Ελλειπτικές Καµπύλες υπέρ του σώµατος C

Ελλειπτικές Καµπύλες υπέρ του σώµατος C Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 11 Νοεµβρίου 2014, 1/18

ιακριτές υποοµάδες του C Ορισµός Εστω ω 1, ω 2 δύο µιγαδικοί αριθµοί µε Im(ω 1 /ω 2 ) > 0. Lattice Λ ονοµάζεται η ελέυθερη προσθετική αβελιανή υποοµάδα που παράγεται από τα ω 1, ω 2. ηλαδή: Λ = {nω 1 + mω 2, n, m Z}, 2/18

Ελλειπτικές Συναρτήσεις Ορισµός Μια ελλειπτική συνάρτηση f στο lattice Λ είναι µία µερόµορφη συνάρτηση στο C που είναι Λ-περιοδική, δηλαδή: f(z + ω) = f(z) για κάθε ω Λ. Συµβολίζουµε µε C(Λ) το σώµα των ελλειπτικών συναρτήσεων που ορίζονται στο Λ. Το ϑεµελιώδες παραλληλόγραµµο D του Λ ως προς την ϐάση ω 1, ω 2 είναι το σύνολο D = {aω 1 + bω 2 : a, b [0, 1)}., 3/18

Πηλίκα C/Λ Ενα πηλίκο C/Λ είναι συµπαγής επιφάνεια Riemann γένους 1. Αν µια f C(Λ) είναι ολόµορφη ή αν δεν έχει ϱίζες, τότε είναι ϕραγµένη. Αυτό προκύπτει από το Θεώρηµα του Liouville, επειδή η επιφάνεια Riemann C/Λ είναι συµπαγής. Θεώρηµα Για κάθε f C(Λ) ισχύει ότι το άθροισµα των residues της f σε εάν παραλληλόγραµµο D είναι 0. Οµοίως, το άθροισµα των τάξεων των ϱιζών της f σε εάν παραλληλόγραµµο D είναι 0. Απόδειξη: Η συνάρτηση είναι Λ-περιοδική, αρκεί να δείξουµε τα Ϲητούµενα για ένα ϑεµελιώδες παραλληλόγραµµο του Λ. Πιο συγκεκριµµένα, για τον πρώτο ισχυρισµό, εφαρµόζουµε τον τύπο για τα residues σε ένα ϑεµελιώδες παραλληλόγραµµο D: w C/Λ res w (f) = 1 2πi D f(z)dz, και επειδή η f είναι Λ-περιοδική το άθροισµα είναι 0. 4/18

Πηλίκα C/Λ Εφαρµόζωντας τώρα το τον τύπο για τα residues σε ένα ϑεµελιώδες παραλληλόγραµµο D για την f (z)/f(z) αποδεικνύουµε και τον δεύτερο ισχυρισµό., 5/18

Ελλειπτικές Συναρτήσεις Ορισµός Τάξη µιας ελλειπτικής συνάντησης f C(Λ) είναι ο αριθµός των ϱιζών (ισοδύναµα, από το προηγούµενο ϑεώρηµα, των πόλων) σε ένα ϑεµελιώδες παραλλλόγραµµο D του Λ, µετρώντας και τις πολλαπλότητες. Πρόταση Μια µη σταθερή ελλειπτική συνάρτηση έχει τάξη τουλάχιστον 2. Απόδειξη. Αν έχει απλό πόλο µόνο σε ένα σηµείο, τότε, απ το προηγούµενο ϑεώρηµα το residue εκεί είναι 0, άρα η συνάρτηση είναι ολόµορφη, και άρα σταθερή., 6/18

Η συνάρτηση του Weierstrass Η -συνάρτηση του Weierstrass για το Λ είναι η (z; Λ) = 1 z + ( 1 2 (z ω) 1 ) 2 ω 2 ω Λ,ω 0 Ορίζουµε επίσης τις σειρές Eisenstein: G 2k (Λ) = ω 2k ω Λ,ω 0, 7/18

Ιδιότητες Εστω Λ ένα lattice του C. Τότε: 1. Οι σειρές Eisenstein G 2k (Λ) συγκλίνουν απόλυτα για κάθε k 2. 2. Η σειρά της συνάρτησης Weierstrass συγκλίνει απόλυτα και οµοιόµορφα στα συµπαγή υποσύνολα του C Λ. Η συνάρτηση έχει πόλους τάξης 2 µε residue 0 στα σηµεία του lattice Λ, και παντού αλλού είναι ολόµορφη. 3. Η συνάρτηση είναι µια άρτια ελλειπτική συνάρτηση στο Λ., 8/18

Ελλειπτικές Συναρτήσεις Απόδειξη: Αφού το Λ είναι διακριτό στο C, υπάρχει µια σταθερά c = c(λ) τέτοια ώστε για κάθε n 1, για το σύνολο {ω Λ : n ω < n + 1} να ισχύει: Αρα, παίρνουµε ω Λ, ω 1 1 ω 2k {ω Λ : n ω < n + 1} < cn. n=1 {ω Λ : n ω < n + 1} n 2k < n=1 c n 2k 1 <, 9/18

Ιδιότητες Αν ω > 2 z, τότε 1 (z ω) 1 2 (ω) 2 10 z ω. 2 Από το πρώτο ερώτηµα, έπεται πως η (z) συγκλίνει απολύτως για κάθε z C Λ, και συγκλίνει οµοιόµορφα σε κάθε συµπαγές υποσύνολο του C Λ. Αρα η σειρά ορίζει µια ολόµορφη συνάρτηση στο C Λ. Είναι τώρα προφανές πως η έχει έναν διπλό πόλο µε residue 0 σε κάθε σηµείο του Lattice., 10/18

Ιδιότητες Βάζοντας όπου ω το ω παρατηρούµε ότι (z) = ( z). Αρα η είναι άρτια. Για να δείξουµε ότι είναι ελλειπτική, καταρχάς παραγωγίζουµε κατά όρο την σειρά που ορίζει την (η οµοιόµορφη σύγκλιση το επιτρέπει) (z) = 2 ω Λ 1 (z ω) 3. Ο τύπος αυτός µας δίνει ότι η είναι ελλειτπική, άρα (z + ω) = (z). Ολοκληρώνοντας συνάγουµε την σχέση (z + ω) = (z) + c(ω) όπου το c(ω) είναι ανεξάρτητο του z. Αντικαθιστώντας όπου z το 1ω 2 και χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι η είναι άρτια, συµπεραίνουµε ότι, c(ω) = 0, άρα η είναι ελλειπτική. 11/18

Σώµα ελλειπτικών συναρτήσεων Για κάθε lattice Λ του C ισχύει: C(Λ) = C( (z), (z)), 12/18

Μια διαφορική εξίσωση Πρόταση Η σειρά Laurent της (z) στο z = 0 δίνεται από τον τύπο (z) = 1 z + 2 (2k + 1)G 2k+2 z 2k. k=1 Απόδειξη: Για κάθε z < ω έχουµε 1 (z ω) 1 2 ω = 1 ( ) 1 2 ω 2 (1 z/ω) 2 1 = n=1 (n + 1) zn ω n+2. Αντικαθιστούµε τον παραπάνω τύπο στην σειρά της (z) και επειδή αυτή συγκλίνει οµοιόµορφα εναλλάσουµε σειρά άθροισης για να πάρουµε το Ϲητούµενο., 13/18

Μία διοαφορική εξίσωση Θεώρηµα Για κάθε z C Λ ισχύει (z) 2 = 4 (z) 3 60G 4 (z) 140G 6., 14/18

Μια διαφορική εξίσωση Απόδειξη: Γράφουµε τους πρώτους όρους των συντελεστών Laurent των (z) 2, (z) 3, (z): (z) 2 = 4 z 6 24G 4 z 2 80G 6 +... (z) 3 = 1 z 6 + 9G 4 z 2 15G 6 +... (z) = 1 z 2 + 3G 4z 2 +... Συγκρίνοντας αυτές τις σχέσεις, ϐλέπουµε ότι η συνάρτηση f(z) = (z) 2 4 (z) 3 + 60G 4 (z) + 140G 6 είναι ολόµορφη στο z = 0 και f(0) = 0. Αλλά η f είναι ελλειπτική στο Λ, άρα η f είναι µια ολόµορφη ελλειπτική συνάρτηση στο Λ. Επεται πως η f είναι σταθερή, και αφού f(0) = 0 συµπεραίνουµε πως f 0., 15/18

Μια παραµέτριση Εστω οι g 2 = g 2 (Λ) και g 3 = g 3 (Λ) όπως ορίστηκαν πριν. Τότε: 1. Το πολυώνυµο f(x) = 4x 3 g 2 x g 3 έχει διακριτές ϱίζες, κι άρα 2. Εστω E/C η ελλειπτική καµπύλη Τότε η απεικόνιση µε (Λ) = g 3 2 27g 2 3 0. y 2 = 4x 3 g 2 x g 3 φ : C/Λ E(C) φ(z) = [ (z), (z), 1] είναι µιγαδικά αναλυτικός ισοµορφισµός µιγαδικών οµάδων Lie, δηλαδή ένας ισοµορφισµός επιφανειών Riemann που είναι και οµοµορφισµός οµάδων., 16/18

Ισοµορφισµοί Εστω δύο ελλειπτικές καµπύλες E 1 και E 2 που ορίζονται πάνω από το C και δύο lattices Λ 1, Λ 2 που αντιστοιχούν σε αυτές. Τότε, οι E 1, E 2 είναι ισόµορφες πάνω από το C, αν και µόνο αν υπάρχει α C ώστε Λ 1 = αλ 2 (σε αυτήν την περίπτωση, τα Λ 1 και Λ 2 λέγονται οµοιόθετα). Θεώρηµα (Uniformization Ελλειπτικών Καµπυλών) Εστω A και B δύο µιγαδικοί αριθµοί τέτοιο ώστε 4A 3 27B 2 0. Τότε υπάρχει µοναδικό lattice Λ C τέτοιο ώστε g 2 (Λ) = A και g 3 (Λ) = B., 17/18

Ενα moduli Πρόβληµα Μέσω οµοιοθεσίας µπορούµε να υποθέσουµε ότι το lattice Λ = ω 1, ω 2 είναι οµοιόθετο µε το lattice 1, τ, όπου το Im(τ) > 0. Από την άλλη µπορούµε να κάνουµε και µια αλλαγή ϐάσης µέσω της οµάδας SL(2, Z). Η j-invariant είναι συνάρτηση του τ και είναι αναλλοίωτη κάτω από µετασχηµατισµούς της SL(2, Z). Είναι περιοδική και συνεπώς έχει ένα ανάπτυγµα Fourier το οποίο το λογαριάζουµε ως q = e 2πiτ j(τ) = 1 q +744+196884q+21493760q2 +864299970q 3 +20245856256q 4 + Οι συντελεστές των q i είναι οι διαστάσεις του graded part µιας απειροδιάστατης αναπαράστασης της οµάδας Monster., 18/18