Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 9 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1
Ανακοινώσεις Η διάλεξη σε MATLAB/simulink για όσους δήλωσαν συμμετοχή θα γίνει στις 16/1/2014 στο PC LAB Δεν θα γίνει διάλεξη στο Αμφιθέατρο Α στις 16/1 Οι συμμετέχοντες να έρθουν στο PC LAB στις 3μμ Office Hours: Δευτέρα 1-3 μμ, Εργαστήριο Εμβιομηχανικής, Ισόγειο Κτηρίου Μ (210 772-1516) DMmeche2013@gmail.com http://cw.mech.ntua.gr/ml23065 2
Περιεχόμενα Υπολογισμός απόκρισης σε αρμονική διέγερση Αναλυτική λύση απόκρισης σε αρμονική διέγερση Μόνιμη απόκριση σε αρμονικήη διέγερση Συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης Εισαγωγή στην απόκριση συχνότητας Εφαρμογές Κραδασμοί λόγω αζυγοσταθμίας Απόκριση συστήματος 1 Β.Ε. σε περιοδική διέγερση 3
Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Έστω το δευτεροβάθμιο δυναμικό σύστημα m x + c x + k x = F(t) όπου διεγείρεται από μια αρμονική δύναμη της μορφής: F t = F 0 cos(ω t) Εύρος διέγερσης Κυκλική συχνότητα διέγερσης Θέλουμε να υπολογίσουμε αναλυτικά την απόκριση x(t) όταν είναι γνωστές οι αρχικές συνθήκες x 0, x 0 4
Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση m x + c x + k x = F t = F 0 cos(ω t) x(0) = x 0 x (0) = u 0 m x + c x + k x = 0 x(0) = x 0 x (0) = u 0 m x + c x + k x = F 0 cos(ω t) x(0) = x (0) = 0 x + 2 ζ ω x + ω 2 x = 0 x(0) = x 0 x (0) = u 0 x + 2 ζ ω x + ω 2 x = f 0 cos(ω t) x(0) = x (0) = 0 x i (t) x f (t) x t = x i t + x f t 5
Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Καταρχάς αδιαστατοποιούμε το σύστημα x + 2 ζ ω x + ω 2 x = f 0 cos(ω t) x(0) = x (0) = 0 Η απόκριση x t στην αρμονική διέγερση f(t) από τυχαίες αρχικές συνθήκες x 0, x 0 ισούται με το άθροισμα: 1. Της απόκρισης x i t σε αρχικές συνθήκες x 0, x 0 χωρίς διέγερση (f t = 0). Δεν εξαρτάται από την διέγερση. Υπολογίζεται μέσω των ριζών του χαρακτηριστικού πολυωνύμου (βλέπε προηγούμενες διαλέξεις) 2. Της απόκρισης x f t στην αρμονική διέγερση f(t) με μηδενικές αρχικές συνθήκες x 0 = x 0 = 0. Αυτή η διάλεξη εστιάζει στην απόκριση x f t 6
Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Η απόκριση x f t σε αρμονική διέγερση (μηδενικές αρχικές συνθήκες) μπορεί να εκφραστεί ως: x f t = x h (t) + x p (t) Για τον υπολογισμό της ειδικής λύσης x p (t), το δυναμικό σύστημα παρουσία της διέγερσης γράφεται ως x + 2 ζ ω x + ω 2 x = f 0 cos(ω t) και αναζητούνται ειδικές λύσεις της μορφής x p t = X cos Ω t θ Εύρος απόκρισης Διαφορά φάσης 7
Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Οι άγνωστοι παράμετροι X, θ της ειδικής λύσης υπολογίζονται αντικαθιστώντας την x p t στην διαφορική εξίσωση και λύνοντας (Σημειώσεις Βενετσάνου #3.9): Χ = f 0 (ω 2 Ω 2 ) 2 +(2ζωΩ) 2 θ = tan 1 ( 2ζωΩ ω 2 Ω 2) Παρατήρηση: Οι παράμετροι της ειδικής λύσης (Χ, θ) εξαρτόνται τόσο από την διέγερση (f 0, Ω) όσο και από το σύστημα (ζ, ω) 8
Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Η ομογενής λύση x h (t) ισούται με x h t = c 1 e λ1t + c 2 e λ 2t όπου λ 1,2 είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου λ 2 + 2 ζ ω λ + ω 2 = 0 Η συνολική λύση είναι x f t = c 1 e λ1t + c 2 e λ2t +X cos Ω t θ xf t = c 1 λ 1 e λ1t +c 2 λ 2 e λ2t X Ω sin Ω t θ Οι σταθερές c 1, c 2 υπολογίζονται από τις Α.Σ. x(0) = x (0) = 0 : x f 0 = 0 c 1 + c 2 = X cos θ x f 0 = 0 c 1 λ 1 + c 2 λ 2 = X Ω sin θ 9
Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Στην γενική περίπτωση, λύνοντας για τα c 1, c 2 και αντικαθιστώντας στην σχέση της x h t προκύπτει η ομογενής λύση: x h t = X λ 2 λ 1 [(Ω s θ λ 2 c θ ) e λ 1t + (λ 1 c θ Ω s θ ) e λ 2t ] όπου c θ = cos (θ) και s θ = sin θ Στην περίπτωση υποκρίσιμης απόσβεσης (0<ζ<1) τότε (σημειώσεις Βενετσάνου #3.9) η ομογενής λύση μπορεί να γραφεί ως: x h t = Α e ζωt sin ω n t + φ οπου οι σταθερές Α και φ υπολογίζονται από τις Α.Σ. ως: φ = tan 1 ω n Χ cos θ ( Χ cos θ ζ ω Ω Χ sin θ ) Α = Χ cos (θ) sin (φ) 10
Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Στην περίπτωση υποκρίσιμης απόσβεσης (0<ζ<1) τότε (σημειώσεις Βενετσάνου #3.9) η συνολική λύση (απόκριση σε αρμονική διέγερση) είναι: x f t = x h t + x p t = Α e ζωt sin ω n t + φ + X cos Ω t θ όπου οι σταθέρές υπολογίζονται ως: Χ = f 0 (ω 2 Ω 2 ) 2 +(2ζωΩ) 2 θ = tan 1 ( 2ζωΩ ω 2 Ω 2) φ = tan 1 ω n Χ cos θ ( Χ cos θ ζ ω Ω Χ sin θ ) Α = Χ cos (θ) sin (φ) Παρατήρηση: σε ευσταθή συστήματα (ζ>0) η ομογενής λύση (μεταβατική απόκριση) τείνει στο 0 μετά από πεπερασμένο χρόνο, και μένει η μόνιμη απόκριση (ειδική λύση), η οποία είναι αρμονική συνάρτηση, ίδιας συχνότητας Ω με την διέγερση (Επόμενο slide) 11
Μόνιμη Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση H συνολική απόκριση είναι: x f t = x h t + x p (t) Σε ευσταθή συστήματα x h (t) 0 σε πεπερασμένο χρόνο (μεταβατική απόκριση). Η μόνιμη απόκριση περιλαμβλανει μόνο την x p (t) x h (t) xx f f (t) + = x p (t) 12
Μόνιμη Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Η μόνιμη απόκριση x (t) του γραμμικού συστήματος x + 2 ζ ω x + ω 2 x = f(t) σε μια αρμονική διέγερση f(t) = f 0 cos Ω t είναι μια αρμονική συνάρτησηx p (t) = X cos Ω t θ Η μόνιμη απόκριση έχει την ίδια κυκλική συχνότητα Ω με την διέγερση Το μέτρο X και η διαφορά φάσης θ ως προς την διέγερση εξαρτώνται από το σύστημα (ζ, ω) και από την συχνότητα διέγερσης Ω 13
Στατική VS Αρμονική Διέγερση Έστω το αδιαστατοποιημένο σύστημα: x + 2 ζ ω x + ω 2 x = f(t) Απόκριση σε στατική διέγερση: Διέγερση: f t = f 0 u s (t) Απόκριση: x s t = x h (t) + x p (t), όπου x p t = ω 2 f 0 u s (t) Μόνιμη απόκριση: x s ss (t) = ω 2 f 0 Απόκριση σε αρμονική διέγερση: Διέγερση: f t = f 0 cos(ωt) Απόκριση: x f t = x h (t) + x p (t), όπου x p t = X cos Ω t θ Μόνιμη απόκριση: x f ss (t) = X cos Ω t θ Και στις δύο περιπτώσεις, μετά την μεταβατική απόκριση x h (t) 0 οπότε η μόνιμη απόκριση ισούται με την x p (t) 14
Στατική VS Αρμονική Διέγερση Συντελεστής δυναμικής ενίσχυσης H = x f ss (t) x s ss (t) To εύρος της μόνιμης απόκρισης λόγω μιας αρμονικής δύναμης μέτρου f 0 To εύρος της μόνιμης απόκρισης λόγω μιας στατικής δύναμης μέτρου f 0 πράξεις... H = x f ss (t) x s ss (t) = X ω 2 f 0 = f 0 (ω 2 Ω 2 ) 2 +(2ζωΩ) 2 ω 2 f 0 H = 1 (1 q 2 ) 2 +(2ζq) 2 q = Ω ω 15
Στατική VS Αρμονική Διέγερση Όταν 0<ζ<1, ο συντελεστής H(q) έχει 3 περιοχές: Στατική περιοχή: όταν q 1 τότε H(q) 1 Κυριαρχούν οι ελαστικές δυνάμεις Περιοχή συντονισμού: όταν q 1 τότε H q > 1 Μέγιστη τιμή H max = H q = 1 2ζ 2 εξαρτάται από ζ Περιοχή υψηλών διεγέρσεων: όταν q 1 τότε H(q) 0 Κυριαρχούν οι αδρανιακές δυνάμεις Γραφική παράσταση της H(q) σε ένα σύστημα 1 Β.Ε. υποκρίσημης απόσβεσης (0<ζ<1) 16
Στατική VS Αρμονική Διέγερση Όταν 0<ζ<1, η μορφή του H(q) εξαρτάται δραματικά από τον λόγο απόσβεσης ζ Ελάττωση ζ αύξηση q peak προς το 1, & αύξηση H max Όταν ζ 0, τότε q peak 1 & H max σε συστήματα μικρής απόσβεσης πρέπει να αποφεύγεται η Ω = ω 17
Διαφορά φάσης Στην μόνιμη κατάσταση, η απόκριση σε αρμονική διέγερση είναι x p t = X cos Ω t θ Εύρος απόκρισης (περιγράφεται μέσω του συντελεστή H) 1.5 1 0.5 0-0.5-1 stimulation f(t) response x(t) -1.5 0 20 40 60 80 100 time Διαφορά φάσης Aπόκριση x p t ενός δευτεροβάθμιου συστήματος (ζ=0.25, ω=1 rad/sec) σε μια αρμονική διεγερση συχνότητας Ω=0.25 rad/sec και πλάτους f 0 = 1 18
Διαφορά φάσης Διαφορά φάσης: πόσο υστερεί χρονικά η αρμονική απόκριση ως προς την διέγερση Όταν 0<ζ<1, η θ(q) είναι αύξουσα συνάρτηση του q Όταν q 1 τότε θ 0 Όταν q 1 τότε θ π/2 Όταν q 1 τότε θ π Η μετάβαση γύρω από το q = 1 είναι πιο έντονη για μικρότερα ζ 19
Εισαγωγή στην Απόκριση Συχνότητας Έστω ένα γραμμικό δυναμικό σύστημα. Έστω ότι στο σύστημα ασκείται μια διέγερση u(t), η οποία προκαλεί απόκριση y(t) σε κάποιο μέγεθος ενδιαφέροντος u(t) Γραμμικό Δυναμικό Σύστημα y(t) Έστω αρμονική διέγερση u t = U 0 cos Ω t Tότε η απόκριση (μόνιμη κατάσταση) θα είναι επίσης αρμονική συνάρτηση y t = Y 0 cos Ω t + θ της ιδίας συχνότητας Ω 20
Εισαγωγή στην Απόκριση Συχνότητας Τα Y 0, θ είναι συναρτήσεις της συχνότητας διέγερσης Ω. Αυτή η σχέση εκφράζεται μέσω της μιγαδικής συνάρτησης απόκρισης συχνότητας Η u y (jω) Περιγράφει μια σχέση εισόδου-εξόδου σε ένα σύστημα u t = U 0 cos Ω t Γραμμικό Δυναμικό Σύστημα y t = Y 0 cos Ω t + θ Y 0 = Η u y (jω) U 0 θ = Η u y (jω) Μέτρο του μιγαδικού αριθμού Η u y (jω) Γωνία του μιγαδικού αριθμού Η u y (jω) 21
Εισαγωγή στην Απόκριση Συχνότητας Δύο τρόποι για τον υπολογισμό της μιγαδικής συνάρτησης Η u y jω 1. Αναλυτικός υπολογισμός της αρμονικής ειδικής λύσης y(t) λόγω της αρμονική διέγερσης u(t) σαν συνάρτηση Αυτό περιγράφηκε παραπάνω με τον υπολογισμό της x p t = X cos Ω t θ σε αρμονική είσοδο f t = cos Ω t. Σε αυτή τη περίπτωση Η f x (jω) = Χ και Η f x jω = θ 2. Υπολογισμός από την αντίστοιχη συνάρτηση μεταφοράς Η u y (s) Πολύ πιο έυκολος τρόπος Περισσότερα σε επόμενες διαλέξεις 22
Εισαγωγή στην Απόκριση Συχνότητας Στο προηγούμενο παράδειγμα x + 2 ζ ω x + ω 2 x = f(t) f t = f 0 cos(ω t) Γραμμικό Δυναμικό Σύστημα x t = X cos Ω t + θ Χ f 0 = 1 (ω 2 Ω 2 ) 2 +(2ζωΩ) 2 θ = tan 1 ( 2ζωΩ ω 2 Ω 2) Σε αυτή τη περίπτωση Η f x jω = Η απόδειξη για αυτό το αποτέλεσμα σε επόμενη διάλεξη 1 ω 2 Ω 2 +2ζωΩj 23
Εφαρμογή 1: Κραδασμοί σε Μηχανή Λόγω Aζυγοσταθμίας Σε περιστρεφόμενους άξονες οι οποίου δεν είναι εντελώς ζυγοσταθμισμένοι προκαλούνται δυνάμεις αζυγοσταθμίας F t = F 0 cos Ω t = M r Ω 2 cos Ω t Κυκλική συχνότητα διέγερσης ισούται με κυκλική συχνότητα περιστροφής άξονα Το μέγεθος της δύναμης είναι ανάλογο της αζυγοστάθμητης μάζας M r και του τετραγώνου της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής Ω της ατράκτου Δύναμη που ασκείται κατά τον κατακόρυφο άξονα λόγω της αζυγοστάθμητης μάζας M r που περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα Ω 24
Εφαρμογή 1: Κραδασμοί σε Μηχανή Λόγω Αζυγοσταθμίας Είναι απίθανο να εξαλειφθούν όλες πηγές αζυγοσταθμίας Αρμονικές δυνάμεις F t λόγω αζυγοσταθμίας προκαλούν κραδασμούς στην μηχανή: αρμονική απόκριση x t Συχνότητα των κραδασμών x t ταυτίζεται με συχνότητα διέγερσης Ω Το εύρος των κραδασμών x t εξαρτάται από την συχνότητα Ω από μηχανικές ιδιότητες της κατασκευής, της έδρασης της Μας ενδιαφέρει η μόνιμη απόκριση σε αρμονικές διεγέρσεις των οποίων η συχνότητα Ω εξαρτάται από την συχνότητα περιστροφής των περιστροφόμενων αξόνων της μηχανής Πηγή αρμονικής δύναμης Έδραση μηχανής 25
Εφαρμογή 1: Κραδασμοί σε Μηχανή Λόγω Αζυγοσταθμίας Απλούστερο μοντέλο: m-c-k Περιγράφει πως η δύναμη αζυγοσταθμίας F(t) προκαλεί μετατοπίσεις x(t) (κραδασμούς) σε κάποιο σημείο F(t) Σύστημα m-c-k x(t) Επιταχυνσιόμετρα: μετρούν την επιτάχυνση x t = X Ω 2 cos Ω t θ Το εύρος X μπορεί να εκτιμηθεί μετρώντας το εύρος της επιτάχυνσης X Ω 2 για διάφορες γωνιακές ταχύτητες περιστροφής (σημειώσεις Βενετσάνου #4.7) 26
Εφαρμογή 2: Απόκριση γραμμικού συστήματος σε περιοδικές διεγέρσεις Παράδειγμα: Υπολογίστε την απόκριση της κατακόρυφης κίνησης του αμαξώματος ενός αυτοκινήτου όταν κινείται πάνω από μια σειρά από άπειρα σαμαράκια με σταθερή ταχύτητα Περιοδική διέγερση (όχι αρμονική) x f (t) Ανάρτηση Η xf x jω x(t) 27
Εφαρμογή 2: Απόκριση γραμμικού συστήματος σε περιοδικές διεγέρσεις Η διέγερση x f (t) είναι μια περιοδική συνάρτηση η περίοδος Τ εξαρτάται από την ταχύτητα του αυτοκινήτου Ανάλυση Fourier: μια περιοδική συνάρτηση x f (t) μπορεί να εκφραστεί σαν ένα άθροισμα αρμονικών συναρτήσεων όπου x f t = 1 2 α 0 + A n sin (n ω 0 t + φ n ) ω 0 = 2π/Τ A n = α n 2 + b n 2 φ n = tan 1 ( α n b n ) n=1 α n = 2 T b n = 2 T T 0 T 0 x f t cos (n ω 0 t)dt x f t sin (n ω 0 t)dt 28
Εφαρμογή 2: Απόκριση γραμμικού συστήματος σε περιοδικές διεγέρσεις Η απόκριση μόνιμης κατάστασης που προκαλεί η x f (t) υπολογίζεται μέσω της αρχής της επαλληλίας x t = 1 2 α 0Η xf x 0 + C n sin (n ω 0 t + φ n + ψ n ) n=1 C n = A n Η xf x j n ω 0 ψ n = Η xf x j n ω 0 29