8. LENKIAMŲ PLOKŠELIŲ ELEMENAI 8.1. LENKIAMŲ PLOKŠELIŲ EORIJA Įtempimai: storį: paprastai operuojama įrąžomis įtempimų atstojamosiomis per plokštelės z τ z t τ z M t = zdz, M =...., M =.. t t = τzdz, = t..τ z..... Įrąžos neutralioje plokštumoje: z M M Įtempimų - įrąžų ršs: τ τ z z M z, =..., =... t 1 = =, τ z =.., prie z = 0 t ir τ z << ir. 58
w Deformacijos Kirchhofo teorija iesė, statmena vidurinei plokštelės plokštumai, po deformacijos išlieka statmena viduriniam plokštelės paviršiui..., taškai ant vidurinės plokštumos deformacijos metu juda tik z krptimi; šltis ignoruojama. aškai ne ant vidurinės plokštumos įgauna u, v tiesės pasisukimams, o šie w, ir w, : α α Mindlino teorija: ε = u, zw, u= zw,, ε = v, = zw, = { K } z v= zw, ε = u, + v, zw, iesė lieka tiese, tačiau nebūtinai statmena viduriniam paviršiui. aškų šalis vidurinės plokštumos poslinkiai apibrėžiami statmenų nedeformuotai vidurinei plokštumai tiesių posūkiais ir : z Esant mažiems ir : 59
u= z v= z, ε ε = z ε = z,, (,, ) = z + γ γ z = w, = w z, Pastaba 1: literatūroje posūkiai dažnai žmimi ir kitaip: - posūkis apie ašį, - apie ; teigiami - prieš laikrodžio rodklę: z P z = w, = w, - t.., nuo teigiamos apkrovos kla neigiamas posūkis. Ženklai = galioja tik Kirchhofo teorijai. Pastaba : Kirchhofo teorija - plonoms plokštelėms (mažiausias matmuo plokštumoje > 5t, o w t ). Mindlino storoms plokštelėms ir sluoksniuotoms. 5 Fizinės lgts:, τ ir τ ignoruojant, izotropinei medžiagai, Kirchhofo plokštelei: z z z { } = [ D ] ({ ε} { }), ε 0 1 1 ν = ν E 1 ν 0 ν 1 ν 1 1 ν 0 0 0 1 1 ( + ν) α Θ ε ε α Θ ε 0 e e Fizinis dėsnis įrąžoms: { M} = [ Dk] ({ κ} { κ }) 0, 60
M D ν D 0 κ α t =+ 0 z= t M = ν D D 0 κ α t ; t M 0 0 ( 1 ) 0 0 z ν D κ = = Et D= 1 1 ( ν ) Iš dėsnio: kreiviai κ ir κ susiję (Puasono koeficientu): Fizinis dėsnis Mindlino plokštelei: { M} = [ Dm] ({ κ} { κ }) [ D ] 0, M k, M, 6 M = Gt 0, +, { κ0}, 5 w, 6 0 Gt 5 w, E G= 1 ( + ν), 6/5 įvertina parabolinį τ z ir τ z kitimo dėsnį per plokštelės storį. Laisvumo laipsniai mazguose Dažniausiai w,,. Suderinamumo reikalavimai: tarp abiejų teorijų elementų w turi sutapti. Kirchhofo teorijoj: dar turi sutapti ir w, bei w, (nes ra w deformacijų išraiškose). Mindlino teorijoje: turi sutapti tik ir (nes ra tik ' deformacijų išraiškose). aigi: Kirchhofo teorijos plokštelėms būtinas C 1 suderinamumas, o Mindlino C 0. 61
8.. LENKIAMŲ PLOKŠELIŲ BAIGINIŲ ELEMENŲ APŽVALGA Kirchhofo elementai 1 1 U = D dv= D da { ε} [ ] { ε} { κ} [ k] { κ} (8.1) v { κ } = { w, w, w, } Parenkamas w kitimo dėsnis: [ N] { } w=, n - mazgų kiekis elemente 1 n u m Gaunama [B]: A { κ } = [ B] { u m } (8.) n () įstačius į (1): 1 U = { um} [ K] { um}, [ K] = [ B] [ Dk] [ B] da n n A okiems elementams būtinas C 1 suderinamumas, o to pasiekti praktiškai neįmanoma. Pavzds: trikampis elementas su 9 l.l., o artimiausias interpoliacinis polinomas bus -ios eilės, 10 nepriklausomų narių. Vieną narį teks praleisti bus pažeisti pilnumo reikalavimai. Dėl suderinamumo: tegu elemento viena kraštinė lgiagreti ašiai: w kinta kubiniu dėsniu w kraštinėje apibrėžiamas 4 - iais ddžiais: w i, w, i, w j, w, j taigi, suderintas tarp elementų w, : apibrėžiamas - iem ddžiais: w, i ir w, j, o kinta kvadratiškai taigi, nesuderintas Analogiškas išvadas galima prieiti ir w, suderinamumui; išvadų bendrumas neprarandamas ir laisvai plokštumoje orientuotai elemento kraštinei. Pirmi bandmai sukurti Kirchhofo elementus nesėkmingi. Bandta neprisilaikti teorijos reikalavimų (gaunamas konvergavimas ne prie Kirchhofo sprendinio), naudoti subelementus (LCC, C.Felippa, 1968). Pirmasis vkęs trikampis elementas su 9 l.l. BCIZ (G. Bazele, Y. Cheung, B. Irons, O. Zienkiewicz, 1965). ačiau: elementas nesuderintas, konvergavimas nemonotoniškas. 6
Mindlino elementai 1 U = { κ} [ DM] { κ} da A Parenkamas vienodas kitimo dėsnis visiems funkcionalo nepriklausomiems ddžiams: w,, : w n wi = I N u = N u n [ ] [ ], arba { } [ ] { } (8.) i m i= 1 i urėjom: 0 0, 0, =, 0 = = w, 0 1 w, 1 0 { κ}, +, { u} (8.4) Iš () ir (4): { κ } = [ B]{ u m }, 0 N1, 0 0 0 N 1, B N 0 N N... [ ] [ ] = = 1, 1, N1, 0 N1 N N 1, 1 Iš čia - [ ] [ ] [ ] [ ] A K = B DM B da n n 5 5 0 Mindlino elementai, kai plokštelė plona, linkę užsikirsti ( locking phenomena ). Fizinė prasmė: [K] galima išreikšti dviejų matricų, atitinkančių lenkimo ir šlties įtaką, suma. Kai elementas plonas, šltis tampa nepastebima, o matematiškai tai atsispindi taip: ([ Kb] + [ Ks] ){ um} = { P}, ir u m 0, o tai neteisinga plonai plokštelei. Vienas būdų išvengti užsikirtimo specialiai netiksliai integruoti [ K s]. 6
Efektviausias Mindlino elementas DK (Discrete Kirchhoff heor). Idėjos J.Stricklin, 1969; galutinė formuluotė J.-L.Batoz, 1980. 64
estai elementams Kraštinės sąlgos: standus įtvirtinimas: w=0 n =0 s =0 parėmimas: w=0 s =0 (teoriškai - M n =0 ) Rezultatai DK elementui: w centre p P parėmimas standus įtvirtinimas parėmimas standus įtvirtinmas N= 1 1.05 1.500 1.076 1.01 0.999 1.8 1.008 1.046 4 1.001 1.069 1.00 1.019 8 1.001 1.01 1.001 1.007 Patch testas: Kirchhofo elementai turi parodti pastovias ε, ε, ε arba pastovius κ, κ, κ (parinkus ν = 0, kad neliktų κ ir κ sąsajas). Mindlino elementams: papildomai dar pastovios šlties deformacijos. 65
8.. ELEMENAS BCIZ 9 laisvumo laipsniai. Artimiausias tinkamas interpoliacinis polinomas - - os eilės, 10 narių. L - koordinatėse polinomas ra: L, L, L, L L, L L, L L, L L, L L, L L L L L 1 1 1 1 1, Pirmieji nariai tinkami elemento kaip kieto kūno poslinkiams apibrėžti, 4-9 nariai išvestinėms (t.., posūkio kampams), o 10-asis lgus 0 visuose mazguose. Dėl didesnio bendrumo posūkiams apibrėžti imtos funkcijos L L + cl L,... ; įlinkiams L 1,.... aigi, parenkamas nepilnas interpoliacinis polinomas 1 1 1 L 1 1 w= α 1L1 + αl + αl + α4(l L1 + L1L L ) +... + α9(l1 L + L1L L ) (8.5) Lgčių sistema α i, i= 1,...,9 rasti sudaroma įprastu būdu, tik laisvumo laipsniams = w ir = w pirmiausia (5) lgtis išdiferencijuojama. Gaunama:,, L1 + L1 L + L1 L L1 L L1 L 1 1 [ N1] = b L1 L + L1 L L b L L1 L1 L L +, N =, N = 1 1 c L1 L + L1 L L c L L1 + L1 L L Pastaba: θ θ L1 L L 1 = + + = b1 + b + b L1 L L L1 L L =... =...( c1... c... c... ) Elemento standumo matrica sudaroma dažniausiai skaitiniu integravimu. Kadangi pointegralinės išraiškos ra -os eilės, integravimui reikia -jų taškų. Įtempimų skaičiavimui: elemento viduje momentai kinta tiesiškai; dažniausiai 1 suskaičiuojami elemento centre L1 = L = L =. Elemento konvergavimas: nemonotoniškas, patch testas netenkinamas. 66
8.4. ELEMENAS DK Esminės idėjos 1. Deformacijos energijos funkcionalas išreiškiamas tik per tiesių polinkių kampus (žr. {κ} Mindlino teorijai). Funkcionale figūruoja tik 1-osios kampų išvestinės, todėl būtinas C 0 suderinamumas.. LS elemento formos funkcijomis parenkamas šių kampų kitimas elemento viduje; elementas turi 6 mazgus.. Kadangi ieškomas Kirchhofo sprendins, atmetama funkcionalo dalis, susijusi su šltimi. Įvedamos Kirchhofo prielaidos = w, ; = w, visuose plokštelės mazguose. 4. am pat elementui įvedami nauji laisvumo laipsniai w, i, i elemento viršūnėse, o mazgai kraštinių viduriuose eliminuojami. Pereinama nuo senųjų 1-os laisvumo laipsnių (po polinkio kampus 6-iuose mazguose) prie naujųjų 9-ių l.l. Rezultatas: { } { } = H u m { } { } = H u m H = a N a N H = d N d N 1 6 6 5 5 1 6 6 5 5 H = b N + b N ir H = N + e N + e N 5 5 6 6 1 5 5 6 6 H = N c N c N H = b N b N 1 5 5 6 6 5 5 6 6 ; Kiti elementai gaunami cikliniu indeksų perstatmu: 1, 4 5 6. Geometriniai koeficientai: k ij ij a = l k = 4 ij ij ij b l ( 1 1 ) ij ij ij ck = l 4 dk = ij lij ( 1 1 ) ij ij ij ck = l 4 ij = ij + ij l ij ij = i = ; i j j k = 4, 5, 6 prie ij=, 1, 1. { },{ } H H atlieka formos funkcijų vaidmenį tiesių polinkio kampams elementui su 9 l.l. urint omen kreivių išraiškas, [ B] { H }, = { H }, ; { H }, + { H }, įtempimai (įrąžos) elemente kinta tiesiškai. 67
8.5. ELEMENAI SU W LAISVUMO LAIPSNIŲ ARPE ai vienintelė galimbė suformuluoti C 1 suderinamumą tenkinančius trikampius elementus. Mazgo l.l.: w, w,, w,, w,, w,, w, aigi, artimiausias interpoliacinis polinomas 5-os eilės, 1 nepriklausomas nars. odėl į l.l. tarpą įtraukiamos dar w, n kraštinių viduriuose; n normalė į kraštinę. Suderinamumas: tegu kraštinė ij lgiagreti ašiai. w kitimas išilgai kraštinės apraštas 6 ddžiais: mazge i w i, w,i, w, i ir analogiškai mazge j. Kitimo dėsnis 5-os eilės, todėl garantuojamas w vienareikšmiškumas išilgai tarpelementinės briaunos. Išvestinės w atveju: esminis l.l. - w,n ; jei ij lgiagreti, tai w, n w,. w, apibrėžtas 5 ddžiais: w, i, w, i, w, nk, w, j, w, i. Kitimo dėsnis 4-os eilės, todėl vėl garantuojamas vienareikšmiškumas. Išvados galiotų ir bendru atveju, kai ij orientuota bet kaip. aigi, w= α α α α α α + α 4 5 1 + + + 4 +... + 19 + 0 1 5 w1 = α 1+ α 1 +... + α 11 4 w, 1 = α +... + α 0 1 w, 1 = α 4 +... + Išvestinėms w, n : α 19 w, n = cos α w, + sinα w,, α - kampas tarp kraštinės ir ašies 1 Formos funkcijos dabar gaunamos įprastine procedūra. B.e. trūkumai: skaitiškai brangus, per griežti suderinamumo reikalavimai, nevienodas l.l. skaičius mazge programavimo keblumai. 68