Κεφ. 6: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές προβλήματα οριακών τιμών

Κεφ 6: Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων με πεπερασμένες διαφορές προβλήματα οριακών τιμών 61 Εισαγωγή στη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών 6 Προβλήματα δύο οριακών τιμών ΣΔΕ 63 Εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών πέντε και εννέα σημείων - ΜΔΕ 64 Κυλινδρικές συντεταγμένες 65 Οριακές συνθήκες με παραγώγους 66 Παραδείγματα 1

61 Εισαγωγή στη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών Οι πλέον συνηθισμένες ελλειπτικές εξισώσεις με πλήθος εφαρμογών σε πολλά επιστημονικά και τεχνολογικά πεδία είναι οι εξισώσεις Laplace u 0 και Poison u f όπου ο Λαπλασιανός τελεστής (σε καρτεσιανό σύστημα xx yy zz συντεταγμένων), u u x, y, z η άγνωστη εξαρτημένη μεταβλητή και f f x, y, z μία γνωστή συνάρτηση Άλλες ελλειπτικές εξισώσεις που είναι αντιπροσωπευτικές και συναντώνται αρκετά συχνά είναι η εξίσωση Helmholtz uku 0 και η διαρμονική εξίσωση 4 u u f Οι ελλειπτικές εξισώσεις περιγράφουν προβλήματα οριακών τιμών, δηλαδή φαινόμενα ισορροπίας σε μόνιμα (όχι χρονικά μεταβαλλόμενα) προβλήματα όπως βαρυτικά πεδία, ηλεκτροστατικά πεδία, μόνιμη θερμική αγωγή, ιδανική ή πλήρως ανεπτυγμένη συνεκτική ροή, ελαστικότητα, κτλ

Οι ελλειπτικές εξισώσεις ορίζονται σε κλειστά πεδία ορισμού με την εξαρτημένη μεταβλητή να ορίζεται με οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet, Newmann ή μικτές (Robin) στο κλειστό όριο του πεδίου ορισμού Όταν οι εξισώσεις και οι οριακές συνθήκες είναι διαχωρίσιμες τότε επιλύονται με τη απλή μέθοδο διαχωρισμού των μεταβλητών, ενώ όταν είναι μη διαχωρίσιμες επιλύονται με αναπτύγματα Fourier ή μέσω της επίλυσης του σχετιζόμενου (συγγενούς) προβλήματος χαρακτηριστικών τιμών Σε πολλές περιπτώσεις η αναλυτική επίλυση των ελλειπτικών μερικών διαφορικών εξισώσεων είναι ιδιαίτερα επίπονη ή ακόμη και αδύνατη Στις περιπτώσεις αυτές οι εξισώσεις επιλύονται αριθμητικά Η πλέον διαδεδομένη υπολογιστική μέθοδος επίλυσης είναι η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών 3

Το σημαντικό πλεονέκτημα των υπολογιστικών μεθόδων σε σχέση με τις αναλυτικές εστιάζεται στο γεγονός ότι οι υπολογιστικές μέθοδοι δύνανται να εφαρμοσθούν και να επιλύσουν μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις Αντίθετα οι αναλυτικές μέθοδοι επικεντρώνονται, με ελάχιστες εξαιρέσεις, στην επίλυση γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων και σε κάθε περίπτωση η αναλυτική επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων αποτελεί ένα ιδιαίτερα δύσκολο πεδίο που απαιτεί εξειδικευμένες μαθηματικές τεχνικές Στο παρόν κεφάλαιο θα επικεντρωθούμε στην υπολογιστική επίλυση γραμμικών εξισώσεων Έχοντας στη διάθεσή μας την αναλυτική και υπολογιστική λύση του ιδίου προβλήματος μπορούμε να συγκρίνουμε τα υπολογιστικά προσεγγιστικά αποτελέσματα με τα αντίστοιχα αναλυτικά και να αξιολογήσουμε και να πιστοποιήσουμε την αριθμητική μεθοδολογία Θα πρέπει όμως να είναι σαφές ότι οι προτεινόμενες υπολογιστικές προσεγγίσεις μπορούν με μικρές τροποποιήσεις να εφαρμοσθούν και σε μη γραμμικές εξισώσεις 4

Η μέθοδος πεπερασμένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισμένες και διαδεδομένες υπολογιστικές τεχνικές επίλυσης διαφορικών εξισώσεων με πλήθος εφαρμογών στην μηχανική και σε άλλες επιστήμες Σύντομη και γενική περιγραφή της μεθόδου: a) Το συνεχές πεδίο ορισμού, όπου ορίζεται η διαφορική εξίσωση αντικαθίσταται από ένα πεπερασμένο αριθμό σημείων D, όπου D και παράλληλα το όριο του πεδίου ορισμού αντικαθίσταται από ένα πεπερασμένο αριθμό σημείων D που μπορεί να ανήκουν ή και να μην ανήκουν στο b) Το νέο πεδίο ορισμού του προβλήματος ονομάζεται υπολογιστικό πλέγμα, δομικά στοιχεία του οποίου είναι τα επιλεγέντα σημεία που ονομάζονται κόμβοι Για κάθε σημείο (κόμβο) P του D, διατυπώνεται μια αλγεβρική εξίσωση που περιλαμβάνει την τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής στο σημείο P και σε γειτονικά σημεία του P εντός των και D D 5

c) Η αλγεβρική εξίσωση ονομάζεται εξίσωση πεπερασμένων διαφορών και αποτελεί προσέγγιση της μερικής διαφορικής εξίσωσης στο σημείο P Η συστηματική διατύπωση της αλγεβρικής εξίσωσης πεπερασμένων διαφορών εξαρτάται από τις πολλές εναλλακτικές δυνατότητες που προσφέρονται μέσω της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών d) Εάν υπάρχουν N σημεία στο D προκύπτει ένα σύστημα N αλγεβρικών εξισώσεων με N αγνώστους Εάν το σύστημα έχει μοναδική λύση, που συνήθως έχει, οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής που προκύπτουν θεωρούνται προσεγγιστικές σε σχέση με αυτές της αναλυτικής λύσης e) Η καλή ή κακή προσέγγιση ανάμεσα στην υπολογιστική (αριθμητική) και πραγματική (αναλυτική αν υπάρχει) λύση εξαρτάται από την συγκεκριμένη μεθοδολογία πεπερασμένων διαφορών που υιοθετείται και αξιολογείται μελετώντας την σύγκλιση, την ευστάθεια και την συνοχή του αριθμητικού σχήματος 6

f) Η διαδικασία αντικατάστασης της αναλυτικής διαφορικής εξίσωσης και του συνεχούς πεδίου ορισμού της με ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών που ορίζονται στους κόμβους του υπολογιστικού πλέγματος ονομάζεται διακριτοποίηση 7

6 Προβλήματα δύο οριακών τιμών - ΣΔΕ Ο αριθμός προβλημάτων οριακών τιμών που περιγράφονται από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) είναι ιδιαίτερα μεγάλος Στις περιπτώσεις αυτές, και σε αντίθεση με ότι συμβαίνει στα προβλήματα αρχικών τιμών, οι συνθήκες του προβλήματος ορίζονται σε δύο διαφορετικές τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής Τα προβλήματα αυτά είναι γνωστά στη βιβλιογραφία σαν προβλήματα δύο οριακών τιμών Μερικά κλασσικά παραδείγματα προβλημάτων δύο οριακών τιμών περιλαμβάνουν: o ροή Poiseuille ανάμεσα σε δύο πλάκες ή σε κυλινδρικό αγωγό o ροή θερμότητας σε μονοδιάστατη ράβδο o λυγισμό λεπτής μονοδιάστατης δοκού 8

Η ροή Poiseuille ανάμεσα σε πλάκες περιγράφεται από την ΣΔΕ: d du dp dy dy dx όπου 0 y L είναι η απόσταση ανάμεσα στις δύο πλάκες, dp / dx είναι η κλίση της πίεσης στην αξονική διεύθυνση x της ροής και u u y η άγνωστη κατανομή της ταχύτητας Οι οριακές συνθήκες μη ολίσθησης είναι u L 0 0 Η ροή θερμότητας σε μονοδιάστατη ράβδο περιγράφεται από την ΣΔΕ: d dt k h T T dx dx 0 είναι το μήκος της ράβδου, όπου 0 x L T T x η άγνωστη θερμοκρασιακή κατανομή κατά μήκος της ράβδου, T η θερμοκρασία του περιβάλλοντος χώρου και k και h οι συντελεστές θερμικής αγωγής και συναγωγής αντίστοιχα Οι οριακές συνθήκες στην αρχή και στο τέλος της ράβδου είναι T0 TL και TL TR, όπου T L και T R είναι γνωστές θερμοκρασίες 9

Ο λυγισμός λεπτής μονοδιάστατης δοκού περιγράφεται από την ΣΔΕ d f k f 0 dx όπου 0 x L είναι το μήκος της δοκού και f f x (παραμόρφωση) από τη θέση ισορροπίας Επίσης k P/ EI η απομάκρυνση, όπου P είναι το εξωτερικό αξονικό φορτίο, E το μέτρο ελαστικότητας και I η ροπή αδρανείας Θεωρώντας ότι τα δύο άκρα της δοκού είναι πακτωμένα, προκύπτουν οι οριακές f 0 f L 0 συνθήκες Παρατηρούμε ότι το πρόβλημα του λυγισμού, όπως διατυπώνεται στη συγκεκριμένη περίπτωση, περιγράφεται από ομογενή διαφορική εξίσωση και ομογενείς οριακές συνθήκες Επομένως, σε αντίθεση με τα δύο προηγούμενα προβλήματα, είναι ένα πρόβλημα ιδιοτιμών τύπου Sturm-Liouville που μπορεί να λυθεί, όπως και τα δύο προηγούμενα κλασσικά προβλήματα οριακών τιμών, με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών 10

Στα παραπάνω παραδείγματα όταν οι συντελεστές των παραγώγων θεωρούνται σταθεροί τότε οι εξισώσεις είναι γραμμικές και μπορούν να επιλυθούν αναλυτικά και αριθμητικά Στη περίπτωση αυτή τα αριθμητικά αποτελέσματα συγκρίνονται με τα αντίστοιχα αναλυτικά και είναι εφικτό να μελετήσουμε και να προσδιορίσουμε την ακρίβεια των αριθμητικών αποτελεσμάτων Αντίθετα, όταν οι συντελεστές είναι συναρτήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής (άμεσα ή έμμεσα) τότε οι εξισώσεις είναι μη γραμμικές και τις περισσότερες φορές επιλύονται μόνο αριθμητικά Στις περιπτώσεις αυτές θα πρέπει να είμαστε πολύ προσεκτικοί σχετικά με την ακρίβεια των αριθμητικών αποτελεσμάτων Σημειώνεται τέλος ότι είναι ιδιαίτερα χρήσιμο για τον μη μυημένο αναγνώστη να ανατρέξει και να εντοπίσει στη βιβλιογραφία προβλήματα δύο οριακών τιμών που περιγράφονται από γραμμικές και μη γραμμικές ΣΔΕ 11

Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών σε προβλήματα οριακών τιμών: Θεωρούμε τη γραμμική ΣΔΕ ης τάξης στη γενική μορφή P x y'' Q x y' R x ys x 0 (*) στο διάστημα x x, x με οριακές συνθήκες y y L για x xl και y yr για x xr L R Οριακές συνθήκες, που περιέχουν τιμές μόνο της εξαρτημένης μεταβλητής (και όχι των παραγώγων της) ονομάζονται οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet και δύναται να είναι ομογενείς ή μη ομογενείς 1

Το πρώτο βήμα, στη εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών, είναι ο καθορισμός του υπολογιστικού πλέγματος και των κόμβων: Το διάστημα x x, x L R διαιρείται σε N ίσα τμήματα και το κάθε τμήμα έχει μήκος hxr xl/ N Τα σημεία που ορίζουν την αρχή και το τέλος κάθε τμήματος ονομάζονται κόμβοι και η θέση τους στο υπολογιστικό πλέγμα προσδιορίζεται από τις x x i 1 h, i 1,, N 1 σχέσεις i L Είναι προφανές ότι x1 xl και xn 1 xr Συνολικά, ορίζονται N 1 κόμβοι, εκ των οποίων οι N 1 κόμβοι x i, i,3,, N είναι εσωτερικοί κόμβοι, ενώ οι δύο κόμβοι x 1 και xn 1 ταυτίζονται με τα δύο όρια x L και x R αντίστοιχα Επίσης οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στους κόμβους του πλέγματος ορίζονται από τις σχέσεις y x y, i 1,, N 1 i i 13

Οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στους εσωτερικούς κόμβους είναι άγνωστες και αποτελούν το αντικείμενο της υπολογιστικής επίλυσης του προβλήματος, ενώ οι αντίστοιχες τιμές στα όρια είναι γνωστές από τις οριακές συνθήκες 1 3 i-1 i i+1 N-1 N N+1 x 1 x x 3 x i-1 x i x i+1 x N-1 x N x N+1+1 Υπολογιστικό πλέγμα και κόμβοι πλέγματος 14

Το δεύτερο βήμα είναι η προσέγγιση της ΣΔΕ σε ένα τυχαίο εσωτερικό κόμβο, έστω x, του πλέγματος Η πράξη αυτή συμβολίζεται ως εξής: i P x y'' Q x y' R x y S x 0 xx x x i xxi xx i i Η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος της ΣΔΕ προσεγγίζονται με τις κεντρώες εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών ης τάξης y ' xx i y y h y y y h i1 i1 i1 i i1 Oh και y '' O h xx i Οι εκφράσεις αυτές αντικαθίστανται στη εξίσωση που γράφεται στη μορφή yi 1 yi yi 1 yi 1 yi 1 Pi Q 0 i Riyi Si, i,, N (**) h h 15

Οι δείκτες i 1, i και i 1 στις διάφορες ποσότητες συμβολίζουν τις ποσότητές αυτές στους αντίστοιχους κόμβους Σημειώνεται ότι η εξίσωση (**) δεν ταυτίζεται αλλά αποτελεί προσέγγιση της ΣΔΕ (*) και το σφάλμα είναι Oh Βλέπουμε επίσης ότι είναι αλγεβρική και ότι ισχύει για κάθε εσωτερικό κόμβο Επομένως δημιουργείται ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων με αγνώστους τις τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στους εσωτερικούς κόμβους του πλέγματος Η εξίσωση (**) ονομάζεται εξίσωση πεπερασμένων διαφορών Αναδιατάσσοντας κατάλληλα τους όρους της (**), ξαναγράφεται στη μορφή Pi Qi Pi Pi Qi yi1ri y i y i1 Si, i,, N h h h h h Έχουμε N 1 αλγεβρικές εξισώσεις με αγνώστους τις N 1 τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής y, y3,, yn Οι τιμές y 1 και yn 1 που εμφανίζονται στην πρώτη ( i ) και τελευταία (i N) εξίσωση του συστήματος αντίστοιχα είναι γνωστές από τις οριακές συνθήκες 16

Οι αντίστοιχοι όροι μετακινούνται στην δεξιά πλευρά του συστήματος που ξαναγράφεται στη παρακάτω γενική μορφή: P P Q P Q R y y S y h h h h h 3 1 Pi Qi Pi Pi Qi yi1ri y i y i1 Si, i 3,, N 1 (***) h h h h h P Q P P Q y R y S y h h h h h N N N N N N1 N N N N1 17

Το τρίτο (και τελευταίο) βήμα είναι η επίλυση του συστήματος (***) Το σύστημα έχει τριδιαγώνια μορφή και γνωρίζουμε, ότι στη περίπτωση αυτή, η πλέον αποτελεσματική μέθοδος επίλυσης είναι ο αλγόριθμος Thomas Τονίζεται ότι η λύση του συστήματος και ο υπολογισμός των αγνώστων y, y3,, yn αποτελεί προσέγγιση της αναλυτικής λύσης της αρχικής ΣΔΕ (*) στα σημεία x, x3,, xn Λέμε ότι η αριθμητική μέθοδος συγκλίνει, εφόσον καθώς ο αριθμός N 1 των κόμβων αυξάνει και το διάστημα h 0, βελτιώνεται η ακρίβεια των αριθμητικών αποτελεσμάτων σε σχέση με τα αναλυτικά Στο συγκεκριμένο πρόβλημα αφού οι εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών είναι ης τάξης, αναμένεται η σύγκλιση να είναι τετραγωνική Βέβαια αυτό δεν ισχύει γενικώς αλλά για μικρές τιμές του διαστήματος h και ακόμα καλύτερα για h 0 Είναι προφανές ότι καθώς αυξάνει ο αριθμός των κόμβων αυξάνει παράλληλα ο αριθμός των αλγεβρικών εξισώσεων του συστήματος και βεβαίως το υπολογιστικό κόστος (μνήμη υπολογιστή και χρόνος υπολογισμών) 18

Η επιλογή του κατάλληλου πλέγματος εξαρτάται από την εκάστοτε εφαρμογή Είναι όμως χρήσιμο και τις περισσότερες φορές απαραίτητο να γίνονται δοκιμές με διαφορετικά πλέγματα ώστε να εξετάζεται η συμπεριφορά των αποτελεσμάτων για διαφορετικά h και να επιβεβαιώνεται η σύγκλισή τους Όπως βλέπουμε το σύστημα (***) αλλά όπως θα δούμε και στη συνέχεια, ο πίνακας των συντελεστών των αλγεβρικών συστημάτων που προκύπτουν με την εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών, περιέχει πολλά μηδενικά στοιχεία και μόνο ένας μικρός αριθμός συντελεστών, σε σχέση με τη τάξη του συστήματος, είναι μη μηδενικοί Επομένως, πρόκειται για αραιούς πίνακες Επίσης η απόλυτη τιμή των διαγωνίων στοιχείων είναι μεγαλύτερη ή ίση από το άθροισμα των απολύτων τιμών των υπολοίπων στοιχείων κάθε γραμμής Άρα οι επαναληπτικές μέθοδοι επίλυσης συστημάτων (Jacobi, Gauss-Seidel, SOR) θα πρέπει να προτιμώνται αντί των άμεσων μεθόδων (απαλοιφή Gauss, παραγοντοποίηση LU), εκτός βεβαίως αν πρόκειται για ειδικές μορφές πινάκων όπως οι τριδιαγώνιοι ή οι συμμετρικοί πίνακες όπου ο αλγόριθμος Thomas και η μέθοδος Cholesky αντίστοιχα είναι οι πλέον αποτελεσματικές μέθοδοι επίλυσης 19

63 Εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών πέντε και εννέα σημείων - ΜΔΕ Όπως και στη περίπτωση των συνήθων διαφορικών εξισώσεων, έτσι και τώρα η εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών σε προβλήματα οριακών τιμών σε ή 3 διαστάσεις που περιγράφονται από μερικές διαφορικές εξισώσεις (ΜΔΕ) περιλαμβάνει τα εξής 3 βήματα: a) διακριτοποίηση του πεδίου ορισμού του προβλήματος και την αντικατάστασή του με το υπολογιστικό πλέγμα b) διακριτοποίηση της μερικής διαφορικής εξίσωσης και των οριακών συνθηκών στους κόμβους του πλέγματος και την διατύπωση του αλγεβρικού συστήματος εξισώσεων πεπερασμένων διαφορων c) επίλυση του αλγεβρικού συστήματος που διαμορφώνεται από τις εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών 0

u u Εξετάζεται σαν παράδειγμα η πρότυπη εξίσωση Poisson 1 (*) στο x y συνεχές πεδίου ορισμού : 0 x 1, 0 y A και u 0 στο όριο του πεδίου ορισμού Όλες οι ποσότητες είναι σε αδιάστατη μορφή y Κόμβος (i,j) y=a u=0 u 1 y=0 x=0 x=1 Πεδίο ορισμού και οριακές συνθήκες y J y J-1 y J- y j+1 y j y j-1 y y 1 y 0 x 0 x 1 x x i-1 x i x i+1 x I- x I-1 x I Υπολογιστικό πλέγμα και κόμβοι πλέγματος x 1

Το 1 ο βήμα εφαρμογής της μεθόδου περιλαμβάνει την επιλογή του υπολογιστικού πλέγματος Διαιρούμε τις αποστάσεις 0 x 1 και 0 y A κατά μήκος των αξόνων x και y σε I και J ίσα τμήματα αντίστοιχα Το μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων κατά μήκος των αξόνων x και y έχουν μήκος x 1/ I και y A/ J Τα σημεία που ορίζουν την αρχή και το τέλος κάθε διαστήματος προσδιορίζονται από τις σχέσεις xi x0 i x, i 0,1,, I και yj y0 j y, j 0,1,, J Από τα σημεία x i και y j φέρνουμε παραλλήλους προς τους άξονες x και y αντίστοιχα, με αποτέλεσμα το συνεχές πεδίο ορισμού να αντικατασταθεί από το υπολογιστικό πλέγμα που απαρτίζεται από I J ίσα ορθογώνια, οι κορυφές των οποίων ονομάζονται κόμβοι και αποτελούν τα δομικά στοιχεία του πλέγματος Ο κάθε κόμβος i, j του πλέγματος προσδιορίζεται από το ζεύγος σημείων xi, y j, για i 0,1,, I και j 0,1,, J I 1 J 1 κόμβους Συνολικά έχουμε

Αντίστοιχα, οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στους κόμβους του πλέγματος u x, y u x ix, y iy u, i 0,1,, I, ορίζονται από τις σχέσεις j 0,1,, J i j 0 0 i, j Οι άγνωστες τιμές u i, j θα προκύψουν από την υπολογιστική επίλυση του προβλήματος Οι κόμβοι που βρίσκονται εντός του ονομάζονται εσωτερικοί κόμβοι ή για λόγους συντομίας απλώς κόμβοι, ενώ οι κόμβοι που βρίσκονται στο ονομάζονται οριακοί κόμβοι Όταν το υπολογιστικό πλέγμα αποτελείται από μικρό αριθμό κόμβων τότε χαρακτηρίζεται σαν αραιό πλέγμα (coarse grid), ενώ στην αντίθετη περίπτωση, όταν δηλαδή x 1 και y A, τότε χαρακτηρίζεται σαν πυκνό πλέγμα (fine grid) 3

Το ο βήμα περιλαμβάνει την διατύπωση της εξίσωσης πεπερασμένων διαφορών σε κάθε εσωτερικό κόμβο του πλέγματος Προσεγγίζουμε την μερική διαφορική εξίσωση στον τυχαίο κόμβο i, j του πλέγματος και γράφουμε u x u y i, j i, j 1, i 1,, I 1, j 1,, J 1 Στη συνέχεια, επιλέγουμε να προσεγγίσουμε τις δεύτερες παραγώγους με κεντρώες εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών ης τάξης, κάτι που αποτελεί πάγια τακτική στη περίπτωση των ελλειπτικών εξισώσεων Επομένως η ΜΔΕ γράφεται στη διακριτοποιημένη μορφή ui 1, jui, jui1, j ui, j1 ui, jui, j1 1, i 1,, I 1, j 1,, J 1 (**) x y Η αλγεβρική εξίσωση (**) ονομάζεται εξίσωση πεπερασμένων διαφορών πέντε σημείων, αφού η κάθε μία από τις εξισώσεις αυτές εμπλέκει την ποσότητα u σε πέντε κόμβους (στον κόμβο i, j και στους τέσσερις γειτονικούς i 1, j και i, j 1) 4

Η ακρίβεια του σχήματος είναι ης τάξης, δηλαδή το σφάλμα είναι Ox y, Εφαρμόζοντας την (**) σε κάθε εσωτερικό κόμβο του πλέγματος σχηματίζεται ένα αλγεβρικό σύστημα με I 1 J 1 εξισώσεις Ο αριθμός των αγνώστων είναι ο ίδιος, αφού στο συγκεκριμένο παράδειγμα οι οριακές συνθήκες είναι τύπου Dirichlet και επομένως οι τιμές του u στους οριακούς κόμβους είναι γνωστές Όταν οι οριακές συνθήκες είναι τύπου Newmann ή μικτές τότε η διαδικασία της διακριτοποίησης συνεχίζεται με την διατύπωση εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών στους οριακούς κόμβους του πλέγματος Στην ειδική περίπτωση που το υπολογιστικό πλέγμα επιλέγεται έτσι ώστε xy h, η εξίσωση (**) γράφεται στην απλούστερη μορφή 4u i, j u i 1, j u i 1, j u i, j 1 u i, j 1 h 5

Το 3 ο βήμα της μεθόδου είναι η επίλυση του συστήματος (**) με άμεσες ή επαναληπτικές τεχνικές και ο υπολογισμός των u i, jγια i 1,, I 1 και j 1,, J 1 Εάν η ακρίβεια των αποτελεσμάτων είναι μείζονος σημασίας τότε βελτιώνουμε την ακρίβεια του αριθμητικού σχήματος χρησιμοποιώντας εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών με ακρίβεια ανώτερη της ης τάξης Βεβαίως, στη περίπτωση αυτή κάθε εξίσωση i, j εμπλέκει την ποσότητα u στον κεντρικό κόμβο i, j και σε περισσότερους από τέσσερις γειτονικούς κόμβους Τυπικό παράδειγμα είναι το σχήμα εννέα σημείων Για xy h η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών εννέα σημείων που προσεγγίζει την (*) γράφεται στη μορφή: u u u u 4 u u u u 0u h i1, j1 i1, j1 i1, j1 i1, j1 i, j1 i1, j i1, j i, j1 i, j Το σχήμα εννέα σημείων είναι ακριβείας 4 ης τάξης πέντε και εννέα σημείων είναι τα πλέον συνηθισμένα O x, y 4 4 Τα σχήματα των 6

Η επέκταση της συγκεκριμένης μεθοδολογίας σε τρεις διαστάσεις μπορεί να γίνει χωρίς δυσκολία Βεβαίως αυξάνει ο αριθμός των κόμβων ανά εξίσωση Οι εκφράσεις των πέντε και εννέα σημείων ανάγονται σε εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών επτά και είκοσι επτά σημείων αντίστοιχα Σημειώνεται τέλος, ότι ακολουθώντας με συνέπεια τους κανόνες και τις διαδικασίες που θεσπίσαμε στην επίλυση της εξίσωσης Poisson (*), μπορούμε να επιλύσουμε με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών έναν μεγάλο αριθμό ελλειπτικών εξισώσεων 7

64 Οριακές συνθήκες με παραγώγους Είναι πιθανό μία από τις δύο οριακές συνθήκες να προσδιορίζει την τιμή της παραγώγου της εξαρτημένης μεταβλητής (και όχι την ίδια την μεταβλητή) στο όριο αυτό Στη περίπτωση αυτή οι οριακές συνθήκες της ΣΔΕ (*) δίδονται από τις σχέσεις: dy y y L για x xl και yr dx για x xr Η οριακή συνθήκη στο όριο x xr ονομάζεται οριακή συνθήκη τύπου Newmann και δύναται να είναι ομογενής ή μη ομογενής Επομένως, τώρα η τιμή yn 1 δεν είναι γνωστή και θα πρέπει να υπολογισθεί μαζί με τις υπόλοιπες τιμές της y i Η τελευταία εξίσωση του συστήματος (***) τροποποιείται και γράφεται στη μορφή: P Q P P Q y R y y S h h h h h N N N N N N1 N N N1 N, i N 8

Επίσης, θα πρέπει να διατυπωθεί μία επιπλέον εξίσωση για τον κόμβο xn 1, ώστε ο αριθμός των εξισώσεων να ισούται με τον αριθμό των αγνώστων Αυτό επιτυγχάνεται με δύο διαφορετικούς τρόπους: Ο πρώτος τρόπος εμπλέκει μόνο την οριακή συνθήκη Newmann στο x xr Η παράγωγος στην οριακή συνθήκη προσεγγίζεται από την ανάδρομη έκφραση πεπερασμένων διαφορών 1 ης τάξης dy yn 1 yn Oh dx h N 1 και η οριακή συνθήκη στο όριο y y hy N N1 R x x αντικαθίσταται από την αλγεβρική έκφραση R Το μειονέκτημα της μεθόδου είναι ότι η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών στο κόμβο xn 1 είναι 1 ης τάξης, ενώ όλες οι άλλες εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών για τους υπόλοιπους κόμβους είναι ης τάξης και επομένως η ακρίβεια του όλου σχήματος μειώνεται σε 1 η τάξη 9

Ο δεύτερος τρόπος εμπλέκει την οριακή συνθήκη Newmann και την ΣΔΕ στο x x R Η παράγωγος στην οριακή συνθήκη προσεγγίζεται από την κεντρώα έκφραση πεπερασμένων διαφορών ης τάξης dy dx y y N N O h ή yn yn hyr N 1 h Ο όρος yn αντιστοιχεί στο εικονικό κόμβο xn N-1 N N+1 N+ x N-1 x N x N+1 x N+ Οριακή συνθήκη με παράγωγο - εικονικός κόμβος πλέγματος 30

Στη συνέχεια η γενική έκφραση πεπερασμένων διαφορών (**) εφαρμόζεται στον κόμβο xn 1 και παίρνουμε την εξίσωση πεπερασμένων διαφορών P Q P P Q y R y y S h h h h h N1 N1 N1 N1 N1 N N1 N1 N N1 Συνδυάζοντας τις παραπάνω εκφράσεις προκύπτει, για το κόμβο xn 1, η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών ης τάξης ( yn yn hyr) P P P Q y R y S hy h h h h N1 N1 N1 N1 N N1 N1 N1 R Το σύστημα είναι και πάλι τριδιαγώνιο και επιλύεται με τον αλγόριθμο Thomas, ενώ η ακρίβεια όλων των εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών και επομένως ολόκληρου του αριθμητικού σχήματος είναι ης τάξης Τέλος σημειώνεται ότι οι κεντρώες εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών είναι η πλέον συνήθης προσέγγιση για προβλήματα οριακών τιμών τόσο για συνήθεις όσο και για μερικές διαφορικές εξισώσεις 31

65 Κυλινδρικές συντεταγμένες Παρουσιάζονται οι βασικές τροποποιήσεις στη μεθοδολογία ώστε η μέθοδος να επεκταθεί αρχικά σε κυλινδρικές και στη συνέχεια σε σφαιρικές συντεταγμένες Έστω ότι ζητείται η αριθμητική επίλυση της εξίσωσης Laplace u 1u 1 u u r r r r z 0 στο πεδίο ορισμού : 0 r R, 0, 0 z L, με οριακές συνθήκες τύπου u r,,0 u r,, L u u R,, z u u r,0, z u r,, z u Dirichlet 0, 1 και 3

Το πλέγμα είναι τρισδιάστατο και ο κάθε κόμβος i, j, k του πλέγματος προσδιορίζεται από τη τριάδα σημείων ri, j, zk, για i 0,1,, I, j 0,1,, J και k 0,1,, K Συνολικά έχουμε I 1 J 1 K 1 κόμβους Αντίστοιχα οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στους κόμβους του πλέγματος ορίζονται από τις σχέσεις,, u r,, z u ir, j, kz ui j k u 1 u 0 u u 0 i+1,j+1,k+1 i,j+1,k+1 Πεδίο ορισμού και υπολογιστικό πλέγμα i+1,j+1,k i,j+1,k i,j,k i+1,j,k i,j,k+1 i+1,j,k+1 33

Η ΜΔΕ διακριτοποιείται στον τυχαίο κόμβο του πλέγματος i, j, k : u 1 u 1 u u 0, r r r r z i,j,k i i,j,k i i,j,k i,j,k Εφαρμόζοντας κεντρώες σχέσεις πεπερασμένων διαφορών και παρατηρώντας ότι i r προκύπτει η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών ri ui 1, jk, ui, jk, ui 1, jk, 1 ui 1, jk, ui 1, jk, 1 ui, j1, kui, jk, ui, j1, k ui, jk, 1 ui, jk, ui, jk, 1 r ir r ir z για i 1,,, I 1, j 1,,, J 1 και k 1,,, K 1 Παρατηρούμε ότι σε κάθε εξίσωση πεπερασμένων διαφορών έχουμε επτά μη μηδενικούς όρους Το αλγεβρικό σύστημα επιλύεται με μία επαναληπτική μέθοδο και προκύπτουν οι άγνωστες ποσότητες u i, j, kστους εσωτερικούς κόμβους 0 34

Η εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών σε κυλινδρικές συντεταγμένες απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή όταν κρίνεται αναγκαία η διατύπωση εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών για τους κόμβους που βρίσκονται στον άξονα r 0 Σημειώνεται ότι ο Λαπλασιανός τελεστής δεν ορίζεται για r 0 Θα εξετάσουμε το θέμα αυτό στην ειδική περίπτωση της αξονοσυμμετρικής συμμετρίας Έστω ότι ζητείται η αριθμητική επίλυση της εξίσωσης Laplace u 1 u u r r r z 0 στο πεδίο ορισμού 0 r R, 0 z L, με οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet u r,0 u r, L 0 u R, z u στην εξωτερική επιφάνεια του κυλίνδρου και τη, 0 συνθήκη συμμετρίας u r r 0 0 στο άξονα συμμετρίας 35

z=l z=l 0 r=0 r=r u r =0 u o z=0 z=0 r=0 0 r=r Σχήμα 46: Αξονοσυμμετρικό υπολογιστικό πλέγμα Θεωρώντας r z η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών γράφεται στη μορφή 1 1 1 ui1, k1 ui1, k4uik, uik, 1 uik, 1 0 i i Ισχύει για τους εσωτερικούς κόμβους του πλέγματος i 1,,, I 1 και k 1,,, K 1 36

Δεν ισχύει για τους κόμβους που βρίσκονται στον άξονα του κυλίνδρου και το αλγεβρικό σύστημα έχει περισσότερους αγνώστους από εξισώσεις Το πρόβλημα παρακάμπτεται εφαρμόζοντας τη συμμετρική οριακή συνθήκη στο r 0: u r r 0 u u 0 u u 1, k 0, k 1, k 0, k, k 1,,, K 1 Όμως οι παραπάνω σχέσεις είναι 1 ης τάξης και αλλοιώνεται η ακρίβεια του αριθμητικού σχήματος που είναι ης τάξης Η ανακολουθία αυτή διορθώνεται ως εξής: Παρατηρούμε ότι καθώς το r 0 και ο αριθμητής του ιδιόμορφου όρου της ΜΔΕ επίσης τείνει στο μηδέν u Κανόνας Ηospital: lim r u r 0 r r Αντικαθιστώντας το αποτέλεσμα αυτό στην εξίσωση (465) προκύπτει στο r 0 η αναλυτική ΜΔΕ εξίσωση u u 0 rr zz 37

Εφαρμόζοντας κεντρώες πεπερασμένες διαφορές σε συνδυασμό με τη συμμετρία της λύσης ως προς τον άξονα του κυλίνδρου προκύπτει η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών ( r z) u, k u1, k u1, k1 u1, k u1, k 4 0, k 1,,, K 1 Οι εξισώσεις είναι ης τάξης και είναι συμβατές ως προς την ακρίβεια και ως προς την δομή με τις εξισώσεις των υπολοίπων εσωτερικών κόμβων Η επίλυση ελλειπτικών εξισώσεων σε σφαιρικές συντεταγμένες ακολουθεί τους ίδιους ακριβώς κανόνες όπως στις κυλινδρικές συντεταγμένες 38

66 Παραδείγματα Παράδειγμα: Αριθμητική επίλυση του προβλήματος δύο οριακών τιμών du 1 du u 1 1, (1) 0 dr r dr 1 1 4 Αναλυτική λύση: ur r u και du dr r 0 0 Αδιάστατη παροχή: 1 Q uda Q ru( r) dr 039699 8 0 39

Διακριτοποίηση πεδίου ορισμού: Χωρίζουμε την ακτίνα σε Ν ίσα διαστήματα (Ν+1 κόμβους) πλάτους r 1/ N 0 r 1 1 N N+1 r=0 i-1 i i+1 r=1 Προσεγγίζουμε τη διαφορική εξίσωση (Α1) στον τυχαίο κόμβο i: u u u 1 u u i1 i i1 i1 i1 r ri r 1 1 1 1 1 ui 1 ui u i1 1 r ri r r r rir για τους εσωτερικούς κόμβους i,, N όπου r ( i1) r i 40

Για i N 1: u 1 0 N Για i 1 θα χρησιμοποιήσουμε την οριακή συνθήκη μαζί με την διαφορική εξίσωση: du d u 1 du d u Παρατηρούμε ότι limr 0 lim dr r 0 lim dr r0 rdr r 1 dr du u0 u1u 1 Η ΣΔΕ γράφεται στη μορφή: 1 dr r du u u0 Η οριακή συνθήκη: 0 0u u dr r r0 0 Ό κόμβος i 0 είναι φανταστικός Συνδυάζοντας τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει: 4u 4u r 1 41

Το σύστημα που προκύπτει είναι τριδιαγώνιο και θα επιλυθεί με την μέθοδο Τhomas Έστω ένα αραιό πλέγμα με 3 διαστήματα και 4 κόμβους ( r h 1/3) Τότε επιλύεται το σύστημα 4 4 0 u1 1/9 45 18 135 u 1 0 675 18u 3 1 u1 05 u 0 u3 0138889 u4 0 (από οριακή συνθήκη) Για το ολοκλήρωμα της παροχής Q χρησιμοποιούμε κανόνα τραπεζίου: R r Q ru( r) dr [ ru 1 1 ru rnun rn 1uN1] 0 Q 1 4 0 05 0 0138889 1 0 0348734 3 3 3 4

Παράδειγμα: Δίδεται το πρόβλημα ιδιοτιμών dw 0 kw 0 0 dx, w wl Να υπολογισθούν αριθμητικά οι δέκα πρώτες ιδιοτιμές (ιδιοσυχνότητες) Οι πρώτες δύο να συγκριθούν με τις αντίστοιχες αναλυτικές Έχουμε ένα πρόβλημα εύρεσης ιδιοτιμών k, δηλαδή οι διάφορες τιμές του για τις οποίες το πρόβλημα έχει την μη μηδενική τετριμμένη λύση Αναλυτική γενική λύση: w x Acoskx Bsin kx, όπου Α και Β αυθαίρετες σταθερές Εφαρμόζοντας τις οριακές συνθήκες προκύπτει w(0) 0 A 0 και wl ( ) 0 Bsin( kl) 0 Η λύση δεν είναι η μηδενική με B 0 και sin( kl) 0 kl n wx Bsin n x L k n, n 1,, L 43

Αριθμητική επίλυση: Για να υπολογισθούν αριθμητικά οι δέκα πρώτες ιδιοτιμές απαιτούνται 10 εσωτερικοί κόμβοι Επομένως 11 διαστήματα, αριθμός κόμβων Ν+1=1 και h L/11 w w w h i1 i i1 0 kwi 1 1 w i1 k w i w i1 h h h 0, i 3,,10 Ειδικά για τους κόμβους i και i 11 θα είναι: 1 k w w 3 h h 0 και 1 w 10 k w 11 h h 0 Το σύστημα σε μορφή πινάκων θα έχει την μορφή: 0 και ο πίνακας A έχει την εξής μορφή: A w, όπου w w, w,, w 3 11 T 44

h k h 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 h h k h 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 h h k h 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 h h k h 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 h h k h 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 h h k h 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 h h k h 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 h h k h 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 h h k 0 0 0 0 0 0 0 0 1 h h k det 0 Επομένως γίνονται οι πράξεις και προκύπτει ένα πολυώνυμο ως προς k δεκάτου βαθμού Στη συνέχεια με τη μέθοδο της διχοτόμησης υπολογίζονται οι 10 ρίζες του πολυωνύμου Το σύστημα έχει μη μηδενική λύση εάν A 1 h 45

L=1;n=10; h=l/(n+1) t=table[0,{n},{n}]; Doti, i 1 N1h, i, 1, n 1 Doti, i Nh, i, n Doti, i 1 N1h, i,, n sol=sort[eigenvalues[t]] {9807,384166,83537,14147,0756,7644,3453,400476,445583,474197} pn_ : N n Pi L real=table[p[i],{i,1,n}] {98696,394784,88864,157914,4674,355306,483611,631655,799438,98696} real sol error 100 real {0677879,6895,596977,104134,15879,1965,9173,365989,4469,519538} 46

Αριθμός ιδιοτιμής Αριθμητική τιμή k Αναλυτική τιμή k Σχετικό σφάλμα (%) 1 9807 98696 067788 384166 394784 68950 3 83537 88864 596977 4 1414700 1579140 104134 5 075600 467400 15879 6 764400 3553060 1965 7 345300 4836110 9173 8 4004760 6316550 365989 9 4455830 7994380 4469 10 4741970 9869600 519538 47

Στη περίπτωση του προβλήματος λυγισμού λεπτής μονοδιάστατης δοκού k P/ EI, όπου P είναι το εξωτερικό αξονικό φορτίο, E το μέτρο ελαστικότητας και I η ροπή αδρανείας Επομένως τα κρίσιμα φορτία λυγισμού που προκαλούν απομάκρυνση της ράβδου από n EI την αρχική θέση wx 0 είναι Pk EI L 48

Παράδειγμα: Ροή Hartmann ανάμεσα σε παράλληλες πλάκες db d u 3 1, dy dy b y 1: u 0, b 0 y du d b 3 0 dy dy, y 11, b y 1: u 0, b 0 y Επιλέγουμε 3 κόμβους (μαζί με τους οριακούς), h 1: y 1: i 0, y 0: i 1, y 1: i Διακριτοποίηση ΣΔΕ στον κεντρικό κόμβο y 0: i 1 b b u u u 3 1 h h 0 1 0 O h 0 1 u u b b b 3 0 h h 15b 15b u 1 0 1 0 O h b b1 b0 0 49

Διακριτοποίηση μικτών οριακών συνθηκών στους κόμβους i 0 και i : b 4 b 3 b b y y h b 4b 3b h 1 0 1 0 O h b 1 0 0 b b 1 b0 05 5 0 b 4 b 3 b b y y h 0 1 0 1 O h 1 b 4b 3b h b 0 b0 b 1 b 05 5 0 Από την επίλυση προκύπτει b 0 b 1 b 0 και u1 05 Επιλέξτε την μεθοδολογία με τους εικονικούς κόμβους στα δύο όρια και επαναλάβετε τους υπολογισμούς 50

Παράδειγμα: Η ροπή M ανά μονάδα μήκους που απαιτείται για την περιστροφή ενός κυλινδρικού R άξονα, ακτίνας R, κατά γωνία δίδεται από το ολοκλήρωμα M 4G r rdr 0 0 r R όπου r η λύση της εξίσωσης 1 r με οριακές συνθήκες r r r 0 r R 0 και r0 Πρώτα υπολογίστε αριθμητικά τη συνάρτηση σας με την αναλυτική λύση του προβλήματος r και συγκρίνετε τα αποτελέσματά Στη συνέχεια επιλέγοντας τιμές για τη ροπή M και τη παράμετρο G βρείτε την αντίστοιχη γωνία 51

Παράδειγμα: Ροή Poiseuille ανάμεσα σε παράλληλες πλάκες d du dp dy dy dx, 0 y L, u L 0 0 Αδιαστατοποίηση: du 1 dy, 0 y 1, u 0 1 0 Παράδειγμα: Ροή θερμότητας σε μονοδιάστατη ράβδο: dt h T T 0 dx, 0 x L, T0 TL, TL TR TL 40 o C, TR 00 o C, T 0 o C, h 10 m -, 10 L m 01x 01 Αναλυτική λύση: x T x 7345e 5345e 0 Εξίσωση πεπερασμένων διαφορών: T hx T T h x T i1 i i1 5

Παράδειγμα: Επιλύστε αριθμητικά με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών το παρακάτω πρόβλημα δύο οριακών τιμών: 1 T r r r r 0, R1 r R, TR T, TR 1 1 T Συγκρίνετε τα αριθμητικά αποτελέσματα με τα αντίστοιχα αναλυτικά Περιγράψτε ένα φυσικό πρόβλημα που θα μπορούσε να μοντελοποιείται με το παραπάνω πρόβλημα οριακών τιμών 53