ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΎΠΟΥ Θέμ ο 6 Αν υπάρχουν,β R ώστε οι εξισώσεις: ( + ) β = 4( ) κι + 4 3 + β( + ) = ( + 3) ν έχουν κοινή λύση τότε ν ποδειχθεί ότι η εικόν του + z = + βi στο μιγδικό επίπεδο νήκει σε κωνική τομή (c) της οποίς ν προσδιοριστούν τ στοιχεί Θέμ ο Α Υπολογίστε στο σύνολο C των μιγδικών ριθμών τις λύσεις z κι z της εξίσωσης z 4z+ 9= κι τις λύσεις z,z 3 4 της εξίσωσης z + 4z+ 3= Έστω z,z 3 οι λύσεις που έχουν θετικό φντστικό μέρος Ν νπρστήσετε στο μιγδικό επίπεδο τ σημεί M, M, M,M 3 4, Ι που είνι εικόνες των ριθμών z, z, z,z 3 4, Β Υπολογίστε το z3 Δείξτε ότι τ σημεί M, M, M,M 3 4 νήκουν σε κύκλο του οποίου ν προσδιορίσετε το κέντρο κι την κτίν Ν κτσκευάσετε υτόν τον κύκλο στο ίδιο σύστημ ξόνων Θέμ 3 ο Θεωρείστε το σύστημ z = 5 Προτείνετε μι γεωμετρική ερμηνεί του συστήμτος υτού z z = 6i κι στη συνέχει λύστε το γρφικά Θέμ 4 ο Το επίπεδο έχει εφοδιστεί με έν ορθοκνονικό σύστημ (, u, υ ) Σε σημείο Μ που έχει εικόν τον ριθμό z = + iy, όπου κι y είνι πργμτικοί ριθμοί, ντιστοιχούμε το σημείο Μ που είνι εικόν του z' = z + z Α Υπολογίστε τις συντετγμένες ( ',y' ) του σημείου Μ συνρτήσει των συντετγμένων (, y ) του σημείου Μ β Δείξτε ότι το σύνολο (Η) των σημείων του επιπέδου, που είνι τέτοι ώστε το z ν είνι φντστικός ριθμός, είνι μι υπερβολή της οποίς κι ν προσδιορίσετε το κέντρο της, τις κορυφές της κι τις σύμπτωτές της Ν σχεδιάσετε την (Η) Β Έστω Ω το σημείο που είνι εικόν του ριθμού Προσδιορίστε τ σημεί Μ του επιπέδου που είνι τέτοι ώστε το τετράπλευρο ΟΜΜ Ω ν είνι πρλληλόγρμμο
34 Επνληπτικά συνδυστικά θέμτ Θέμ 5 ο Α Ν δείξετε ότι το σύνολο των σημείων Ν του μιγδικού επιπέδου που είνι εικόνες των ριθμών z = + yi οι οποίοι επληθεύουν την εξίσωση ( 3 i) z + ( 3+ i) z = () είνι μι ευθεί (D), την οποί ν προσδιορίσετε κι ν σχεδιάσετε Ν δείξετε ότι υπάρχει μονδικός πργμτικός z κι μονδικός φντστικός z που επληθεύουν την εξίσωση () Υπολογίστε τον z κι τον z Β Έστω Α κι Β τ σημεί που είνι εικόνες των ριθμών 3 + 5i, 3 + i ντίστοιχ Ανπρστήστε τ Α κι Β στο προηγούμενο σχήμ Δείξτε ότι η ευθεί (D) είνι μεσοκάθετος στο τμήμ ΑΒ Γ Ποιο είνι το σύνολο των σημείων Μ του μιγδικού επιπέδου τ οποί είνι εικόνες των ριθμών z που επληθεύουν την εξίσωση 3+ 5i z = 3+ i z ; Θέμ 6 ο Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το C { 4} σύνολο των μιγδικών ριθμών z i κι τύπο: f () z =, όπου C είνι το iz 4 Ν βρεθεί στο μιγδικό επίπεδο το σύνολο των σημείων Μ(z) ώστε ν είνι f () z R β Ν βρεθεί στο μιγδικό επίπεδο το σύνολο των σημείων Μ(z) ώστε το μέτρο του f () z ν είνι Θέμ 7 ο π π Δίνετι η συνάρτηση f:, R με f = κι η συνάρτηση g με τύπο g = συν κι πεδίο ορισμού το ευρύτερο δυντό Ν βρεθεί ο τύπος κι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης: h ( gof ) = g( f ) β Ν προσδιοριστεί το σύνολο τιμών w( h ) της πρπάνω συνάρτησης h( ) κι ν εξηγηθεί γιτί δεν μπορεί ν είνι συνάρτηση η ντίστροφη σχέση της h, πό το w( h) στο D( h ) Θέμ 8 ο Ν προσδιοριστούν οι πργμτικοί ριθμοί,, β, γ ώστε η συνάρτηση f, που ορίζετι ως εξής: f + + 3, ν 3 < -3 = β + γ, ν > 3 3 ν έχει όριο πργμτικό ριθμό στο 3 (δηλδή ότν 3 ) κι ν υπολογιστεί υτό το όριο
Επνληπτικά συνδυστικά θέμτ 35 Θέμ 9 ο π Δίνετι η συνάρτηση f :R R με f = ( ) συν Ν ποδειχθεί ότι imf = Θέμ ο +, με 4 Θεωρούμε συνάρτηση f με τύπο f =, με > 4 4 Ν οριστεί η τιμή της πρμέτρου R (εφόσον υπάρχει) έτσι ώστε η συνάρτηση που προκύπτει πό τον πρπάνω τύπο ν είνι συνεχής στο R Θέμ ο Θεωρούμε τη συνάρτηση f συνεχή στη θέση = κι τέτοι ώστε ν είνι lim = ( ) f ( ) π + συν 4 = 3 Ν προσδιοριστεί η τιμή f () Θέμ ο Α Δίνετι η συνάρτηση f : A R πργωγίσιμη σε κάθε A Ν προσδιοριστεί το f lim h ( + 3h) f ( + h) h (υποτίθετι:, + h, + 3h A ) Β Θεωρούμε δύο συνρτήσεις f κι g πργωγίσιμες στη θέση = f f g () f g f () Ν εκφρσθούν τ I= lim κι II = lim συνρτήσει των τιμών των f, g κι των πργώγων υτών στη θέση = + + + 3+ β Αν f = ενώ g = f με πεδίο ορισμού το R * ν κθοριστούν οι τιμές των Ι κι + + ΙΙ Θέμ 3 ο Θεωρούμε δύο συνρτήσεις f κι g πργωγίσιμες στην θέση = f f gf gf Ν εκφρστούν τ όρι: K = im κι Λ = im συνρτήσει των τιμών των f, g κι των πργώγων υτών στη θέση = + + 3+ β Αν f = με R ενώ g = με R { }, τότε ν κθοριστούν οι τιμές των Κ κι Λ γι υτές τις συνρτήσεις f κι g + ( + )
36 Επνληπτικά συνδυστικά θέμτ Θέμ 4 ο Αν,β, γ,δ C με εικόνες Α, Β, Γ, Δ ντίστοιχ επί του μονδιίου κύκλου z = τότε: Ν δείξετε ότι η εξίσωση της χορδής ΑΒ είνι: z + βz = + β + β γ δ β Ν δείξετε ότι ο μιγδικός z = έχει εικόν στο μιγδικό επίπεδο το σημείο β γδ τομής των χορδών ΑΒ κι ΓΔ (εφόσον υτές τέμνοντι) Θέμ 5 ο Έστω συνάρτηση f : R R, άρτι κι πργωγίσιμη στο R Ορίζουμε κολούθως συνάρτηση g, σύμφων με τον τύπο: g() + f () + = Ν ποδειχθεί ότι g () = Θέμ 6 ο Δίνετι η συνάρτηση g πργωγίσιμη στο R με: g > γι κάθε πργμτικό κι Ν δείξετε ότι η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f ( g ) Μ (, f ) σχημτίζει με τον άξον γωνί 45 g = e = + στο σημείο της Θέμ 7 ο Ν βρεθεί ο, > ώστε η y= ν εφάπτετι στην γρφική πράστση της f = Θέμ 8 ο + β Δίνοντι η συνάρτηση g() = + με R κι η συνάρτηση f με τύπο: f () = e γι κάθε,β R Ν προσδιοριστούν τέτοιες τιμές των,β (εφόσον υπάρχουν) ώστε οι γρμμές με ( 4 εξισώσεις y = g() κι y = f ) () ν έχουν κοινό το σημείο A (, g() ) κι συγχρόνως κοινή εφπτομένη σ υτό Θέμ 9 ο Αντλί της πυροσβεστικής ποβάλλει ποσότητ νερού, πό πλημμυρισμένο υπόγειο με ρυθμό t+ N' () t = σε κιλά νά ώρ, όπου t οι ώρες λειτουργίς της ντλίς t e Ν βρεθεί η ποσότητ του νερού που βγήκε πό το υπόγειο τις 6 τελευτίες ώρες της λειτουργίς της, ν είνι γνωστό ότι υτή άρχισε ν λειτουργεί πριν πό ώρες β Αν είνι γνωστό ότι την 5η ώρ της λειτουργίς της ντλήθηκν 6 κιλά νερού, πόσ e κιλά ντλήθηκν κτά την 8η ώρ της λειτουργίς της ντλίς
Επνληπτικά συνδυστικά θέμτ 37 Θέμ ο Έν μπλόνι είνι 39m πάνω πό το έδφος κι νεβίνει κτκόρυφ με στθερή τχύτητ m/sec Έν υτοκίνητο περνά πό κάτω πό το μπλόνι κι προχωρά κάτ μήκος ενός ίσιου δρόμου με στθερή τχύτητ 3m/sec Ν βρεθεί ο ρυθμός μετβολής της πόστσης υτοκινήτου - μπλονιού στο πρώτο δυτερόλεπτο της κίνησης Θέμ ο Ν λυθεί στο R η εξίσωση: 4 + 5 = 3 + 6 Θέμ ο Ν υπολογίσετε τ ορισμέν ολοκληρώμτ: Θέμ 3 ο + n e 3 d, β 3 d ημ Έστω η συνάρτηση 6 4 f() = + β + + γ+ δμε, β, γ, δ R κι 3β < 5 Ν - ποδείξετε ότι δεν υπάρχουν τρί διφορετικά συνευθεικά σημεί που ν νήκουν στη γρφική πράστση της f Θέμ 4 ο Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, 6] με f () = κι f () 4 γι κάθε (, 6), ν ποδείξετε ότι: 8 f () 6 6 Θέμ 5 ο Δίνετι η συνάρτηση f ορισμένη στο (, + ) Ν δείξετε ότι: f < γι (, + ) γι την οποί ισχύει: f e β Ν δείξετε ότι: f ( )( -) > f f( ) γι (, + ) κι > Θέμ 6 ο Δίνετι συνάρτηση f : R R πργωγίσιμη στο R με f ( ) = 4 κι f () = 4 Ν δείξετε ότι υπάρχουν, (,) π π 4 = e γι κάθε > με < τέτοι ώστε: + = f f Θέμ 7 ο Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [, β], πργωγίσιμη στο (, β) κι f () = f () β Ν δείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ (,β) ώστε f ( ξ ) + f ( ξ ) =
38 Επνληπτικά συνδυστικά θέμτ Θέμ 8 ο Θεωρούμε την δύο φορές πργωγίσιμη συνάρτηση f στο R κι τη στθερή συνάρτηση g γι την οποί ισχύει g = e f ' + κ κι f' > όπου κ στθερός πργμτικός ριθμός Δείξτε ότι γι κάθε R ισχύει f" = f' β Δείξτε ότι η συνάρτηση h = nf ' + είνι στθερή στο R γ Ν βρεθεί η στθερή συνάρτηση h εάν η C f στο σημείο = έχει εφπτομένη πράλληλη στη διχοτόμο της ης κι 3ης γωνίς των ξόνων 3 δ Ν προσδιοριστεί η συνάρτηση f εάν f = Θέμ 9 ο Θεωρούμε τη συνάρτηση f:r R κάθε, y R Ν δειχτεί ότι η f είνι στθερή στο R f f y + συν y γι, γι την οποί ισχύει: Θέμ 3 ο Ν προσδιορισθεί η εξίσωση y = f () κμπύλης (k) εφόσον υτή κείτι μέσ στην πρώτη γωνί των ξόνων (ορθοκνονικού συστήμτος) κι εκπληρώνει τους κόλουθους όρους: Η (k) διέρχετι πό το σημείο (, ) P β Η f() είνι συνάρτηση πργωγίσιμη στο R+ * με (), + γ Αν η εφπτομένη ευθεί της (k) σ έν οποιοδήποτε σημείο της A (, f () ) τέμνει τον άξον στο Β κι τον άξον y y στο Μ, τότε το Μ είνι μέσον του ΑΒ f γι κάθε Θέμ 3 ο Θεωρούμε τις πργωγίσιμες συνρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισμού [, + ) γι τις οποίες ισχύει η σχέση f () = y () + ημ + e με [, + ) Ν δείξετε ότι: f () + g() < g() + f () γι (, + ) Θέμ 3 ο Α Ν λυθεί η εξίσωση: ( ) e + 3 = Β Δίνετι η συνάρτηση f με f = e κι ο μιγδικός z = ( 3) + f( ) i όπου R Ν ποδειχθεί ότι z 5 Θέμ 33 ο Α Ν μελετηθεί η συνάρτηση f με κρόττ κι ν λυθεί η εξίσωση f = 4 Β Ν λυθεί η εξίσωση: f = e + 3 + 7 3 ως προς τη μονοτονί κι τ e + 3 7 = e + 3 7 στο R
Επνληπτικά συνδυστικά θέμτ 39 Θέμ 34 ο Ν δειχθεί ότι γι κάθε (,) ισχύει η νισότητ n ( ) < + Α Θεωρούμε τη συνάρτηση : R R Θέμ 35 ο f γι την οποί ισχύει f ( y) = f () + f () y + γι κάθε, y R Αν η f είνι συνεχής στη θέση, τότε ν ποδειχθεί ότι υτή θ είνι συνεχής σε κάθε R Β Ν ποδειχθεί ότι γι κάθε, με > > ισχύει: n n < n n β Ν ποδειχθεί ότι γι κάθε κ > κι γι κάθε, + * με > ισχύει: κ eκ e e < R > Θέμ 36 ο Έν φυτό νπτύσσετι ως προς το χρόνο έτσι ώστε κάθε χρονική στιγμή το ύψος του ν δίνετι t e πό τη συνάρτηση h() t =, t t t+ e + e Ν βρεθεί συνάρτηση του χρόνου που δίνει κάθε χρονική στιγμή το ρυθμό με τον οποίο ψηλώνει το φυτό β Αν Μ είνι η μέγιστη τιμή του ρυθμού μετβολής του ύψους του φυτού τότε ν υπολογιστεί το Μ κι η χρονική στιγμή κτά την οποί υτή η μέγιστη τιμή λμβάνετι Θέμ 37 ο 3 3 Δίνοντι οι συνρτήσεις: f () = + 3 + n( + ) κι g() + 5 + n( ) ( + ), Ν δείξετε ότι οι C f, Cg τέμνοντι σ εν μόνο σημείο = με Θέμ 38 ο Α Συνάρτηση f είνι ορισμένη κι συνεχής σ έν διάστημ Δ Αν η γρφική πράστση της + + < y = f () στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο Δ, τότε ισχύει: f( ) f( ) f γι κάθε, Δ με Β Ν ποδειχθεί ότι γι κάθε, Δ (, π) = με ληθεύει η νισότητ: + ημ + ημ < ημ
3 Επνληπτικά συνδυστικά θέμτ Θέμ 39 ο Έστω η f ορισμένη κι πργωγίσιμη σ έν διάστημ Α Αν η f είνι κοίλη στο Α ν δείξετε ότι + 3f( β) + 3β f f 4 4 με,β Α Θέμ 4 ο Εάν, β, γ είνι πλευρές τριγώνου ν ποδείξετε ότι ισχύει πάντ η νίσωση: ( + β+ γ) 3 7( β + γ )( + γ β)( + β γ) Θέμ 4 ο π π Αποδείξτε ότι γι κάθε,β, 4 4 με β ισχύει η σχέση: + β συν+ συνβ συν + συν( + β) e < συν συνβ Θέμ 4 ο Έστω συνάρτηση f πργωγίσιμη στο R Αν η C f στρέφει τ κοίλ άνω στο R κι δεν είνι - τότε ν ποδείξετε ότι προυσιάζει ολικό ελάχιστο Θέμ 43 ο Θεωρείστε τις συνρτήσεις f = e κι g = Ν δείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f κι g έχουν έν μόνο κοινό σημείο Θέμ 44 ο Θεωρούμε συνάρτηση f ορισμένη κι πργωγίσιμη στο Δ = (, + ) κι τέτοι ώστε ν είνι f () () f = γι κάθε Δ = με πεδίο ορισμού Δ, ν ποδειχθεί ότι η g είνι μι συνάρτηση στθερή στο Δ P 4, είνι έν σημείο της γρφικής πράστσης, έστω C f, της y = f (), ν προσδιορισθεί ο τύπος της f κι ν μελετηθεί υτή ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ Ν κθορισθούν επίσης όσες σύμπτωτες διθέτει η C f Αν g είνι η συνάρτηση που δίνετι πό τον τύπο: g f β Αν Θέμ 45 ο + 3 Θεωρούμε την συνάρτηση με τύπο: f =
Επνληπτικά συνδυστικά θέμτ 3 Ν προσδιοριστεί το πεδίο ορισμού Α της f β Ν ποδειχθεί ότι γι κάθε A έχουμε: f 4 ( ) = + κι ν βρεθούν οι σύμπτωτεςτης f + γ Ν μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ φού πρώτ βρεθεί το πεδίο πργωγισιμότητς της f Ν γίνει η γρφική πράστση (c) της f με βάση τ πιο πάνω ποτελέσμτ δ Ν βρεθεί η εξίσωση της εφπτομένης της κμπύλης (c) στο σημείο όπου η ευθεί y= τέμνει την κμπύλη (c) Θέμ 46 ο Ν υπολογιστούν τ I = d + κι I = = t ντίστοιχ d, θέτοντς + = t κι Θέμ 47 ο Ν εξετάσετε ν υπάρχουν συνρτήσεις [ ] + f () d κι f d = κι f () = f :, R * γι τις οποίες έχουμε συγχρόνως: d =, όπου > Θέμ 48 ο Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [,β ] κι ισχύει ότι: f + f( + β ) = c γι κάθε [,β], όπου c στθερός ριθμός β β β Ν δείξετε ότι: f d ( β ) f + ( f( ) = = + f( β) ) Θέμ 49 ο Ν δείξετε ότι: γι κάθε (, + ) ισχύει: e + e > β e ( + ) d > Θέμ 5 ο Δίνετι συνάρτηση f με συνεχή δεύτερη πράγωγο στο R Αν η συνάρτηση f έχει τοπικό κρόττο στο = το κι στο = το ν ποδείξετε ότι f" f dt = e
3 Επνληπτικά συνδυστικά θέμτ Ν βρείτε την συνεχή συνάρτηση Θέμ 5 ο f:r R γι την οποί ισχύει e f d = f + e, R Θέμ 5 ο Οι συνρτήσεις f, g έχουν συνεχή δεύτερη πράγωγο στο R κι ισχύουν: f ( ) = g( ) κι β f' ( β) = g 'β Ν δείξετε ότι: ( f g" d f" g ) d = g' ( β) ( f( β) g( β) ) Θέμ 53 ο Θεωρούμε συνάρτηση f που έχει συνεχή δεύτερη πράγωγο στο διάστημ [,e ] με f = e Ν δείξετε ότι: f " d = ef '() e f () e [ ] β Ν δείξετε ότι ύπρχει ξ (,e) τέτοιο ώστε: f " d = e f '() e f ( ξ) Θέμ 54 ο Δίνοντι οι συνρτήσεις f, g στο R οι οποίες είνι πργωγίσιμες κι γι τις οποίες ισχύει: f' = g κι g' = f κι f g = 3 3 Ν δείξετε ότι: f g d = 3 Έστω I v+ v = e Θέμ 55 ο t dt, v N: Ν υπολογίσετε το άθροισμ Iv + I v +, v N t + β Ν υπολογίσετε τ ολοκληρώμτ I,I,I Θέμ 56 ο Αν f συνεχής συνάρτηση στο R ν δείξετε ότι: β+ γ β βγ f( γ) d f = d + γ β β f d f d γ γ = γ Θέμ 57 ο + + Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ: I = e ( + ) d ημ( ) im, γ
Επνληπτικά συνδυστικά θέμτ 33 Θέμ 58 ο e Ν βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f γι την οποί ισχύει η σχέση f nd = f +, γι κάθε R Θέμ 59 ο Έστω η συνάρτηση h με h = e κι K = h d Δείξτε ότι 5 K = e Θέμ 6 ο Έστω f η συνάρτηση που ορίζετι πό τον τύπο f = e Θέτουμε I = f ( ) d (Δεν + ζητείτι ο υπολογισμός του Ι) Ν δείξετε ότι γι κάθε [,] είνι: e Ν επληθεύσετε ότι γι κάθε κ [,] είνι: β Δείξτε ότι κ κ Ι Θέμ 6 ο κ κ + κ 3 3 5 + Έστω f η συνάρτηση που ορίζετι πό τον τύπο f = 4+ 4 Βρείτε το πεδίο ορισμού A f της f Δείξτε ότι υπάρχουν τέσσερεις πργμτικοί ριθμοί, β, γ δ γ, δ τέτοιοι ώστε γι κάθε Af ν είνι: f = + β + + ( ) β Βρείτε μι πράγουσ της f στο (,) κι υπολογίστε το f ( ) d Θέμ 6 ο 5 Έστω η συνάρτηση f που ορίζετι πό τον τύπο f = n Α Δείξτε ότι η f ορίζετι στο διάστημ [, 4 ] Β Υπολογίστε την πράγωγο f' της f 4 5 β Ν υπολογίσετε το ορισμένο ολοκλήρωμ I= n d (κάνετε χρήση της πργοντικής μεθόδου)
34 Επνληπτικά συνδυστικά θέμτ Θέμ 63 ο Δίνοντι οι συνρτήσεις f κι φ με τύπους: f =, (,β) κι ( β )( ) π φ = συν + βημ,, Ν ορισθεί η σύνθετη συνάρτηση f ( φ ( ) ) κι ν υπολογισθεί το ολοκλήρωμ: π f ( φ ) φ' d Θέμ 64 ο Θεωρούμε τις συνρτήσεις f κι φ με τύπους: 3 f με,3 = [ ] κι φ 3ημ συν με, = + π π f φ φ' d = π Ν ορισθεί η σύνθετη συνάρτηση f ( φ( )) κι ν ποδειχθεί ότι: ( ) Θέμ 65 ο π/ Α Ν υπολογιστεί το ολοκλήρωμ: Ι = συνd π/6 + Β Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο f() = Ν σχεδιάσετε τη γρφική πράστση, έστω (κ), της θεωρούμενης συνάρτησης γι το διάστημ (,) β Αφού διπιστώσετε ότι η (κ) έχει δύο κοινά σημεί με τον άξον ν ποδείξετε στην συνέχει ότι οι εφπτόμενές της σ υτά τ σημεί είνι ντίστοιχως πράλληλες προς τις διχοτόμους των γωνιών των ξόνων γ Αν (ε) είνι εκείνη η εφπτομένη, πό τις δύο πρπάνω, που είνι πράλληλη προς τη διχοτόμο της ôy, ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου που οριοθετείτι πό την (κ) κι πό τις ευθείες (ε) κι = Θέμ 66 ο Δίνετι συνάρτηση f () ορισμένη κι συνεχής σ έν διάστημ [, β] Ν ποδειχθεί ότι υπάρχει f dt β ξ ξ (, β) τέτοιο ώστε: () ξ = f () t β Α Ν ποδείξετε ότι: f d = f β Β Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ: Ι = ξ Θέμ 67 ο π/4 ημ d 3 συν
Επνληπτικά συνδυστικά θέμτ 35 N ποδειχθεί ότι: Θέμ 68 ο ημ γι κάθε με π γ Η εξίσωση n + = Δίνετι η συνάρτηση f π ημ, β e e d ( e -) έχει μι μόνο ρίζ στο διάστημ (, + ) ν = e, R Θέμ 69 ο, v N * Ν μελετήσετε την f ως προς την μονοτονί, ν βρείτε τ κρόττ της κι τ σημεί κμπής v v β Ν δείξετε ότι: e v e d e Θέμ 7 ο Α Δίνετι η συνάρτηση F με τύπο F = ( n 3) ( n ), > 4 Ν μελετηθεί η F ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ β Ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση F = δεν έχει κμί ρίζ στο (, + ) Β Δίνοντι οι συνρτήσεις f κι g με f = n κι 3 g = + 4 f Ν ποδειχθεί ότι dt > γι κάθε > g 996 t + Θέμ 7 ο + e Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο f = 3 + 4e Ν μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονί κι τις σύμπτωτες κι ν βρεθεί το σύνολο τιμών της + β Ν υπολογιστούν τ όρι: f () t dt, f () t dt + im Θέμ 7 ο β Έστω f συνάρτηση συνεχής στο διάστημ [,β ] με f ( ) > κι f ( ) d < Ν ποδειχθεί ότι υπάρχει ξ (,β), τέτοιο ώστε f ( ξ) = im π
36 Επνληπτικά συνδυστικά θέμτ Θέμ 73 ο Ποι είνι η συμπεριφορά της συνάρτησης f ( ) = d im f ( ) = im + + ( + ) d ( + ) στο + ; Δηλδή ζητάμε το Θέμ 74 ο Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο ( 999 3 f = t t t t) + + + dt Ν δείξετε ότι η C f δεν έχει π σημεί κμπής Αν γι κάθε [, ) Θέμ 75 ο + είνι f' > κι F = f() t dt ν δείξετε ότι γι κάθε (, + ) ισχύει F ( ) < F' ( ) Θέμ 76 ο Ν βρείτε την συνεχή συνάρτηση f:r R γι την οποί ισχύει: e t f () t dt e e e f ( ) =,, R Θέμ 77 ο t Δίνετι η συνάρτηση: f = dt 3 ημ t Ν εξετάσετε την μονοτονί της f κι ν βρείτε τ κρόττά της Θέμ 78 ο Δίνετι z C Αν z κι z, ν δείξετε ότι z Αν z,z,ω,ω Θέμ 79 ο Cν δείξετε ότι z ω + z ω ( z + z )( ω + ω ) Θέμ 8 ο Έστω δύο μιγδικοί ριθμοί z,z διφορετικοί πό το μηδέν με z+ z = z z Ν z z δειχθεί ότι οι ριθμοί = κι β = είνι φντστικοί z z
Επνληπτικά συνδυστικά θέμτ 37 Θέμ 8 ο Α Ν βρείτε το σύνολο των σημείων του μιγδικού επιπέδου που είνι εικόνες των μιγδικών z οι οποίοι έχουν την ίδι ιδιότητ ο λόγος των ποστάσεων των εικόνων τους πό τις εικόνες των μιγδικών z = 3 κι z = 3 είνι στθερός κι ίσος με ω+ 3 ω + 3 Β Αν γι τους μιγδικούς ω,ω ισχύει: = =, ν βρείτε την μέγιστη τιμή του ω 3 ω 3 ω ω Θέμ 8 ο Έστω z C με έλλειψη z = Αν ω= z ν ποδείξετε ότι οι εικόνες του ω κινούντι σε μι z Θέμ 83 ο Η συνάρτηση f :R R είνι πργωγίσιμη κι ισχύει f' > γι κάθε R Ν δείξετε β ότι η συνάρτηση F = f( t) dt, R,, β, R είνι πργωγίσιμη κι ότι ν R με F' ( ) = τότε F = γι κάθε R Θέμ 84 ο Ν βρείτε συνάρτηση f:r R έτσι ώστε ν ισχύει η σχέση: () () 6 9 f t dt = t f t dt γ + + + γι κάθε R κι γ R Στη συνέχει ν προσδιορίσετε την στθερά γ R 8 9 Θέμ 85 ο Θεωρούμε συνάρτηση f συνεχή στο [ ], κι τέτοι ώστε ν ισχύει: f() t < < γι κάθε t [,] u Θεωρούμε επίσης κι την συνάρτηση: g = f( t) dt Ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση: g = έχει μονδική ρίζ στο (, ) = Αν f () f () t dt κι () () Θέμ 86 ο f > γι κάθε >, τότε ν ποδειχθεί ότι: f () t f >, γι κάθε > β e dt ( e e) (), γι κάθε R
38 Επνληπτικά συνδυστικά θέμτ Θέμ 87 ο Α Ν δείξετε ότι: Γι κάθε (, + ) ισχύει β Γι κάθε R ισχύει: ( + ) + e e Β Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f στο [, 3] γι την οποί ισχύει: f () t dt Ν ποδειχθεί ότι f () = γι κάθε [, 3] Α Αν () Θέμ 88 ο 3 συνπ - 7 t f = dt ν προσδιορίσετε τ διστήμτ μονοτονίς κι τ τοπικά κρόττ της t e f Β Ν προσδιορίσετε συνεχή συνάρτηση f γι την οποί ισχύει: () t dt = ημ = κι τις τιμές που πίρνει το Θέμ 89 ο Θεωρούμε τη συνάρτηση f : R R με τύπο: f () = + dt Ν ποδείξετε ότι: < f () f () < 4 f, [, π] Θέμ 9 ο Αν f είνι συνάρτηση συνεχής κι πργωγίσιμη στο [, + ) κι η f είνι γνησίως φθίνουσ κι θετική τότε ν ποδειχθεί ότι ισχύει: f ( + ) f () < f () < f () f ( ) γι κάθε κι β Ν ποδειχθεί οτι: dt dt + = + t + t Θέμ 9 ο Δίνετι η συνάρτηση f : (, + ) R με + 3 (, f ) f = t+ dt Ν βρείτε την εφπτομένη της C f στο () 6 β Ν βρείτε το λ R ώστε η ευθεί λ = -3y 7 που βρήκτε ν είνι κάθετη στην εφπτομένη
Επνληπτικά συνδυστικά θέμτ 39 Θέμ 9 ο 4 3 5 + 7 3+ 6 Δίνετι η συνάρτηση f : R R με τύπο f = Ν υπολογίσετε το + εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C f τον κι τις ευθείες =, = Θέμ 93 ο Δίνοντι οι συνρτήσεις f, g με τύπους: f () = 3 + 4 κι g() = + + 4 ντίστοιχ Ν βρείτε τ σημεί τομής Α, Β των Cf, Cg 5 β Μι ευθεί = με, τέμνει τις γρφικές πρστάσεις Cf, Cg στ Γ, Δ ντίστοιχ Ν βρεθεί το ώστε το εμβδόν των τριγώνων ΑΓΔ, όπου Α το σημείο τομής των C f, C g με τετμημένη, ν είνι μέγιστο Θέμ 94 ο Δίνοντι οι συνρτήσεις f, g γι τις οποίες ισχύουν: f" = e + g" γι κάθε R f = g f' + e= g' + Ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f, g κι πό τις ευθείες = κι = Θέμ 95 ο Δίνοντι οι συνρτήσεις f = e κι g = + Ν εξετάσετε τις συνρτήσεις f, g ως προς την μονοτονί κι τ κρόττ β Ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f, g κι πό τις ευθείες = κι = Θέμ 96 ο Ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό την γρφική πράστση της f = + 3 3, την πλάγι σύμπτωτη της C f κι τις ευθείες = κι = Θέμ 97 ο ( λ + ) e Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο f =, λ R γι την οποί ισχύει 3f ' f = f Ν βρείτε τι εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C με g =, τον άξον κι g e τις ευθείες = κι = 3
33 Επνληπτικά συνδυστικά θέμτ Θέμ 98 ο Α Ν δείξετε ότι γι κάθε R ισχύει: e + Β Αν γι κάθε R ισχύει +, > ν δείξετε ότι = e Γ Ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των ( f = e + ) κι 3 g = + + +, την ευθεί = κι τον άξον y y Θέμ 99 ο 3 ν < Έστω η συνάρτηση f με τύπο f = 3 ν Ν δείξετε ότι η f είνι ολοκληρώσιμη β Ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό την γρφική πράστσητης f, την ευθεί = κι τον άξον Θέμ ο e e Θεωρείστε τη συνάρτηση f με f = e + e Ν δείξετε ότι η f έχει μονδική ρίζ στο R κι ν βρείτε ποι είνι υτή η ρίζ β Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, τον άξον κι τις ευθείες =, = ( > ) γ Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης g με g = 4 ( e + e ) τιμή πίρνει το εμβδόν υτό ότν + ;, τον άξον κι τις ευθείες =, = Τι Θέμ ο Α Ν υπολογιστεί το ολοκλήρωμ: I = nd e Β Ν γίνει η γρφική πράστση της συνάρτησης f () = e β Ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου που οριοθετείτι πό την κμπύλη y = f () τον άξον των τετμημένων κι της ευθείες = κι = Θέμ ο Ν προσδιοριστούν οι πργμτικοί ριθμοί, β έτσι ώστε η συνάρτηση: f + 4, ν < = β + γ + 3, ν > - ν έχει όριο πργμτικό ριθμό ότν
Επνληπτικά συνδυστικά θέμτ 33 Θέμ 3 ο Α Θεωρούμε τις συνρτήσεις f : Δ = (,) R με f () κ ( ) λ = όπου κ,λ Q κι κ > λ > Ν ποδείξετε ότι κάθε f προυσιάζει στο Δ έν κι μόνον έν τοπικό κρόττο, κθορίζοντς συγχρόνως το είδος του Β Αν () = ( ) με [,] 3 g, ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που οριοθετείτι πό τη γρφική της y = g() κι τον ημιάξον o Θέμ 4 ο g Α Ν βρεθεί η συνάρτηση g γι την οποί ισχύουν: g () = e + () γι κάθε R*, g() = κι g () = e Β Ν μελετηθεί η g ως προς τη μονοτονί, τ κρόττ, τ σημεί κμπής, τ κοίλ κι ν βρεθούν όλες οι σύμπτωτες που διθέτει Γ Ν βρεθεί το εμβδόν του χωρίου που οριοθετείτι πό τη γρφική πράστση (c) της g, του άξον κι τις ευθείες =, = λ, όπου λ < Τέλος ν βρεθεί το lim Ε() λ λ - Θέμ 5 ο Θεωρούμε την συνάρτηση που ορίζετι πό τον τύπο: ( ) () g = e όπου είνι μι πργμτική πράμετρος Α Έστω = Δείξτε ότι η g είνι άρτι β Δείξτε ότι η g είνι πργωγίσιμη στο γ Μελετήστε την g ως προς την μονοτονί κι κτσκευάστε την γρφική της πράστση ως προς ορθοκνονικό σύστημ συντετγμένων (, i, j) Β Έστω i Αν ( C ) η γρφική πράστση της g ως προς το (, i, j), δείξτε ότι η ευθεί είνι άξονς συμμετρίς της ( C ) g g( ) e ii Δείξτε ότι im = (Υποθέστε γνωστό το όριο + im = ) g g( ) iii Δείξτε ότι im = iv Είνι η g πργωγίσιμη στο = γι ; β i Υπολογίστε την g '( ) στο (,+ ) Αποδείξτε ότι η g ' μηδενίζετι γι μι μόνο τιμή στο (,+ ) =
33 Επνληπτικά συνδυστικά θέμτ ii Υπολογίστε την g "( ) στο (,+ ) Αποδείξτε ότι η g " μηδενίζετι στο (,+ ) ν κι μόνον ν > iii Κτσκευάστε τον πίνκ μετβολών της g στο (,+ ) κι στο (,] Γ Έστω = Μελετήστε την g ως προς την μονοτονί στο [, + ) β Προσδιορίστε τ σημεί τομής της ( ) γ Κτσκευάστε την ( C ) ως προς το σύστημ (, i, j) Δ Θεωρούμε τη συνάρτηση G που ορίζετι στο [ ) C με τους άξονες, + κι έχει τύπο: = ( + + ) G β γ e όπου,β, γ R Προσδιορίστε τ, β, γ έτσι ώστε η G ν τυτίζετι με την πρώτη πράγωγο της g στο [, + ) β Υπολογίστε το εμβδόν της περιοχής του επιπέδου που ορίζετι πό την ( C ) κι τον άξον των τετμημένων Θέμ 6 ο + 3 Δίνετι η συνάρτηση f () = με πεδίο ορισμού το (, + ) Αφού πρτηρήσετε ότι οι ευθείες = κι y = είνι σύμπτωτες της y = f () κι μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονί, ν υπολογιστεί το f () d 3 β Ν προσδιορίσετε το εμβδόν του χωρίου που οριοθετείτι πό τις γρφικές πρστάσεις των y = f () κι y = 8 κι πό τις ευθειες = 3 κι = 4 + γ Ν ποδείξετε ότι: lim f () t dt = + Θέμ 7 ο Η κμπύλη (c) βρίσκετι κάτω πό τον άξον στο διάστημ [, β] Αν η επιφάνει που ορίζετι πό την κμπύλη (c), τον άξον κι τις ευθείες = κι = β έχει εμβδόν: + β + Ε = τότε: β e e Ν βρεθεί η εξίσωση της κμπύλης (): y f () + β β Ν υπολογιστεί το όριο: lim f () d β c = κι 4
333 ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Ν βρεθούν,β, γ R ώστε ν εφρμόζε- + 3 + 6 < + β + 3γ τι το θ Rolle στο διάστημ [-,] 6 Έστω η συνάρτηση f 7 Δίνετι η συνάρτηση 3 β γ γ f = + + + μ,μ,,β,γ R κι Αν 4 3 3 ισχύει 3+ 4β = 3 ν δείξετι ότι υπάρχει ξ (,) : η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο (Α(ξ,ξ()) ν είνι πράλληλη στον 8 N δικιολογήσετε ότι έν πολυώνυμο p() με πργμτικούς συντελεστές έχει υ δικεκριμένες ρίζες, τότε η εξίσωση p () = έχει υ - ρίζες 9 Δίνετι η συνάρτηση f = ( 3 )( 4 )( 5) ν δειχτεί ότι η f = έχει τρεις κριβώς πργμτικές ρίζες (Υπ: Ισχύει Rolle στ [,3], [3, 4] [4, 5] Άρ η f () έχει τουλάχιστον ρίζ στο κθέν πό υτά κι είνι 3 ου βθμού) Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο [, β] κι πργωγίσιμη στο (, β) κι = f ( β)( > ) Ν δειχθεί ότι υπάρχει ξ (,β) ώστε ν ισχύει f ( ξ) βf (Υπ: f ξ f ξ f ξ = ξ f ( ξ) f ( 3) = = ξ ξ Εφρμόστε Rolle γι την g f ξ = ξ f = ) Έστω f πργωγίσιμη στο [, β] με f ( ) = f( β) = Ν δειχθεί ότι υπάρχει ξ(,βώστε ) f ( ξ) + f( ξ) = ξ ξ ξ (Υπ: f ( ξ) + f( ξ) = e f ξ + e f( ξ) = e f( ξ) = Εφρμόστε Rolle γι την g = e f π π π Ν δικιολογήσετε ότι η εξίσωση εφ + έχει τουλάχιστον ρίζ στο, 4 4 συν 4 (Υπ: π π π π εφ + = εφ εφ = = 4 4 συν 4 4
334 π εφ = 4 Εφρμόζουμε Rolle γι την 3 Αν f, g δύο φορές πργωγίσιμες στο R με f g g = f( ), f() = 3, g() = ν δείξετε ότι f = g + π g = εφ ) 4 = γι κάθε R κι (Υπ: f = g άρ f = g + c οπότε f g c c = + + κλπ) 4 Δίνετι f: (, + ) Rπργωγίσιμη γι την οποί ισχύουν: ημ + f ( n) = συν, > β ( ) Ν βρεθεί f(e) (Υπ: ( ) ( ) ημ + f n = συν, > ημ + f n f n συν ημ ημ = συν = ( f ( n) ) = άρ ημ f( n) = + c κλπ 5 Δείξτε ότι οι πιο κάτω εξισώσεις έχουν το πολύ μι ρίζ στ ντίστοιχ διστήμτ 3 3 3 36 + 5 = στο (,) β + 3 στο R, μ R (Υπ: Έστω ότι έχει ρίζες, οπότε σε άτοπο με Rolle, β όμοι) 6 Ν δείξετε ότι οι πιο κάτω εξισώσεις έχουν το πολύ δύο ρίζες στ ντίστοιχ διστήμτ 4 3 v + + 4 + + β στο R,,β R β + + β στο R,,β R (Υπ: Έστω ότι έχει τρεις ρίζες,, 3 οπότε με Rolle σε άτοπο, β όμοι με 7 Δίνετι η f: (, + ) R πργωγίσιμη ώστε βρεθεί το τύπος της f (Υπ: ( ) ( ) f = f n γι > Αν f(e) = e ν f f = f n + f n = ( n) f + f n = nf + f n= n f = οπότε nf = cκλπ) 8 Ν βρεθεί η συνάρτηση f πργωγίσιμη στο (, + ) γι την οποί ισχύει γι κάθε R κι f() e = (Υπ: f f f f f f = e f f f = e = f e = e = άρ e = + c κλπ) e 9 Έστω η f πργωγίσιμη στο [, β] με f γι κάθε (,β) Εφρμόζετι το Θ Rolle γι την συνάρτηση g = ( )( β) f Ν δείξετε ότι:
335 β Υπάρχει ξ (,β) f ξ ώστε = f ξ ξ β ξ () (Υπ: β Η () γράφετι: f ( ξ)( ξ) + ( ξ ) f( ξ) + ( ξ β) f( ξ) = g ( ξ) = όπου ισχύει πό ) 3 Έστω η f πργωγίσιμη στο R με g ( ) f ξ = ξ = Ν δείξετε ότι fξ (,) με f ( ξ ) f() 3 (Υπ: Όμοι με προηγούμενη) 3 Αν η συνάρτηση f είνι περιττή κι πργωγίσιμη στο R γι την οποί ισχύει 3 f + f = 4 + γι κάθε R κι f() = Ν βρεθεί ο τύπος της f 3 Δίνετι η συνάρτηση f πργωγίσιμη στο [, β] με f ( ) υπάρχουν ξ,ξ (,β) τέτοι ώστε 3 4 (Υπ: f( ) f 4 f( ) 4 + = + = + άρ f ξ + f ξ = 4 (Υπ: Εφρμόστε ΘΜΤ σε κθέν πό τ: f f = + + c f = = β κι f ( β) = Ν δείξετε ότι + β + β,,,β ) 33 Δίνετι η συνάρτηση f πργωγίσιμη σστο [-, ] με f( ) = κι f() = 3 Ν δειχθεί ότι: i Υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε f ξ = ξ ii Υπάρχουν ξ,ξ (,) τέτοι ώστε f ξ f ξ = (Υπ: i Εφρμόστε Bolzano γι την g = f + οπότε ξ (,) ώστε f() 3 = ξ ii Εφρμόστε ΘΜΤ στ [,] κι [ξ, ]) 34 Αν η f είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο [, β] κι ισχύει δειχθεί ότι υπάρχει ξ (,β ): f ( ξ) = + β + β (Υπ: Εφρμόστε ΘΜΤ στ,,β + β f + f β = f ν Προσέξτε ότι f ( ξ ) f ( ξ ) = οπότε εφρμόστε Rolle στο [ξ, ξ ]) 35 Ν δείξετι ότι οι πιο κάτω εξισώσεις έχουν κριβώς μι ρίζ στ ντίστοιχ διστήμτ 5 + + β = στο R, β, γ > β + n = στο (, ) 5 γ 3+ = στο (, ) δ e + = + στο R (Υπ: Το σύνολο τιμών είνι (, + ) κι περιέχει το Ακόμ f, β Με θ Bolzano τουλάχιστον κι μετά έστω κι με Rolle άτοπο, γ θ Bolzano τουλάχιστον κι μετά f στο [, ], δ προφνής λύση η = κι f )
336 36 Αν γι την συνάρτηση f ισχύει το θ Rolle στο [, 4] Ν δείξετε ότι ξ,ξ,ξ,ξ (, 4) f ξ + f ξ + f ξ + f ξ = ώστε 3 4 3 4 (Υπ: Εφρμόστε θ ΜΤ στ [, ], [, ], [, 3], [3, 4]) 37 Δίνετι η συνάρτηση f = ημ με την βοήθει του θ ΜΤ Ν δείξετε ότι f f γι κάθε, [,] (Υπ: Eφρμόστε θμτ στο [, ] λμβάνοντς υπ όψιν ότι f = ημ+ συν κι f + + = ) 38 Έστω η συνάρτηση f πργωγίσιμη στο R κι γι κάθε R ισχύει: f n e + + e = 3 e + 4 Ν δείξετε ότι η f είνι (Υπ: Υποθέστε ότι υπάρχουν, ξ (, ):f ( ξ) = Πργωγίστε την δοθείσ R με < ώστε f( ) = f( ) Από θ Rolle ξ, :f ξ = δείξτε ότι το πιο πάνω είνι άτοπο) 39 Η συνάρτηση f είνι φορές πργωγίσιμη στο [, ] με f m γι κάθε (,) υπάρχει γ (,) τέτοιο ώστε f ( γ) =, ν δείξετε ότι f + f m 4 Ν ποδείξετε με την βοήθει του θμτ της νισώτητες: i iii 3π 3π ημ < + ii 5 3 + < n <, > + Αν (Υπ: Εφρμόστε θμτ γι την f () στ [, γ] κι [γ, ]) y y y e < < e y, < < y iv < e < e, >