7 Semellnz e trigonometrí Obxectivos Nest quincen prenderás : Recoñecer triángulos semellntes. Clculr distncis inccesibles, plicndo semellnz de triángulos. Nocións básics de trigonometrí. Clculr medid de todos os ldos e os ángulos dun triángulo rectángulo prtir de dous dtos. Antes de empezr. 1.Semellnz... páx. 4 Teorem de Tles Triángulos semellntes Teorem de Pitágors Cálculo de distncis.rzóns trigonométrics... páx. 8 Definición Relcións fundmentis 3.Resolución de triángulos rectángulos... páx. 11 Dous ldos Un cteto e un ángulo gudo Hipotenus e un ángulo gudo Exercicios pr prcticr Pr sber máis Resumo Autovlición MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds 4º ESO 1
MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds 4º ESO
Antes de empezr Investig xogndo Como fcer crmbol unh bnd? Se xogches o billr, sberás que fcer crmbol unh bnd signific que ból lnzd debe dr unh vez no mrco d mes ntes de fcer crmbol. Abond plicr semellnz pr conseguilo, como? Cr onde debemos dirixir ból mrel pr que despois de rebotr n bnd vi á ból vermell? MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds 4º ESO 3
1. Semellnz Teorem de Tles O teorem de Tles pódese ver n dereit, firm que cndo se cortn dús semirrects con dús rects prlels, os segmentos que se obteñen en cd semirrect grdn mesm proporción. So cndo s rects zuis son prlels, Se obteñen segmentos proporcionis OA OB OA OB Prlels 4/ 6/3 B' B Este teorem indícnos que se dous triángulos teñen os ángulos iguis, os ldos son proporcionis. O recíproco tmén é certo, polo que se poden deducir os criterios de semellnz de triángulos. O A A' Non Prlels 3/ 8/3 B' Triángulos semellntes Dús figurs son semellntes se por homotecis e movementos coinciden. En polígonos signific que os ldos hn de ser proporcionis e os ángulos iguis. O B A A' Polo teorem de Tles pr que dous triángulos sexn semellntes bond con que se cumpr lgún dos tres criterios d dereit. Teorem de Pitágors O teorem de Pitágors di que nun triángulo rectángulo, de ctetos e b, e de hipotenus c, cúmprese que + b c A imxe é unh demostrción gráfic do teorem. N dereit vemos lgunhs pliccións deste teorem, utilizdo pr clculr hipotenuss, ctetos, distncis entre puntos e ecucións de circunferencis. 4 MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds 4º ESO
EXERCICIOS resoltos 1. Ach nos csos ) e b) s proporcións Solucións: 3 9 9 1 4 1 1 ) e b) e 4 1 3 4 6 4 6. Contest rzodmente: ) Son semellntes? Si, posto que os ldos están en proporción /3 e os ángulos son iguis. Non, os ángulos son iguis pero os ldos non son proporcionis. Non, os ángulos non son iguis. b) Un triángulo cun ángulo de 30º e outro de 40º, é forzosmente semellnte un triángulo cun ángulo de 30º e outro de 110º? Si, pois como os ángulos dun triángulo sumn 180º, conclúese que os ángulos dos dous triángulos son iguis e polo criterio 1, son semellntes. c) Un triángulo de ldos 3, 6 e 7 cm, é semellnte outro no que os ldos miden 9, 36 e 49 cm? Non pois os ldos non son proporcionis. d) Un cudrilátero de ldos 3, 4, 5 e 6 cm, é necesrimente semellnte outro de ldos 6, 8, 10 e 1 cm? Non pois índ que os ldos son proporcionis, en polígonos de máis de tres ldos isto non bond pr que contez semellnz, hn de ser demis os ángulos iguis. e) Dous triángulos que teñen un ángulo de 0º e os ldos que os formn miden 6 e 15 cm no primeiro e 4 e 10 cm no outro. Son semellntes? Si, polo segundo criterio, x que proporción entre os ldos que formn o ángulo igul é en mbos os dous csos /5. MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds 4º ESO 5
EXERCICIOS resoltos (continución) f) Dous polígonos regulres co mesmo número de ldos, son semellntes? Si, os ángulos son iguis, (nº de ldos-)180º/nº de ldos, e os ldos, proporcionis. 1 g) Os ldos de dous triángulos miden 3, 6 e 7 cm, nun, e 18, e 7 noutro. Son semellntes? Si, pois os ldos son proporcionis: e en triángulos bond con est condición (criterio 3) 18 3 ; 1 6 3. Os triángulos d figur son semellntes, ch medid do ldo x 10 x 10 x 5 4 8 x 4 8 4. Ach ltur d árbore x,16 1,4 0,84 x,16 1,4 0,84 3,6 5. Clcul hipotenus no triángulo d figur ( solución vese dndo volt á foll) 6. Clcul o cteto no triángulo d figur ( solución vese dndo volt á foll) 6 MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds 4º ESO
EXERCICIOS resoltos (continución) 7. Clcul distnci entre os dous puntos d figur ( solución vese dndo volt á foll) 8. Clcul ecución d circunferenci d figur ( solución vese dndo volt á foll). 9. Pr clculr distnci dende pri un brco tomáronse s medids d figur. Clcul distnci o brco. 10. Clcul distnci entre s árbores A e B. x 140 70 7 70 140 x 7 1400 m x 10m 40 x m 35m 30m + 1m 1m 1 11. Clcul profundidde do pozo 1. Ach lonxitude x d sedel que non está n ug. x + 150 40 360 40 x + 150 x 330 360 30 30 Polo T. De Pitágors 5 e por T. de Tles x 4,3m 3m 1 x 4, 3 m m x 8,5 m 7m 5m 5 MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds 4º ESO 7
.Rzóns trigonométrics Definición A rzón ou cociente entre dous ldos dun triángulo rectángulo determin sú form. Triángulos semellntes, mesm rzón mesm form : 3 Ests rzóns, denominds rzóns trigonométrics, resúmense n tábo seguinte, Rzóns trigonométrics seno coseno tnxente Abreviturs sen cos tn. Son importntes tmén s rzóns inverss sí rzón d hipotenus entre o cteto contiguo é secnte, memoriz os triángulos d dereit que serán moi útiles pr resolver triángulos máis dinte. semellntes Relcións fundmentis Se se plicn semellnz e o teorem de Pitágors os triángulos rectángulos "básicos", é dicir, con hipotenus1 ou con cteto contiguo1, obtéñense s relcións fundmentis d trigonometrí: Os triángulos OBA e OB'A' son semellntes: sen cos tn 1 entó tαnα senα cosα Aplicndo o Teorem de Pitágors o triángulo OBA d figur obtemos: sen + cos 1 8 MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds 4º ESO
Nun triángulo equilátero os ángulos miden 60º Co Teorem de Pitágors clcúlse ltur Rzóns de 30º, 45º e 60º Os ángulos de 30º, 45º e 60º precen con bstnte frecuenci, fíxte como se clculn s sús rzóns prtir d definición buscndo os triángulos xeitdos. x 1 1 3 30º 45º 60º sen Nun cdrdo de ldo 1 co Teorem de Pitágors clcúlse digonl dig 1 + 1 cos Memorizr est tábo é dodo se observs orde que grdn. Unh vez prendidos os senos cos ríces consecutivs, os cosenos sen en orde invers. Co clculdor Ddo un ángulo obter s sús rzóns trigonométrics. Por exemplo o sen 8º 30 Pon clculdor en modo DEG Tecle 8 º ' '' 30 º ' '' sen Obtemos: 0,477158760 Nlgunhs clculdors hi que pulsr tecl sen ntes de introducir o ángulo, comprob como funcion tú. Se queremos obter o cos ou tn procederemos d mesm form pero pulsndo s tecls cos e tn respectivmente. Dd unh rzón obter o ángulo correspondente. Co mesmo vlor que tes n pntll: 0,477158760 Comprob que clculdor segue en modo DEG Tecle SHIFT sen Obtemos: 8,5 en gros, se queremos gros, minutos e segundos, pulsmos SHIFT º ' '' obtendo 8º 30' EXERCICIOS resoltos 13. No triángulo d figur clcul: ) sen d) sen β b) cos e) cos β c) tn f) tn β 3 4 ) sen α 0, 6 d) sen β 0, 8 5 5 4 3 b) cos α 0, 8 e) cos β 0, 6 5 5 3 4 c) tn 0, 75 f) tnβ 1, 3 4 3 14. Obtén co clculdor: ) sen 30º 0,5 b) cos 60º 0,5 c) tn 45º 1 15. Obtén co clculdor os ángulos e β do exercicio 5. : Teclemos 0. 6 SHIFT sen 36,87º β: Teclemos 0. 8 SHIFT sen 53,13º Observ que certmente sumn 90º. MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds 4º ESO 9
EXERCICIOS resoltos 16. Decide que rzóns do ángulo α corresponden os ldos, b e c Solución: tn α b sen α c cos α 17. No seguinte triángulo clcul o sen α, cos α e tn α 17 8 15 sen α 8/17 cos α 15/17 tn α 8/15 18. Comprob no ángulo do triángulo d figur que se cumpren s relcións fundmentis 5 4 3 sen α + cos α 3 5 4 + 5 9 5 + 16 5 5 5 senα 1 cos α 3 5 4 5 3 4 tαnα 19. Clcul o coseno e tnxente dun ángulo gudo tl que sen 0,3 cos α 1 sen α cos α 1 0,3 1 0,09 0,81 cos α 0,81 sen 0,3 1 tn cos 0,9 3 0,9 0. Comprob que se cumpre relción: 1 + tg sec 1 + tαn senα α 1 + cos α sen α cos α + sen α 1 1 + cos α cos α cos α sec α Lembr o triángulo: 10 MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds 4º ESO
b 90º 3. Resolución de triángulos rectángulos c β Resolver un triángulo rectángulo consiste en clculr os dtos descoñecidos, ldos ou ángulos, prtir doutros coñecidos. Vexmos os csos que se poden presentr. Clculr ltur do monte. ) Coñecidos un ángulo e hipotenus Pr chr os ctetos dun triángulo rectángulo do que se coñecen s medids d hipotenus e dun ángulo gudo, pensremos no triángulo: x 650 sen 30º 650 0,5 35 1 cos sen que multiplicmos pol hipotenus c c cos 90º c sen Clculr ltur d torre. x 0 tg 45º 0 10m Resolver o triángulo. hipotenus Co clculdor: tn(0,7)35º E o outro ángulo: 90º-35º55º b) Coñecidos un ángulo e un cteto Pr chr os ldos dun triángulo rectángulo do que se coñecen s medids dun cteto e dun ángulo non recto, pensremos no triángulo: sec 1 tn c) Coñecidos dous ldos que multiplicmos polo cteto contiguo Pr chr o outro ldo do triángulo plicrse o teorem de Pitágors. O ángulo determinrse como: cteto oposto O rco cux tnxente é cteto contiguo cteto oposto Ou ben como o rco cuxo seno é, hipotenus dependendo dos dtos iniciis. Pr clculr o outro ángulo bond restr de 90º. c 90º c tn MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds 4º ESO 11
EXERCICIOS resoltos 1. Clcul s polgds e o formto dunh pntll bse d cl mide 64 cm e sú ltur 36 cm. No seguinte triángulo rectángulo clcul medid dos seus ldos e dos seus ángulos. Solución: O outro ángulo é de 90º - 39º 51º. Utilizmos o triángulo básico d tnxente pr clculr os outros ldos 3. Resolve o triángulo d figur. Solución: O outro ángulo é de 90º - 31º 59º. Utilizmos o triángulo básico do seno pr clculr os outros ldos 1 cos sen 1 MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds 4º ESO
Pr prcticr 1. Ach x en cd cso 5. Clcul profundidde do pozo. x 19 x 4 6 6 15 13. As medids de tres ldos homólogos de dous cudriláteros semellntes son: 4 cm x cm 7 cm 6. Por onde se h de cortr foll pr que o nco d esquerd sex semellnte á foll enteir?. 0 cm 10 cm y cm Ach x e y 3. A bse dun monte obsérvse unh distnci de 5,6 km. Móvese unh regret de 9 cm t cubrir con el visulmente bse e nese momento distnci d regret o ollo do observdor é de 1 m. Clcul nchur d bse do monte. 7. Debux no teu cderno un triángulo cun ángulo de 69º e un dos ldos que o formn de 9 cm. Son semellntes todos os triángulos que cumpren ests condicións? 9 cm 1 m 5.6 km x m 5.6 km 8. Debux no teu cderno un triángulo cun ángulo de 56º e o cociente dos ldos que o formn igul 3. Son semellntes todos os triángulos que cumpren ests condicións? 9. Clcul o ldo d bse d pirámide. 4. Clcul nchur do río. x 7 4 37 MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds 4º ESO 13
10. Clcul ltur d pirámide en cd cso. 3. O fío dun ppventos mide 50 m de longo e form co horizontl un ángulo de 37º, qué ltur vo o ppventos?. 11. Ach distnci entre os puntos ( -3, 4) e (5, -). 1. Ecución d circunferenci de centro (0,-1) e rdio 3. 13. Ach co clculdor s seguintes rzóns trigonométrics: ) sen 30º b) cos 67º c) tn 45º 14. Un ángulo dun triángulo rectángulo mide 47º e o cteto oposto 8 cm, ch hipotenus. 15. A hipotenus dun triángulo rectángulo mide 6 cm e un ángulo 66º. Clcul os ctetos. 16. Un ángulo dun triángulo rectángulo mide 44º e o cteto contiguo 16 cm, clcul o outro cteto. 17. O cos dun ángulo gudo é 3/4, clcul o seno do ángulo. 18. A tnxente dun ángulo gudo é 1/5 clcul o seno. 19. O sen 3/5 ε é un ángulo gudo, clcul tn. 0. A potem dun polígono regulr de 9 ldos mide 15 cm, clcul o ldo. 1. O ldo dun exágono regulr mide 30 cm, clcul potem.. A sombr dunh árbore cndo os rios do sol formn co horizontl un ángulo de 36º, mide 11 m. Cl é ltur d árbore?. 4. Pr medir ltur dun edificio mídense os ángulos de elevción dende dous puntos distntes 100 m. Cl é ltur se os ángulos son 33º e 46º?. 5. Dús persos distntes entre si 840 m, ven simultnemente un vión con ángulos de elevción respectivos de 60º e 47º, qué ltur vo o vión?. 6. Cun compás os brzos do cl miden 58 cm, trzmos unh circunferenci. Se o ángulo que formn os seus brzos é 56º. Cál é o rio d circunferenci? 7. Cun compás trzmos unh circunferenci de 11 cm de rdio. Se o ángulo que formn os seus brzos é de º. Cál é lonxitude dos brzos do compás? h 33º 46º 100 h 60º 47º 840 14 MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds 4º ESO
Pr sber máis Xeometrí greg A trdición tribúe Thles (600 nos ntes d nos er) introdución en Greci d xeometrí exipci. Thles foi un precursor sobre todo preocupdo de problems prácticos (cálculo de lturs de monumentos con xud dun bstón e d proporcionlidde ds sombrs). A xeometrí greg que foi un éxito sombroso d cienci humn dndo probs dun enxeño excepcionl, estivo mrcd por dús Escols: de Pitágors e de Euclides. Ver máis en: http://perso.ornge.fr/therese.eveilleu/pges/hist_mt/textes/h_geom.htm Os sons Se utilizches lgún progrm de son probblemente terás visto que se represent por onds. As onds son funcións trigonométrics, que representn puntos d form (x, senx): N páxin interctiv pr sber máis á que corresponde este texto podes construír, cun prello de fcer gráfics, diverss onds. Nes mesm páxin podes topr un progrm co que producir distintos sons cunh mesm not e ver sú gráfic. A form de ond é crcterístic que nos permitirá distinguir unh not d mesm frecuenci e intensidde producid por instrumentos diferentes. A form de ond ven determind polos hrmónicos. Form de ond (ou timbre) d trompet, en concreto not LA 4 Form de ond (ou timbre) dunh frut, not DO4 Recoméndse visitr páxin http://www.xtec.es/centres/8019411/cix/onds.htm MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds 4º ESO 15
Lembr o máis importnte Polígonos semellntes Se teñen e os ldos proporcionis e os ángulos iguis. Triángulos semellntes No cso dos triángulos bond que se cumpr un dos tres criterios: Teorem de Pitágors +b c Teorem de Tles cteto contiguo 90º cteto oposto O seno é o cociente entre o cteto oposto e hipotenus. O coseno é o cociente entre o cteto contiguo e hipotenus. A tnxente é o cociente entre o cteto oposto e o cteto contiguo. cteto oposto sen hipotenus cteto contiguo cos hipotenus cteto oposto tn cteto contiguo tn sen cos sen + cos 1 Relcións fundmentis 1 cos sen 30º 45º 60º seno 45º coseno 60º c 90º c tn c c cos 90º c sen Resolver un triángulo rectángulo consiste en chr s medids dos seus seis elementos: tres ldos e dous ángulos (o terceiro é 90º), coñecidos un ldo e un ángulo ou dous ldos. 16 MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds 4º ESO
x Autovlición 6 8 3 1. Aplic semellnz pr clculr o vlor de x. A 7º 136º 86º. Sbendo que os ángulos dun cudrilátero sumn 360º, clcul o ángulo A. 3. Os polígonos d figur, son semellntes?. 4. Como ventá d cs de en fronte é igul que miñ podo sber sú ltur, e co visul dunh vr clculr nchur d rú. Clcúl. 5. A xertriz dun cono recto mide 6,8 cm e o rdio d bse 3, cm. Ach ltur dun cono semellnte este relizdo escl 1:. B 8 1 6. Clcul o vlor de tn A no triángulo ABC d figur. A C 35º 18 3 7. Clcul áre do triángulo d figur. 8. Se sen 0.8, e é un ángulo gudo, clcul tn. 31 30º 9. A ltur de Torre Espñ é de 31 m, cnto mide sú sombr cndo inclinción dos rios do sol é de 30º? 10. Clcul áre dun triángulo equilátero de ldo 4 cm. MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds 4º ESO 17
Semellnz e trigonometrí Solucións dos exercicios pr prcticr 1. ) 143/6 b) 646/1. x y35 3. 164 m 4. 64,75 5. 5,94 m 6. 4,6 cm Prob. 7 Prob.8 7. Non teñen porque ser semellntes 8. Son semellntes 9. 1,1 10. 1,70 11. 97,98 m 1. x + (y-1) 9 13. ) 0,5 b) 0,39 c) 1 15. 3,75 cm e 10,58 cm 16. 15,45 cm 17. 0,66 18. 1/13 19. 3/4 0. 1º,9 cm 1. 5,98 cm. 7,99 m 3. 30,09 m 4. 174,16 m 5. 556,34 m 6. 54,46 cm 7.,8 cm 14. 10,94cm Solucións AUTOAVALIACIÓN 1. 4. 66º 3. Non son semellntes 4. 91/19 m 4,78 m 5. 3 cm 6. 0,47 7. 165,19 u 8. 4/3 9. 400,10 m 10. 6,93 cm 18 MATEMÁTICAS Orientds ás Ensinnzs Aplicds 4º ESO