθυνσης Γʹ Λυκείου - Τ. Κεφ.. Πράγωγος συνάρτησης 8 ο Διγώνισμ: Κεφάλιο
Ολοκληρωτικός λογισμός
.6 Μη πεπερσμένο όριο συνάρτησης 3. Ορισμένο στο ολοκλήρωμ R Ορισμός Θεωρούμε μι συνάρτηση f, συνεχή στο διάστημ [, ]. Με τ σημεί 0 ν ν χωρίζουμε το [, ] σε ν ισομήκη υποδιστήμτ με μήκος Πίρνουμε έν οποιοδήποτε σημείο ξ κ του διστήμτος [ κ, κ], κ =,,, ν κι σχημτίζουμε το άθροισμ. ν ν ν κ κ Δ. ν S f(ξ )Δ f(ξ )Δ f(ξ )Δ f(ξ )Δ, που είνι γνωστό ως άθροισμ Riemann. Αποδεικνύετι ότι υπάρχει το lim S ν ν, είνι πργμτικός ριθμός κι νεξάρτητος πό την επιλογή των σημείων ξ. κ Το όριο υτό ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ της f πό το έως το κι συμολίζετι με f()d. Οι ριθμοί κι ονομάζοντι όρι ολοκλήρωσης. Τονίζουμε ότι το f()d είνι ένς πργμτικός ριθμός, που εξρτάτι μόνο πό τη συνάρτηση f κι το διάστημ [, ]. Έτσι μπορούμε ν γράφουμε f()d f(t)dt f(u)du Τ πρπάνω ισχύουν με την προϋπόθεση ότι <. Ο ορισμός επεκτείνετι κι στις περιπτώσεις =, > ως εξής: f()d 0 κι f()d f()d 3.. Ορισμένο ολοκλήρωμ 5
Κάθε συνάρτηση f, γι την οποί υπάρχει το f()d, ονομάζετι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [, ]. Κάθε συνεχής συνάρτηση στο [, ] είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ υτό. (Στ Ανώτερ Μθημτικά θ δούμε ότι υπάρχουν ολοκληρώσιμες συνρτήσεις που δεν είνι συνεχείς). Γεωμετρική σημσί του ορισμένου ολοκληρώμτος ç Θεωρούμε μι συνεχή συνάρτηση f:[, ] o με f() 0 γι κάθε [, ]. Το άθροισμ Riemann Sν f(ξ )Δ f(ξ )Δ f(ξ ν)δ πριστάνει το άθροισμ των εμδών των ορθογωνίων με άση Δκι ύψη τις τιμές f(ξ ),f(ξ ),,f(ξ ). ν To lim S ν ν, δηλδή το f()d πριστάνει το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f,τον άξον κι τις ευθείες κι. Ισχύει λοιπόν Ε(Ω) f()d. Στην περίπτωση που είνι f() 0 γι κάθε [,], τότε ισχύει E(Ω) f()d. y y = f() O = 0 ξ κ κ ν ν = ξ κ ξ ν y Ω y = f() O y O Ω Αν η fδεν διτηρεί στθερό πρόσημο στο διάστημ [, ], όπως στην περίπτωση του πρκάτω σχήμτος, τότε έχουμε f()d E(Ω ) E(Ω ) E(Ω ) E(Ω ) E(Ω ). 3 4 5 y y = f() Ω Ω Ω 5 Ω 3 O γ δ ε Ω 4 ζ 5 Θ. Ξένος: Μθημτικά Κτεύθυνσης Γʹ Λυκείου - T. Κεφ. 3. Ολοκληρωτικός λογισμός
.6, Απντήσεις - υποδείξεις ή σύντομες λύσεις των σκήσεων Κεφάλιο Πράγωγος συνάρτησης (Μελέτη συνάρτησης).5 Το θεώρημ μέσης τιμής ) 3) 6) 0) ) ) 3) 4) 5) 7) 9) 0) ) ) 3) 4) ) Σ, ) Λ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Σ. ) ) ξ π, γ) ξ 0, δ) ξ. 3, γ 0 κι ξ 0. 4) ) 4, ) 5. e Πρτηρήστε ότι η η εξίσωση έχει ρίζ το 0. ) Η f() (ημ) δε μηδενίζετι στο (0, π). ) Γι την f() g() h() ισχύει f () e e 0, φού ) Η f() έχει δύο ρίζες κι άρ Δ 0. 4 ) Η f() 5 3 γ έχει 4ρίζες, δηλδή η e e. 5y 3y γ 0 έχει δύο θετικές άνισες ρίζες. Άρ, ισχύει Δ 0, S 0 κι P 0. f() Θεώρημ Rolle γι την h(). g() ) Θεώρημ Rolle γι τη g. ) Από την g( 0) 0 προκύπτει f( 0) 0f ( 0) κ.λπ. Θεώρημ Rolle γι την g. 6) Θεώρημ Rolle γι την g. Θεώρημ Rolle γι την g. 8) Θεώρημ Rolle γι την h() f() g(). Θεώρημ Rolle γι την Θεώρημ Rolle γι την g() f(). f() f() g() f() Αν f() f() 0 με, εφρμόστε το θεώρημ Rolle γι την h. Θεώρημ Rolle γι την h() f () g() f() g (). Αρκεί ν υπάρχει 0 (, ) ώστε ν ισχύει f( 0) 0f ( 0). Εφρμόστε το θεώρημ f() Rolle γι την g(). Θεώρημ Βolzano γι την f() e 4 σε τρί διστήμτ. Αν η fέχει 4. Απντήσεις - υποδείξεις ή σύντομες λύσεις των σκήσεων 73
ρίζες, η f έχει τουλάχιστον 3 ρίζες κι η που είνι άτοπο. f () e 4 έχει τουλάχιστον ρίζες, 5) Θεώρημ Rolle γι την Φ() [g()h() g()h()]f() [f()h() f()h()]g() [f()g() f()g()]h(). 6) Αν f( ), f( ) κι f( 3) 3, όπου 0 3, f() εφρμόστε το θεώρημ Rolle γι την g() στ [, ] κι [, 3] ν 7) Θεώρημ Rolle γι την g. 8) Θ.Μ.Τ γι την ) f() ln, ) f(). 9) Θ.M.T γι την f() σφ. 30) ) 0. 3) Θεώρημ μέσης τιμής γι την fστ διστήμτ, κι,. Γεωμετρική ερμηνεί: Δύο εφπτόμενες της C f σχημτίζουν με τον ισοσκελές τρίγωνο ή τέμνοντι στο ίδιο σημείο του κι σχημτίζουν μ υτόν πρπληρωμτικές γωνίες. 3) 33) 34) Θ.Μ.Τ γι την fστ διστήμτ [, γ], [γ, ]κι στη συνέχει θεώρημ Bolzano γι την f. ) Θεώρημ Βolzano γι την g() f(). ) ΘΜΤ γι την fστ διστήμτ [, 0] κι [ 0, ] Θ.Μ.Τ γι την fστ διστήμτ [, κ], [κ, λ] κι [λ, ], όπου κ, λείνι τ σημεί που διιρούν το [, ] σε τρί ισομήκη διστήμτ. 35) Θ.M.T γι την fστ διστήμτ 0,,,,, ν, ν ν ν ν. 36) 37) 38) 39) 40) 4) Θ.Μ.Τ γι την fστ [, γ], [γ, ] κι στη συνέχει Θ.Μ.Τ γι την f. Θ.Μ.Τ γι την fστο διάστημ [0, ]. ) Θ.M.T γι την f() ρ στο διάστημ [, ]. ) Η εξίσωση γράφετι 3 6 5 κι ν ρείνι μι λύση της, σύμφων ρ ρ με το (), υπάρχουν (, 3) κι (5, 6) με ρ ρ ρ ρ ή ρ( ) 0, οπότε ρ0 ή ρ. Θ.Μ.Τ γι την fστ διστήμτ των f(ξ) κι f(ξ). Θ.Μ.Τ. γι την fστ,,,,,, κι στη συνέχει σύγκριση κι θεώρημ Rolle γι την f. Θ.Μ.Τ. γι την fστ [, ], [, γ] κι φού γ κι f() f() f(γ) f(), εφρμόστε το θεώρημ Rolle γι την f. 74 Θ. Ξένος: Μθημτικά Κτεύθυνσης Γʹ Λυκείου - Τ.
.6 Συνέπειες του θεωρήμτος μέσης τιμής ) ) 6) 7) 8) ) Λ, ) Λ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Λ, στ) Λ, ζ) Σ, η) Σ, θ) Λ, ι) Σ. ) h(). f() e. ) Μονδικό κοινό σημείο είνι το 0, f(0) κι ισχύει f (0) g (0). Εργστείτε όπως στην εφρμογή 5. ) h() 0 f() g() f() g() 0 κι γι την φ() f() g() ισχύει, ) ( ) φ () φ() φ() e 0. Άρ f() g() 0 κι τελικά f() e κι g() e. γ) γ.. (, 3], [ 3, ), γ. φ. [ 3, ), (, ), (, 3], δ) γ.φ. (, ], (0, ) κι γ.. [, 0), ε) γ. [0, ], γ. φ. [, ], στ) γ.φ. (, ], γ.. [, ), ζ) ν δ γ 0, είνι γ.. στ, δ γ κι δ,, γ, είνι γ.φ. στ, δ κι δ, γ γ ν δ γ 0 ν δ γ 0, είνι στθερή,, η) γ.φ. (, ], [0, ] κι γ.. [,0], [, ), ν 5) 9) ) Αν h () h(), h(0) c κι h(0) c, θεωρήστε την φ() f() h() κι ποδείξτε ότι είνι στθερή με τιμή 0. 0) P(t) P(t), όπου θετική στθερά. tc (lnp(t)) (t), P(t) e, P(0) 4.400 κάτοικοι. ) ) f(0) κι f() f( ) f(0) 0, ) f() 0 f( 0) γι κάθε o. γ) f () f() f() ce κι τελικά f() e. ) ) γν. φθίν. στ 5 5,, 0, κι γν. ύξ. στ 5,0 κι 5,, ) γ.φ. στο (, 0] κι γ.. στο [0, ), ν θ) γ.φ. (0, e ], γ.. [e, ), ι) γ.. (, ], (0, ) κι γ.φ. [, 0), ι) γ.. στο o, ι) γ.. κπ π, κπ π, γ.φ. κπ π, κπ 3π, κ w, ιγ) γ.. στο o, ιδ) γ.φ. 0, e, γ.. 3) ) γ.. στο o ) γ.φ.,, [, ) κι γ.., γ) γ. φ. (, ], [0, ], [3, ) κι γ.. [, 0], [, 3]., e, ιε) γ.. [0, 3], γ.φ [3, 6]. 76 Θ. Ξένος: Μθημτικά Κτεύθυνσης Γʹ Λυκείου - Τ.
Βιλί Μθημτικών του Θνάση Ξένου Μθημτικά ΔHMOTIKOY Μθημτικά ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ευκλείδει Γεωμετρί Α & Β Λυκείου Τυπολόγιο γι όλες τις τάξεις Μθημτικά Α & Β Λυκείου
Προλήμτ & Κριτήρι A & Β Λυκείου Μθημτικά Γ Λυκείου Ομάδ προσντολισμού Θετικών Σπουδών, Οικονομίς κι Πληροφορικής Προλήμτ & Κριτήρι Γ Λυκείου ΕΠΑΛ & ΑΣΕΠ
Μθημτικά ΑΕΙ-ΤΕΙ KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου 7, 546 35 Θεσσλονίκη Tηλ.: 30-0370 Fa: 30-305 e-mail: sales@ziti.gr ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ: